19.2《数据的波动程度》方差同步课件2024-2025学年人教版（五四制）数学七年级下册

19.2数据的波动程度 ——方差 教练的烦恼 甲，乙两名射击选手的测试成绩统计如下： 现要从甲，乙两名射击选手中挑选一名射击选手参加比赛.若你是教练，你认为挑选哪一位比较合适？ 教练到我班选拔一名篮球队员，对甲乙两名学生进行5次投篮测试，每人每次投10个球，下图记录的是这两名同学5次投篮中所投中的个数. 队 员 第 1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲 7 8 8 8 9 乙 10 6 10 6 8 （1）请求出以上两组数据的平均数、中位数、众数； 复习导入 平均数 中位数 众数 8 8 8 8 8 6和10 队 员 第 1次 第2次 第3次 第4次 第5次 平均数 甲 7 8 8 8 9 8 乙 10 6 10 6 8 8 用 统计图表示上述数据； （2）若要选一个投篮稳定的队员，选谁更好？ 除了平均数、中位数、众数这类刻画数据集中趋势的量以外，还有一类刻画数据波动程度的量，其中最重要的就是方差。 岳宗卫 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 7 8 8 8 9 练鑫平 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 10 6 10 6 8 探索新知 问题 农科院计划为某地选择合适的甜玉米种子．选择种时甜玉米的产量和产量的稳定性是农科院所关心的问题．为了解甲、乙两种甜玉米种子的相关情况，农科院各用10 块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷的产量（单位：t）如下表： 甲 7.65 7.50 7.62 7.59 7.65 7.64 7.50 7.40 7.41 7.41 乙 7.55 7.56 7.53 7.44 7.49 7.52 7.58 7.46 7.53 7.49 根据这些数据估计，农科院应该选择哪种甜玉米种子呢？ 甲和乙两种玉米种子的平均产量为： 说明在试验田中，甲、乙两种甜玉米的平均产量相差不大．可估计这个地区种植这两种甜玉米的平均产量相差不大． 为了直观地看出甲、乙两种甜玉米产量的情况，把两组数据画成下面的图 比较看看谁的数据波动比较大？ 方差的概念： 设有n个数据 x1，x2，…，xn，各数据与它们的平均数　 的差的平方分别是 ， ，…， ，我们用这些值的平均数，即 来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差，记作s2. 2.方差计算公式： 方差用来衡量一组数据的波动大小(即这组数据偏离平均数的大小). 3.方差的意义： 方差越大，数据的波动越大，数据越不稳定； 方差越小，数据的波动越小，数据越稳定． 注意：用方差比较两组数据的波动大小的前提条件是两组数据的平 均数相等或相近. 请利用方差公式分析甲、乙两种甜玉米的波动程度． 显然　 ，即说明甲种甜玉米的波动较大，这与我们从产量分布图看到的结果一致．乙种甜玉米的产量比较稳定. 据样本估计总体的统计思想，种乙种甜玉米产量较稳定． 甲 7.65 7.50 7.62 7.59 7.65 7.64 7.50 7.40 7.41 7.41 乙 7.55 7.56 7.53 7.44 7.49 7.52 7.58 7.46 7.53 7.49 根据这些数据估计，农科院应该选择哪种甜玉米种子呢？ 下面我们利用方差公式分析甲、乙两种甜玉米产量的波动程度． 所以，甲种甜玉米的波动较大，乙种甜玉米产量较稳定.且两种甜玉米的平均产量相差不大，故应该选择乙种甜玉米种子. 思考：如果乙种玉米的平均产量远低于甲种玉米的平均产量，尽管甲种玉米的方差大于乙种玉米，还选择乙种玉米吗？ 例 在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，参加表演的女演员的身高（单位：cm）如下图所示： 甲 163 164 164 165 165 166 166 167 乙 163 165 165 166 166 167 168 168 哪个芭蕾舞团女演员的身高更整齐？ 方差越大，数据的波动越大，身高就不整齐； 方差越小，数据的波动越小，身高就更整齐． 追问1：你是如何理解“整齐”的？ 追问2：从数据上看，你是如何判断那个队更整齐？ 追问3：如何从甲乙两队中选择身高最优队？ 高矮差不多 为了从甲、乙两名同学中选拔一个参加射击比赛，对他们的射击水平进行了测验，两人在相同条件下各射击10次，命中的环数如下(单位：环)： 你认为该选择哪名同学参加射击比赛？为什么？ 思考：如果一组数据x1，x2，…，xn的方差是4，那么另一组数据x1＋3，x2＋3，…，xn＋3的方差是____． 1.计算下列各组数据的方差. （1）6 6 6 6 6 6； （2）5 5 6 6 6 7 7； （3）3 3 4 6 8 9 9； （4）3 3 3 6 9 9 9. 4 1.方差的一般算法：各数据与它们的平均数 的差的平方的和的平均数. 2.方差的新数据算法： 若数据x1、x2、x3…、xn平均数为 ,方差为s2，则 x (1)数据x1±b、x2±b、…、xn±b 的平均数为 , 方差为 s2. +b x (2)数据ax1、ax2、…、axn 的平均数为 , 方差为 a2s2. a x (3)数据ax1±b、ax2±b、…、axn±b 的平均数为 , 方差为 a2s2. a x ±b 每个数据都加（或减）同一个数，平均数相应加（或减）同一个数，方差不变； 每个数据都乘（或除）同一个数，平均数相应乘（或除）同一个数，方差相应乘（或除）同一个数的平方. 当数据分布比较分散时（即数据在平均数附近波动较大），各个数据与平均数的差的平方和较大，方差就较大； 方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小． 当数据分布比较集中时（即数据在平均数附近波动较小），各个数据与平均数的差的平方和较小，方差就较小； 1.样本方差的作用是（ ） A.表示总体的平均水平 B.表示样本的平均水平 C.准确表示总体的波动大小 D.表示样本的波动大小,从而估计总体的波动大小 D 当堂练习 2.人数相同的八年级（1）、（2）两班学生在同一次数学单元测试中，班级平均分和方差为： ， , ，则成绩较为稳定的班级是（ ） A.甲班 B.乙班 C.两班成绩一样稳定 D.无法确定 B 3.小凯同学参加数学竞赛训练，近期的五次测试成绩得分情况如图所示，则他这五次成绩的方差 为 . 100 4.在样本方差的计算公式 中， 数字10 表示___________ ，数字20表示 _______. 样本容量 平均数 5.五个数1，3，a，5，8的平均数是4，则a =_____，这五个数的方差_____. 3 5.6 课堂小结 $$