专题3.2 整式的概念（高效培优讲义）数学北师大版2024七年级上册

专题3.2 整式的概念 教学目标 1. 理解整式、单项式、多项式的概念，能区分三者及非整式。 2. 掌握单项式的系数、次数及多项式的项、次数的确定方法。 3. 能将整式按要求分类，准确表述相关概念。 教学重难点 1.重点 （1）单项式和多项式的概念及特征，明确二者与整式的关系。 （2）正确确定单项式的系数、次数和多项式的项、次数。 2.难点 （1）理解单项式系数的符号及只含字母的单项式的系数、次数。 （2）区分多项式的项与项的系数，准确判断多项式的次数。 知识点01 单项式的概念、系数与次数 1.单项式的概念 如，，0，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式． 【注意】（1）单项式包括三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；②单独的一个数；③单独的一个字母． （2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．如：可以写成。但若分母中含有字母，如就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积． 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数． （1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数； （2）圆周率π是常数．单项式中出现π时，应看作系数； （3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写； （4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数. 3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．单项式的次数是计算单项式中所有字母的指数和得到的，计算时要注意以下两点： （1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏； （2）不能将数字的指数一同计算． 【即学即练1-1】在，4，，，中，单项式的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【即学即练1-2】单项式的系数是 ，次数是 ． 知识点02 多项式的概念、系数与次数 1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式． 2. 多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项． 【注意】（1）多项式的每一项包括它前面的符号． （2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如：是一个三项式． 3. 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数． 【注意】（1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数． （2） 一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出． 【即学即练2-1】下列各式①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧中，是单项式的有 ，是多项式的有 ．（填序号） 【即学即练2-2】多项式是 次四项式，它的最高次项的系数为 ，常数项为 ． 【即学即练2-3】若多项式是关于，的四次多项式，则 ． 知识点03 整式 整式的概念：单项式与多项式统称为整式． 【注意】（1）单项式、多项式、整式这三者之间的关系如图所示．即单项式、多项式必是整式，但反过来就不一定成立． （2）分母中含有字母的式子一定不是整式． 【即学即练3-1】在式子2025，，，，中，整式的个数是 个． 【即学即练3-2】对下列式子进行分类． ． 单项式：（                       ）； 多项式：（                       ）； 整式：（                         ）． 题型1 单项式的判断 【典例1】下列代数式，，，，中，单项式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】下列式子：，，，，，0中，单项式的个数是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【变式2】给出下列式子：0，，，，1，，，，其中单项式的个数是（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式3】下列代数式单项式有（    ）个 （1） （2）  （3）  （4）  （5）  （6） A．1个 B．2个 C．5个 D．4个 题型2 单项式的系数、次数 【典例2】单项式的次数是 ． 【变式1】单项式的系数为 ；次数为 ． 【变式2】单项式的系数是 ， 次数是 ． 【变式3】单项式的次数是 ，系数是 ． 题型3 写出满足某些特征的单项式 【典例3】请写出一个只含字母x，y的五次单项式 【变式1】请写出一个含有字母和，且次数为3的单项式 ． 【变式2】请写出一个只含有、两个字母，系数是，次数是5的单项式 ． 题型4 单项式规律题 【典例4】按一定规律排列的单项式：据此规律，第12个单项式为 ． 【变式1】按一定规律排列的代数式：，，，，，第n个代数式是 ． 【变式2】观察下列关于x的单项式，探究其规律：…  按照上述规律，第10个单项式是 ． 【变式3】按一定规律排列的单项式：，，，，…第n个单项式是 ． 题型5 多项式的判断 【典例5】在代数式中，多项式的个数是（   ）个 A．5 B．4 C．3 D．2 【变式1】在下列代数式，，，，，中，多项式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2】下列式子，，，中，多项式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】下列式子：①；②0；③；④；⑤；⑥，多项式的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型6 多项式的项、项数或次数 【典例6】多项式   是 次 项式，常数项是 ． 【变式1】多项式的二次项系数是 ． 【变式2】多项式的项数是 ，次数是 ，常数项是 ． 【变式3】多项式的最高次项是 ，次数是 ，它是 次 项式． 题型7 多项式系数、指数中字母求值 【典例7】若多项式是关于x的五次二项式，则 ． 【变式1】已知关于x的多项式是二次三项式，则 . 【变式2】若多项式是关于的三次多项式，则多项式的值为 ． 【变式3】若多项式是关于a，b的五次二项式，则的值为 ． 题型8 将多项式按某个字母升幂(降幂)排列 【典例8】将整式按x降幂排列为 ． 【变式1】将多项式按x的降幂排列的结果为 ． 【变式2】把多项式按x的降幂排列: ． 题型9 整式的判断 【典例9】已知：① ；②；③；④；⑤；⑥．其中整式有 个． 【变式1】在式子①，②，③，④⑤，⑥，⑦0中，整式有 个． 【变式2】下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中整式有 个． 【变式3】下列式子：①；②；③；④；⑤．其中多项式有 个，次数最高的多项式为 （请填写序号），整式有 个． 题型10 单项式、多项式、整式的分类 【典例10】下列代数式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？分别将序号填入所属的括号中． ①7，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨． 单项式：（                                       ）； 多项式：（                                       ）； 整式：（                                         ）． 【变式1】请把下列各式的序号填入相应的集合中． ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦． 整式集合：{                     …}； 单项式集合：{                     …}； 多项式集合：{                     …}． 【变式2】把下列各式分别填在相应的大括号里： 4，，，，，，， 单项式：{              …}； 多项式：{              …}； 整式：{              …} 【变式3】把下列代数式分别填在相应的大括号内： ，，，，，，． 单项式：{                   …}； 多项式：{                   …}； 二次二项式：{                   …}； 整式：{                   …}． 一、单选题 1．下列式子中，是单项式的是（    ） A． B． C． D． 2．如果整式是关于x的三次三项式，那么n等于（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 3．下列说法中正确的是（    ） A．多项式是二次三项式 B．是6次单项式，它的系数是 C．，都是单项式，也都是整式 D．，，5是多项式中的项 4．在，，，，，0，，中，整式的个数是（   ） A．3个 B．6个 C．4个 D．5个 5．按一定规律排列的单项式：，第个单项式是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．系数为，只含字母的所有三次单项式是 ． 7．多项式的项为 ，次数是 ． 8．把按降幂排列 ． 9．已知关于的多项式不含和的项，求的值是 ． 10．用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板，则第5个图形中有黑色瓷砖 块，第个图形中需要黑色瓷砖 块．（用含字母的式子表示） 三、解答题 11．把下列代数式的序号填入相应的横线上： ①；③；④；⑤0；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩． (1)单项式：_______； (2)多项式：_______； (3)整式：_______； (4)二项式：_______． 12．已知多项式是关于x、y的四次三项式． (1)求m的值，并写出这个多项式； (2)将多项式按字母y的升幂排列； (3)当，时，求此多项式的值． 13．观察下面的一行单项式：， (1)从第二个单项式开始，计算每个单项式与它前一个单项式的商，你有什么发现？ (2)试写出第八个单项式，第个单项式． 14．观察一组数：． (1)请你写出这一组数中的第100个数和第2025个数． (2)前2025个数中，正数和负数分别有多少个？ (3)和这两个数，哪一个在这一组数中？请说明理由． 15．【观察思考】 【规律发现】 （1）观察各图案中灰色菱形和白色菱形的个数，绘制表格如下． 第1个图案 第2个图案 第3个图案 第4个图案 第5个图案 第6个图案 … 灰色菱形个数 1 2 5 8 13 b … 白色菱形个数 0 2 4 8 a 18 … 小菱形总个数 1 4 9 16 25 c … 填空：表格中，________，________，________． （2）请写出第n个图案中灰色菱形，白色菱形各有几个． 【规律应用】 （3）某小区计划用边长为1米的菱形砖铺设一块菱形区域，该菱形区域边长为45米，若按以上规律图案进行设计，则需要购买的灰色菱形砖，白色菱形砖各多少块？ 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.2 整式的概念 教学目标 1. 理解整式、单项式、多项式的概念，能区分三者及非整式。 2. 掌握单项式的系数、次数及多项式的项、次数的确定方法。 3. 能将整式按要求分类，准确表述相关概念。 教学重难点 1.重点 （1）单项式和多项式的概念及特征，明确二者与整式的关系。 （2）正确确定单项式的系数、次数和多项式的项、次数。 2.难点 （1）理解单项式系数的符号及只含字母的单项式的系数、次数。 （2）区分多项式的项与项的系数，准确判断多项式的次数。 知识点01 单项式的概念、系数与次数 1.单项式的概念 如，，0，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式． 【注意】（1）单项式包括三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；②单独的一个数；③单独的一个字母． （2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．如：可以写成。但若分母中含有字母，如就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积． 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数． （1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数； （2）圆周率π是常数．单项式中出现π时，应看作系数； （3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写； （4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数. 3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．单项式的次数是计算单项式中所有字母的指数和得到的，计算时要注意以下两点： （1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏； （2）不能将数字的指数一同计算． 【即学即练1-1】在，4，，，中，单项式的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查单项式的定义：数字与字母的积叫做单项式，其中，单独的一个数或字母也是单项式，据此逐个判断即可． 【详解】解：在，4，，，中，单项式为4，，，有3个， 故选：C． 【即学即练1-2】单项式的系数是 ，次数是 ． 【答案】 / 【分析】本题主要考查了单项式的次数、系数的定义，解题的关键在于能够熟知相关定义：表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数． 【详解】解：单项式的系数是，次数是， 故答案为：；5． 知识点02 多项式的概念、系数与次数 1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式． 2. 多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项． 【注意】（1）多项式的每一项包括它前面的符号． （2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如：是一个三项式． 3. 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数． 【注意】（1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数． （2） 一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出． 【即学即练2-1】下列各式①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧中，是单项式的有 ，是多项式的有 ．（填序号） 【答案】 ①②⑥ ③④⑦ 【分析】本题考查单项式、多项式的概念，解决本题关键是搞清整式、单项式、多项式的概念．单项式是指只含乘法的式子，单独的字母或数字也是单项式；多项式：若干个单项式的代数和组成的式子；整式；单项式和多项式统称为整式；据此逐个分析即可求解． 【详解】解：单项式有：，， 多项式有：，，， 是不等式，是分式，故不属于整式； 故答案为：①②⑥；③④⑦． 【即学即练2-2】多项式是 次四项式，它的最高次项的系数为 ，常数项为 ． 【答案】 四 【分析】本题考查与多项式相关的概念，多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数．根据多项式的项和次数的定义，确定最高次项和常数项，注意要带有符号． 【详解】解：多项式是四次四项式，最高次项的系数是，常数项是． 故答案为：四；；． 【即学即练2-3】若多项式是关于，的四次多项式，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了多项式次数的定义，代数式求值，多项式中次数最高的项叫做多项式的次数，据此可得，求出m、n的值，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵多项式是关于，的四次多项式， ∴， ∴或，， ∴或， 故答案为：或． 知识点03 整式 整式的概念：单项式与多项式统称为整式． 【注意】（1）单项式、多项式、整式这三者之间的关系如图所示．即单项式、多项式必是整式，但反过来就不一定成立． （2）分母中含有字母的式子一定不是整式． 【即学即练3-1】在式子2025，，，，中，整式的个数是 个． 【答案】4 【分析】此题考查了整式的概念，掌握整式的概念是解题的关键，单项式和多项式统称为整式．根据整式的概念，对每个式子逐个进行判断，即可求解． 【详解】解：2025是单项式，为整式； 是单项式，为整式； 是多项式，为整式； 分母含有未知数，不是整式； 是多项式，为整式； 所以整式个数为4， 故答案为：4． 【即学即练3-2】对下列式子进行分类． ． 单项式：（                       ）； 多项式：（                       ）； 整式：（                         ）． 【答案】，，，；，，；，，，，，， 【分析】单项式是指只含乘法的式子，单独的字母或数字也是单项式． 多项式：若干个单项式的代数和组成的式子．多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数．不含字母的项叫做常数；整式：单项式和多项式统称为整式． 【详解】单项式：（，，，） 多项式：（，，） 是整式：（，，，，，，） 【点睛】本题考查整式、单项式、多项式的概念，熟练掌握相关的概念是解题的关键． 题型1 单项式的判断 【典例1】下列代数式，，，，中，单项式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】单项式的判断 【分析】本题考查了单项式的判定，掌握单项式的概念是关键． 数字与字母的积的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫单项式，由此即可求解． 【详解】解：不是单项式， 是单项式， 是单项式， 是单项式， 不是单项式， ∴单项式有3个， 故选：C ． 【变式1】下列式子：，，，，，0中，单项式的个数是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【知识点】单项式的判断 【分析】本题考查了单项式和多项式的有关概念，表示数字与字母乘积的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．几个单项式的和叫做多项式．根据单项式的定义分析即可． 【详解】解：，，0是单项式； 是多项式； ，既不是单项式，也不是多项式． 故选D． 【变式2】给出下列式子：0，，，，1，，，，其中单项式的个数是（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【知识点】单项式的判断 【分析】本题主要考查了单项式的判断， 根据定义解答，即数字与字母的乘积就是单项式，注意单独的数字和字母也是单项式 【详解】解：单项式有，一共4个，其中是多项式，而不是单项式，也不是多项式. 故选：B. 【变式3】下列代数式单项式有（    ）个 （1） （2）  （3）  （4）  （5）  （6） A．1个 B．2个 C．5个 D．4个 【答案】C 【知识点】单项式的判断 【分析】根据单项式的定义进行判断即可．本题主要考查了单项式的定义，解题的关键是熟练掌握单项式的定义，由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单个的字或数字也是单项式． 【详解】解：单项式有（1） （2） （4） （5） （6），共5个． 故选：C． 题型2 单项式的系数、次数 【典例2】单项式的次数是 ． 【答案】5 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】本题考查单项式的次数，根据单项式的次数的定义：所有字母的指数和，即可得出答案． 【详解】解：单项式的次数为：， 故答案为：5． 【变式1】单项式的系数为 ；次数为 ． 【答案】 3 2 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】本题考查单项式，根据单项式中的数字因数为单项式的系数，所有字母的指数和为单项式的次数，作答即可． 【详解】解：单项式的系数为，次数为； 故答案为：3，2 【变式2】单项式的系数是 ， 次数是 ． 【答案】 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】本题考查了单项式的概念，根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．解题的关键是正确理解单项式的概念，本题属于基础题型． 【详解】解：根据单项式系数、次数的定义，单项式的系数与次数分别是，4． 故答案为：，4． 【变式3】单项式的次数是 ，系数是 ． 【答案】 / 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】本题主要考查的是单项式的系数和次数，单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．熟练掌握单项式的系数和次数的定义是解题的关键．根据单项式的系数和次数的定义解答即可． 【详解】解：的次数是，系数是． 故答案为：，． 题型3 写出满足某些特征的单项式 【典例3】请写出一个只含字母x，y的五次单项式 【答案】（答案不唯一） 【知识点】写出满足某些特征的单项式、单项式的系数、次数 【分析】本题考查了单项式，根据单项式的有关概念即可得出答案，确定单项式的系数和次数的关键． 【详解】解：依题意，这个只含字母x，y的五次单项式为， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式1】请写出一个含有字母和，且次数为3的单项式 ． 【答案】(答案不唯一) 【知识点】写出满足某些特征的单项式 【分析】本题考查了单项式的定义．解答此题关键是构造单项式的系数和次数，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键． 根据单项式系数、次数的定义来求解，单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【详解】解：先构造系数，例如为2，然后使a、b的指数和是3． 则如：(答案不唯一)． 故答案为：(答案不唯一)． 【变式2】请写出一个只含有、两个字母，系数是，次数是5的单项式 ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】写出满足某些特征的单项式 【分析】本题考查单项式定义：数与字母的积叫单项式，根据题意，结合单项式定义即可得到答案，熟记单项式定义是解决问题的关键． 【详解】解：由单项式定义可得，该单项式可以是（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 题型4 单项式规律题 【典例4】按一定规律排列的单项式：据此规律，第12个单项式为 ． 【答案】 【知识点】单项式规律题 【分析】本题考查单项式的规律探索，能根据题中给出的单项式正确找到规律是解题关键．根据所给的单项式的特点，找到规律即可判断． 【详解】解：根据题意可知，按一定规律排列的单项式：， 系数的排列规律为：，，，，，， 指数的排列规律为：，，，，，， ∴第个单项式为：， ∴第12个单项式为：． 故答案为：． 【变式1】按一定规律排列的代数式：，，，，，第n个代数式是 ． 【答案】 【知识点】单项式规律题 【分析】此题考查了与单项式有关的规律探索．观察指数规律与符号规律，进行解答便可． 【详解】解：∵，，，，，…， ∴系数的规律为，指数的规律为， ∴第n个单项式为：， 故答案为：． 【变式2】观察下列关于x的单项式，探究其规律：…  按照上述规律，第10个单项式是 ． 【答案】 【知识点】单项式规律题 【分析】本题主要考查数字规律，熟练掌握规律是解题的关键．根据题意得到规律进行解答即可． 【详解】解：由题意可得：第个单项式为， 故第10个单项式是， 故答案为：． 【变式3】按一定规律排列的单项式：，，，，…第n个单项式是 ． 【答案】 【知识点】单项式规律题 【分析】本题主要考查单项式规律探索，根据分子，…，可得出第n个单项式的分子，由分母3，5，9，17，…，可得出第n个单项式的分母，由符号是奇数个单项式为正，偶数个单项式为负，可得出符号规律，即可求出结果． 【详解】解：由分子，…，可得第n个单项式的分子为； 由分母3，5，9，17，…，可得第n个单项式的分母为； 由符号是奇数个单项式为正，偶数个单项式为负，可得符号规律为， 所以第n个单项式是， 故答案为：． 题型5 多项式的判断 【典例5】在代数式中，多项式的个数是（   ）个 A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【知识点】多项式的判断 【分析】本题考查了多项式“由几个单项式的和组成的代数式，称为多项式”，熟记多项式的定义是解题关键．根据多项式的定义求解即可得． 【详解】解：，，，都是多项式，共有4个， 故选：B． 【变式1】在下列代数式，，，，，中，多项式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】多项式的判断 【分析】本题主要考查了多项式的定义“几个单项式的和为多项式”．根据多项式的定义即可判断． 【详解】解：代数式，，，，，中，多项式有，，，即多项式有3个， 故选：B． 【变式2】下列式子，，，中，多项式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】多项式的判断 【分析】本题考查了多项式的概念，几个单项式的和叫做多项式，根据定义解答即可． 【详解】解：是单项式； ，是多项式； 的分母含字母，既不是单项式，也不是多项式． 故选B． 【变式3】下列式子：①；②0；③；④；⑤；⑥，多项式的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】多项式的判断 【分析】本题考查了多项式，多项式的组成元素是单项式，即多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式． 根据几个单项式的和叫做多项式分析判断． 【详解】解：根据多项式的定义可知：①； ②0是单项式； ③是单项式； ④不是多项式； ⑤是多项式； ⑥不是多项式， 故多项式的个数是2个． 故选：B． 题型6 多项式的项、项数或次数 【典例6】多项式   是 次 项式，常数项是 ． 【答案】 三 四 【知识点】多项式的项、项数或次数 【分析】本题考查多项式的项数，次数，根据多项式的性质进行解答．多项式的次数是多项式中最高次项的次数，多项式的项数为组成多项式的单项式的个数．多项式中含有单项式的个数即为多项式的项数，包含的单项式中未知数的次数总和的最大值即为多项式的次数． 【详解】解：多项式由四个单项式组成，最高次项是，次数是3，常数项是． 故答案为：三；四；． 【变式1】多项式的二次项系数是 ． 【答案】 【知识点】多项式的项、项数或次数 【分析】此题考查了多项式，多项式即为几个单项式的和，其中每一个单项式称为项，单项式的次数即为多项式的几次项，不含字母的项称为常数项．直接利用多项式的定义得出二次项，进而得出答案． 【详解】解：多项式的二次项系数是． 故答案为：． 【变式2】多项式的项数是 ，次数是 ，常数项是 ． 【答案】 【知识点】多项式的项、项数或次数 【分析】此题主要考查多项式次数、项数及常数项的定义，解题的关键是熟知多项式的特点． 根据多项式次数、项数及常数项的定义即可求解． 【详解】解：多项式的项数是3；次数是4；常数项是； 故答案为：3；4；． 【变式3】多项式的最高次项是 ，次数是 ，它是 次 项式． 【答案】 五 二 【知识点】多项式的项、项数或次数 【分析】本题考查了多项式的相关概念，理解并掌握多项式次数，项数的定义是解题的关键． 根据多项式次数的定义进行判定即可求解． 【详解】解：多项式的最高次项是，次数是，它是五次二项式， 故答案为：①；②；③五；④二 ． 题型7 多项式系数、指数中字母求值 【典例7】若多项式是关于x的五次二项式，则 ． 【答案】4 【知识点】多项式系数、指数中字母求值 【分析】此题考查了多项式的次数，项数的定义，利用多项式的定义求参数．根据五次二项式的定义得到，计算即可． 【详解】解：由题意得， ∴， 故答案为：4． 【变式1】已知关于x的多项式是二次三项式，则 . 【答案】 【知识点】多项式系数、指数中字母求值 【分析】本题考查多项式的次数问题，由多项式次数为，为此知没有次项，由此知，这时最高次项是，可知的值问题得以解决． 【详解】解：∵关于的多项式是二次多项式， ∴该多项式没有次项，由此知，， ， ∴， 故答案为：． 【变式2】若多项式是关于的三次多项式，则多项式的值为 ． 【答案】3或5或1 【知识点】多项式系数、指数中字母求值 【分析】本题考查了多项式的定义．分类讨论，根据多项式的次数为三次，超过三次的项的系数为0，即可求得的值，进而即可求解． 【详解】解：∵多项式是关于的三次多项式， 当时，，此时或6，则， ∴， ∴或1； 当，，此时，则， ∴， ∴； 故答案为：3或5或1． 【变式3】若多项式是关于a，b的五次二项式，则的值为 ． 【答案】或 【知识点】多项式系数、指数中字母求值 【分析】本题考查了多项式的次数，项数的定义，利用多项式的定义求参数，正确掌握多项式的定义是解题的关键．根据五次二项式的定义得到，且，计算求解，即可解题． 【详解】解：多项式是关于a，b的五次二项式， ，且， 解得， 当时，或， 此时或， 故答案为：或． 题型8 将多项式按某个字母升幂(降幂)排列 【典例8】将整式按x降幂排列为 ． 【答案】 【知识点】将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 【分析】本题主要考查了多项式，掌握多项式的有关定义是解题关键．先分清各项，再根据多项式幂的排列的定义解答． 【详解】解：按x降幂排列：． 故答案为：． 【变式1】将多项式按x的降幂排列的结果为 ． 【答案】 【知识点】将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 【分析】本题考查了多项式的降幂排列，弄清多项式各项的次数是解题的关键．先确定各项中x的次数，再按从高到低的顺序排列即可． 【详解】解：将多项式按x的降幂排列的结果为． 故答案为：． 【变式2】把多项式按x的降幂排列: ． 【答案】 【知识点】将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 【分析】本题考查了多项式按某一字母的排列－降幂或升幂排列；把多项式中的项按x指数从高到低进行排列即可． 【详解】解：； 故答案为：． 题型9 整式的判断 【典例9】已知：① ；②；③；④；⑤；⑥．其中整式有 个． 【答案】5 【知识点】整式的判断 【分析】本题考查了整式，整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除式不能含有字母．单项式和多项式统称为整式．单项式是字母和数的乘积，只有乘法，没有加减法．多项式是若干个单项式的和，有加减法． 根据单项式和多项式统称整式，可得答案． 【详解】解：① ；②；④；⑤；⑥．是整式，共有5个， 故答案为：5． 【变式1】在式子①，②，③，④⑤，⑥，⑦0中，整式有 个． 【答案】5 【知识点】整式的判断 【分析】本题主要考查整式的概念：单项式和多项式统称为整式．根据整式的概念求解可得． 【详解】解：所列代数式中整式有①，②，③，⑥，⑦0，共5个， 故答案为：5． 【变式2】下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中整式有 个． 【答案】 【知识点】整式的判断 【分析】本题考查了整式的定义，单项式与多项式统称为整式，据此即可判断求解，掌握整式的定义是解题的关键． 【详解】解：下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中整式有①，④，⑤，共个， 故答案为：． 【变式3】下列式子：①；②；③；④；⑤．其中多项式有 个，次数最高的多项式为 （请填写序号），整式有 个． 【答案】 3 ② 4 【知识点】多项式的项、项数或次数、整式的判断 【分析】本题主要考查了整式，多项式及其次数，根据多项式及其次数解答，再根据整式的定义判断即可． 【详解】多项式有，，，一共有3个； 因为是二次三项式，是三次三项式，是二次二项式，所以次数最高的多项式是②； 整式有，，，，一共有4个． 故答案为：3，②，4． 题型10 单项式、多项式、整式的分类 【典例10】下列代数式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？分别将序号填入所属的括号中． ①7，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨． 单项式：（                                       ）； 多项式：（                                       ）； 整式：（                                         ）． 【答案】①②⑦⑨；③④⑤⑧；①②③④⑤⑦⑧⑨ 【知识点】多项式的判断、单项式的判断、整式的判断 【分析】本题考查了整式、单项式、多项式的识别，表示数字与字母乘积的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式；几个单项式的和叫做多项式．单项式与多项式统称整式，据此求解即可． 【详解】解：单项式：（①②⑦⑨）； 多项式：（③④⑤⑧）； 整式：（①②③④⑤⑦⑧⑨）． 故答案为：①②⑦⑨；③④⑤⑧；①②③④⑤⑦⑧⑨． 【变式1】请把下列各式的序号填入相应的集合中． ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦． 整式集合：{                     …}； 单项式集合：{                     …}； 多项式集合：{                     …}． 【答案】①②③⑤⑦ ①②⑦ ③⑤ 【知识点】整式的判断、单项式的判断、多项式的判断 【分析】本题主要考查了整式的定义，单项式和多项式的判定，单项式的定义，由数字或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式；多项式的定义，几个单项式的和叫做多项式；单项式和多项式统称为整式，再逐一判断即可； 【详解】解：整式集合：{①，②，③，⑤，⑦ …}； 单项式集合：{①，②，⑦  …}； 多项式集合：{③，⑤   …} 【变式2】把下列各式分别填在相应的大括号里： 4，，，，，，， 单项式：{              …}； 多项式：{              …}； 整式：{              …} 【答案】见解析 【知识点】多项式的判断、单项式的判断、整式的判断 【分析】本题主要考查了整式的分类，解题的关键是熟练掌握单项式和多项式的定义．根据整式的分类，单项式和多项式的定义进行判断即可． 【详解】解：单项式：4，； 多项式：，，，； 整式：4，，，，，． 【变式3】把下列代数式分别填在相应的大括号内： ，，，，，，． 单项式：{                   …}； 多项式：{                   …}； 二次二项式：{                   …}； 整式：{                   …}． 【答案】见解析 【知识点】整式的判断、单项式的判断、多项式的判断 【分析】本题主要考查了整式，根据单项式，多项式，整式的定义解答即可. 【详解】单项式：； 多项式：； 二次三项式：； 整式：. 一、单选题 1．下列式子中，是单项式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是单项式的定义，解题关键是熟练掌握单项式的定义． 根据单项式的定义对选项进行逐一判断即可得解． 【详解】解：选项，是多项式，不是单项式，不符合题意，选项错误； 选项，是多项式，不是单项式，不符合题意，选项错误； 选项，是单项式，符合题意，选项正确； 选项，不是整式，不是单项式，不符合题意，选项错误． 故选：． 2．如果整式是关于x的三次三项式，那么n等于（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了多项式的次数和项的定义，多项式中每个单项式都叫做多项式的项，次数最高项的次数叫做多项式的次数，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵整式是关于x的三次三项式， ∴， ∴， 故选：B． 3．下列说法中正确的是（    ） A．多项式是二次三项式 B．是6次单项式，它的系数是 C．，都是单项式，也都是整式 D．，，5是多项式中的项 【答案】C 【分析】此题主要考查了多项式以及单项式有关定义，正确掌握相关定义是解题的关键． 直接利用单项式的次数与系数以及多项式的定义、次数与系数分别分析得出答案． 【详解】解：A、多项式是三次三项式，故此选项说法错误，不合题意； B、是6次单项式，它的系数是，故此选项说法错误，不合题意； C、，都是单项式，也都是整式，故此选项说法正确，符合题意； D、，，是多项式中的项，故此选项说法错误，不合题意． 故选：C． 4．在，，，，，0，，中，整式的个数是（   ） A．3个 B．6个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了整式的定义，正确理解单项式和多项式统称为整式是解题的关键． 根据整式的定义进行判断即可． 【详解】解：是多项式，属于整式． 是单项式，属于整式． 是单项式，属于整式． 因为除数是字母，所以不是整式． 是单项式，属于整式． 是单项式，属于整式． 是多项式，属于整式． 因为除数是字母，所以不是整式． 综上所述：整式的个数共有6个； 故选：B ． 5．按一定规律排列的单项式：，第个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查单项式中的规律探究，根据所给的单项式的次数和系数，找出规律，根据规律求解即可． 【详解】解：观察可知，奇数位的系数为负，偶数位的系数为正，数值与序数相同，字母的指数为从1开始的连续的奇数， ∴第个单项式是； 故选C． 二、填空题 6．系数为，只含字母的所有三次单项式是 ． 【答案】，． 【分析】本题主要考查了单项式，根据单项式的系数、次数，可得答案． 【详解】解：系数为，只含字母的三次单项式有2个， 它们是，， 故答案为：，． 7．多项式的项为 ，次数是 ． 【答案】 ，， 【分析】本题考查多项式的项与次数的判断，根据多项式中的单项式是项，有几个单项式就有几项，单项式中最高的次数是多项式的次数直接求解即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， 有，，三项，三项中最高次数为4次， 故答案为：，，；． 8．把按降幂排列 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式按某字母升（或降）幂排列，熟练掌握升（或降）幂排列定义是解题的关键． 根据y的次数从大到小排列即可． 【详解】解：把多项式按y的降幂排列为： ． 故答案为：． 9．已知关于的多项式不含和的项，求的值是 ． 【答案】5 【分析】此题考查多项式不含项问题，已知字母的值求代数式的值，若多项式不含某项则该项的系数为零，由此列得，求出m，n的值即可求代数式的值，正确理解多项式不含项的解题方法是解题的关键． 【详解】解：∵关于的多项式不含和的项， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：5． 10．用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板，则第5个图形中有黑色瓷砖 块，第个图形中需要黑色瓷砖 块．（用含字母的式子表示） 【答案】 16 【分析】本题考查图形的规律，代数式，理解图形是解题的关键． 根据每个图形的黑色瓷砖增幅相等，都是3，可以猜测第n个图形黑色瓷砖是块，然后代入验证即可． 【详解】解：第一个图形∶黑色瓷砖是（块）； 第二个图形∶黑色瓷砖是（块）； 第三个图形∶黑色瓷砖是（块）； …… ∴第n个图形∶黑色瓷砖是块； 当时，（块）． 故答案为∶16； ． 三、解答题 11．把下列代数式的序号填入相应的横线上： ①；③；④；⑤0；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩． (1)单项式：_______； (2)多项式：_______； (3)整式：_______； (4)二项式：_______． 【答案】(1)④⑤⑩ (2)①③⑥ (3)①③④⑤⑥⑩ (4)③⑥ 【分析】根据单项式，多项式，整式，二项式的定义即可求解． 【详解】（1）解：单项式：④⑤⑩， 故答案为：④⑤⑩； （2）多项式：①③⑥， 故答案为：①③⑥； （3）整式：①③④⑤⑥⑩， 故答案为：①③④⑤⑥⑩； （4）二项式：③⑥， 故答案为：③⑥； 【点睛】此题考查了整式，关键是熟练掌握单项式，多项式，整式的定义．单项式及相关概念：数或字母的积叫单项式．（单独的一个数或一个字母也是单项式）多项式及相关概念：几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．整式：单项式与多项式统称为整式． 12．已知多项式是关于x、y的四次三项式． (1)求m的值，并写出这个多项式； (2)将多项式按字母y的升幂排列； (3)当，时，求此多项式的值． 【答案】(1)；这个多项式为 (2) (3) 【分析】本题主要考查了多项式以及代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）直接利用多项式的次数的确定方法得出m的值； （2）将多项式按字母y的升幂排列即可； （3）将x，y的值代入求出答案． 【详解】（1）解：∵多项式是关于的四次三项式， ∴，， 解得：， 多项式， （2）解：多项式按字母y的升幂排列为：； （3）解：当，时，此多项式的值为： ． 13．观察下面的一行单项式：， (1)从第二个单项式开始，计算每个单项式与它前一个单项式的商，你有什么发现？ (2)试写出第八个单项式，第个单项式． 【答案】(1)从第二个单项式开始，每个单项式与前一个单项式的商都是． (2)第八个单项式是，第个单项式为． 【分析】本题考查了单项式的运算和单项式的规律知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据单项式的运算和单项式的规律知识，进行作答，即可求解； 【详解】（1）解：，，， ∴从第二个单项式开始，每个单项式与前一个单项式的商都是． （2）解：第一个单项式是： 第二个单项式是： 第三个单项式是： 第四个单项式是： 第五个单项式是： 第六个单项式是： 第七个单项式是： 第八个单项式是： 第个单项式是：， ∴第八个单项式是，第个单项式为． 14．观察一组数：． (1)请你写出这一组数中的第100个数和第2025个数． (2)前2025个数中，正数和负数分别有多少个？ (3)和这两个数，哪一个在这一组数中？请说明理由． 【答案】(1)第个数为，第个数为 (2)前个数中，正数有个，负数有个 (3)在这一组数中，理由见解析 【分析】本题考查了数据的规律探索，涉及符号交替变化、分子分母的变化以奇偶项的判断；观察数据找到规律是解题的关键． （1）根据观察得到规律：分子是开始的连续的自然数，每个分数的分母都比分子大，且第奇数个数是负数，第偶数个数是正数；据此求解即可； （2）根据这一组数只有正数和负数，用即可求解； （3）根据第奇数个数是负数，第偶数个数是正数即可判断． 【详解】（1）解：观察这组数可得：分子是开始的连续的自然数，每个分数的分母都比分子大，且第奇数个数是负数，第偶数个数是正数． 第个数是第偶数个数是正数，第个数是第奇数个数是负数， 这一列数中的第个数是，第个数是． （2）解：， 在前个数中，正数有个，负数有个． （3）解：在这一列数中．理由如下： 和的分子是，是偶数， 这列数的第个数是正数． 故在这一列数中． 15．【观察思考】 【规律发现】 （1）观察各图案中灰色菱形和白色菱形的个数，绘制表格如下． 第1个图案 第2个图案 第3个图案 第4个图案 第5个图案 第6个图案 … 灰色菱形个数 1 2 5 8 13 b … 白色菱形个数 0 2 4 8 a 18 … 小菱形总个数 1 4 9 16 25 c … 填空：表格中，________，________，________． （2）请写出第n个图案中灰色菱形，白色菱形各有几个． 【规律应用】 （3）某小区计划用边长为1米的菱形砖铺设一块菱形区域，该菱形区域边长为45米，若按以上规律图案进行设计，则需要购买的灰色菱形砖，白色菱形砖各多少块？ 【答案】（1）12，18，36（2）当n为奇数时，第n个图案中灰色菱形的个数为个，白色菱形的个数为个；当n为偶数时，第n个图案中灰色菱形和白色菱形的个数都是个（3）需要购买1013块灰色菱形砖，1012块白色菱形砖 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现灰色和白色菱形砖块数的变化规律是解题的关键． （1）根据所给图形，发现灰色，白色及小菱形总个数的变化规律即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． （3）根据（1）中发现的规律进行计算即可． 【详解】解：（1）由所给图形可知， 第1个图案中灰色菱形的个数为：，白色菱形的个数为：，小菱形的总个数为：； 第2个图案中灰色菱形的个数为：，白色菱形的个数为：，小菱形的总个数为：； 第3个图案中灰色菱形的个数为：，白色菱形的个数为：，小菱形的总个数为：； 第4个图案中灰色菱形的个数为：，白色菱形的个数为：，小菱形的总个数为：； …， 所以当n为奇数时，第n个图案中灰色菱形的个数为个，白色菱形的个数为个； 当n为偶数时，第n个图案中灰色菱形和白色菱形的个数都是个， 第n个图形中小菱形的总个数为个． 当时，； 当时，，． 故答案为：12，18，36． （2）由（1）知， 当n为奇数时，第n个图案中灰色菱形的个数为个，白色菱形的个数为个；当n为偶数时，第n个图案中灰色菱形和白色菱形的个数都是个． （3）由（1）知，当时，，， 所以需要购买1013块灰色菱形砖，1012块白色菱形砖． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$