专题3.3 整式的加减（高效培优讲义）数学北师大版2024七年级上册

专题3.3 整式的加减 教学目标 1. 理解同类项概念，能准确识别同类项，掌握合并同类项法则并熟练运算。 2. 掌握去括号法则，能正确去括号后合并同类项，进行整式加减运算。 3. 会列整式表示实际问题，运用加减运算解决简单实际问题，提升应用能力。 教学重难点 1.重点 （1）同类项的识别与合并同类项，这是整式加减的基础，需熟练掌握法则。 （2） 去括号法则的应用，尤其括号前是负号时的变号规则，确保运算正确。 2.难点 （1）括号前是负号且括号内有多项时，去括号变号容易出错，难以准确操作。 （2）复杂整式加减中，合并同类项与去括号步骤结合时易混淆，运算易出错。 知识点01 同类项、合并同类型 1.同类项概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式是同类项. 2.合并同类项法则：系数相加，字母与字母的指数不变. 【即学即练1-1】下列各组中两项属于同类项的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【即学即练1-2】下列各题中，运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【即学即练1-3】若单项式与的和仍是单项式，则的值是（   ） A．3 B．6 C．8 D．9 知识点02 去（添）括号法则 1. 若括号前边是“+”号，括号里的各项都不变号； 2. 若括号前边是“-”号，括号里的各项都要变号. 【注意】：（1）要注意括号前面的符号,它是去括号后括号内各项是否变号的依据； （2）去括号时应将括号前的符号连同括号一起去掉； （3）括号前面是“-”时,去掉括号后,括号内的各项均要改变符号,不能只改变括号内第一项或前几项的符号,而忘记改变其余的符号； （4）括号前是数字因数时,要将数与括号内的各项分别相乘,不能只乘括号里的第一项； （5）遇到多层括号一般由里到外,逐层去括号. 【即学即练2-1】下列去括号或添括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【即学即练2-2】下列等式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 知识点03 整式的加法与减法 1.整式的加减 （1）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减连接，然后进行运算．几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减连接，然后进行运算． （2）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减连接，然后进行运算． （3）运算结果，常将多项式的某个字母的降幂（升幂）排列. 2.整式加减的一般步骤 （1）如果有括号，那么先去括号；（2）观察有无同类项；（3）利用加法的交换律和结合律，分组同类项； （4）合并同类项. 【即学即练3-1】化简： (1)； (2)． 【即学即练3-2】先化简，再求值，其中． 【即学即练3-3】已知，． (1)化简：； (2)若的值与的取值无关，求此时的值． 题型1 同类型的判断 【典例1】下列各组代数式中，不是同类项的是（ ） A．2与 B．与 C．与 D．与 【变式1】下列单项式中，与是同类项的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】下列各组式子中，属于同类项的是（   ） A．a和 B．x和 C．和 D．1和2 【变式3】下列各组式子中为同类项的是（   ） A．x与y B．与 C．与 D．与 题型2 已知同类型求指数中字母或代数式的值 【典例2】若与是同类项，则m的值是 ． 【变式1】已知单项式与的和是单项式，则 ． 【变式2】如果单项式与是同类项，那么 ． 【变式3】已知与是同类项，则的值为 ． 题型3 合并同类型 【典例3】下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】下面计算正确的是（       ） A． B． C． D． 【变式3】下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 题型4 去括号 【典例4】去括号： ． 【变式1】化简： ． 【变式2】化简： ． 【变式3】化简的结果是 ． 题型5 添括号 【典例5】下列各式左右两边相等的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】下列式子变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】下列去括号或添括号的变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】下列式子变形正确的是（   ） A． B． C． D． 题型6 整式的加减运算 【典例6】计算： (1) (2) 【变式1】合并同类项： (1)； (2)； (3)； 【变式2】化简： (1)； (2)； (3)． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)． 【变式4】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型7 整式的加减中化简求值 【典例7】先化简，再求值，，其中． 【变式1】先化简，再求代数式的值，其中，． 【变式2】化简求值：，其中， 【变式3】先化简，再求值：，其中，． 【变式3】已知，求的值 题型8 整式的加减中的无关型问题 【典例8】小刚在做一道题“已知两个多项式A，B，计算”时，误将看成，求得的结果是，已知． (1)求整式A； (2)若的值与无关，求的值． 【变式1】已知代数式． 若代数式中不含x的项． (1)求y的值； (2)求代数式 的值． 【变式2】已知：， (1)化简：； (2)若的值与的取值无关，求的值． 【变式3】已知，． (1)当时，求的值； (2)若的值与a的取值无关，求b的值，并求的值． 题型9 整式的加减的应用 【典例9】如图，在一个长方形小广场上，有两块大小相同的正方形空地供人们休息（有关线段的长如图所示），留下一个“T”型的图形（阴影部分）．（单位：米） (1)用含的式子表示“T”型图形的周长并化简； (2)若，要给“T”型区域围上价格为30元/米的围栏，请计算围栏的造价． 【变式1】项目式学习． 【项目主题】校园分布图制作． 【项目背景】为了让初一新生更快熟悉校园生活，善思小组成员准备为初一新生制作简易版校园分布图． 【实践操作】操作一：善思小组根据校园的活动区域分布，将校园分布图分为教学区、操场、学生活动中心、图书馆四个主要区域； 操作二：根据小组成员的实际测量与记录，绘制如图所示的校园总体分布图（单位：）． 【项目思考】 (1)用整式表示这个学校的操场和学生活动中心一共占地多少面积； (2)若，b的倒数是，求这个学校的操场和学生活动中心一共占地多少面积． 【变式2】某小区的一块长方形绿地的造型如图所示（单位：m），其中两个扇形表示绿地，两块绿地用五彩石隔开． (1)绿地的面积为_____平方米；（用含有a，b，π的式子表示） (2)若， ①若铺设五彩石费用为每平方米160元，种草的费用为每平方米80元，则美化这块长方形区域共需多少元？（用含有a，π的式子表示） ②若要求绿地面积大于这块地总面积的，试问该设计方案是否合乎要求？请说明理由． 【变式3】如图，长为，宽为的大长方形被分割成7小块，除阴影，外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形．其较短一边长为． (1)从图中可知，这5块完全相同的小长方形中，每块小长方形较长边的长是_______cm（用含的代数式表示）． (2)分别计算阴影，的周长（用含，的代数式表示）． (3)阴影与阴影的周长差会不会随着的变化而变化？请说明理由． 一、单选题 1．下列各式中，与是同类项的是（    ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．下列各式中，去括号正确的是（     ）． A． B． C． D． 4．若单项式与的差是单项式，则的值是（   ） A．3 B．6 C．4 D．2 5．多项式的值与x的取值无关，则的值为（   ） A． B． C． D．7 二、填空题 6．写出一个能与合并的单项式 ． 7．若与的和是单项式，则 ． 8．一个整式减去得，则这个整式为 ． 9．有理数，，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是 ． 10．如图，把两个边长不等的正方形放置在周长为48的长方形内，两个正方形中均有一组邻边分别落在长方形的一组邻边上．如果两个正方形的周长和为60，那么这两个正方形的重叠部分（图中阴影部分所示）的周长为 ． 三、解答题 11．化简下面各题 (1) (2) 12．先化简，再求值：，其中． 13．先化简后求值：已知，求的值． 14．把四张形状、大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为，宽为）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，求图②中两块阴影部分的周长和（用含m，n的式子表示）． 15．已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示： (1)用，， 填空：_____0，_____0，_____0，____0； (2)化简：． 16．已知，． (1)当时，求的值； (2)若代数式的值与a的取值无关，求的值． 17．小马虎做一道数学题“两个多项式A，B，已知，试求的值”．小马虎将看成，结果答案（计算正确）为． (1)求多项式A； (2)若多项式，且满足的结果不含项和x项，求m，n的值． 18．我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． (1)把看成一个整体，化简：； (2)若，，． ①计算． ②小华认为无论取何值，的值都无法确定．小明认为可以找到适当的数，使代数式的值是常数．你认为谁的说法正确？请说明理由． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.3 整式的加减 教学目标 1. 理解同类项概念，能准确识别同类项，掌握合并同类项法则并熟练运算。 2. 掌握去括号法则，能正确去括号后合并同类项，进行整式加减运算。 3. 会列整式表示实际问题，运用加减运算解决简单实际问题，提升应用能力。 教学重难点 1.重点 （1）同类项的识别与合并同类项，这是整式加减的基础，需熟练掌握法则。 （2） 去括号法则的应用，尤其括号前是负号时的变号规则，确保运算正确。 2.难点 （1）括号前是负号且括号内有多项时，去括号变号容易出错，难以准确操作。 （2）复杂整式加减中，合并同类项与去括号步骤结合时易混淆，运算易出错。 知识点01 同类项、合并同类型 1.同类项概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式是同类项. 2.合并同类项法则：系数相加，字母与字母的指数不变. 【即学即练1-1】下列各组中两项属于同类项的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题考查同类项的判断，从两个方面出发判定：①含有相同的字母；②相同字母的指数相同，只有同时满足这两项的单项式才叫同类项，熟记同类项的判定要求是解决问题的关键； 根据同类项的定义逐项判断即可． 【详解】A. 和，相同字母的指数不相同，不是同类项，故本选项不符合题意； B. 和 ，所含字母不相同，不是同类项，故本选项不符合题意； C. 和 ，含有相同的字母，且相同字母的指数相同，是同类项，故本选项符合题意； D. 和 ，所含字母不相同，不是同类项，故本选项不符合题意； 故选：C． 【即学即练1-2】下列各题中，运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了合并同类项；根据合并同类项法则，系数相加减，字母及指数不变，逐项判断即可． 【详解】解：A．中，a 和 b 不是同类项，无法合并，故错误； B．中，同类项系数相减，，字母部分不变，结果为，正确； C．中，左侧，而非，故错误； D．中，与 中的 b指数不同，不是同类项，无法合并，故错误； 故选：B． 【即学即练1-3】若单项式与的和仍是单项式，则的值是（   ） A．3 B．6 C．8 D．9 【答案】C 【分析】此题考查了合并同类项，以及单项式，利用同类项定义求出m与n的值，即可求解． 【详解】单项式与的和仍是单项式， ∴，， ∴，， ∴， 故选：C． 知识点02 去（添）括号法则 1. 若括号前边是“+”号，括号里的各项都不变号； 2. 若括号前边是“-”号，括号里的各项都要变号. 【注意】：（1）要注意括号前面的符号,它是去括号后括号内各项是否变号的依据； （2）去括号时应将括号前的符号连同括号一起去掉； （3）括号前面是“-”时,去掉括号后,括号内的各项均要改变符号,不能只改变括号内第一项或前几项的符号,而忘记改变其余的符号； （4）括号前是数字因数时,要将数与括号内的各项分别相乘,不能只乘括号里的第一项； （5）遇到多层括号一般由里到外,逐层去括号. 【即学即练2-1】下列去括号或添括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查去括号和添括号法则，解题的关键是熟练掌握去括号和添括号时符号的变化规律． 根据去括号和添括号的法则，对每个选项逐一进行分析判断． 【详解】A、根据去括号法则，，而不是，该选项A错误； B、根据去括号法则，，而不是，该选项B错误； C、根据添括号法则，，而不是，该选项C错误； D、根据添括号法则，，选项D正确． 故选：D． 【即学即练2-2】下列等式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了去括号和添括号法则的应用，注意：当括号前是“”时，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都不改变符号，当括号前是“”时，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都改变符号，据此求解即可． 【详解】解：A、，故该选项错误，不符合题意； B、，故该选项错误，不符合题意； C、，故该选项错误，不符合题题意； D、，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 知识点03 整式的加法与减法 1.整式的加减 （1）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减连接，然后进行运算．几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减连接，然后进行运算． （2）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减连接，然后进行运算． （3）运算结果，常将多项式的某个字母的降幂（升幂）排列. 2.整式加减的一般步骤 （1）如果有括号，那么先去括号；（2）观察有无同类项；（3）利用加法的交换律和结合律，分组同类项； （4）合并同类项. 【即学即练3-1】化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）合并同类项时，只对同类项的系数进行加减计算，字母和字母的指数保持不变，据此求解即可； （2）先去括号，然后合并同类项即可得到答案． 本题主要考查整式的加减计算，合并同类项，去括号，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【即学即练3-2】先化简，再求值，其中． 【答案】， 【分析】本题考查整式加减中的化简求值，正确化简是解答的关键．先根据整式的加减运算法则化简原式，进而代值求解即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 【即学即练3-3】已知，． (1)化简：； (2)若的值与的取值无关，求此时的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式加减运算，代数式求值，熟练掌握整加减运算法则和整式无关型解题方法是解题的关键． （1）把，代入计算即可； （2）先变形为，再根据的值与的取值无关，得，从而求出x值，再代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ． （2）解：∵， 又∵的值与的取值无关， ∴， ∴， ∴． 题型1 同类型的判断 【典例1】下列各组代数式中，不是同类项的是（ ） A．2与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【知识点】同类项的判断 【分析】本题主要考查了同类项的定义，所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项，单独的两个数字也是同类项，据此可得答案． 【详解】解：A、2与是同类项，不符合题意； B、与是同类项，不符合题意； C、与是同类项，不符合题意； D、与不是同类项，符合题意； 故选：D． 【变式1】下列单项式中，与是同类项的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】同类项的判断 【分析】本题考查同类项的定义，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项． 【详解】解：A、相同字母的指数不相同，不是同类项； B、相同字母的指数不相同，不是同类项； C、符合同类项的定义，是同类项； D、相同字母的指数不相同，不是同类项； 故选：C． 【变式2】下列各组式子中，属于同类项的是（   ） A．a和 B．x和 C．和 D．1和2 【答案】D 【知识点】同类项的判断 【分析】本题主要考查了同类项的定义，所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项，据此可得答案． 【详解】解：由同类项的定义可知，四个选项中只有D选项中的式子是同类项， 故选：D． 【变式3】下列各组式子中为同类项的是（   ） A．x与y B．与 C．与 D．与 【答案】C 【知识点】同类项的判断 【分析】本题考查同类项的定义，同类项定义中的两个“相同”：所含字母相同；相同字母的指数相同，是易混点，还有注意同类项定义中隐含的两个“无关”：①与字母的顺序无关；②与系数无关． 根据同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，逐项判定即可． 【详解】解：A、与字母不同不是同类项，故此选项不符合题意； B、与相同字母的指数不相同，不是同类项，故此选项不符合题意； C、与所含字母相同且相同字母的指数也相同，是同类项，故此选项符合题意； D、与所含字母不全相同，不是同类项，故此选项不符合题意； 故选：C． 题型2 已知同类型求指数中字母或代数式的值 【典例2】若与是同类项，则m的值是 ． 【答案】2 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】本题主要考查的是同类项的定义，熟练掌握同类项的概念是解题的关键． 根据所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项，得出m的值． 【详解】解：∵与是同类项， ∴ ． 故答案为：2． 【变式1】已知单项式与的和是单项式，则 ． 【答案】2 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值、合并同类项 【分析】本题考查了合并同类项．同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫同类项．根据同类项的定义直接可得到a、b的值，然后代值计算即可． 【详解】解：∵单项式与的和是单项式， ∴与是同类项， ∴，则， ∴． 故答案为：2． 【变式2】如果单项式与是同类项，那么 ． 【答案】1 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】本题考查了同类项概念，代数式求值，解题的关键在于正确掌握同类项概念． 根据同类项概念得到，进而代入求解，即可解题． 【详解】解：⸪单项式与是同类项， ⸫， ⸫； 故答案为：1． 【变式3】已知与是同类项，则的值为 ． 【答案】或． 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值、绝对值的几何意义 【分析】本题考查了同类项的定义，绝对值的意义，根据同类项的定义求出，代入即可求解，掌握同类项的定义是解题的关键． 【详解】解：∵与是同类项， ∴，， ∴或， 当时，，， 当时，，， 故答案为：或． 题型3 合并同类型 【典例3】下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】合并同类项 【分析】本题考查了合并同类项，解题关键是能判断两项是否是同类项． 根据合并同类项法则，对四个式子逐一计算后作出判断． 【详解】解：，故A错误； ，故B正确； ，故C错误； 中没有同类项，不能合并，故D错误， 故选：B ． 【变式1】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】合并同类项 【分析】本题考查了合并同类项，掌握合并同类项法则是解答本题的关键． 合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．据此判断即可． 【详解】解：A、，写法正确，符合题意； B、，原写法错误，不符合题意； C、，原写法错误，不符合题意； D、与不是同类项，不能合并，原写法错误，不符合题意； 故选：A． 【变式2】下面计算正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】合并同类项 【分析】本题主要考查了合并同类项，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．根据合并同类项的结果，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、，故本选项正确，符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、和不是同类项，无法合并，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项错误，不符合题意； 故选：A． 【变式3】下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】合并同类项 【分析】本题考查了合并同类项，根据含有相同字母，且相同字母的指数也相同的项为同类项，合并同类项法则进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项符合题意； D、不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； 故选：C 题型4 去括号 【典例4】去括号： ． 【答案】 【知识点】去括号 【分析】本题考查了去括号法则，如果括号前是正号，去掉括号和括号前面的正号，括号里面各项符号不变；如果括号前是负号，去掉括号和括号前面的负号，括号里面各项符号改变．解决本题的关键是根据去括号的法则去括号即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式1】化简： ． 【答案】/ 【知识点】去括号 【分析】本题考查了整式的加减，掌握去括号法则是解题关键．根据去括号法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式2】化简： ． 【答案】 【知识点】去括号 【分析】本题考查了整式的加减．去括号，即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式3】化简的结果是 ． 【答案】 【知识点】合并同类项、去括号 【分析】本题考查了整式的加减，熟练掌握去括号法则和合并同类项法则是解题的关键． 根据去括号法则和合并同类项法则逐步化简即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 题型5 添括号 【典例5】下列各式左右两边相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】去括号、添括号 【分析】本题考查去括号，添括号，根据去括号和添括号法则，逐一进行判断即可，注意括号外面是负号，括号内的每一项都要变号，括号外面有系数，括号内的每一项都要乘这个系数． 【详解】解：A、，该选项错误，不符合题意； B、，该选项正确，符合题意； C、，该选项错误，不符合题意； D、，该选项错误，不符合题意； 故选B． 【变式1】下列式子变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】去括号、添括号 【分析】本题主要考查了去括号和添括号，根据去括号法则和添括号法则进行分析即可． 【详解】解：，故A选项变形错误； ，故B选项变形错误； ，故C选项变形错误； ，故D选项变形正确； 故选D． 【变式2】下列去括号或添括号的变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】去括号、添括号 【分析】本题考查整式加减中的去括号与添括号，去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．根据去括号和添括号法则求解判断即可． 【详解】解∶ ．，原添括号错误，故该选项不符合题意； ．，原去括号正确，故该选项符合题意； ．，原添括号错误，故该选项不符合题意； ．，原去括号错误，故该选项不符合题意； 故选：B． 【变式3】下列式子变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】去括号、添括号 【分析】本题主要考查去括号法则，直接利用去括号法则判断得出即可． 【详解】解：A. ，原变形错误，故此选项不符合题意；     B. ，原变形正确，故此选项符合题意； C. ，原变形错误，故此选项不符合题意；     D. ，原变形错误，故此选项不符合题意； 故选：B． 题型6 整式的加减运算 【典例6】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查了整式加减混合运算，掌握整式加减混合运算步骤是解题的关键． （1）进行整式加减运算，即可求解； （2）先去括号，再进行整式加减运算，即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式1】合并同类项： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】合并同类项、整式的加减运算 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）合并同类项时，只对同类项的系数进行加减计算，字母和字母的指数保持不变，据此求解即可； （2）先去括号，然后合并同类项即可得到答案； （3）先去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式2】化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】合并同类项、整式的加减运算 【分析】本题考查了整式的加减运算，其实质是去括号，合并同类项，掌握去括号与合并同类项法则是解题的关键． （1）直接合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可； （3）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题主要考查整式的混合运算 （1）先去括号，再合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可； （3）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 （3）原式 【变式4】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数的加减混合运算、去括号、整式的加减运算 【分析】（）根据有理数的加减运算法则计算即可； （）根据整式的加减运算法则计算即可； （）先去括号，再根据整式的加减运算法则计算即可； （）先去括号，再根据整式的加减运算法则计算即可； 本题考查了有理数的加减运算，整式的加减运算，掌握有理数和整式的加减运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 题型7 整式的加减中化简求值 【典例7】先化简，再求值，，其中． 【答案】； 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查整式化简求值，涉及整式加减运算法则、去括号法则与合并同类项法则，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键．根据整式加减运算法则化简，先去括号，再合并同类项，然后将代入求值即可得到答案． 【详解】解：； ； ； ； 当时，原式． 【变式1】先化简，再求代数式的值，其中，． 【答案】，8 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查了整式加减中的化简与求值，熟练掌握整式加减的运算法则是解题的关键．利用整式加减的运算法则化简，再代入的值计算即可． 【详解】解： ， 代入，，原式． 【变式2】化简求值：，其中， 【答案】， 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，先去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解； ， 当，时，原式． 【变式3】先化简，再求值：，其中，． 【答案】，26 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查了整式的加减——化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键； 先去括号，然后合并同类项，再把满足条件的字母的值代入计算得到对应的整式的值． 【详解】解： ； 当，时， 原式． 【变式3】已知，求的值 【答案】 【知识点】绝对值非负性、整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查了绝对值的非负性、整式的加减、代数式求值，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先根据绝对值的非负性求出和，化简代数式，代入求值即可． 【详解】解：∵， ∵，， ∴，， 解得：，， ， 当，时， ． 题型8 整式的加减中的无关型问题 【典例8】小刚在做一道题“已知两个多项式A，B，计算”时，误将看成，求得的结果是，已知． (1)求整式A； (2)若的值与无关，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】整式的加减运算、整式加减中的无关型问题 【分析】本题主要考查了整式的加减运算、无关性问题等知识点，灵活运用整式的加减运算法则成为解题的关键 （1）根据，列式计算即可． （2）由（1）得出多项式A，然后根据整式的加减运算法则化简，然后让x的系数为零即可． 【详解】（1）解：由题意知， ， ∴． （2）解： ， ∵的值与无关， ∴， ∴． 【变式1】已知代数式． 若代数式中不含x的项． (1)求y的值； (2)求代数式 的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式加减中的无关型问题、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了整式加减中的无关型问题，注意计算的准确性即可． （1）计算，令x的项的系数为零即可求解； （2）将代入计算即可. 【详解】（1）解： ∵代数式中不含x的项， ∴， 解得： （2）解： 【变式2】已知：， (1)化简：； (2)若的值与的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式加减中的无关型问题 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，熟知与的取值无关即含的项的系数为是解题的关键． （1）根据整式的加减计算法则求解即可； （2）根据的值与的取值无关，求出的式子中含的项的系数为，据此求解即可． 【详解】（1）解：，， ； （2） ， 的值与的取值无关， 的值与的取值无关， ， 解得：． 【变式3】已知，． (1)当时，求的值； (2)若的值与a的取值无关，求b的值，并求的值． 【答案】(1)27 (2)， 【知识点】整式加减中的无关型问题、整式的加减中的化简求值 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，整式加减中的无关型问题： （1）根据整式的加减计算法则求出的结果，再把整体代入求解即可； （2）将在（1）的基础上，进一步化简，要使的值与a的取值无关，则令含有a的项的系数为0即可就出b的值，再带入即可求解的值． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， ∵， ∴原式； （2）解；由（1）可得， ∵的值与a的取值无关， ∴， ∴， ∴。 题型9 整式的加减的应用 【典例9】如图，在一个长方形小广场上，有两块大小相同的正方形空地供人们休息（有关线段的长如图所示），留下一个“T”型的图形（阴影部分）．（单位：米） (1)用含的式子表示“T”型图形的周长并化简； (2)若，要给“T”型区域围上价格为30元/米的围栏，请计算围栏的造价． 【答案】(1)米； (2)围栏的造价是2700元． 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、整式加减的应用、列代数式 【分析】本题考查代数式求值，列代数式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据周长的定义求解； （2）利用（1）中结论计算即可． 【详解】（1）解：由图形可得阴影部分的周长为 （米）． （2）解：当时， （米）， （元）． 答：围栏的造价是2700元． 【变式1】项目式学习． 【项目主题】校园分布图制作． 【项目背景】为了让初一新生更快熟悉校园生活，善思小组成员准备为初一新生制作简易版校园分布图． 【实践操作】操作一：善思小组根据校园的活动区域分布，将校园分布图分为教学区、操场、学生活动中心、图书馆四个主要区域； 操作二：根据小组成员的实际测量与记录，绘制如图所示的校园总体分布图（单位：）． 【项目思考】 (1)用整式表示这个学校的操场和学生活动中心一共占地多少面积； (2)若，b的倒数是，求这个学校的操场和学生活动中心一共占地多少面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】倒数、列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值、整式加减的应用 【分析】本题主要考查了列代数式，代数式求值，绝对值意义，倒数定义，解题的关键是理解题意，熟练掌握长方形的面积公式． （1）根据长方形的边长和面积公式表示出学校的操场和学生活动中心一共占地的面积即可； （2）根据，b的倒数是，得出，，然后代入求值即可． 【详解】（1）解：学校的操场的占地面积为， 学生活动中心的占地面积为， 这个学校的操场和学生活动中心一共占地面积为： ； （2）解：∵，b的倒数是， ∴，， ∵， ∴， 把，代入得： 原式， 答：这个学校的操场和学生活动中心一共占地． 【变式2】某小区的一块长方形绿地的造型如图所示（单位：m），其中两个扇形表示绿地，两块绿地用五彩石隔开． (1)绿地的面积为_____平方米；（用含有a，b，π的式子表示） (2)若， ①若铺设五彩石费用为每平方米160元，种草的费用为每平方米80元，则美化这块长方形区域共需多少元？（用含有a，π的式子表示） ②若要求绿地面积大于这块地总面积的，试问该设计方案是否合乎要求？请说明理由． 【答案】(1) (2)①元；②该设计方案合乎要求，理由见解答 【知识点】列代数式、整式加减的应用 【分析】本题考查了列代数式，根据各数量之间的关系，用含，的代数式表示出各区域的面积是解题的关键． （1）将两个扇形的面积相加，即可用含有，，的式子表示出绿地的面积； （2）代入，用含有，的式子表示出绿地的面积． ①利用美化这块长方形区域所需费用铺设每平方米五彩石所需费用（这块地的总面积绿地的面积）种每平方米草所需费用绿地面积，即可用含有，的式子表示出美化这块长方形区域所需费用； ②求出这块地总面积的，将其与绿地面积比较后，即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：绿地的面积为（平方米）． 故答案为：； （2）解：当时，． ①根据题意得： （元， 美化这块长方形区域共需元； ②该设计方案合乎要求，理由如下： 这块地总面积的是（平方米）． ， 该设计方案合乎要求． 【变式3】如图，长为，宽为的大长方形被分割成7小块，除阴影，外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形．其较短一边长为． (1)从图中可知，这5块完全相同的小长方形中，每块小长方形较长边的长是_______cm（用含的代数式表示）． (2)分别计算阴影，的周长（用含，的代数式表示）． (3)阴影与阴影的周长差会不会随着的变化而变化？请说明理由． 【答案】(1) (2)阴影的周长为，阴影的周长为 (3)阴影与阴影的周长差不会随着的变化而变化，理由见解析 【知识点】整式加减的应用 【分析】本题考查了列代数式、整式加减法的应用； （1）利用大长方形的长减去形状、大小完全相同的小长方形的宽的3倍即可得； （2）先分别求出阴影的长与宽，再根据长方形的周长公式计算即可得的周长； （3）根据整式的加减法法则计算即可得． 【详解】（1）解：由图可知，每块小长方形较长边的长是， 故答案为：； （2）解：由图可知，阴影的长为，宽为， 阴影的长为，宽为， 则阴影的周长为， 阴影的周长为； （3）解：阴影与阴影的周长差为 ， 所以阴影与阴影的周长差不会随着的变化而变化． 一、单选题 1．下列各式中，与是同类项的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同类项的概念，关键是抓住同类项概念中的两个相同：一是字母相同；二是相同字母的指数也相同．根据同类项的概念，字母相同，相同字母的指数也相同的几个单项式叫做同类项，显然所给的几个选项与的字母都相同，根据同类项的概念判断即可． 【详解】解：A．选项中字母x、y的指数与中x、y的指均数不相同，故不是同类项； B．选项中字母y的指数与中y的指数不相同，故不是同类项； C．选项中字母x、y的指数与中x、y的指均数不相同，故不是同类项； D．选项中的x、y的指数均与中x、y的指数相同，故是同类项． 故选：D． 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的加减； 根据整式的加减运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A.和不是同类项，无法通过相加得出，原式计算错误； B.，原式计算错误； C.和不是同类项，无法通过相减得出，原式计算错误； D.，计算正确； 故选：D． 3．下列各式中，去括号正确的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了去括号，去括号时，括号前是“”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“”，去括号后，括号里的各项都改变符号，据此判断即可求解，掌握去括号法则是解题的关键． 【详解】解：、，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项正确，符合题意； 、，该选项错误，不合题意； 故选：． 4．若单项式与的差是单项式，则的值是（   ） A．3 B．6 C．4 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了整式加减，同类项的定义，掌握同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项． 先根据整式加减法法则得出与是同类项，再根据同类项的定义列出方程，再求解即可． 【详解】解：∵单项式与的差是单项式， ∴与是同类项， ∴， ∴， 故选：A． 5．多项式的值与x的取值无关，则的值为（   ） A． B． C． D．7 【答案】D 【分析】本题考查整式的加减，代数式求值，解题的关键是掌握去括号、合并同类项的法则．先根据整式的加减运算法则化简，再根据含x的项的系数为0，得出，，即可解出a、b的值，再代入所求式子运算即可． 【详解】解： 因多项式的值与x无关，故含x项的系数均为零： ∴，解得； ，解得； ∴， 故选：D． 二、填空题 6．写出一个能与合并的单项式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了合并同类项，掌握所含字母相同且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，是本题的解题关键． 根据同类项的定义求解即可． 【详解】解：能与合并的单项式有，等， 故答案为：（答案不唯一）． 7．若与的和是单项式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查同类项的定义，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据同类项的定义列出关于、的方程，求出、的值，代入计算即可． 【详解】解：∵与的和是单项式， ∴与是同类项， ∴，， 解得：，， ∴； 故答案为：； 8．一个整式减去得，则这个整式为 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减，掌握运算方法是解决问题的关键．先根据题意列出代数式，然后进行计算即可． 【详解】解：， ， ． 故答案为： ． 9．有理数，，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是 ． 【答案】/ 【详解】此题考查了利用数轴判断式子的符号，整式加减等知识，数形结合是解题的关键． 根据数轴上点的位置确定出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果． 【解答】解：根据题意得：， 则，， 所以原式 ． 10．如图，把两个边长不等的正方形放置在周长为48的长方形内，两个正方形中均有一组邻边分别落在长方形的一组邻边上．如果两个正方形的周长和为60，那么这两个正方形的重叠部分（图中阴影部分所示）的周长为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，正确理解题意求出a+b=6是解题的关键． 设较小的正方形边长为x，较大的正方形边长为y，阴影部分的长和宽分别为a、b，然后根据长方形周长公式分别得到，，由此即可得到答案． 【详解】解：设较小的正方形边长为，较大的正方形边长为，阴影部分的长和宽分别为、， ∵两个正方形的周长和为60， ∴， ∴， ∴，， ∵长方形的周长为48， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的周长为12， 故答案为：12 三、解答题 11．化简下面各题 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）先去括号，再合并同类项，然后即可求解； （2）先去括号，再合并同类项，然后即可求解； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 12．先化简，再求值：，其中． 【答案】，5 【分析】本题主要考查了整式加减的化简求值， 先去括号，再合并同类项，然后代入求值即可. 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 13．先化简后求值：已知，求的值． 【答案】，2 【分析】先利用绝对值的非负性，偶次方的非负性，求得，，再化简待求式子，然后代入求值． 【详解】解：由已知，可得，y+1=0， 解得：，， ， 当，时， 原式 ． 【点睛】本题考查了绝对值的非负性，偶次方的非负性，整式的加减中的化简求值，去括号，合并同类项，解题关键是掌握上述知识点． 14．把四张形状、大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为，宽为）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，求图②中两块阴影部分的周长和（用含m，n的式子表示）． 【答案】图②中两块阴影部分的周长和是． 【分析】本题考查了整式加减的应用，解题关键是正确列出算式． 先列出算式，再利用整式加减化简，然后代入求值． 【详解】解：设小长方形卡片的长为，宽为， 则下面的阴影的周长为， 上面的阴影的周长为， 所以两块阴影部分的周长和为 ． 因为， 所以 ， 即图②中两块阴影部分的周长和是． 15．已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示： (1)用，， 填空：_____0，_____0，_____0，____0； (2)化简：． 【答案】(1)，，，； (2) 【分析】本题考查数轴、绝对值、整式的加减等知识的综合运用，解题的关键是能够根据数轴上的信息，判断出a，b，c的取值范围，同时解决此题时也要注意绝对值性质的运用． （1）根据数轴，判断出a，b，c的取值范围，进而求解； （2）根据绝对值的性质，去绝对值号，合并同类项即可． 【详解】（1）解：由数轴可知，，且， ，，，， 故答案为：，，，； （2）解：由数轴可知，，且， ∴，，， ∴ 16．已知，． (1)当时，求的值； (2)若代数式的值与a的取值无关，求的值． 【答案】(1)7 (2) 【分析】本题考查了整式的加减、偶次方与绝对值的非负性，代数式求值，熟练掌握整式的加减运算法则是解题关键． （1）先去括号，再计算整式的加减，然后根据偶次方与绝对值的非负性可得的值，代入计算即可得； （2）先将原式化简后，得到，从而可得，由该式的值与a的取值无关，得到，求出b的值即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴ ； （2） ， ∵该式的值与a的取值无关， ∴， ∴， ∴． 17．小马虎做一道数学题“两个多项式A，B，已知，试求的值”．小马虎将看成，结果答案（计算正确）为． (1)求多项式A； (2)若多项式，且满足的结果不含项和x项，求m，n的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查整式的加减，整式加减无关型，掌握整式加减运算的法则是解题的关键． （1）利用减去，求解即可； （2）先化简，根据无关型列出方程，求解即可． 【详解】（1）∵，， ∴ （2）∵，， ∴ ∵的结果不含项和x项， ∴，， 解得：，． 18．我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． (1)把看成一个整体，化简：； (2)若，，． ①计算． ②小华认为无论取何值，的值都无法确定．小明认为可以找到适当的数，使代数式的值是常数．你认为谁的说法正确？请说明理由． 【答案】(1) (2)①5；②小明的说法正确，理由见解析 【分析】（）把看成一个整体，然后根据合并同类项法则计算即可； （）①将A，B代入合并求解即可； ②先化简，然后根据结果进行判断即可； 本题考查了整式的加减运算，化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1） ； （2）① ； ②小明的说法正确，理由如下： ∴当时，即时， ∴小明的说法正确． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$