2.2用配方法求解一元二次方程第1课时（教学设计）数学北师大版九年级上册

2.2用配方法求解一元二次方程第1课时教学设计 1.教学内容 本节课选自北师大版九年级上册第二章“用配方法求解一元二次方程”的第1课时，主要讲解如何运用“直接开平”与“配方法”来求解形如(x+m)2＝n (n>0)以及二次项系数为 1 的一元二次方程。内容围绕平方根的意义、完全平方公式等基础知识展开，并通过移项、配方、开方等步骤将方程转化为可直接开平方或可配成完全平方的形式。 2.内容解析 首先，通过 x²=a形式引入直接开平方法，强调当 a≥0 时才有实数解；接着介绍将方程转化为(x+m)2＝n (n>0)并开平方求解。然后重点讨论配方法的思想和步骤：先移项，再在等号两边同时加“一次项系数一半的平方”，使左边成为完全平方，从而开平方得到解。本节强调方程变形技巧和多样化求解思路，为后续公式法、因式分解法打下基础。 1.教学目标 1. 会用直接开平方法解形如(x+m)2＝n (n>0)的一元二次方程。 2. 理解配方法的基本思路。 3. 会用配方法解二次项系数为 1 的一元二次方程。 2.目标解析 • 通过复习平方根和完全平方公式，让学生熟练掌握 x²＝a 的解法； • 借助已会解的特殊方程经验，内化配方法的本质，即“配成完全平方再开平方”； • 结合典型例题和变式练习，帮助学生形成灵活转化方程的能力，并明确开平方时的正负根要点。 学生在前期已掌握一元一次方程及整式运算基础，对平方根与完全平方公式相对熟悉，能够解形如 x²＝a 的简单方程。但对于配方法需进一步理解“配”的关键与步骤，尤其在实际问题中灵活建模、准确变形的能力存在不足。因此本节难点是让学生顺利将一般方程转化为完全平方形式并正确处理正负根。 1.复习回顾 师生共同回顾“平方根”与“完全平方公式” 1.平方根的定义是什么？ 一般地，如果一个数 的平方等于 ，即 ，那么这个数 叫做 的平方根。正数 的平方根记作 。 2. 开平方运算 直观呈现数学表达式从到的转化过程，向学生清晰说明开平方运算其实是平方运算的逆运算 。 3.完全平方公式： 2.情景引入 在前面学习的问题情境中，梯子底端滑动的距离 （单位：m）满足方程 我们已经求出了它的近似值，能否用新方法求出它的精确值？ 【设计意图】通过生活情境（梯子滑动问题）与旧知回顾（平方根与完全平方公式），唤起学生对“如何解形如的方程”和“如何通过配方法转化为完全平方形式”的思考，激发求解欲望，明确新课方向。 探究点1　直接开平方法解一元二次方程 1.问题探究 师：我们先看一些特殊形式，如 、 等。它们都能整理为 ，且 。如何求解？ 2．新知导出 · 理论依据：根据平方根的意义，若 ，则 （） · 注意：当 时，方程无实数根；当 时，只有一个相等实数根。 3．师生活动 · 教师演示： ； 的解法。 · 学生分组讨论、总结出：能直接化成 形式时，可直接开平方求解。 【设计意图】通过典型示例引导学生体会“直接开平”方法的适用前提、步骤与注意事项，帮助学生建立对“形如”方程的直观认识，学习过程由易到难，层次分明。 练一练 1.利用直接开平方法解下列方程: (1) =18； (2) －900=0； (3) = 2. 解:(1)两边开平方,得x=, ∴ x=, ∴x1=, x2=－. (2)移项,得 x2=900 两边开平方,得x=±30， ∴x1=30, x2=－30. (3)两边开平方，得 x+1=, 即x+1=或x+1=, ∴x1=, x2=－. 总结归纳 应用直接开平方法解一元二次方程的注意事项： 1.采用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的意义，直接开平方法只适用于能转化为x2=a或（mx＋n）2= a（a≥0）的形式的方程，可得方程的根为x=或mx＋n=. 2.利用直接开平方法解一元二次方程时，只有当a为非负常数时，方程才有解，并且要注意开方的结果有“正、负”两种情况. 探究点2用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 1．问题引入 师：如果方程不能直接化为 或 ，该怎么办？如 ，我们如何转化为“某个完全平方”形式？ 2．新知导出 · 关键思路：通过“配方”将一元二次方程形如 转化为 。 · 具体步骤： 1. 移项：将常数项移至方程另一边； 2. 加“配方项”：在两边同时加 ； 3. 形成完全平方式：； 4. 开平方并求解。 3．例题展示 （1）你还能用直接开平方法解下列一元二次方程吗？如何将方程变形为x2=a的形式呢？ · 题目1 用配方法解方程： x2+2x+1=5 解：①x2+2x+1=5 (x+1)2=5 开平方,得 x+1= 即x+1=或x+1= ∴x1=1， x2=-. · 题目2 用配方法解方程：（x+6）2+72=102 · 解析步骤 ②（x+6）2+72=102 (x+6)2=102-72 (x+6)2=51 · 开平方,得 x+6= · 即x+6=或x+6= · ∴x1=6， x2=. （2）你能解方程x2+12x-15=0吗？你遇到的困难是什么？你能设法将这个方程转化成上面方程的形式吗？与同伴进行交流. 我们可以将方程x2+12x-15=0转化为 (x+6)2=51， 两边开平方，得x+6= 因此我们说方程x2+12x-15=0有两个根x1=6， x2=. 这里，解一元二次方程的思路是将方程转化为 ( x + m) 2 = n 的形式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数，当 n ≥0 时，两边同时开平方，转化为一元一次方程，便可求出它的根. 【设计意图】通过配方步骤的逐一展示，让学生在“移项—配方—开方—求解”中感受配方法的逻辑与简洁，解决“二次项系数为1”时的解题难点，培养抽象概念理解与推理表达能力。 练一练 填上适当的数，使下列等式成立： x2+12x+ 62 = ( x + 6) 2 ； x2-4x+ 22 = ( x - 2 ) 2 ； x2+8x+ 42 = ( x + 4 )2． 知识归纳 配方的方法: 二次项系数为1的完全平方式：常数项等于一次项系数一半的平方. 思考：对于形如 x2+ax 的式子如何配成完全平方式？ x2+ax+( )2=(x+ )2 怎样解方程: x2+8x-9=0？ 解：移项：可以把常数项移到方程的右边，得x2+8x=9, 配方：两边都加42(一次项系数8的一半的平方),得x2+8x+42=9+ 42，x2+8x+42=9+ 42， 即（x+4)2=25, 开方：两边开平方，得x+4=±5, 求解：即x+4=5，或x+4=5，所以x1=1，x1=9. 知识归纳 配方法的定义: 像上面这样通过配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法. 配方法的关键： 在形如a的两边同时加一次项系数一半的平方，即. 可化为 ( x + m) 2 = n的形式的一元二次方程的根 一般的，对于方程 ( x + m) 2 = n, （1）当n>0 时，方程 ( x + m) 2 = n有两个不等的实数根 x1=，x2=m； （2）当n=0 时，方程 ( x + m) 2 = n有两个相等的实数根x1=x2=m； （3）当n<0 时，方程 ( x + m) 2 = n无实数根. 练一练 2.已知x2-8x+15=0，左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是（B） A．x2-8x+（-4）2=31 B．x2-8x+（-4）2=1 C．x2+8x+42=1 D．x2-4x+4=-11 典例分析 例1：用直接开平方法解下列方程： (1)x2－16＝0;  (2)3x2－27＝0； (3)(x－2)2＝9;  (4)(2y－3)2＝16. 解：(1)移项，得x2＝16. 两边开平方,得x＝±4， 所以 x1＝4，x2＝－4. (2)移项，得3x2＝27. 两边同时除以3，得x2＝9. 两边开平方,得x＝±3， 所以 x1＝3，x2＝－3. (3)两边开平方,得 x－2＝±3， 即x－2＝3或x－2＝－3， 所以 x1＝5，x2＝－1. (4)两边开平方,得2y－3＝±4， 即2y－3＝4或2y－3＝－4， 所以 y1＝，y2＝－. 例2：用配方法解方程：x2＋2x－1＝0. 解：移项，得x2＋2x＝1. 配方，得x2＋2x＋()2＝1＋()2， 即(x＋1)2＝2. 开平方，得x＋1＝±. 解得x1＝－1，x2＝－－1. 1.下列方程可用直接开平方法求解的是(A) A． x2＝4 B．4 x2－4x －3＝0 C． x2－3x ＝0 D． x2－2x －1＝9 2.下列解方程的过程中，正确的是（D） A. x2=-2,解方程，得x=± B. (x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4 C. 4(x-1)2=9,解方程，得4(x-1)= ±3, x1=;x2= D. (2x+3)2=25,解方程，得2x+3=±5, x1= 1;x2=-4 3.一元二次方程x2-6x-6＝0配方后为　(A) A.(x-3)2＝15　　B.(x-3)2＝3　　C.(x+3)2＝15　   　D.(x+3)2＝3 4.用配方法解方程x2-3x-3＝0时，配方结果正确的是(D  )   A.(x-3)2＝3 B.(x-)2＝3 C.(x-3)2＝ D.(x-)2＝ 5.若一元二次方程x2+bx+5=0配方后为(x-3)2=k，则 b，k的值分别为( C ) A.6，13 B.6，4 C.-6，4 D.-6，13 6.若关于x的一元二次方程(x-3)2＝c有实数根，则c的值可以为 25 （写出一个即可）. 7.把x2-4x+1化为(x+h)2+k（其中h，k是常数）的形式，是 (x-2)2-3 . 8.把方程x2+6x+3=0变形为(x+h)2=k的的形式后，h= 3 ，k= 6 . 9.解下列方程： (1)(3x＋2)2＝25； (2)3(x＋1)2＝； （3）x2+4x-9=2x-11； （4）x(x+4)=8x+12； 解：(1)开平方，得3x＋2＝ ± 5， 即 3x＋2＝5或3x＋2＝－5， ∴x1＝1，x2＝－. (2)方程两边都除以3，得(x＋1)2＝， 开平方，得x＋1＝± ， 即x＋1=或x＋1 ∴x1＝－，x2＝－. 　　 (3) x2+2x+2=0， (x+1)2=-1. 此方程无解. (4) x2-4x-12=0， (x-2)2=16. x1=6,x2=-2. 10.如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8m，CB=6m，点P、Q同时由A，B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，问几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半？ 解：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半． 根据题意，得 整理，得x2-14x+24=0, 即(x-7)2=25,解得x1=12，x2=2， x1=12，x2=2都是原方程的根，但x1=12不合题意，舍去． 所以2秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半． （设计意图：1. 通过几何与代数相结合的真题，让学生了解如何将实际问题转化为一元二次方程，体会方程在测量、工程、物理等情境中的重要应用； 2. 从“何时半面积”这一问题切入，鼓励学生用“设未知数—建立方程—运用配方法求解—检验解的有效性”的思维方式解决综合性问题。） （设计意图：通过不同难度层次的练习，全面检验学生对知识的掌握情况，巩固方程解的判断方法和求解技巧，及时发现学生在学习过程中存在的问题，并进行有针对性的查漏补缺。） （教学建议：让学生独立完成练习后，同桌之间相互检查答案。教师针对错误率较高的题目进行集中讲解，特别要强调在实际问题中，解的合理性至关重要.） (设计意图：帮助学生系统梳理本节课的知识体系，强化重点内容，培养学生的总结归纳能力，使学生构建起清晰的知识框架。) (教学建议：采用 “学生先说，教师后补” 的方式，鼓励学生用自己的语言表达学习收获。对于学生遗漏的要点，教师通过提问的方式引导学生回忆，例如 “我们运用了什么方法来求得方程的近似解呢？”) 1.必做题：习题2.3第1-2题。 2.探究性作业：习题2.3第3题。 （设计意图：巩固学生对本课核心知识点的掌握，兼顾基础练习与思维延伸。） （一）学习目标 1. 会用直接开平方法解形如 (² = n 的方程； 2. 理解配方法的基本思路； 3. 会用配方法解二次项系数为 1 的一元二次方程。 （二）知识回顾 1. 平方根的意义； 2. 完全平方公式 a² ± 2ab + b² = ²。 （三）新知探究 1. “直接开平方”法（举例：x² = 5）； 2. “配方法”步骤：移项 → 配方 → 开方 → 求解（举例：x² + 8x - 9 = 0）。 （四）典型例题与变式 例：x² + 2x - 1 = 0。 （五）小结与作业 本节课围绕“直接开平方法”和“配方法”解一元二次方程展开，学生对开平方法的理解较为熟练，但仍有部分同学在判断 a ≥ 0 时容易遗漏正负号。配方法的教学中，通过“移项—配方—开方—求解”四个环节的示范，大部分学生能独立完成二次项系数为 1 的一元二次方程求解。教学目标基本达成，但在应用情境中（如几何模型、实际问题）建立方程时，学生仍需更多引导与练习，以提高灵活运用能力。后续教学中，我将增加小组讨论环节，让学生在尝试过程中进一步巩固配方法与方程建模的深度理解。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$