2025年安徽省中考数学一轮复习考点突破课件---与圆有关的位置关系

与圆有关的位置关系 与圆有关的位置关系 点与圆有三种位置关系：点在圆① 、点在圆② 、点在圆③____ 外   上 点与圆的 位置关系 内 与圆有关的位置关系 直线与圆的位置关系 相交 相切 相离 图形 公共点个数 ④____ ⑤____ ⑥____ 圆心到直径的距离d 与半径r的关系 d⑦ r d⑧ r d⑨ r 公共点名称 ⑩____ ⑪______ 无 直线名称 ⑫____ ⑬____ 无 ＞ 0 切线 ＝ 1 交线 交点 ＜ 2 直线与圆的 位置关系 切点 与圆有关的位置关系 直线与圆的 位置关系 切线的判 定和性质 与圆有关的位置关系 直线与圆的 位置关系 切线长及 切线长定理 与圆有关的位置关系 名称 图形 内、外心 性质 三角形的 外接圆 三边垂直平分线的交点称为三角形的外心 三角形的外心到三角形⑲__________ 的距离相等 三角形的 内切圆 三条内角平分线的交点称为三角形的内心 三角形的内心到三角形⑳ 的距离相等 三边 三个顶点 三角形的外接 圆与内切圆　 与圆有关的位置关系 正多边形和圆 典例1 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2a，∠ABC＝60°，过点B的☉O与边AB，BC分别交于E，F两点.OG⊥BC，垂足为G，OG＝a.连接OB，OE，OF. (1)若BF＝2a，试判断△BOF的形状，并说明理由； (2)若BE＝BF，求证：☉O与AD相切于点A. 【答案】　(1)解：△BOF为等腰直角三角形.理由：∵OG⊥BF，BF＝2a，∴BG＝FG＝BF＝a.∵OG＝a，∴BG＝OG＝FG＝a，∴△BOG和△GOF为等腰直角三角形，∴∠BOG＝∠FOG＝45°，∴∠BOF＝90°.又OB＝OF，∴△BOF为等腰直角三角形. (2)证明：连接EF.∵∠EBF＝60°，BF＝BE，∴△BEF为等边三角形，∴EB＝EF.∵OG垂直平分BF，∴点E，O，G共线，即EG⊥BF.∵OG＝a，∠OBG＝30°，∴BG＝OG＝a，∴BE＝2BG＝2a，而AB＝2a，∴点A与点E重合.∵AD∥BC，AG⊥BF，∴AG⊥AD，∴☉O与AD相切于点A. 【解析】　(1)由垂径定理得BG＝FG＝a，则BG＝OG，FG＝OG，所以△BOG和△OFG是等腰直角三角形，则∠BOF＝90°，从而可判断△BOF为等腰直角三角形.(2)连接EF，先证明△BEF为等边三角形，再证明点E，O，G共线，即EG⊥BF，接着计算出BE＝2BG＝2a＝AB，则可判断点A与点E重合，然后证明AG⊥AD，从而得到☉O与AD相切于点A. 典例2 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则△ABC的内切圆半径r＝　　.  【答案】　1 【解析】　如题图，连接OD，OE，OF.在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4.根据勾股定理，得AB＝5，设△ABC的内切圆与三条边的切点分别为D，E，F，∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，可得矩形EOFC.根据切线长定理，得CE＝CF，∴矩形EOFC是正方形，∴CE＝CF＝r，∴AF＝AD＝AC－FC＝3－r，BE＝BD＝BC－CE＝4－r.∵AD＋BD＝AB，∴3－r＋4－r＝5，解得r＝1，则△ABC的内切圆半径r＝1. 1.(2024·淮北三模)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝8.以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在☉A内且点B在☉A外时，r的值可能是( ) A.6 B.8 C.10 D.12 B 2.(2024·亳州市模拟)已知☉O的半径是一元二次方程x2－3x－4＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝6，则直线l与☉O的位置关系是( ) A.相切 B.相离 C.相交 D.相切或相交 B 3.(2024·兰州)如图，△ABC内接于☉O，AB为☉O的直径，点D为☉O上一点，BC＝BD，延长BA至E，使得∠ADE＝∠CBA. (1)求证：ED是☉O的切线； (2)若BO＝4，tan∠CBA＝，求ED的长. (1)证明：连接OD，如图所示.∵AB为☉O的直径，∴∠BCA＝∠BDA＝90°.在Rt△BCA和Rt△BDA中，∴Rt△BCA≌Rt△BDA(HL)， ∴∠CBA＝∠DBA.∵在△BOD中，OD＝OB，∴∠DBA＝∠BDO，又∵∠ADE＝∠CBA，∴∠ADE＝∠DBA＝∠BDO.∵∠BDO＋∠ADO＝∠BDA＝90°，∴∠ADE＋∠ADO＝90°，即ED⊥OD.又∵OD为☉O的半径，∴ED是☉O的切线. (2)解：∵BO＝4，∴AB＝2OB＝8，∴EB＝AE＋AB＝AE＋8.∵tan∠CBA＝，又由(1)知∠CBA＝∠DBA，∴tan∠DBA＝.在Rt△ABD中，tan∠DBA＝，∴可设AD＝a，BD＝2a.∵∠ADE＝∠DBA，∠E＝∠E，∴△EAD∽△EDB，∴ED∶EB＝AE∶ED＝AD∶BD，即ED∶(AE＋8)＝AE∶ED＝a∶2a.由AE∶ED＝a∶2a，得AE＝ED；由ED∶(AE＋8)＝a∶2a，得2ED＝AE＋8，∴2ED＝ED＋8，∴ED＝. 考点　与圆有关的位置关系 1.(2024·安徽)如图，☉O是△ABC的外接圆，D是直径AB上一点，∠ACD的平分线交AB于点E，交☉O于另一点F，FA＝FE. (1)求证：CD⊥AB； (2)设FM⊥AB，垂足为M，若OM＝OE＝1，求AC的长. (1)证明：∵FA＝FE，∴∠FAE＝∠AEF.∵∠FAE与∠BCE都是所对的圆周角，∴∠FAE＝∠BCF.∵∠AEF＝∠CEB，∴∠CEB＝∠BCF.∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠DCE.∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACE＋∠BCE＝90°.∵∠BCE＝∠FAE，∠FAE＝∠AEF，∠AEF＝∠CEB，∴∠ACE＋∠CEB＝90°.又∵∠ACE＝∠DCE，∴∠DCE＋∠CEB＝90°.∴∠CDE＝90°，∴CD⊥AB. (2)解：由(1)知，∠BEC＝∠BCE，∴BE＝BC.∵AF＝EF，FM⊥AB，∴MA＝ME＝2，AE＝4，∴圆的半径OA＝OB＝AE－OE＝3，∴BC＝BE＝OB－OE＝2.在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝2，∴AC＝＝4. 【变式训练】 如图，AB为☉O的直径，C为☉O上一点，连接AC，BC，过点C作☉O的切线交AB延长线于点D，OF⊥BC于点E，交CD于点F. (1)求证：∠BCD＝∠BOE； (2)若sin∠CAB＝，AB＝10，求BD的长. (1)证明：如图，连接OC.∵AB为☉O的直径，∴∠OCA＋∠OCB＝∠ACB＝90°. ∵OC＝OA，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠OAC＋∠OCB＝90°.∵CD是☉O的切线，∴∠BCD＋∠OCB＝∠OCD＝90°，∴∠BCD＝∠OAC.∵OF⊥BC，∠OEB＝∠ACB＝90°，∴OE∥AC，∴∠BOE＝∠OAC，∴∠BCD＝∠BOE. (2)解：∵AB为☉O的直径，∴∠ACB＝90°.∵sin∠CAB＝，AB＝10，∴BC＝6，AC＝＝8.设BD＝x，则AD＝10＋x，由(1)得∠BCD＝∠CAD，∴△BCD∽△CAD，∴，即，∴9(10＋x)＝16x，解得x＝，∴BD的长为. 2.(2020·安徽节选)如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上不同于A，B的两点，AD＝BC，AC与BD相交于点F.BE是半圆O所在圆的切线，与AC的延长线相交于点E. (2)若BE＝BF，求证：AC平分∠DAB.［由(1)已知△CBA≌△DAB］ 证明：(2)方法一：∵BE＝BF，又由(1)知BC⊥EF，∴BC平分∠EBF.∵AB为半圆O的直径，BE为切线，∴BE⊥AB.于是，∠DAC＝∠DBC＝∠CBE＝90°－∠E＝∠CAB，故AC平分∠DAB. 方法二：∵BE＝BF，∴∠E＝∠BFE.∵AB为半圆O的直径，BE为切线，所以BE⊥AB.于是∠CAB＝90°－∠E＝90°－∠BFE＝90°－∠AFD＝∠CAD，故AC平分∠DAB. 3.(2018·安徽)如图，菱形ABOC的AB，AC分别与☉O相切于点D，E，若点D是AB的中点，则∠DOE＝　 　.  　60°　 第1题图 考点1　与圆有关的位置关系 1.(2024·广州)如图，☉O中，弦AB的长为4，点C在☉O上，OC⊥AB，∠ABC＝30°.☉O所在的平面内有一点P，若OP＝5，则点P与☉O的位置关系是( ) A.点P在☉O上 B.点P在☉O内 C.点P在☉O外 D.无法确定 C 2.(2024·上海)在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，点P在△ABC内，分别以A，B，P为圆心画圆，圆A半径为1，圆B半径为2，圆P半径为3，圆A与圆P内切，圆P与圆B的关系是( ) A.内含 B.相交 C.外切 D.相离 B 第3题图 考点2 　三角形的外接圆与外心 3.(2024·宜宾)如图，△ABC内接于☉O，BC为☉O的直径，AD平分∠BAC交☉O于D，则的值为( ) A. B. C.2 D.2 A 4.(2024·自贡)在Rt△ABC中，∠C＝90°，☉O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F. (1)图1中三组相等的线段分别是CE＝CF，AF＝　 　，BD＝　 　；若AC＝3，BC＝4.则☉O半径长为　 　；  (2)如图2，延长AC到点M，使AM＝AB，过点M作MN⊥AB于点N.求证：MN是☉O的切线. 　1　 　BE　 　AD　 (2)证明：过O作OH⊥MN于H，连接 OD.∵∠ANM＝90°＝∠ACB，∠A＝∠A，AM＝AB，∴△AMN≌△ABC(AAS)，∴AN＝AC.∵AD＝AF，∴AN－AD＝AC－AF，即DN＝CF，由(1)可知，CF＝OE，∴DN＝OE.∵∠ANM＝90°＝∠ODN＝∠OHN，∴四边形OHND是矩形，∴OH＝DN，∴OH＝OE，即OH是☉O的半径.∵OH⊥MN，∴MN是☉O的切线. 5.(2024·烟台节选)如图，AB 是☉O的直径，△ABC内接于☉O，点I为△ABC的内心，连接CI并延长交☉O于点D.E是上任意一点，连接AD，BD，BE，CE. (1)若∠ABC＝25°，求∠CEB的度数； (2)找出图中所有与DI相等的线段，并证明. (1)解：∵AB是☉O的直径，∴∠ACB＝90°.又∠ABC＝25°，∴∠CAB＝90°－25°＝65°.∵四边形ABEC是☉O的内接四边形，∴∠CEB＋∠CAB＝180°，∴∠CEB＝180°－∠CAB＝115°. (2)证明：如图，连接AI，∵点I为△ABC的内心，∴∠CAI＝∠BAI，∠ACI＝∠BCI＝∠ACB＝45°，∴，∴∠DAB＝∠DCB＝∠ACI，AD＝BD.∵∠DAI＝∠DAB＋∠BAI，∠DIA＝∠ACI＋∠CAI，∴∠DAI＝∠DIA，∴DI＝AD＝ BD. 第6题图 考点3 　切线的性质与判定 6.(2024·山西)如图，已知△ABC，以AB为直径的☉O交BC于点D，与AC相切于点A，连接OD.若∠AOD＝80°，则∠C的度数为( ) A.30° B.40° C.45° D.50° D 第7题图 7.(2024·福建)如图，已知点A，B在☉O上，∠AOB＝72°，直线MN与☉O相切，切点为C，且C为的中点，则∠ACM等于( ) A.18° B.30° C.36° D.72° A 8.(2024·济宁)如图，△ABC内接于☉O，D是BC上一点，AD＝AC.E是☉O外一点，∠BAE＝∠CAD，∠ADE＝∠ACB，连接BE. (1)若AB＝8，求AE的长； (2)求证：EB是☉O的切线. (1)解：∵∠BAE＝∠CAD，∴∠BAE＋∠BAD＝∠CAD＋∠BAD，即∠EAD＝∠BAC.又∵∠ADE＝∠ACB，AD＝AC，∴△ADE≌△ACB(ASA)，∴AE＝AB.∵AB＝8，∴AE＝8. (2)证明：如图，连接BO并延长，交☉O于点F， 连接AF.∵BF是☉O的直径，∴∠BAF＝90°， ∴∠AFB＋∠ABF＝90°.∵， ∴∠AFB＝∠ACB，∴∠ACB＋∠ABF＝90°. 在△ADC中，AD＝AC，∴∠ACB＝∠ADC，∴2∠ACB＋∠CAD＝180°.由(1)知AE＝AB，∴∠AEB＝∠ABE，∴2∠ABE＋∠BAE＝180°.∵∠BAE＝∠CAD，∴∠ACB＝∠ABE，∴∠ABE＋∠ABF＝90°，即∠OBE＝90°，OE⊥EB.∵OB为半径，∴EB是☉O的切线. 点与圆的位置关系 点A在圆内 点B在圆上 点C在圆外 图形 d与r的大小关系 d＝OA＜r d＝OB＝r d＝OC＞r $$