第13章 勾股定理 同步训练 2025-2026学年华东师大版（2024）数学八年级上册

第13章 勾股定理 一、单选题 1．下列长度的四组线段中，不能组成直角三角形的一组是（   ） A．8，15，17 B．10,24,26 C．，1 D．6，7，8 2．如图，一棵大树在离地面两处折断成了三段，中间一段恰好与地面平行，大树顶部落在离大树底部处，则大树折断前的高度是（   ） A． B． C． D． 3．如图所示，正方体的棱长为，一只蜘蛛从正方体的一个顶点爬行到另一个顶点，则蜘蛛爬行的最短距离的平方是（   ） A． B． C． D． 4．有下面三角形：①中，；②中，；③中，；④中，三边长分别为8，15，17．其中是直角三角形的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，等腰的底边，面积为，点在边上，且，是的垂直平分线，若点在上运动，则周长的最小值为（   ） A．6 B． C． D． 6．我国古代著作《周髀算经》中记载了“赵爽弦图”．如图是用四个全等的直角三角形拼接而成的，已知的周长等于14，正方形的边长是6，则正方形的面积为（   ） A． B．8 C．20 D． 7．如图，长为的橡皮筋放置在地面上，固定两端点和，然后把中点向上拉升至点，则橡皮筋被拉长了（    ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，平分，过点作交于点若，下列结论：①是等腰三角形；②；③；④，其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 9．如图，已知是的角平分线，，分别是和的高，，，则点E到直线的距离为 ． 10．如图，等边三角形的边长是，则高的长是 ． 11．如图，是等边三角形内的一点，且，，，将绕点顺时针旋转到位置．连接，则的度数为 ． 12．如图，在等腰三角形中，，是边上的中线，过点D作的角平分线交于点E，过点E作，垂足为点F，交于点G，若，，则 ． 13．如图，在中，，，点、、分别为、、上的动点，那么周长的最小值为 ． 三、解答题 14．定义：如果一个三角形中有两个内角、满足，那么我们称这个三角形为“近直角三角形”在中，，，，若是的平分线． (1)求证：为近直角三角形． (2)求的长． 15．如图所示，为边上一点，，，求证：为等腰直角三角形． 16．如图，，，，垂足分别为，，且，连接交于点．求证： (1)； (2)已知，，求的长． 17．如图，在中，，是边的垂直平分线，点在上，． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长． 18．如图，与均为等边三角形，，，连接，延长交于点． (1)求的度数； (2)求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．直接利用勾股定理的逆定理逐项判断即可得． 【详解】解：A、，能组成直角三角形，则此项不符合题意； B、，能组成直角三角形，则此项不符合题意； C、，能组成直角三角形，则此项不符合题意； D、，不能组成直角三角形，则此项符合题意； 故选：D． 2．D 【分析】本题考查了勾股定理和矩形性质的应用，通过构造直角三角形并利用勾股定理求解斜边长度，进而计算大树折断前的高度，解题的关键在于准确识别和应用几何图形的性质，特别是利用矩形对边相等及勾股定理进行线段长度的计算．通过作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求出折断部分的长度，再加上未折断部分的长度得到大树折断前的高度。 【详解】解：过点B作于点E，则， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， 在中，， ， 大树折断前的高度为． 故选：D． 3．D 【分析】本题考查了正方体的表面展开图、勾股定理，首先将正方体展开，根据正方体的棱长为，可得，，利用勾股定理即可求出蜘蛛爬行的最短距离的平方． 【详解】解：如下图所示，把正方体展开， 正方体的棱长是， ，， ， 蜘蛛爬行的最短距离的平方是． 故选： D． 4．C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理，根据三角形内角和定理、勾股定理的逆定理即可判断． 【详解】解：①中， 即 ∵， ∴， ∴是直角三角形； ②中，， ∵， ∴， ∴不是直角三角形； ③∵中， ∴， 即是直角三角形； ④∵中，三边长分别为8，15，17． ∴， 即是直角三角形； ∴是直角三角形的有3个， 故选：C． 5．D 【分析】连接，，过点作于点H．证明，求出可得结论． 【详解】解：连接，，过点作于点H． ∵等腰的底边，面积为， ， ∴， ∵， ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵垂直平分线段， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∴的周长的最小值为， 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称-最短问题，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，正确作出辅助线解决问题． 6．B 【分析】本题考查了勾股定理，完全平方公式的应用，根据勾股定理并结合已知可得出，，根据完全平方公式变形可求出，，即可求解． 【详解】解：∵的周长等于14，正方形的边长是6， ∴，， ∴ ∴， 由题意知：， ∴， ∴正方形的面积为8， 故选：B． 7．A 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，理解被拉长部分并转化为几何线段计算是解题的关键．根据勾股定理，可求出、的长，则即为橡皮筋拉长的距离． 【详解】解：中，，； 根据勾股定理，得：； ∴； ∴橡皮筋被拉长了. 故选：A． 8．C 【分析】根据平行线的性质，角的平分线定义，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角形面积计算等解答判定即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴, ∴是等腰三角形； 故①正确； 过点D作于点F， ∵平分，，， ∴， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， 故③正确； ∵，， ∴， 设，则， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故④正确； 无法证明， 故②错误， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，角的平分线，直角三角形的面积公式，角的平分线性质定理，熟练掌握勾股定理，角平分线性质定理，平行线的性质是解题的关键． 9． 【分析】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，勾股定理，过作于，由角平分线的性质得到，由勾股定理求出，由三角形面积公式得到，则，因此，即可得到点到直线的距离为． 【详解】解：过作于， ∵是的角平分线，，分别是和的高， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 点到直线的距离为． 故答案为：． 10． 【分析】根据题意，得，利用勾股定理解答即可． 本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：∵等边三角形的边长是，高为， ∴，， ∴， 故答案为：． 11．/度 【分析】本题考查旋转的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是勾股定理逆定理的应用．首先证明为等边三角形，得，由可得，在中，已知三边，用勾股定理逆定理得出，可求的度数，由此即可解决问题． 【详解】解：连接，由题意可知 则，，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 又∵，，， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．连接，证明，得，从而求得的长；由面积法求得的长，由勾股定理求得的长，最后即可求得的长． 【详解】解：如图，连接， ∵平分， ∴； ∵，是边上的中线， ∴，， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； 在与中， ， ∴， ∴， ∴； 由勾股定理得：； ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴． 故答案为：． 13． 【分析】本题考查轴对称最短问题，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称的性质解决最短问题，连接，作点关于，的对称点，，连接，，，分别交，于点，，连接，，此时的周长最小，最小值为的长，再根据垂线段最短，得到时，的值最小，进行求解即可． 【详解】解：在中，，， ∴是等边三角形， 如图，连接，作点关于，的对称点，，连接，，，分别交，于点，，连接，，此时的周长最小，最小值的长．过点A作于点． ，，， ， ， ， ∴， ∴ ， ， 最小时，的值最小， 当时，的值最小， 此时， ∴， ∴ 的最小值为， 的周长的最小值为， 故答案为：． 14．(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，角平分线的定义，关键是掌握题目中“近直角三角形”的定义；判定，推出，；由勾股定理列出关于的方程 (1)由直角三角形的性质推出，即可证明为近直角三角形． (2)过作于，判定，推出，，由勾股定理求出，得到，设，由勾股定理得到，求出，得到． 【详解】（1）证明：， ， 平分， ， ， 为近直角三角形． （2）解：过作于， ， 平分， ， ， ∴， ，， ，，， ， ， 设，则， ， ， ， ， ． 15．见解析 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，全等三角形的性质，等腰三角形的判定；根据全等三角形的性质得出，，，根据勾股定理的逆定理得出，求出，即可求出答案． 【详解】证明：， ，，， ， ， ， ， ， ﹣， ， 是等腰直角三角形． 16．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）证明得出，即可得证； （2）证明，得出，，求出，再由勾股定理可得，即可得解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即； （2）解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，，，， ∴， ∴， ∴． 17．(1)见解析 (2)8 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质定理，含角的直角三角形的性质，等边三角形的判定，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）利用线段的垂直平分线的性质和等角对等边得出相等的线段，利用三角形的内角和定理求出角的度数，进而可得出等边三角形； （2）过点作，交于点，利用勾股定理和含角的直角三角形的性质求出相关线段的长度，然后利用等腰三角形的性质以及线段的和差即可求解． 【详解】（1）证明：∵是边的垂直平分线， ∴， ∵， ， ， ， ， ， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：如图，过点作，交于点， ∵是边的垂直平分线， 是直角三角形， 在中，， ∴，， ∵， ∴是直角三角形， ∴ ∴在中，， ∴， 由（1）得， ∴是等腰三角形， 根据三线合一得，， ∴． 18．(1)； (2)见解析 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，正确理解题意是解题的关键： （1）根据等边三角形的性质得出，，，证明，求出，进而得出答案； （2）过点作于点，过点作，交的延长线于点设，则，，根据勾股定理得出，求出．得出，进而得出结论． 【详解】（1）解：与均为等边三角形， ，，， ， ， ， ， ； （2）证明：过点作于点，过点作，交的延长线于点 设，则，， ∴， ，， ， ． ，， ， ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$