第三单元 倍数与因数（单元复习课件）数学北师大版五年级上册

该小学数学课件系统梳理五年级上册“倍数与因数”单元核心知识，通过单元知识框架将因数、倍数、2/3/5的倍数特征、质数与合数、分解质因数、公因数与公倍数等知识点串联，构建逻辑清晰的知识网络，体现内在联系。 其亮点在于采用“知识点梳理-重难点精讲-变式巩固”三阶复习模式，如结合50名同学报数情境设计2的倍数练习培养数学眼光，通过数字和判断3的倍数训练数学思维，规范分解质因数书写强化数学语言。分层例题与变式题满足不同学生需求，助力教师高效开展针对性复习，提升知识巩固效果。

单元复习课件 小学数学·五年级上册·北师大版 第三单元 倍数与因数 单元知识框架 01 知识点梳理 02 重难点题型精讲 03 变式巩固练习 04 单元知识框架 倍数与因数 因数知识点 倍数知识点 2，3和5的倍数特征 质数和合数 分解质因数 公因数和最大公因数相关知识点 公倍数和最小公倍数相关知识点 2的倍数特征及其相关知识点 3的倍数特征及其相关知识点 5的倍数特征及其相关知识点 既是2的倍数又是5的倍数特征 同时是2，3和5的倍数相关题目 质数定义和相关知识点 合数定义和相关知识点 单元知识框架 知识点1 因数知识点 1 因数知识点 ①因数的定义：在整数除法中，如果商是整数且没有余数，除数和商就是被除数的因数。例如，12÷2=6，2和6是12的因数。也可以表述为：如果a×b=c（a、b、c都是不为0的整数），那么a和b是c的因数，c是a和b的倍数。例如，3×8=24，3和8是24的因数。 知识点梳理 1 因数知识点 ②一个数因数的求法：如24的因数，通常用除法从1开始除起，除的尽的都是这个数的因数。如24的因数为：1，2，3，4，6，8，12，24。强调我们在书写一个数因数时，按一头一尾书写，可以做到不遗漏，不重复。 ③ 因数的特征：1、1是任何数的因数，2、一个数最小的因数为1，最大的因数为其本身，3、一个数的因数的个数是有限的。 知识点梳理 【分析】根据因数定义，判断数能否整除32来确定是否为因数。 【详解】因数是指整数a除以整数b(b≠0)商为整数且无余数时，b是a因数。 对于A选项，32÷12=2……8，有余数，所以12不是32的因数。 对于B选项，32÷8=4，商是整数目无余数，8是32的因数 对于C选项，32÷16=2，商是整数且无余数，16是32的因数。 【例1】下面各数中，不是32的因数的数是（ ）。 A．12 B．8 C．16 A 重难点题型精讲 【分析】明确因数和倍数相互依存，依据定义判断选项。 【详解】3×5 = 15（3、5、15均为非0自然数 ） A 选项：不能单独说15是倍数，需说15是3和5的倍数，A 错误。 B 选项：应是3和5是15的因数，15是3和5的倍数，B 错误。 C 选项：因为3×5 = 15，所以5是15的因数，C 正确。 D 选项：应是15是3和5的倍数，不是5是15和3的倍数，D 错误。 【练1】根据“3×5＝15”，下列说法正确的是（ ）。 A．15是倍数 B．15是5和3的因数 C．5是15的因数 D．5是15和3的倍数 C 变式巩固练习 知识点2 倍数知识点 2 倍数知识点 ①倍数的定义：在整数除法中，如果商是整数且没有余数，被除数就是除数和商的倍数。例如，12÷2 = 6，12是2和6的倍数。 同样，如果a ×b = c（a、b、c都是不为0的整数），那么c是a和b的倍数。例如，3×8 = 24，24是3和8的倍数。 知识点梳理 2 倍数知识点 ②一个数倍数的求法：如4的倍数，通常用乘法从1开始乘起。如4的倍数为：4,8,12,16,20,24……，强调我们在写某一个数的倍数的时候，从1倍开始乘起，因为一个数的倍数个数是无限的，所以我们在写某一个数的倍数时，通常写五到六个，然后加上“……”号即可。 ③ 倍数的特征：1、一个数最小的倍数是它的本身，没有最大的倍数。2、一个数的倍数个数是无限的。 知识点梳理 【分析】要找出10-20中7的倍数，需先明确倍数的概念，再依次判断该范围内数是否为7的倍数。 【详解】 7×1=7，7＜10，不在范围内； 7×2=14，10≤14≤20，是7的倍数； 7×3=21，21＞20，不在范围内。 所以10-20中7的倍数只有14，共1个，答案选A。 【例2】在10~20的数中，7的倍数有（ ）个。 A．1 B．2 C．3 D．4 A 重难点题型精讲 【分析】找27的因数，可以利用乘法算式，按因数从小到大的顺序找； 找100以内7的倍数，给这个数乘自然数：1、2、3、4……，所得到的数都是这个数的倍数，据此解答即可。 【详解】 27=1×27=3×9，所以27的全部因数：1、3、9、27； 100以内所有的7的倍数：7、14、21、28、35、42、49、56、63、70、77、84、91、98。 【练2】找出27的全部因数和100以内7的全部倍数。 27的全部因数：____________________________________________。 100以内7的全部倍数： _________________________________________。 1、3、9、27 7、14、21、28、35、42、49、56、63、70、77、84、91、98 变式巩固练习 知识点3 2的倍数特征及其相关知识点 2的倍数特征及其相关知识点 3 ①2的倍数特征：个位上出现2、4、6、8、0。同时2的倍数特征也是偶数的特征。强调偶数也就是我们所说的双数，除以2可以除的尽。 ②奇数特征：个位上出现1、3、5、7、9。强调奇数也就是我们所说的单数，除以2除不尽。 知识点梳理 【例3】是2的倍数的最小三位数是（ ）。 A．100 B．101 C．103 D．104 【分析】要使这个三位数最小，则每个数位上的数字都应最小，百位最小是1，十位最小是0，再根据是2的倍数的数个位必须是2、4、8、0确定个位最小是几。 【详解】是2的倍数的最小三位数是100。 A 重难点题型精讲 【分析】所有报到2的倍数的同学去跳绳，即求50以内有多少个2的倍数。 【详解】50÷2=25(人) 答:参加跳绳的有25人。 【练3】体育课上，五（1）班50名同学站成一行，按老师的口令从左往右报数：1、2、3、4、5、……、50。所报的数是2的倍数的同学去跳绳，参加跳绳的有多少人？ 变式巩固练习 知识点4 3的倍数特征及其相关知识点 3的倍数特征及其相关知识点 4 3的倍数特征：各个数位上数的和是3的倍数。 例如，判断96和14是否是3的倍数，96因为9+6=15，15是3的倍数，所以96是3的倍数；14因为1+4=5，5不是3的倍数，所以14不是3的倍数。 知识点梳理 【例4】2024至少再减少 （ ）就是3的倍数。 A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】要判断一个数是否是3的倍数，需看这个数各位数字之和是否是3的倍数，先算出2024各位数字之和，再确定至少减少多少能成为3的倍数。 【详解】计算2024各位数字之和：2+0+2+4=8。 因为距离8最近且比8小的3的倍数是6（3×2=6），所以至少要减少8-6=2，此时2024-2=2022，2+0+2+2=6，6是3的倍数，2022也是3的倍数。 所以2024至少再减少2就是3的倍数，答案选B。 B 重难点题型精讲 【分析】分别依据2、3、5的倍数特征，分析符合条件的数的个数。 【详解】 判断是2的倍数的数：个位是偶数（0、2、4、6、8）的数是2的倍数。用5、6、7组成三位数，个位只能是6，这样的数有576、756，共2个。 判断是3的倍数的数：3的倍数特征是各位数字之和是3的倍数。5+6+7=18，18是3的倍数，所以用5、6、7组成的三位数（567、576、657、675、756、765）各位数字和都是18，都是3的倍数，共6个。 判断是5的倍数的数：5的倍数特征是个位是0或5，这里只有个位是5时符合，这样的数有675、765，共2个。 【练4】用5、6、7三个数字组成的三位数中（每个三位数中都没有重复数字），是（ ）的倍数的最多。 A．2 B．3 C．5 B 变式巩固练习 知识点5 5的倍数特征及其相关知识点 5的倍数特征及其相关知识点 5 5的倍数特征：个位上出现0或5时，就是5的倍数。 例如：15，20，25…… 知识点梳理 【例5】用3、4、5这三个数组成三位数，能组成( )个不同的三位数。其中有( )个是5的倍数。 【分析】可先分类列举：①“3”开头，②“4”开头，③“5”开头，列举出每类中三个数；就可以求出不同的三位数的个数；再根据列出的三位数，个位是5的即为5的倍数，据此解答。 重难点题型精讲 【例5】用3、4、5这三个数组成三位数，能组成( )个不同的三位数。其中有( )个是5的倍数。 【详解】①“3”开头：345，354，共2个； ②“4”开头：435，453，共2个； ③“5”开头：543，534，共2个。 一共能组成6个不同的三位数； 5的倍数有：345，435，共2个。 用3、4、5这三个数组成三位数，能组成6个不同的三位数。其中有2是5的倍数。 6 2 重难点题型精讲 【分析】要判断五个连续自然数的和是否为5的倍数，可通过设数表示出这五个数，再计算它们的和并分析。 【详解】设五个连续自然数分别为n-2、n-1、n、n+1、n+2（n为自然数）。 它们的和为：n-2+n-1+n+n+1+n+2 去括号并化简：n-2+n-1+n+n+1+n+2=5n 因为5n能被5整除（5n÷5=n，商为自然数），所以五个连续自然数的和一定是5的倍数，该说法正确。 【练5】五个连续自然数的和一定是5的倍数。( ) √ 变式巩固练习 知识点6 既是2的倍数又是5的倍数特征 既是2的倍数又是5的倍数特征 6 个位上只能出现0。 也就是当各位上出现0时，这个数字一定是2和5共同的倍数。 知识点梳理 【例6】12、25、48、60、72、90这些数中是2的倍数有( )；是5的倍数有( )；既是2的倍数又是5的倍数有( )。 【分析】2的倍数特征：个位数是0、2、4、6或8；5的倍数特征：个位数是0或5；既是2的倍数又是5的倍数特征：个位数是0。据此解答。 【详解】12、25、48、60、72、90这些数中是2的倍数有12、48、60、72、90；是5的倍数有25、60、90；既是2的倍数又是5的倍数有60、90。 12、48、60、72、90 25、60、90 60、90 重难点题型精讲 【分析】要找出这个两位偶数，需结合2、5的倍数特征以及数位和为4的条件来分析。 【详解】 分析2和5的倍数特征： 因为这个数是偶数且是5的倍数，根据2和5的倍数特征，既是2的倍数又是5的倍数的数，个位一定是0。 确定十位数字： 已知各个数位上的和是4，个位是0，那么十位数字就是4-0=4。 所以这个数是40。 【练6】一个两位的偶数，各个数位上的和是4，它还是5的倍数，这个数是( )。 40 变式巩固练习 知识点7 遇到同时是2，3和5的倍数相关题目解题方法 遇到同时是2，3和5的倍数相关题目解题方法 7 ①当遇到同时是2和3倍数相关题目时，先找2的倍数，因为2的倍数特征是个位上只能出现2、4、6、8、0，然后再看给的数字和，从而判断是否是3的倍数即可。 ②当遇到同时是3和5倍数相关题目时，先找5的倍数，因为5的倍数特征是个位上只能出现0或5，然后再看给的数字和，从而判断是否是3的倍数即可。 ③当遇到同时是2，3和5倍数相关题目时，先寻找2和5倍数，因为此时个位上只能出现0，然后再看给的数字和，从而判断是否是3的倍数即可。 知识点梳理 【例7】在1、4、8、0中选出三个数字，按要求组成三位数。 (1)同时是2、3、5的倍数是( )。 (2)最大的奇数是( )，最小的偶数是( )。 【分析】（1）先考虑这个三位数是2、5的倍数，那么它的个位一定是0。再考虑这个三位数又是3的倍数，那么它的个位之和是1＋8＋0＝9，4＋8＋0＝12。由此得出同时是2、3、5的倍数的三位数。 （2）整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。要求最大的奇数，个位上的数是1，那么百位是8，十位是4。要求最小的偶数，个位上的数是4，那么百位是1，十位是0。 重难点题型精讲 【例7】在1、4、8、0中选出三个数字，按要求组成三位数。 (1)同时是2、3、5的倍数是( )。 (2)最大的奇数是( )，最小的偶数是( )。 【详解】（1）同时是2、3、5的倍数是180、810、480、840。 （2）在1、4、8、0中，奇数是1，偶数是4、8、0，且8＞4＞1＞0； 最大的奇数是841，最小的偶数是104。 180 841 104 重难点题型精讲 【分析】3的倍数特征：一个数各个数位上的数的和是3的倍数；同时是2、3、5的倍数特征：个位是0，各个数位上的数字之和是3的倍数，据此解答。 【练7】212至少减去( )就是3的倍数，至少加上( )，就能同时是2、3、5的倍数。 变式巩固练习 【详解】2＋1＋2＝5 5－3＝2 所以212至少减去2就是3的倍数； 个位是0且比212大的数有220,230,240等等， 2＋2＋0＝4 2＋3＋0＝5 2＋4＋0＝6 240－212＝28 6是3的倍数，所以212至少加上28，就能同时是2、3、5的倍数。 【练7】212至少减去( )就是3的倍数，至少加上( )，就能同时是2、3、5的倍数。 2 28 变式巩固练习 知识点8 质数和合数 质数和合数 8 质数定义和相关知识点 ①质数定义：一个数的因数有且只有两个，1和它的本身，我们称这个是质数。 ②100以内质数表：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。 ③强调：在质数家族中，有一个数字及其特殊也就是2，2是质数家族中唯一的一个偶数。 ④最小的质数是2。 知识点梳理 质数和合数 8 合数定义和相关知识点： ①合数定义：一个数的因数有三个或者三个以上的数，我们称这样的数叫做合数。例如：4的因数有1，2，4；10的因数有：1，2，5，10。 ②最小的合数是4。 知识点梳理 【例8】下面各数，哪些是质数，哪些是合数？分别填入合适的圈里。 21 23 25 27 29 31 33 35 37 43 47 49 【分析】质数：只有1和它本身两个因数的数叫做质数；合数：除了1和它本身外，还有其他因数的数叫合数；据此即可解答。 【详解】 重难点题型精讲 【分析】要找出每个数既是奇数又是合数的一组，需先明确奇数与合数的定义，再对每个选项逐一分析。 奇数的定义：不能被2整除的整数。 合数的定义：除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的自然数。 【练8】下列各组数中，每个数既是奇数又是合数的一组是（ ）。 A．4，6，81 B．9，27，19 C．9，15，27 D．5，7，10 变式巩固练习 【详解】 选项A：4、6能被2整除，是偶数不是奇数，所以A选项不符合。 选项B：19只能被1和19整除，是质数不是合数，所以B选项不符合。 选项C：9、15、27不能被2整除是奇数；9=3×3，除了1和本身还能被3整除，15=3×5，除了1和本身还能被3、5整除，27=3×9，除了1和本身还能被3、9整除，是合数。所以C选项符合。 选项D：5、7只能被1和本身整除，是质数不是合数；10能被2整除（10÷2=5），是偶数不是奇数，所以D选项不符合。 【练8】下列各组数中，每个数既是奇数又是合数的一组是（ ）。 A．4，6，81 B．9，27，19 C．9，15，27 D．5，7，10 C 变式巩固练习 知识点9 分解质因数 ①先明确分解质因数我们分解的数是合数，把合数分解成相关质数的乘积。 ②对某些数字进行分解质因数，有两种方法，叶状图和短除法，例题如下： ③强调对某个数字分解质因数书写格式必须写成如：24=2×2×2×3 分解质因数 9 知识点梳理 【例9】把45进行分解质因数，正确的是（ ）。 A. 45=3×3×5 B. 45=1×3×3×5 C. 45=3×15 D. 45=1×3×15 【分析】分解质因数是把合数写成几个质数相乘的形式，1不是质数，据此分析。 【详解】 选项A：3、5都是质数，45=3×3×5是分解质因数，正确。 选项B：1不是质数，不能出现在分解质因数中，错误。 选项C：15是合数，不是质因数，错误。 选项D：1和15都不符合质因数要求，错误。 A 重难点题型精讲 【分析】根据质数的意义，一个数如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数，即可把每个合数分成两个质的积，也可把每个合数分成两个质的和；100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。据此选择合适的质数，即可解决问题。 【练9】你会在括号里填合适的质数吗？ 10=( )× ( ) 10=( )＋ ( ) 14=( )× ( ) 14=( )＋ ( ) 18=( )× ( ) ×( ) 18=( )＋ ( ) =( )＋ ( ) 5 2 7 3 7 2 11 3 2 3 3 7 11 5 13 变式巩固练习 知识点10 公因数和最大公因数相关知识点 公因数和最大公因数相关知识点 10 ①公因数的定义：一组数的公因数其实就是它们共同所有的因数。 ②求公因数的方法为列举法，如求12和18的公因数 12的因数有：1，2，3，4，6，12 18的因数有：1，2，3，6，9，18 12和18个公因数：1，2，3，6 ③而在求一组数的最大公因数时，是建立在求公因数的基础上得到，最大公因数是公因数中最大的一个数。即12和18的最大公因数为6。 ④公因数特征：一组数的公因数个数是有限的，最小的公因数为1。 知识点梳理 【例10】在括号里写出每组数的最大公因数。 12和4( ) 48和16( ) 9和10( ) 3和24( ) 5和20( ) 6和11( ) 我发现当两个数是倍数关系时，它们的最大公因数是两个数中较( )（填“大”或“小”）的数。 【分析】通过乘法算式，先列举出每个数的所有因数，再从中找出两个数的最大公因数，并从中发现规律。 重难点题型精讲 【例10】在括号里写出每组数的最大公因数。 12和4( ) 48和16( ) 9和10( ) 3和24( ) 5和20( ) 6和11( ) 我发现当两个数是倍数关系时，它们的最大公因数是两个数中较( )（填“大”或“小”）的数。 【详解】（1）12的因数：1，2，3，4，6，12； 4的因数：1，2，4； 12和4的最大公因数是4； （2）48的因数：1，2，3，4，6，8，12，16，24，48； 16的因数：1，2，4，8，16； 48和16的最大公因数是16 4 16 重难点题型精讲 【例10】在括号里写出每组数的最大公因数。 12和4( ) 48和16( ) 9和10( ) 3和24( ) 5和20( ) 6和11( ) 我发现当两个数是倍数关系时，它们的最大公因数是两个数中较( )（填“大”或“小”）的数。 【详解】（3）9的因数：1，9； 10的因数：1，2，5，10； 9和10的最大公因数是1； （4）3的因数：1，3； 24的因数：1，2，3，4，6，8，12，24； 3和24的最大公因数是3。 按此规律完成后续填空 4 16 1 3 5 1 小 重难点题型精讲 【练10】五（4）班学生为庆祝“六一”儿童节，需要用彩带装饰花篮。如果把如图的两根彩带剪成同样长的短彩带且没有剩余，每根短彩带最长是多少厘米？一共90厘米可以剪成这样的短彩带多少根？ 【分析】把90厘米、60厘米长的两根彩带剪成同样长的短彩带且没有剩余，每根短彩带要最长，就是求90和60的最大公因数。把90、60分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是最大公因数。就是它们每根短彩带最长是多少厘米。再看90里面有几个这样的最大公因数，即是90厘米一共可以剪成这样的短彩带的总根数。 变式巩固练习 【练10】五（4）班学生为庆祝“六一”儿童节，需要用彩带装饰花篮。如果把如图的两根彩带剪成同样长的短彩带且没有剩余，每根短彩带最长是多少厘米？一共90厘米可以剪成这样的短彩带多少根？ 【详解】 60=2×2×3×5 90=2×3×3×5 60和90的最大公因数是2×3×5=30。 90÷30=3(根) 答:一共90 厘米可以剪成这样的短彩带3根。 变式巩固练习 知识点11 公倍数和最小公倍数相关知识点 公倍数和最小公倍数相关知识点 11 ①公倍数的定义：一组数的公倍数其实就是它们共同所有的倍数。 ②求公倍数的方法为列举法，如求6和8的公倍数 6的倍数：6，12，18，24，30，36…… 8的倍数：8，16，24，32，40，48…… 6和8的公倍数：24，48…… ③而在求一组数的最小公倍数时，是建立在求公倍数的基础上得到的，最小公倍数是公倍数中最小的一个数，即6和8的最小公倍数为24。 ④公倍数特征：一组数的公倍数个数是无限的，没有最大公倍数。 知识点梳理 【例11】M和N都是非零自然数，如果M÷N＝9 ，那么M和N的最小公倍数是( )。 【分析】如果两个数是倍数关系那么较大数是它们的最小公倍数，由题目条件可以得知：M÷N＝9能整除，也就是M是N的9倍，M是9的N倍，由此可以解决。 【详解】因为M÷N＝9，所以M÷9＝N，M和N的最小公倍数是M。 M 重难点题型精讲 【练11】有一筐桃，数量不超过100个，平均分给5个小朋友，还剩2个，平均分给7个小朋友，也剩2个，这筐桃最多有多少个？ 【分析】 根据题意，要求这筐桃子最多有多少个，先求出5和7的最小公倍数，再找出100以内5和7的最小公倍数的倍数，再加上2，即可解答。 【详解】 5和7的最小公倍数是5×7＝35 100以内35的倍数有：35，70； 70＋2＝72（个） 72＜100，最多有72个。 答：这筐桃最多有72个。 变式巩固练习 启发思维 快乐学习 $$