精品解析：云南省昆明市云南民族大学附属高级中学高2025-2026学年高二上学期开学考试数学试卷

云南民族大学附属高级中学高2024级高二上学期开学考数学试卷答案 （考试时间 120 分钟，满分 150 分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、班级、考场/座位号在答题卡上填写清楚.并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数z满足，则的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 3. 若向量 满足 ，且 ，则向量 和向量 的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 已知是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，以下判断正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 已知直线，从点射出的光线经直线反射后经过点，则光线从到的路程为（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 6. 函数满足：，若，，则（ ） A. 1 B. C. 5 D. 7. 已知圆的方程为，为圆上任意一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 定义域为的偶函数在上单调递减，且，若关于的不等式的解集为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在某班级的一次测验后，随机抽取7名同学的成绩作为样本，这7名同学的成绩分别为78，80，81，84，87，88，90，则（ ） A. 估计这次考试全班成绩的平均分为87 B. 从样本中任取两人的成绩，均大于平均分的概率是 C. 样本的分位数是88 D. 当该样本中加入84形成新样本时，新样本方差小于原样本方差 10. 已知函数的最小正周期为，则下列结论正确的是（ ） A. 直线是函数图象的一条对称轴 B. 函数在区间上的最大值为 C. 函数在区间上单调递增 D. 将函数图象上所有的点向左平移个单位，得到的图象 11. 在边长为的正方体中，动点在棱上，动点在棱上，满足．以下对运动过程的描述，正确的是（ ） A. 存在，满足 B. 存在，使与所成角的余弦值为 C. 点到平面的距离为定值 D. 四面体的体积为定值 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线，若且，则__________. 13. 已知，，则________． 14. 在正四面体中，取棱上一点T，使，连接，三棱锥的内切球的球心为M，三棱锥的内切球的球心为N，则平面与平面的夹角的正弦值是__________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知内角所对的边分别为，． （1）求； （2）若，，求的周长． 16. 已知顶点、、. （1）求边的垂直平分线的方程； （2）若直线过点，且的纵截距是横截距的2倍，求直线的方程. 17. 已知函数. （1）求函数的最小正周期及单调递增区间； （2）当时，求的最值及取得最值时的值. 18. 科技进步能够更好地推动高质量发展，如人工智能中的DeepSeek．小明、小华两位同学报名参加某公司拟开展的DeepSeek培训，培训前需要面试，面试时共有3道题目，答对2道题则通过面试（前2道题都答对或都答错，第3道题均不需要回答）．已知小明答对每道题目的概率均为，小华答对每道题目的概率依次为，且小明、小华两人每道题能否答对相互独立．记“小明只回答2道题就结束面试”为事件，记“小华3道题都回答且通过面试”为事件． （1）求事件发生的概率； （2）求事件和事件同时发生的概率； （3）求小明、小华两人恰有一人通过面试的概率． 19. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，E为的中点，点F在线段上，且． （1）求证：平面； （2）求平面和平面的夹角的余弦值； （3）设点G在线段上，且，判断直线是否在平面内？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南民族大学附属高级中学高2024级高二上学期开学考数学试卷答案 （考试时间 120 分钟，满分 150 分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、班级、考场/座位号在答题卡上填写清楚.并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出，再求出交集即可. 【详解】由，可得，解得， 所以，所以或， 所以或. 故选：C. 2. 若复数z满足，则的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知有，确定对应点的轨迹，再应用圆上点到定点距离范围的求法得到的范围. 【详解】由，即对应点在以复平面的原点为圆心，1为半径的圆上， 由表示上述圆上点到点的距离，结合圆的性质，易知. 故选：D 3. 若向量 满足 ，且 ，则向量 和向量 的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量垂直、数量积的运算可得答案. 【详解】因为 ，所以， 即， 可得，因为，所以. 故选：C. 4. 已知是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，以下判断正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间线线，线面，面面的位置关系逐项判断即可结论. 【详解】若，则或或或，故A错误； 若，则或，故B错误； 若，在内作，所以，又，所以， 又，所以，所以，故C正确； 若，则或或为异面直线，故D错误. 故选：C. 5. 已知直线，从点射出的光线经直线反射后经过点，则光线从到的路程为（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】求出关于直线的对称点的坐标，再求得的长即得． 【详解】设点关于直线的对称点为，则有解得， 因为光线从到的路程即的长，而.所以光线从到的路程为5. 故选：C． 6. 函数满足：，若，，则（ ） A. 1 B. C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析函数的周期性，利用函数的周期性求的值. 【详解】由题意可得：， 用代替可得：， 两式相加得：. 所以，所以函数是以6为周期的周期函数. 所以. 又，所以. 所以. 所以. 故选：D 7. 已知圆的方程为，为圆上任意一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将圆的方程化为标准式，表示圆上的点与点的连线的斜率，求出过点与圆相切的切线的斜率，即可求出的取值范围. 【详解】圆的方程为，即，圆心为，半径， 则表示圆上的点与点的连线的斜率， 过点作圆的切线方程， 显然，切线斜率存在，设切线方程为，即． 则，解得， 所以的取值范围为． 故选：C． 8. 定义域为的偶函数在上单调递减，且，若关于的不等式的解集为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由为偶函数可得，转化题设不等式为，结合单调性分析易得的解集为，的解集为，再结合题意可得5为方程的根，进而得到，进而结合基本不等式求解即可. 【详解】因为为偶函数，所以，则， 由， 得， 又因为函数在上单调递减，且， 则函数在上单调递增， 则时，，当时，， 则当时，， 当时，， 所以的解集为，的解集为， 由于不等式的解集为， 当时，不等式为， 此时解集为，不符合题意； 当时，不等式解集为， 不等式解集为， 要使不等式的解集为， 则，即； 当时，不等式解集为， 不等式解集为， 此时不等式的解集不为； 综上所述，， 则， 当且仅当，即，时等号成立， 即的最小值为. 故选：C 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在某班级的一次测验后，随机抽取7名同学的成绩作为样本，这7名同学的成绩分别为78，80，81，84，87，88，90，则（ ） A. 估计这次考试全班成绩的平均分为87 B. 从样本中任取两人的成绩，均大于平均分的概率是 C. 样本的分位数是88 D. 当该样本中加入84形成新样本时，新样本方差小于原样本方差 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项根据平均数公式计算，B选项根据古典概型的公式求解，C选项根据百分位数的定义计算，D选项根据方差的计算公式分析. 【详解】对于A，样本的平均分为， 所以估计这次考试全班成绩的平均分为84，故A错误； 对于B，从样本中任取两人的成绩有种不同的取法， 从成绩大于平均分的3名同学中任取2人有种不同的取法， 所以从样本中任取两人的成绩，均大于平均分的概率是，故B正确； 对于C，因为，所以样本的分位数是第6个数据，故C正确； 对于D，当该样本中加入形成新样本时，新数据平均数不变， 由方差公式可知新样本方差小于原样本方差，故D正确. 故选：BCD. 10. 已知函数的最小正周期为，则下列结论正确的是（ ） A. 直线是函数图象的一条对称轴 B. 函数在区间上的最大值为 C. 函数在区间上单调递增 D. 将函数图象上所有的点向左平移个单位，得到的图象 【答案】AD 【解析】 【分析】根据周期公式先算出，由代入检验法判断A选项，根据正弦函数的最值，单调性判断BC，先求出平移后的解析式然后判断D. 【详解】因为函数的最小正周期为，所以，解得， 所以，则， 所以直线是函数图象的一条对称轴，故A正确； 当，则， 所以当，即时取得最大值，故B错误； 当，则，因为在上不单调， 所以在区间上不单调，故C错误； 将函数图象上所有的点向左平移个单位得到的图象，故D正确. 故选：AD 11. 在边长为的正方体中，动点在棱上，动点在棱上，满足．以下对运动过程的描述，正确的是（ ） A. 存在，满足 B. 存在，使与所成角的余弦值为 C. 点到平面的距离为定值 D. 四面体的体积为定值 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设，，，由关系证明，由此可得，令，求，判断A，令与所成角的余弦值为，求判断B，取的不同位置，说明点到平面的距离不相等判断C，结合锥体体积公式求四面体的体积判断D. 【详解】以点为原点，，，为，，轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，，，，． 因为点在上，故可设点的坐标为； 点在上，设点的坐标为，． 所以，． 因为，所以，得， 因此，点坐标为，其中． 若，则，故， 又，， 所以， 所以，即存在，满足，A正确； 因为，， 所以， 若与所成角的余弦值为，则， 化简可得，所以， 所以存在，使与所成角的余弦值为，B正确； 设平面的法向量为， 则，又，， 所以，设，则，， 所以为平面的一个法向量， 又， 所以点到平面的距离为， 当或时，， 当时，，故不为定值，C错误； 四面体，即三棱锥的底面的面积为定值， 又平面， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离， 故三棱锥的体积恒为定值，故D正确． 故选：ABD． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线，若且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由两直线平行和垂直关系求解. 【详解】因为直线，且， 所以，解得，经检验成立， 因为直线，且， 所以，解得， 所以. 故答案为： 13. 已知，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，切化弦，再利用和差角的余弦公式求解. 【详解】依题意，，则， 由，得，解得， 所以. 故答案为： 14. 在正四面体中，取棱上一点T，使，连接，三棱锥的内切球的球心为M，三棱锥的内切球的球心为N，则平面与平面的夹角的正弦值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】画出立体图形和截面图形，结合题意分别确定的位置，再由几何关系求出正弦值. 【详解】 设三棱锥的内切球分别与面、面相切于两点， 易知平分，平分，易知， 取中点为，则在的平分线上， 同理三棱锥的内切球球心在的角平分线上， 易知面，故，同理， 于是为平面与平面的夹角的平面角， 设正四面体棱长为，则，， 所以. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知内角所对的边分别为，． （1）求； （2）若，，求的周长． 【答案】（1） （2）15 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，及二倍角公式化简求解； （2）由得，结合余弦定理求得，得解. 【小问1详解】 由正弦定理及二倍角公式得， 因为，所以，，故， 所以. 【小问2详解】 由，得，则， 由余弦定理得， 所以，故， 所以周长为. 16. 已知顶点、、. （1）求边的垂直平分线的方程； （2）若直线过点，且的纵截距是横截距的2倍，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据，，即可得的中点及斜率，进而根据点斜式可得其垂直平分线方程； （2）当直线过坐标原点时可直接求得直线方程；当直线不过坐标原点时，可根据直线的截距式进行求解. 【小问1详解】 由、可知中点为，且， 设边的垂直平分线的斜率为， 所以垂直平分线斜率满足，即， 所以边的垂直平分线的方程为，即； 【小问2详解】 当直线过坐标原点时，其斜率，此时直线方程为，符合题意； 当直线不过坐标原点时，由题意设直线方程为， 由过点，则，解得， 所以直线方程为， 综上所述，直线的方程为或. 17. 已知函数. （1）求函数的最小正周期及单调递增区间； （2）当时，求的最值及取得最值时的值. 【答案】（1）最小正周期为π，单调增区间为 （2）当时，的最大值为0，当时，的最小值为 【解析】 【分析】（1）由三角恒等变换得，再求函数的最小正周期和单调区间； （2）由题知，再整体代换求解即可得答案. 【小问1详解】 解： . 所以最小正周期为， 令，解得 所以函数的单调增区间为. 【小问2详解】 解：因为，所以， 所以当时，的最大值为0，当时，的最小值为 所以当时，的最大值为0，当时，的最小值为 18. 科技进步能够更好地推动高质量发展，如人工智能中的DeepSeek．小明、小华两位同学报名参加某公司拟开展的DeepSeek培训，培训前需要面试，面试时共有3道题目，答对2道题则通过面试（前2道题都答对或都答错，第3道题均不需要回答）．已知小明答对每道题目的概率均为，小华答对每道题目的概率依次为，且小明、小华两人每道题能否答对相互独立．记“小明只回答2道题就结束面试”为事件，记“小华3道题都回答且通过面试”为事件． （1）求事件发生的概率； （2）求事件和事件同时发生的概率； （3）求小明、小华两人恰有一人通过面试的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）若事件发生，则小明前两题都答对或都答错，利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得的值； （2）若事件发生，则小华前两题答对一题，答错一题，第三题答对，求出的值，分析可知，事件、相互独立，由独立事件的概率公式可求得的值； （3）记小明没有通过面试为事件，小华通过面试的事件记为，求出这两个事件的概率，记小明、小华两人恰有一人通过面试的事件记为，则，利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得的值. 【小问1详解】 若事件发生，则小明前两题都答对或都答错， 所以． 【小问2详解】 若事件发生，则小华前两题答对一题，答错一题，第三题答对， 根据题意则小华3道题都回答且通过面试的概率为， 由题意可知，事件相互独立， 则． 【小问3详解】 记小明没有通过面试为事件， 即分前两道回答对一道且最后一道错误或前两道均回答错误两种情况， 则小明没有通过面试的概率为， 可得小明通过面试的概率为． 记小华通过面试的事件为，由（2）得， 由题意可知，事件相互独立， 记小明、小华两人恰有一人通过面试的事件为， 则． 19. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，E为的中点，点F在线段上，且． （1）求证：平面； （2）求平面和平面的夹角的余弦值； （3）设点G在线段上，且，判断直线是否在平面内？请说明理由． 【答案】（1） 因为平面，平面，则，又， 都在平面内，所以平面； （2）； （3） 直线在平面内，理由如下： 因为点在上，且，， 所以，， 由（2）知平面的一个法向量为，所以， 所以直线在平面内. 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质有，再由线面垂直的判定证明结论； （2）构建合适的空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，应用向量法求夹角余弦值即可； （3）根据（2）得到，应用空间向量数量积的坐标运算得到，即可得结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在平面内过点作的垂线交于点， 平面，平面，则， 构建如下图示的空间直角坐标系，则， 因为为的中点，所以，故， 所以，， 设平面的一个法向量为，则，取则， 平面的一个法向量为，则， 所以平面和平面的夹角的余弦值； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $