13.3与三角形有关的内角与外角（二阶）课时进阶测试2025-2026学年人教版（2024）八年级数学 上册

13.3与三角形有关的内角与外角（二阶）-人教版（2024）八年级上册数学课时进阶测试 一、选择题 1．如图，在中，，，是的外角，则的度数是（　　） A． B． C． D． 2．如图，，则等于（　　） A． B． C． D． 3．如图，中，与的角平分线交于点，若，则（　　） A． B． C． D． 4．如图，小明从一张三角形纸片ABC的AC边上选取一点N，将纸片沿着BN对折一次使得点A落在A'处后，再将纸片沿着BA'对折一次，使得点C落在BN上的C'处，已知∠CMB＝68°，∠A＝18°，则原三角形的∠C的度数为（　　） A．87° B．84° C．75° D．72° 5．如图，直线，，，则（　　） A． B． C． D． 6．在△ABC中，∠A=50°，∠B=30°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为（　　） A．60° B．10° C．45° D．10°或60° 7．在直角三角形中，，的平分线交于点，的平分线交于点，、相交于点，过点作，过点作于点，有以下结论：①；②；③平分；④，其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．如图，中，的三等分线分别与的平分线交于点，，若，，则的度数为（　　）． A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，在中，，点是和的角平分线的交点，则　 　． 10．我们知道在光的反射现象中，当光照射到平面镜上时反射角等于入射角．现有一束光线经过三块平面镜反射， 光路如图所示， 当时， 　 　 11．在中，一个锐角为，则另一个锐角为　 　度． 12．如图，中，，，将其折叠，使点A落在边上处，折痕为，则的度数为　 　． 13．在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”，例如：三个内角分别为，，的三角形是“灵动三角形”．如图，，在射线上找一点，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点（规定）．当为“灵动三角形”时，则的度数为　 　． 14．将一副三角尺按如图所示的方式叠放(两条直角边重合)，则∠α的度数是　 　. 三、解答题 15．如图，在中，，三个内角的平分线交于点O． （1）若，求的度数； （2）过点O作，交于点D．试说明：． 16．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的角平分线，点D在边AB上(不与点A，B重合)，CD与BE交于点O. （1）若CD是AB边上的中线，BC=3，AC=2，则△BCD与△ACD的周长之差为　 　； （2）若∠A=78°，CD是∠ACB的角平分线，求∠BOC的度数. 答案解析部分 13.3与三角形有关的内角与外角（二阶）-人教版（2024）八年级上册数学课时进阶测试 一、选择题 1．如图，在中，，，是的外角，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理；邻补角 【解析】【解答】解：在中，可得： 又 可化为： 即： 解得： 故答案为：C． 【分析】由已知可得∠C=∠B=∠BAC-15°，从而根据三角形的内角和定理建立方程可求出∠BAC=70°，最后根据邻补角可求出∠DAC的度数. 2．如图，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形内角和定理 【解析】【解答】解：连接，设与交于点M，如图所示． 在中，， ∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°， 即∠A+∠ABM+∠MBC+∠ACM+∠MCB=180°， ∴ ． 又∵，，， ∴． 故答案为：B． 【分析】连接，设与交于点M，在△ABC中利用三角形内角和定理，可得，结合三角形内角和定理及对顶角相等，即可求出的度数． 3．如图，中，与的角平分线交于点，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念 【解析】【解答】解：如图所示： ∵中，， ∴， ∵、分别为及的平分线， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：D． 【分析】先利用三角形的内角和求出，再利用角平分线的定义及等量代换可得，最后利用角的运算求即可． 4．如图，小明从一张三角形纸片ABC的AC边上选取一点N，将纸片沿着BN对折一次使得点A落在A'处后，再将纸片沿着BA'对折一次，使得点C落在BN上的C'处，已知∠CMB＝68°，∠A＝18°，则原三角形的∠C的度数为（　　） A．87° B．84° C．75° D．72° 【答案】A 【知识点】三角形内角和定理；二元一次方程组的应用-几何问题 5．如图，直线，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形外角的概念及性质；内错角的概念 6．在△ABC中，∠A=50°，∠B=30°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为（　　） A．60° B．10° C．45° D．10°或60° 【答案】D 【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质 7．在直角三角形中，，的平分线交于点，的平分线交于点，、相交于点，过点作，过点作于点，有以下结论：①；②；③平分；④，其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念 【解析】【解答】解：①∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴，故①正确； ②∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴，故②正确； ③∵的度数不确定， ∴根据已知条件无法证明平分，故③不正确； ④∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的个数是3个， 故答案为：C． 【分析】①根据三角形内角和定理得，由角平分线定义得，再利用三角形内角和定理得；②由平行线的性质得，结合角平分线性质得；③根据已知条件无法判断；④先推出，结合三角形外角的性质以及角平分线定义得. 8．如图，中，的三等分线分别与的平分线交于点，，若，，则的度数为（　　）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念 【解析】【解答】解：∵∠2是△BO1O2的外角， ∴∠O1BO2=∠2-∠1=140°-120°=20°， ∵BO1，BO2是∠ABC的三等分线， ∴=20°，∠ABC=3∠O1BO2=60°， 在△BCO1中，∠CBO1=20°，∠2=140°， ∴∠BCO1=180°-∠2-∠CBO1=20°， ∵CO1是∠ACB的平分线， ∴∠BCO1​​​​​​​=∠ACO1=20°，∠ACB=40°， ∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=80°，​​​​​​​故答案为：C. 【分析】利用三角形的外角性质，可求出∠O1BO2=20°，结合三等分线的定义，可求出∠ABC=60°和=20°，再利用三角形内角和定理可求出∠BCO1​​​​​​​=20°，结合角平分线的定义可求出∠ACB=40°，再利用三角形的内角和定理即可得出答案. 二、填空题 9．如图，在中，，点是和的角平分线的交点，则　 　． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理；三角形的角平分线 【解析】【解答】解：∵， ∴， ∵和平分和， ∴∠OAB=∠CAB，∠OBA=∠ABC， ∴． 故答案为：135°． 【分析】由直角三角形的量锐角互余得，由角平分线定义得∠OAB=∠CAB，∠OBA=∠ABC，进而再根据三角形的内角和定理可得，从而整体代入计算可得答案. 10．我们知道在光的反射现象中，当光照射到平面镜上时反射角等于入射角．现有一束光线经过三块平面镜反射， 光路如图所示， 当时， 　 　 【答案】 【知识点】三角形内角和定理 11．在中，一个锐角为，则另一个锐角为　 　度． 【答案】65 【知识点】直角三角形的两锐角互余 【解析】【解答】解：． 故答案为：65． 【分析】根据直角三角形中两锐角互余即可求解． 12．如图，中，，，将其折叠，使点A落在边上处，折痕为，则的度数为　 　． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质 13．在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”，例如：三个内角分别为，，的三角形是“灵动三角形”．如图，，在射线上找一点，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点（规定）．当为“灵动三角形”时，则的度数为　 　． 【答案】或或 【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质 【解析】【解答】解：， ， ， ， ∵， ∴． ∵， ∴． 如图，当时， ， ， ， ， 如图，当时， ， 如图，当时， ， 综上所述，的度数为或或， 故答案为：或或． 【分析】先由直角三角形两锐角互余可得，再由“灵动三角形”的概念知，当时，是灵动三角形，此时可直接求出，则由同角的余角相等可得；当时，是灵动三角形，可直接求出，则即可；当时，是灵动三角形，利用三角形的内角和定理求出即可. 14．将一副三角尺按如图所示的方式叠放(两条直角边重合)，则∠α的度数是　 　. 【答案】 【知识点】三角形外角的概念及性质；两直线平行，内错角相等 【解析】【解答】解：如图， ∴ AD∥BC， 即 的度数是' 故答案为： 【分析】先根据 判定AD∥BC，进而得出. 再根据 进行计算即可. 三、解答题 15．如图，在中，，三个内角的平分线交于点O． （1）若，求的度数； （2）过点O作，交于点D．试说明：． 【答案】（1）解：如图，连接． ∵， ∴． ∵平分，平分， ∴，． ∴． ∴． ​​​​​​​ （2）说明过程如下： ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∴． 由（1）可知，． ∴． ∴． ∴． 【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念 【解析】【分析】（1）由三角形内角和定理求出的度数，由结合角平分线的定义可求得的度数，在△AOB中，由三角形内角和定理可求解； （2）由三角形外角的性质求得，由角平分线的定义和三角形内角和定理求得，即可判断求解． （1）解：如图，连接． ∵， ∴． ∵平分，平分， ∴，． ∴． ∴． （2）说明过程如下： ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∴． 由（1）可知，． ∴． ∴． ∴． 16．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的角平分线，点D在边AB上(不与点A，B重合)，CD与BE交于点O. （1）若CD是AB边上的中线，BC=3，AC=2，则△BCD与△ACD的周长之差为　 　； （2）若∠A=78°，CD是∠ACB的角平分线，求∠BOC的度数. 【答案】（1）1 （2）解： ∠A=78° BE是∠ABC的角平分线， CD是∠ACB的角平分线 【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念 【解析】【解答】解： CD是AB边上的中线 AD=BD △BCD与△ACD的周长之差为 ：（BC+BD+CD）-(AC+AD+CD）=BC-AC BC=3，AC=2 BC-AC=1 故答案为：1 【分析】(1)利用CD是AB边上的中线可得AD=BD，再根据三角形周长公式作差可得答案； （2）先根据三角形内角和定理求得，根据角平分线的定义可得，再根据三角形内角和定理求解可得答案 学科网（北京）股份有限公司 $$