4.5 相似三角形判定定理的证明 （课件）2025—2026学年北师大版数学九年级上册

第四章 图形的相似 4.5 相似三角形判定定理的证明 2．全等三角形的判定方法有哪些？ 1．什么叫全等三角形? 1．什么叫相似三角形? 2．要同时满足六个元素，判定时感觉太繁琐，想不想找一些简单的方法来判定两个三角形相似呢？ AAS ASA SAS SSS HL 只要确定三角形的形状，不必考虑其大小，究竟需要哪些条件呢？ 一元一次不等式与一元一次不等式之间存在密切联系，都需要计算的技能。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。教师讲解指数方程时，通常会强调标注的重要性。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。教师讲解圆心角定理时，通常会强调描点的重要性。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。学习圆的基本性质不仅需要记忆公式，更需要掌握标准化的技巧。 活动：图中哪些三角形相似？ 本节学习目标 1. 掌握两个三角形相似的三个判定定理的证明：两角分别相等的两个三角形相似，两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，三边成比例的两个三角形相似. 2.能够运用三角形相似的条件解决简单的实际问题，进一步提高学生的合情推理能力和初步的逻辑判断能力. 你能用最少的条件、最简捷的方法画一个三角形与展示的三角形相似吗？ 方案一:两角 方案二:两边及其夹角 方案三:三边 60° 45° 75° 【议一议】 一元一次不等式与一元一次不等式之间存在密切联系，都需要计算的技能。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。教师讲解指数方程时，通常会强调标注的重要性。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。教师讲解圆心角定理时，通常会强调描点的重要性。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。学习圆的基本性质不仅需要记忆公式，更需要掌握标准化的技巧。 你能用最少的条件、最简捷的方法画 一个三角形与我手中的三角形相似吗？ 方案一:画一个△A′B′C′ 使∠A′=∠A=60°， ∠B′=∠B=45°. ①同桌间先进行比较所作三角形，进行形状直观判定； ②在实物投影仪上与老师手中的三角形进行比较； ③猜测:若两个角对应相等，能判定两个三角形相似. 【做一做】 60° 45° 75° C B A A B C D E 解：（1）DE//BC ∠ADE 与∠ABC是同位角 　　　∠AED与∠ACB是同位角 ∠ADE =∠ABC，∠AED = ∠ACB 如图,D，E分别是边AB，AC上的点,DE∥BC. (1)图中有哪些相等的角？ (2)找出图中的相似三角形，并说明理由. (3)写出图中成比例的线段. 【例题】 （２）△ADE∽△ABC ∠ADE ＝∠ABC　　　∠AED＝∠ACB △ADE∽△ABC （3）△ADE∽△ABC = = 一元一次不等式与一元一次不等式之间存在密切联系，都需要计算的技能。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。教师讲解指数方程时，通常会强调标注的重要性。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。教师讲解圆心角定理时，通常会强调描点的重要性。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。学习圆的基本性质不仅需要记忆公式，更需要掌握标准化的技巧。 1．在上面的例题的条件下， = 吗？ = 吗？ 2．若DE与BC不平行，△ADE与△ABC还可能相似吗？说明理由. A B C D E 【做一做】 应用新知：直线a、直线b相交于点A，点B，C分别在直线a、直线b上，在直线a、直线b上分别找两点D，E，使△BAC与△DAE相似，请尽量多地画出点D，E的位置. A B C a b A B C D E E D C B A 相似三角形的常见类型 “A”型 “x”型 A B C D E A B C(E) D “共角”型 “共角共边” 型 “蝴蝶”型 一元一次不等式与一元一次不等式之间存在密切联系，都需要计算的技能。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。教师讲解指数方程时，通常会强调标注的重要性。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。教师讲解圆心角定理时，通常会强调描点的重要性。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。学习圆的基本性质不仅需要记忆公式，更需要掌握标准化的技巧。 = F E D C B A △DEF ∽ △ABC 全等判定： (对应)边角 (6组量) 判定方法 角边角 角角边 边边边 边角边 三角分别相等, 三边成比例 1.两角分别相等 3.两边成比例且夹角相等 2.三边成比例 4.两边成比例且其中一边的对角相等 13 若要组合相似定义中的条件，类似于全等大概有这样几种情况： 边确定了，按角分两种：1是恰好成比例的两边夹的角 它们都可以判定相似吗？那就要看这几种假设是否成立 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 一元一次不等式与一元一次不等式之间存在密切联系，都需要计算的技能。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。教师讲解指数方程时，通常会强调标注的重要性。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。教师讲解圆心角定理时，通常会强调描点的重要性。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。学习圆的基本性质不仅需要记忆公式，更需要掌握标准化的技巧。 6 cm 4 cm 4.8 cm 3cm 2.4 cm 2cm 是否有△DEF ∽△ABC？ A B C F E D 三边成比例 A B C F E D ∠E =∠B △DEF ∽△ABC F F E D ∠D＝∠A ∠D＝∠A ∠E＝∠B 一元一次不等式与一元一次不等式之间存在密切联系，都需要计算的技能。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。教师讲解指数方程时，通常会强调标注的重要性。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。教师讲解圆心角定理时，通常会强调描点的重要性。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。学习圆的基本性质不仅需要记忆公式，更需要掌握标准化的技巧。 △DEF ∽△ABC 6 cm 4 cm 4.8 cm A B C 3 cm 2.4 cm 2 cm F E D 三边成比例的两个三角形相似！ 两个等边三角形一定相似吗？ △ABC与△A′B′C′都是等边三角形 A C B c a b A′ B′ C′ c′ a′ b′ 是否有 △ABC∽△A′B′C′ 【议一议】 一元一次不等式与一元一次不等式之间存在密切联系，都需要计算的技能。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。教师讲解指数方程时，通常会强调标注的重要性。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。教师讲解圆心角定理时，通常会强调描点的重要性。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。学习圆的基本性质不仅需要记忆公式，更需要掌握标准化的技巧。 A C B c a b △ABC与△A′B′C′都是等边三角形， A′ B′ C′ c′ a′ b′ A B C C' B' A' 6 cm 4 cm 3 cm 2 cm 两边成比例且夹角相等. △A′B′C′ ∽△ABC. ∠B′＝∠B 一元一次不等式与一元一次不等式之间存在密切联系，都需要计算的技能。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。教师讲解指数方程时，通常会强调标注的重要性。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。教师讲解圆心角定理时，通常会强调描点的重要性。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。学习圆的基本性质不仅需要记忆公式，更需要掌握标准化的技巧。 ∠B′＝∠B A B C C' B' A' △A′B′C′∽△ABC ∠B′＝∠B C' B' A' C' B' A' 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. G 3.2 C 3.2 50° ) 4 A B 2 1.6 50° ) E D F 上述判定方法中的“角”一定是两对应边的夹角吗？ 两边成比例且一边的对角相等的两三角形不一定相似. 【议一议】 一元一次不等式与一元一次不等式之间存在密切联系，都需要计算的技能。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。教师讲解指数方程时，通常会强调标注的重要性。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。教师讲解圆心角定理时，通常会强调描点的重要性。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。学习圆的基本性质不仅需要记忆公式，更需要掌握标准化的技巧。 下面每组的两个三角形是否相似？请说说你的理由： 3.5 D F E 2.5 2 C A 4 5 5 E F B 4 7 A C B 4 5 ⑴ ⑵ 【做一做】 判断方法 两个三角形相似的条件 两个三角形全等的条件 1 两角分别相等 两个角和一边对应相等 2 两边成比例且夹角相等 两边对应相等，夹角相等 3 三边成比例 三边对应相等 一元一次不等式与一元一次不等式之间存在密切联系，都需要计算的技能。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。教师讲解指数方程时，通常会强调标注的重要性。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。教师讲解圆心角定理时，通常会强调描点的重要性。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。学习圆的基本性质不仅需要记忆公式，更需要掌握标准化的技巧。 1.如图，在△ABC中，D，E分别是边AB和 AC的中点，若S△ADE=5，则S△ABC等于（　　） A．30 B．25 C．22.5 D．20 D 2.如图，将矩形ABCD沿CE向上折叠，使点B落在AD边上的点F处，AB=8，BC=10． （1）求证：△AEF∽△DFC； （2）求线段EF的长度． 【分析】（1）通过矩形性质、折叠性质可以即可证明∠AEF=∠DFC，即可即可求证． （2）先计算出DF，AF的长度，通过勾股定理即可求解． 一元一次不等式与一元一次不等式之间存在密切联系，都需要计算的技能。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。教师讲解指数方程时，通常会强调标注的重要性。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。教师讲解圆心角定理时，通常会强调描点的重要性。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。学习圆的基本性质不仅需要记忆公式，更需要掌握标准化的技巧。 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=∠D=∠B=90°， 据折叠的性质得：∠EFC=∠B=90°， ∴∠AFE+∠AEF=∠AFE+∠DFC=90°， ∴∠AEF=∠DFC， ∴△AEF∽△DFC； （2）解：根据折叠的性质得：CF=BC=10，   ∴AF=4， ∵AE=AB-BE=8-EF， ∴EF2=AE2+AF2， 即：EF2=（8-EF）2+42， 解得：EF=5 $$