素养提升小题专项训练14：函数性质的综合应用-2026届高三数学一轮复习

素养提升小题专项训练14：函数性质的综合应用（培优） （高考第T7、T8、T10、T11、T14） 1. 单选题 1．（广东省“六校联盟”2026届高三上学期第一次联考T7）已知函数及其导函数定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】对于AB，若函数满足题设条件，则函数（为常数）也满足题设条件，故无法判断的函数值，故AB错误； 对于CD，若，均为偶函数， 则，的图象分别关于对称，即， 令，求导得， 所以，是常数，即的图象关于中心对称， 所以， 所以的周期为4，对求导得，，所以的周期也为4，故，只需求得的值即可， 而，求导得，令，可得， 所以，故C错误，D正确. 故选：D. 2. 定义在上的函数满足：，，，当时，，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 0 【答案】A 【解析】由可得中令可得， 又因为时，，又， 所以时，， 由可得， 因为，所以，所以, 故选：A 3. （改编题）若函数的定义域为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由，可得， 当时，数列是公差为2的等差数列，首项为， 所以，所以， 所以. 故选：C． 二、多选题 4.（四川省攀枝花市2025届高三第三次统一考试T11） 已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，是偶函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】由求导可得：， 因为，所以， 又因为是偶函数，所以， 由上两式可得，又可得， 又两式相减得：， 所以是一个周期为的周期函数，故C错误； 由可得， 又由可得，故A正确； 又由可得， 因为是一个周期为的周期函数，所以，故B正确； 由， 由，结合是一个周期为的周期函数，可得， 所以， 即，故D正确； 故选：ABD 5.（河北省石家庄市2025届高三下学期5月三模T10） 已知函数是定义在R上的偶函数，是定义在R上的奇函数，则（ ） A. 的图象关于点中心对称 B. 是周期为2的函数 C. D. 【答案】AC 【解析】对于A，因为是R上的奇函数，其图象关于原点对称， 又可看成是函数向左平移1个单位得到，所以的图象关于点中心对称，故A正确； 对于B，由是R上的奇函数，可得，即 ， 又，则，所以，故是周期为4的函数，故B错误； 对于 C，由，令，得，则， ，故C正确； 对于D，由，则，又，是周期为4的函数， 则， 而的值无法确定，故D错误. 故选：AC. 6. （重庆市巴蜀中学2026届高三上学期第一次适应性T10）设函数的定义域为R，且满足，为奇函数，则下列说法正确的是(     ) A．为偶函数 B．关于对称 C． D．的导函数的周期为10． 【答案】BCD 【解析】∵，函数为奇函数，故A不正确； ∵为奇函数，对恒成立， ∴，∴对恒成立，∴关于 对称，B正确； ∵， 函数是周期为8的周期函数， ∴．故C正确； 对于D，，∴，∴的周期为8， 故D正确。 7. 函数满足，且，，下列说法正确的有（ ） A. 为的一个周期 B. 为奇函数 C. D. 【答案】ABC 【解析】对于A，当有意义，且，时， 则，则， .当时，(无意义)， 可得,所以, 所以. 当时，, 可得,综上，总有. 故为的一个周期，故A正确； 对于B，，即，函数关于点对称. 又由为的一个周期，所以， 所以，故为奇函数，故B正确； 对于C，为奇函数，但无法直接判定有意义. 但已知，可得有意义，故有意义，, 所以分母不为零，有意义，从而,即, 所以，故C正确； 对于D，.因为， ，， 满足题设所有条件，但是不存在（），故D错误. 故选：ABC. 8. 已知是上的连续函数，满足有，且．则下列说法中正确的是（ ） A. B. 为偶函数 C. 的一个周期为6 D. 是的一个对称中心 【答案】BCD 【解析】因为，且的定义域为，关于原点对称，对于选项A：令，则，解得或， 若，令时，， 这与矛盾，故，故A错误； 对于选项B：令，则， 即，可知是偶函数，故B正确； 对于选项D：因为，，当时，，故，当时，，故， 当时，，又，故， 当时，， 所以，是的一个对称中心，故D正确； 对于选项C：因为，即，即，则， 所以，故是以6为周期的周期函数，故C正确； 故选：BCD. 9.（四川省成都市石室中学2024-2025学年高三上学期11月期中考试T11） 已知函数与及其导函数与的定义域均为.若为奇函数，，，则（ ） A. B. C. 曲线关于点中心对称 D. 【答案】ACD 【解析】对于A，令，令，则，A正确； 对于B，为奇函数，则为偶函数，则求不出，故B错误； 对于C，， 又，则，则关于中心对称. ，结合函数图象平移，关于中心对称，C正确； 对于D，由于为偶函数，结合C所得对称中心，知周期为2，且，， 又则，且 ， ， 则D正确. 故选：ACD 10.（江西省宜春市2025届高三下学期二模T11） 已知函数，对任意，均有，且，为的导函数，则（ ） A. B. 为偶函数 C. D. 【答案】ACD 【解析】， 令，得，解得； 令，则，又， 所以，得， 对于任意的都成立，所以为奇函数，故B错误； 令，得①， 把换成，得②， 又为奇函数，所以，又， 所以①②得，故D正确； 令，得， 所以，又， 所以，则， 所以函数的周期为4，得，故A正确； ，等式两边同时对求导， 得， 令，得，即③， 由，得，所以为偶函数， 由，得， 所以，所以函数的周期为4. 令，由③得，同理可得， 所以，故C正确. 故选：ACD 三、填空题 11. 已知偶函数的定义域为，且，则的值域为__________. 【答案】 【解析】对，令，则，解得；对，令，则，又为偶函数，，故，解得；又，故其值域为. 12. 已知函数的定义域为，，为偶函数，且，则______，______. 【答案】 ①. 1 ②. -2026 【解析】由得，，，∴，故是周期为的函数. ∵为偶函数，∴，∴， 令，得， 令，得.在中，令，得，∴. 令，得，故， 令，得，故.由函数的周期性得， 故答案为：1；-2026. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 素养提升小题专项训练14：函数性质的综合应用（培优） （高考第T7、T8、T10、T11、T14） 1. 单选题 1．已知函数及其导函数定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 2. 定义在上的函数满足：，，，当时，，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 0 3.若函数的定义域为，且，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题 4. 已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，是偶函数，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数是定义在R上的偶函数，是定义在R上的奇函数，则（ ） A. 的图象关于点中心对称 B. 是周期为2的函数 C. D. 6.设函数的定义域为R，且满足，为奇函数，则下列说法正确的是(     ) A．为偶函数 B．关于对称 C． D．的导函数的周期为10． 7. 函数满足，且，，下列说法正确的有（ ） A. 为的一个周期 B. 为奇函数 C. D. 9. 已知函数与及其导函数与的定义域均为.若为奇函数，，，则（ ） A. B. C. 曲线关于点中心对称 D. 10. 已知函数，对任意，均有，且，为的导函数，则（ ） A. B. 为偶函数 C. D. 三、填空题 11. 已知偶函数的定义域为，且，则的值域为__________. 12. 已知函数的定义域为，，为偶函数，且，则______，______. 学科网（北京）股份有限公司 $$