19.2.1 方差（分层练习，三大题型）-【上好课】2024-2025学年七年级数学下册同步精品课堂（人教版五四制）

19.2.1方差（分层练习，三大题型） 考查题型一、求方差 1．对一组数据：，描述正确的是（    ） A．中位数是 B．平均数是5 C．众数是6 D．方差是7 2．已知该门票的单价由分为五个等级：其平均数是40，方差是3，涨价后，得到新的门票价格，涨价后门票价格的平均数和方差分别是(    ) A．50，12 B．50，3 C．77，12 D．77，3 3．小明同学随机调查七（）班名同学每天食堂午饭消费金额，制作如下统计表： 类别 同学 同学 同学 同学 同学 同学 金额（元） 则这组消费金额（    ） A．平均数为 B．中位数为 C．众数为 D．方差为 4．嘉琪同学对数据31，41，37，37，4■进行统计分析，发现“4■”的个位数字被墨水涂污看不到了，则下列统计量与被涂污数字无关的是（    ） A．方差 B．平均数 C．众数 D．中位数 考查题型二、根据方差求参数 5．小明在计算一组数据的方差时，列出的算式如下：，根据算式信息，这组数据的众数是（    ） A．3 B．6 C．7 D．8 6．习近平总书记指出：“扶贫先扶志，扶贫必扶智”，某企业扶贫小组准备为贫困户送温暖活动，该企业对扶贫对象的年龄结构进行了随机抽样调查，调查所得的一组数据的方差公式是，则这组数据的平均数和样本容量分别是（      ） A．50，45 B．50，28 C．45，50 D．45，36 7．某中学从校射击队队员中选拔一名选手参加男子射击比赛，小明和小刚入选，二人最近10次校内比赛的平均成绩均为9.6环，小明成绩的方差，小刚成绩的方差．若教练组根据平均成绩和方差决定派小刚去参加比赛，则的值可能为（    ） A．0.34 B．0.36 C．0.4 D．0.42 考查题型三、根据方差判断稳定性 8．甲、乙两人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数均是9.1环，方差分别为：，，则成绩较稳定的是（  ） A．甲 B．乙 C．甲乙一样稳定 D．无法判断 9．小明、小华、小亮、小雨4位同学在射箭训练中的平均成绩相同，他们的方差分别是，，，，你认为谁在训练中的发挥更稳定（    ） A．小明 B．小华 C．小亮 D．小雨 10．某中学举行“校园好声音”歌手大赛，初中部、高中部根据初赛成绩各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛．两个队的5名选手的决赛成绩（满分100分，单位：分）如图所示． 根据图示信息，整理分析数据如下表： 平均数 中位数 众数 初中代表队 85 高中代表队 85 100 (1)求出表格中________，________，________； (2)小明同学已经算出高中代表队决赛成绩的方差是．请你计算出初中代表队决赛成绩的方差，并判断哪一个代表队的成绩较为稳定． 1．甲、乙两组数据如下： 甲：2，4，6，8，10； 乙：4，5，6，7，8． 用和分别表示这两组数据的方差，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 2．在一次国学知识答题比赛中，某支参赛队伍的选手比赛成绩的方差计算公式为：，下列说法错误的是（    ） A．这支队伍共有5位选手参赛 B．这支队伍参赛选手的平均成绩为82分 C．这支队伍参赛选手成绩的中位数为82分 D．这支队伍参赛选手的团体总分为410分 3．教练从甲、乙两名射击运动员中选一名成绩较稳定的运动员参加比赛．两人在同条件下各打了5发子弹，命中环数如下：甲：9、8、7、7、9；乙：10、8、8、7、7，则应该选 参加． 4．小明用计算一组数据的方差，那么 ． 5．某射击队在一次训练中，甲、乙两名队员各射击10发子弹，成绩记录如下表； 射击次序（次） 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 甲的成绩（环） 8 9 7 9 8 6 7 10 8 乙的成绩（环） 6 7 9 7 9 10 8 7 7 10 经计算甲和乙的平均成绩都是8环． (1)则表中的______； (2)甲射击成绩的中位数、众数分别是多少？ (3)若甲成绩的方差是，请求出乙成绩的方差，判断甲、乙两人谁的成绩更为稳定？ 6．某校开展党史知识竞赛，八年级甲、乙两班分别选5名同学参加了比赛，他们的成绩如图所示． (1)根据上图填写下表： 平均数 中位数 众数 甲班 8.5 8.5 乙班 (2)已知甲班5名同学成绩的方差是0.7，计算乙班5名同学成绩的方差，并比较哪个班选手的成绩较为稳定． 7．某图书馆管理员统计了社会科学和自然科学这两类图书近5天的借阅情况，其中社会科学类图书近5天的借阅本数依次为40本、46本、46本、40本、43本，自然科学类图书近5天借阅本数的方差为，请计算并说明，这两类图书中，哪一类图书近5天的借阅情况较稳定？ 8．某市创建文明城市，某中学开展“社会主义核心价值观”演讲比赛活动，九（1）、九（2）班根据初赛成绩各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手复赛成绩（满分为100分）如图所示．根据图中数据解决下列问题： (1)根据图示求出表中的a，b，c． 平均数 中位数 众数 九（1） a 85 c 九（2） 85 b 100 ______；______；______． (2)小明同学已经算出了九（2）班复赛成绩的方差： ． 请你求出九（1）班复赛成绩的方差，并判断哪个班级选手的复赛成绩较稳定？ 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 19.2.1方差（分层练习，三大题型） 考查题型一、求方差 1．对一组数据：，描述正确的是（    ） A．中位数是 B．平均数是5 C．众数是6 D．方差是7 【答案】C 【分析】本题主要考查了求方差，中位数，平均数和众数，根据方差，中位数，平均数和众数的定义进行求解判断即可． 【详解】解：把这组数据从小到大排列为，处在最中间的数为6， ∴中位数为6，故A不符合题意； ∵数字6出现的次数最多， ∴众数是6，故C符合题意； 平均数为，故B不符合题意； 方差为，故D不符合题意； 故选：C． 2．已知该门票的单价由分为五个等级：其平均数是40，方差是3，涨价后，得到新的门票价格，涨价后门票价格的平均数和方差分别是(    ) A．50，12 B．50，3 C．77，12 D．77，3 【答案】C 【分析】本题考查了求方差与平均数；根据方差和平均数的变化规律可得：数据的平均数是，方差是，再进行计算即可． 【详解】解：∵数据的平均数是40， ∴数据的平均数； ∵数据的方差是， ∴数据的方差是； 故选：C． 3．小明同学随机调查七（）班名同学每天食堂午饭消费金额，制作如下统计表： 类别 同学 同学 同学 同学 同学 同学 金额（元） 则这组消费金额（    ） A．平均数为 B．中位数为 C．众数为 D．方差为 【答案】C 【分析】本题考查了方差，平均数，中位数，众数，掌握计算方法是解题的关键． 根据平均数、中位数、众数、方差的定义和计算公式，分别进行计算即可得出正确答案． 【详解】解：平均数：， 方差为：， 数据从大到小排列后，居于中间的两个数为：，出现次数最多的是， 中位数为：，众数为， 故选：C． 4．嘉琪同学对数据31，41，37，37，4■进行统计分析，发现“4■”的个位数字被墨水涂污看不到了，则下列统计量与被涂污数字无关的是（    ） A．方差 B．平均数 C．众数 D．中位数 【答案】D 【分析】本题主要考查数据统计的相关概念，根据平均数，众数，中位数，方差的计算即可求解，掌握数据统计中相关概念的计算是解题的关键． 【详解】解：、方差是数据中的每个数据都参与计算，与被涂污的数字有关，不符合题意； 、平均数是数据中的每个数据都参与计算，与被涂污的数字有关，不符合题意； 、众数是数据中的每个数据都参与计算，与被涂污的数字有关，不符合题意； 、中位数是排序后的数据中间的数，与被涂污的数字无关，符合题意； 故选：． 考查题型二、根据方差求参数 5．小明在计算一组数据的方差时，列出的算式如下：，根据算式信息，这组数据的众数是（    ） A．3 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了方差的定义，众数的定义；由方差公式得这组数据中有个，有个，有个，再由众数的定义即可求解；理解方差公式“”和“一组数据中出现次数最多的数据是这组数据的众数．”是解题的关键． 【详解】解：由方差公式得 这组数据中有个，有个，有个， 这组数据中最多的是， 众数是， 故选：D． 6．习近平总书记指出：“扶贫先扶志，扶贫必扶智”，某企业扶贫小组准备为贫困户送温暖活动，该企业对扶贫对象的年龄结构进行了随机抽样调查，调查所得的一组数据的方差公式是，则这组数据的平均数和样本容量分别是（      ） A．50，45 B．50，28 C．45，50 D．45，36 【答案】C 【分析】本题主要考查平均数和样本容量的定义及方差，熟练掌握平均数和样本容量的定义及方差是解题的关键． 根据平均数的概念和样本容量指的是一个样本中所包含的单位数及方差公式的意义可直接进行求解． 【详解】解：∵一组数据的方差公式是 ∴这组数据的平均数为45，样本容量为50． 故选C． 7．某中学从校射击队队员中选拔一名选手参加男子射击比赛，小明和小刚入选，二人最近10次校内比赛的平均成绩均为9.6环，小明成绩的方差，小刚成绩的方差．若教练组根据平均成绩和方差决定派小刚去参加比赛，则的值可能为（    ） A．0.34 B．0.36 C．0.4 D．0.42 【答案】A 【分析】本题考查根据方差和平均数做决策．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 【详解】解：小明和小刚的平均成绩均为9.6环， ∴派小刚去参加比赛是因为小刚的方差小，相对稳定， ∴， 符合条件的为0.34， 故选A． 考查题型三、根据方差判断稳定性 8．甲、乙两人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数均是9.1环，方差分别为：，，则成绩较稳定的是（  ） A．甲 B．乙 C．甲乙一样稳定 D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查方差，关键是熟知方差越小，数据越稳定．比较甲乙两人的方差大小即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴甲的成绩较稳定， 故选：A． 9．小明、小华、小亮、小雨4位同学在射箭训练中的平均成绩相同，他们的方差分别是，，，，你认为谁在训练中的发挥更稳定（    ） A．小明 B．小华 C．小亮 D．小雨 【答案】A 【分析】本题考查了方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定，根据方差的定义，方差越小数据越稳定，即可得出答案，熟练掌握方差的意义是解题的关键． 【详解】解：小明、小华、小亮、小雨4位同学在射箭训练中的平均成绩相同，他们的方差分别是，，，， ， 在训练中的发挥更稳定小明， 故选：A． 10．某中学举行“校园好声音”歌手大赛，初中部、高中部根据初赛成绩各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛．两个队的5名选手的决赛成绩（满分100分，单位：分）如图所示． 根据图示信息，整理分析数据如下表： 平均数 中位数 众数 初中代表队 85 高中代表队 85 100 (1)求出表格中________，________，________； (2)小明同学已经算出高中代表队决赛成绩的方差是．请你计算出初中代表队决赛成绩的方差，并判断哪一个代表队的成绩较为稳定． 【答案】(1)85，80，85 (2)70，初中代表队 【详解】（1）85  80  85 （2）． 因为， 所以初中代表队的成绩较为稳定． 1．甲、乙两组数据如下： 甲：2，4，6，8，10； 乙：4，5，6，7，8． 用和分别表示这两组数据的方差，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查方差的计算，掌握方差的计算方法是解题的关键． 根据方差的计算公式“”分别求出甲、乙的方差即可求解． 【详解】解：根据题意， ，则， ，则， ∴， 故选：． 2．在一次国学知识答题比赛中，某支参赛队伍的选手比赛成绩的方差计算公式为：，下列说法错误的是（    ） A．这支队伍共有5位选手参赛 B．这支队伍参赛选手的平均成绩为82分 C．这支队伍参赛选手成绩的中位数为82分 D．这支队伍参赛选手的团体总分为410分 【答案】C 【分析】本题考查方差、中位数、平均数，熟知方差计算公式与平均数的关系是解答的关键．根据方差求解即可． 【详解】解：A、由方差计算公式得，故这支队伍共有5位选手参赛，说法正确，不符合题意； B、由方差公式得这支队伍参赛选手的平均成绩为82分，说法正确，不符合题意； C、由方差公式不能求得这支队伍参赛选手成绩的中位数，说法错误，符合题意； D、由5位选手的平均数为82分，这支队伍参赛选手的团体总分为分，说法正确，不符合题意， 3．教练从甲、乙两名射击运动员中选一名成绩较稳定的运动员参加比赛．两人在同条件下各打了5发子弹，命中环数如下：甲：9、8、7、7、9；乙：10、8、8、7、7，则应该选 参加． 【答案】甲 【分析】本题考查了平均数和方差的应用，先计算甲乙两人的平均数，进而求出甲乙两人的方差即可得到答案． 【详解】解：甲的平均数为：， 方差为：． 乙的平均数为：， 方差为：． ∵， ∴选择甲射击运动员． 故答案为：甲． 4．小明用计算一组数据的方差，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了方差与平均数的计算公式，根据方差公式可以确定这组数据的平均数和数据个数，相乘即可得出答案，熟记方差与平均数的计算公式公式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴这组数据的平均数为，个数为， ∴， 故答案为：． 5．某射击队在一次训练中，甲、乙两名队员各射击10发子弹，成绩记录如下表； 射击次序（次） 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 甲的成绩（环） 8 9 7 9 8 6 7 10 8 乙的成绩（环） 6 7 9 7 9 10 8 7 7 10 经计算甲和乙的平均成绩都是8环． (1)则表中的______； (2)甲射击成绩的中位数、众数分别是多少？ (3)若甲成绩的方差是，请求出乙成绩的方差，判断甲、乙两人谁的成绩更为稳定？ 【答案】(1)8 (2)中位数是8环，众数是8环 (3)甲的成绩更为稳定，理由见解析 【分析】本题主要考查了方差的定义，众数和中位数的定义，解题的关键是熟练掌握方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．一般地设n个数据，，，…的平均数为，则方差． （1）根据甲的平均成绩为8环，然后求出a的值即可； （2）根据中位数和众数的定义进行求解即可； （3）先根据方差公式求出乙成绩的方差，然后再进行判断即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：8． （2）解：甲成绩排序后最中间的两个数据为8和8， 所以甲成绩的中位数是， 即甲射击成绩的中位数是8环， 出现次数最多的是8， 即甲射击成绩的众数是8环． （3）解：乙成绩的方差为： ， 因为甲和乙的平均成绩都是8环，而甲成绩的方差小于乙成绩的方差， 所以甲的成绩更为稳定． 6．某校开展党史知识竞赛，八年级甲、乙两班分别选5名同学参加了比赛，他们的成绩如图所示． (1)根据上图填写下表： 平均数 中位数 众数 甲班 8.5 8.5 乙班 (2)已知甲班5名同学成绩的方差是0.7，计算乙班5名同学成绩的方差，并比较哪个班选手的成绩较为稳定． 【答案】(1)见解析 (2)乙班5名同学成绩的方差为，甲班选手的成绩较为稳定． 【分析】本题考查了方差、中位数、众数、平均数． （1）把甲班5名同学的成绩从小到大排列，找出最中间的数即可求出甲班的中位数，根据平均数的计算公式列出算式，求出乙班5名同学的成绩的平均数，找出乙班出现的次数最多的数即可求出乙班的众数． （2）求出乙班同学的方差再与甲班5名同学成绩的方差比较即可． 【详解】（1）解：把甲班5名同学的成绩从小到大排列为：7.5，8，8.5，8.5，10，最中间的数是8.5，则甲班的中位数是8.5， 把乙班5名同学的成绩从小到大排列为：7、7.5、8、10、10，最中间的数是8，则乙班的中位数是8.5，10出现次数最多，则乙班的众数是10， 乙班5名同学的成绩的平均数是， 填表如下： 平均数 中位数 众数 甲班 8.5 8.5 8.5 乙班 8.5 8 10 （2）解：乙班同学的方差为：． ∵甲班5名同学成绩的方差是0.7，， ∴甲班选手的成绩较为稳定． 7．某图书馆管理员统计了社会科学和自然科学这两类图书近5天的借阅情况，其中社会科学类图书近5天的借阅本数依次为40本、46本、46本、40本、43本，自然科学类图书近5天借阅本数的方差为，请计算并说明，这两类图书中，哪一类图书近5天的借阅情况较稳定？ 【答案】自然科学类图书近5天的借阅情况较稳定 【分析】本题考查利用方差判断稳定性，先求出社会科学类图书借阅本数的方差，根据方差越小，数据越稳定，进行判断即可．正确的求出方差是解题的关键． 【详解】解：（本）， ， ∴社会科学类图书近5天借阅本数的方差为7.2． ∵， ∴自然科学类图书近5天的借阅情况较稳定． 8．某市创建文明城市，某中学开展“社会主义核心价值观”演讲比赛活动，九（1）、九（2）班根据初赛成绩各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手复赛成绩（满分为100分）如图所示．根据图中数据解决下列问题： (1)根据图示求出表中的a，b，c． 平均数 中位数 众数 九（1） a 85 c 九（2） 85 b 100 ______；______；______． (2)小明同学已经算出了九（2）班复赛成绩的方差： ． 请你求出九（1）班复赛成绩的方差，并判断哪个班级选手的复赛成绩较稳定？ 【答案】(1) (2)，九（1）班稳定 【分析】本题考查方差，条形统计图． （1）利用众数，中位数，平均数的定义分别计算即可； （2）利用方差的公式计算，利用方差意义进行判断即可； 【详解】（1）解：九（1）班成绩的平均数为：（分），众数（分）， 九（2）班成绩重新排列为：，则九（2）班中位数为：（分）， 综上所述：； （2）解：九（1）班复赛成绩的方差， ∵，方差越小越稳定， ∴九（1）班复赛成绩稳定． 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$