专题03 二次函数与不等式、方程的关系（专项训练）数学北京版九年级上册

专题03 二次函数与不等式、方程的关系 目录 A题型建模・专项突破 题型一、抛物线与x轴的交点坐标 1 题型二、抛物线与y轴的交点坐标 2 题型三、已知二次函数的函数值求自变量的值 3 题型四、根据二次函数的图象确定相应方程根的情况 5 题型五、求x轴与抛物线的截线长 6 题型六、图象法确定一元二次方程的近似根 8 题型七、图象法解一元二次不等式 8 题型八利用不等式求自变量或函数值的范围 8 题型九、根据交点确定不等式解集 9 题型十、二次函数与不等式、方程的关系综合 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、抛物线与x轴的交点坐标 1．二次函数的图象过点，则的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 2．二次函数的图象与轴的交点坐标为和，则一元二次方程的解为（    ） A．， B．， C．， D．， 3．若抛物线与x轴只有一个公共点，则 ． 4．已知抛物线与轴的一个交点坐标为，则抛物线与轴的另一个交点坐标为 ． 题型二、抛物线与y轴的交点坐标 5．抛物线与y轴的交点坐标是 ． 6．已知二次函数的图象与坐标轴恰有两个交点，则 ． 7．如图，抛物线与轴交于点，点，点在抛物线上，且在抛物线的对称轴右侧，若，则点的坐标为 ． 8．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点、，与y轴交于点C．点P是抛物线上一点，其横坐标为，且点P不与点C重合． (1)写出点C的坐标为______；线段的长为______． (2)写出的面积______． (3)抛物线上存在点P，使的面积等于的面积，利用上面的计算结果，求点P的坐标． 题型三、已知二次函数的函数值求自变量的值 9．已知抛物线，点，点，若抛物线与线段有且只有一个交点，则的取值范围为（   ） A．4或 B．4或 C．4或 D．4或 10．二次函数的图象经过点，，则关于的一元二次方程的解为 ． 11．已知一元二次方程的两实数根满足，则k的取值范围为 ． 12．已知二次函数（是常数）． (1)求二次函数图象经过的定点的坐标； (2)已知函数图象过． ①若函数图象与直线只有一个公共点，求的值； ②求证：当，且时，函数最大值与最小值的差为． 题型四、根据二次函数的图象确定相应方程根的情况 13．已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④当时，关于的方程无实数根．其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③该函数图象与x轴的另一个交点坐标为；④当时，关于的方程无实数根．其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15．已知抛物线经过点和点，且对称轴在y轴的左侧，下列结论：①；②；③抛物线经过点；④关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．其中正确的结论是 （填序号）． 16．小星借助探究一次函数的图象与性质的经验，对函数 的图象与性质进行了探究，下面是小星的探究过程，请你补充完整． (1)列表： x … 0 1 2 3 4 … y … 0 3 4 3 4 3 0 m … ① ； ②方程有 个解． (2)①在平面直角坐标系内描点并画出该函数的图象； ②观察函数图象，写出符合函数 的一条性质． 题型五、求x轴与抛物线的截线长 17．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．顶点坐标是 C．图象与轴交点的坐标是 D．图象在轴上截得的线段长度是4 18．已知：抛物线与x轴交于A、B两点，且，则m的值为（    ） A．2 B． C． D． 19．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向上平移6个单位长度，所得的抛物线与轴有两个公共点，，则 ． 20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于，两点（点在点的左侧），其顶点为，是抛物线第四象限上一点． (1)求线段的长； (2)若的面积与的面积相等，求点的坐标． 题型六、图象法确定一元二次方程的近似根 21．如图，点，在二次函数的图象上，则方程的一个根的近似值可能是（　　） A． B． C． D． 22．如图，以为顶点的二次函数的图象与轴负半轴交于点，则一元二次方程的正数解的范围是（   ） A． B． C． D． 23．若关于x的方程恰有三个根，则t的值为 ． 24．抛物线的对称轴为直线．若关于的一元二次方程为实数）在的范围内只能取一个值使方程成立，则的值是 . 题型七、图象法解一元二次不等式 25．“不等式在上恒成立”的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 26．抛物线如图所示，抛物线与轴交于点，顶点坐标为，下列结论：①；②；③对于任意实数，都有；④当时，．其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 27．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集是 28．已知抛物线的顶点坐标为，且图象经过点，交轴于、两点， (1)求此二次函数的解析式； (2)求、点坐标， (3)根据图象，当函数值时，写出自变量的取值范围． 题型八利用不等式求自变量或函数值的范围 29．对于任意的未知数都满足，其中为常数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 30．已知抛物线与直线在之间有个公共点，则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 31．已知二次函数的图象与x轴有两交点，当且该函数图象与轴两交点的横坐标，满足：，时，则的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 32．若一个点的坐标满足，我们将这样的点定义为“倍值点”．若关于的二次函数（为常数，）总有两个不同的倍值点，则的取值范围是 ． 题型九、根据交点确定不等式解集 33．二次函数的部分对应值如下表所示： x 3 4 y m 0 m 则当时，x的取值范围为（    ） A． B． C．或 D．或 34．如图，二次函数的图象的对称轴是直线，与轴的一个交点为，则不等式的解集为 ． 35．二次函数的图象如图所示．根据图象解答下列问题： （1）不等式的解集为 ． （2）若方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为 ． 36．如图，抛物线的图像与x轴交于A，B两点，A在B左侧，与y轴交于点C． (1)点C坐标为 ，顶点坐标为 ； (2)不等式的解集是 ； (3)当x满足时，y的取值范围是 ． (4)当y满足时，x的取值范围是 ． 题型十、二次函数与不等式、方程的关系综合 37．某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． (1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值如下： x … 0 1 2 3 … y … 0 m 0 … 其中，______； (2)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中，“数学兴趣小组”的同学们画出了函数图象的一部分，请你补全这个函数图象并利用图象解决下列问题： ①方程有______个实数根； ②关于x的方程有4个实数根时，a的取值范围是______； ③不等式的解集是______． 38．已知抛物线（，为常数）经过点，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当时，，当时，，且，为两个连续偶数，求的值； (3)该抛物线与直线（为常数且）相交于，两点，且在的左侧．若在范围内，的取值恰好有3个整数值，求的取值范围． 39．已知抛物线，（）． (1)求该二次函数的顶点坐标（用含式子表示）； (2)若的值为1时，该二次函数的图象与轴交于、两点（点在点左边），与轴交于点，在对称轴上是否存在点，使得为，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由； (3)若的值为1时，把该二次函数的图象往上平移个单位长度后，当时，该二次函数上存在两个点其纵坐标都为横坐标的两倍，求的取值范围． 40．已知抛物线（都是常数，）与轴交于两点，对称轴为直线． (1)已知时的最大值为时的最大值为．求的值． (2)若． ①求抛物线的顶点坐标（用含的代数式表示）； ②规定：在坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线在点，之间的部分与线段所围成的区域内（不含边界）恰有6个整点，求的取值范围． 1．（24-25九年级上·北京·期中）已知抛物线与直线的交点横坐标分别是和1，抛物线与轴的其中一个交点的横坐标满足，那么的取值可能是（　　） A． B．1 C．2 D． 2．（24-25九年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，且．若将此抛物线先向左平移2个单位，再向下平移个单位，所得新抛物线与轴两个交点间的距离为8，则的值为（   ） A．6 B．2 C．24 D．36 3．（24-25九年级上·北京·期中）二次函数满足以下条件：当时，它的图象位于x轴的上方；当时，它的图象位于x轴的下方，那么的解集是 ． 4．（24-25九年级上·北京·期中）已知函数，当时，y随x的增大而减小，且抛物线上有两点、，，，、总满足，则实数a的取值范围是 ． 5．（2025·北京昌平·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)写出抛物线的对称轴（用含的式子表示）； (2)若点，抛物线与线段只有一个交点，求的取值范围； (3)是抛物线上两点，若，直接写出取值范围． 6．（2025·北京延庆·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线． (1)当时，求抛物线的顶点坐标； (2)已知和是抛物线上的两点，若对于，，都有，求a的取值范围． 1 / 6 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题型二、抛物线与y轴的交点坐标 5．抛物线与y轴的交点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征．令，即可求出抛物线的与y轴的交点坐标． 【详解】解：令，则， 抛物线与y轴的交点坐标是． 故答案为：． 6．已知二次函数的图象与坐标轴恰有两个交点，则 ． 【答案】或/或 【分析】本题主要考查了二次函数的图象，一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． 根据二次函数的图象与坐标轴恰有两个交点，存在种情况，分类讨论：①当时，可得二次函数与坐标轴有两个交点，符合题意；②当时，则，可得的值，即可求解． 【详解】解：二次函数的图象与坐标轴恰有两个交点， ①当时，二次函数与轴有两个交点，即，，符合题意； ②当时，当时，，即二次函数的图象与轴交于点， 二次函数的图象与与轴必有一个交点， ， 解得． 综上所述，的值为或． 故答案为：或． 7．如图，抛物线与轴交于点，点，点在抛物线上，且在抛物线的对称轴右侧，若，则点的坐标为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了垂直平分线的判定，抛物线与坐标轴的交点坐标，以及抛物线上点的坐标，解决此题的关键是和合理的推理正确的计算． 由得点P在线段的垂直平分线上，求出的中点坐标为，然后解方程即可求解． 【详解】解：∵， ∴点P在线段的垂直平分线上， ∵抛物线与y轴交于点C， ∴， ∵， ∴的中点坐标为， ∴P点纵坐标为， 在中，令，可得， 解得，（舍去）， ∴P点坐标为， 故答案为． 8．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点、，与y轴交于点C．点P是抛物线上一点，其横坐标为，且点P不与点C重合． (1)写出点C的坐标为______；线段的长为______． (2)写出的面积______． (3)抛物线上存在点P，使的面积等于的面积，利用上面的计算结果，求点P的坐标． 【答案】(1)；4 (2)6 (3)P的坐标或或 【分析】（1）将代入，求得出C点坐标，令求出，，即可得到线段的长； （2）由（1）得到，，然后利用三角形面积公式求解即可； （3）设，利用的面积等于的面积列方程求解即可． 此题主要考查了抛物线与x轴的交点，三角形面积求法，二次函数图象上点的坐标性质等知识，注意分类讨论得出是解题关键． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，， ∴点C的坐标为， 当时，， 解得或， ∴，， ∴； （2）解：∵点C的坐标为， ∴， ∵， ∴的面积； （3）解：设， ∵的面积等于的面积， ∴， 解得或或（舍去）， ∴P的坐标或或． 题型三、已知二次函数的函数值求自变量的值 9．已知抛物线，点，点，若抛物线与线段有且只有一个交点，则的取值范围为（   ） A．4或 B．4或 C．4或 D．4或 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，根据直线解析式为，根据选项令和，结合抛物线与线段有且只有一个交点利用排除法判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线顶点坐标，与轴交点坐标，， ∵点，点， ∴直线解析式为， 当时，点，点，此时点即为抛物线与线段唯一交点，符合题意，故排除选项C、D； 当时，点，点， 联立，解得或，则抛物线与线段有两个交点和，不合题意，故排除选项B； 故选：A． 10．二次函数的图象经过点，，则关于的一元二次方程的解为 ． 【答案】， 【详解】本题考查了二次函数与一元二次方程，根据二次函数的图象经过点，，可以得到方程解为，，然后将所求方程变形，即可求得所求方程的解，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 【解答】解：∵二次函数的图象经过点，， ∴当时，可以得到方程解为或， ∵方程可以转化为方程， ∴或， 解得：，， 故答案为：，． 11．已知一元二次方程的两实数根满足，则k的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，对于二次函数，当时求得的自变量的值，也就是二次函数图象与轴的交点横坐标，就是对应的一元二次方程的解．令，画出大致图象可得：当时，；当时，；当时，；即可求解； 【详解】解：令， 则抛物线与轴的两个交点坐标为， ∵， 画出大致图象如下： 可得：当时，； 当时，； 当时，； 由①②③解得： 故答案为： 12．已知二次函数（是常数）． (1)求二次函数图象经过的定点的坐标； (2)已知函数图象过． ①若函数图象与直线只有一个公共点，求的值； ②求证：当，且时，函数最大值与最小值的差为． 【答案】(1) (2)①；②见解析 【分析】本题主要考查二次函数的性质，包括定点坐标、对称轴、顶点坐标以及函数最值问题．解题的关键在于熟练运用二次函数的基本公式（如对称轴公式、顶点坐标公式 ），通过分析函数的特征（如开口方向 ）以及给定的条件（如函数过定点、与直线的交点情况、自变量取值范围 ）来求解问题，对于分类讨论的情况要全面且准确分析． （1）求函数图象经过的定点坐标．对于二次函数，令含变量的项系数为，即令，此时，无论、取何值，函数都过定点 ． （2）①已知函数过和，这两点纵坐标相同，所以对称轴为 ．又因为函数图象与直线只有一个公共点，所以顶点坐标为 ．根据二次函数对称轴公式和顶点纵坐标公式（这里 ）列出方程组，求解得到 ． ②先得出函数图象顶点为 ．然后分和两种情况讨论．当时，二次函数开口向上，在（ ）这个区间内，离对称轴更远，所以时取最大值，时取最小值，二者差值为 ；当时，二次函数开口向下，时取最大值，时取最小值，二者差值为 ． 【详解】（1）解：令，则， ∴函数图象过定点； （2）解：①∵函数图象过，又函数图象过，且图象与直线只有一个公共点， ∴函数图象对称轴为直线，即顶点坐标为， ∴ ∴ ②证明：函数图象顶点为， 若，当时，取最大值为1，时，取最小值为， ∴． 若时，取最大值为时，取最小值为1， ∴， ∴函数最大值与最小值的差为． 题型四、根据二次函数的图象确定相应方程根的情况 13．已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④当时，关于的方程无实数根．其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据抛物线的对称性，抛物线与x轴的交点，对称轴的两种表示方法，抛物线的增减性等解答即可． 本题考查了抛物线的对称性，抛物线与坐标轴的交点，抛物线与各项系数的符号关系，抛物线的增减性，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数开口向下， ∴， ∵抛物线的图象与y轴的交点在正半轴上， ∴； ∵对称轴为直线， ∴, ∴, ∴, 故①正确； 根据抛物线的图象得，直线与抛物线的交点在第一象限， ∴， ∴, 故②正确； 设抛物线与x轴的另一个交点为， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得， 故的两个根分别是， 故多项式可因式分解为， 故③不正确； 根据题意，得，即， 根据题意，当时，抛物线有最大值，且为， 故当时，在抛物线顶点的上方， 故关于的方程无实数根． 故④正确； 故选：C． 14．已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③该函数图象与x轴的另一个交点坐标为；④当时，关于的方程无实数根．其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式等知识，二次函数图象向下，与轴交于正半轴，得到，由二次函数的对称轴为直线， ，可判断①；由二次函数图象经过点，可判断②；求得由二次函数图象与轴的另一个交点为，可判断③；可得到，根据关于的方程无实数根，可判断④． 【详解】解：∵二次函数图象向下，与轴交于正半轴， ∴， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①不符合题意； ∵二次函数图象经过点， ∴，即，故②符合题意； ∵二次函数图象经过点，二次函数的对称轴为直线， ∴二次函数图象与轴的另一个交点为，故③符合题意； ∴可分解因式为， ∴，即， 若关于的方程无实数根， 则， ∴， ∴， ∵， ∴，故④不符合题意； 综上，符合题意的有②③，共个， 故选：B． 15．已知抛物线经过点和点，且对称轴在y轴的左侧，下列结论：①；②；③抛物线经过点；④关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．其中正确的结论是 （填序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，一元二次方程，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 根据题意做出抛物线的示意图，根据图象的性质做出解答即可． 【详解】解：由题意作图如下： 由图知，，故①正确； ∵抛物线经过点和点， ∴， ∴，故②正确； ∵对称轴在y轴的左侧， ∴抛物线不经过，故③错误； 由图像知，抛物线与直线有两个交点，故关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，故④正确； 综上，正确的有①②④． 故答案为：①②④． 16．小星借助探究一次函数的图象与性质的经验，对函数 的图象与性质进行了探究，下面是小星的探究过程，请你补充完整． (1)列表： x … 0 1 2 3 4 … y … 0 3 4 3 4 3 0 m … ① ； ②方程有 个解． (2)①在平面直角坐标系内描点并画出该函数的图象； ②观察函数图象，写出符合函数 的一条性质． 【答案】(1)①；②2 (2)①见解析；②见解析 【分析】本题考查函数图象，根据表格数据画出函数图象是解题的关键． （1）①将代入即可；②根据表格数据求解； （2）①根据表格数据描点、连线即可；②观察函数图象，从对称轴、最值、增减性、与轴交点个数等角度求解． 【详解】（1）解：①， 故答案为：； ②由表可知，当或时，， 因此方程有2个解， 故答案为：2； （2）解：①如图． ②答案不唯一： ．该函数图象关于y轴对称； ．该函数的最大值是4； ．当时，随的增大而增大； ．当时，随的增大而减小； ．当时，随的增大而减小； ．当时，随的增大而增大； ．该函数图象与轴有2个交点． 题型五、求x轴与抛物线的截线长 17．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．顶点坐标是 C．图象与轴交点的坐标是 D．图象在轴上截得的线段长度是4 【答案】D 【分析】根据得顶点坐标是， ，判定抛物线开口向下；令，得，图象与轴交点的坐标是；令，得，求得交点坐标，后计算距离解答即可． 本题考查了抛物线的开口，与坐标轴的交点，与x轴相交的两交点间的距离，熟练掌握性质和交点的计算是解题的关键． 【详解】解：根据得顶点坐标是， ， ∴抛物线开口向下； 故A，B错误； 令，得， ∴图象与轴交点的坐标是； 故C错误； 令，得， 解得， ∴， 故D正确， 故选D． 18．已知：抛物线与x轴交于A、B两点，且，则m的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】设A、B两点的横坐标为、，由题意知，，，由，可得，计算求解即可． 【详解】解：设A、B两点的横坐标为、， 由题意知：，，， ∵， ∴， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，抛物线与x轴的截线长问题，解题的关键是熟练掌握韦达定理，以及抛物线与x轴的截线长等于，利用求解． 19．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向上平移6个单位长度，所得的抛物线与轴有两个公共点，，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和二次函数图象与几何变换．利用抛物线的平移规律得到平移后的抛物线解析式为，然后解方程得到点P、Q的坐标，从而得到的长． 【详解】解：二次函数的图象向上平移6个单位长度所得抛物线解析式为， 当时，， 解得， ∴点P、Q的坐标为， ∴． 故答案为：1． 20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于，两点（点在点的左侧），其顶点为，是抛物线第四象限上一点． (1)求线段的长； (2)若的面积与的面积相等，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点问题，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键； （1）先求出、的坐标，然后根据两点间距离公式求解即可； （2）先求出顶点的坐标，直线解析式为，过作轴交轴于，轴交于，设，，得出，根据面积相等建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：令， ∴， 解得： ∴， ∴ ∴， （2）过作轴交轴于，轴交于，如图： ， ， 由，得直线解析式为， 设，， 在中，令得， ， ， ； 的面积与的面积相等， 而， ， 解得（舍去）或， 题型六、图象法确定一元二次方程的近似根 21．如图，点，在二次函数的图象上，则方程的一个根的近似值可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似值，根据自变量两个取值所对应的函数值是和，可得当函数值为时，的取值应在所给的自变量两个值之间． 【详解】解：∵点，在二次函数的图象上， ∴当时，，当时，， ∴当时，， ∴选项符合， 故选：． 22．如图，以为顶点的二次函数的图象与轴负半轴交于点，则一元二次方程的正数解的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程，根据抛物线的对称性，求出抛物线与轴正半轴的交点的横坐标的取值范围即可． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为：， ∴对称轴为直线， 由图象可知，抛物线与轴负半轴的交点的横坐标的范围为：， ∴抛物线与轴正半轴的交点的横坐标的取值范围为； ∴一元二次方程的正数解的范围是； 故选:D． 23．若关于x的方程恰有三个根，则t的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了方程的根与函数的图象的关系应用及数形结合的思想应用． 作函数的图象，从而利用数形结合解得． 【详解】的根的个数即函数与的图象的交点个数， 由题意作函数的图象如图： 结合图象可知， 当过点或与相切时，两函数图象有三个交点， 将代入得 联立和得：， 则， 解得： 或 故答案为：或． 24．抛物线的对称轴为直线．若关于的一元二次方程为实数）在的范围内只能取一个值使方程成立，则的值是 . 【答案】7或 【分析】根据根的判别式和一元二次方程的解，的解看作看作是函数与函数的交点问题，分以上两种情况即可求解．本题考查了二次函数的图象及性质、二次函数与一元二次方程的联系、二次函数与一次函数图象交点，能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题是解决本题的关键． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴关于x的一元二次方程即为， 当方程由两个相等的实数根时，， 解得， 此时 解得， ∵关于的一元二次方程为实数）在的范围内只能取一个值使方程成立， ∴符合题意； 把的解看作看作是函数与函数的交点的横坐标，如图，    可知，当时，， 即交点为时满足题意，此时，解得， 故答案为：7或． 题型七、图象法解一元二次不等式 25．“不等式在上恒成立”的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次不等式恒成立问题，涉及到分类讨论思想和一元二次方程判别式的应用．当时，当时，两种情况进行讨论，即可解答． 【详解】解：①当时，原不等式变为，即， ∴不能在上恒成立，不合题意， ∴； ②当时，不等式是一元二次不等式， 对于一元二次函数， 当时，函数图象开口向上，要使恒成立，即函数图象在轴上方， ∴需要满足判别式， 由不等式，得，，， ∴， 即， 解得：， 当时，二次项系数，二次函数的图象开口向下，必然存在实数使得不满足不等式，在上恒成立． 综上可得：． 故选：A． 26．抛物线如图所示，抛物线与轴交于点，顶点坐标为，下列结论：①；②；③对于任意实数，都有；④当时，．其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质、二次函数图象与系数的关系、二次函数图象与不等式的关系等知识点，灵活运用二次函数的性质成为解题的关键． 根据图象开口向上可知，与轴的交点在原点上方可知，据此可判断①；因为抛物线与轴交于，对称轴为直线，所以另一交点为，则、两式相减可得，可判断②；抛物线顶点坐标为，开口向下，则为最大值，对于任意实数，都有，据此可判断③；由图象可得当时，，据此可判定④． 【详解】解：∵抛物线的开口向上， ∴， ∵与轴的交点在原点上方可， ∴， ∴，即①正确； ∵抛物线与轴交于，对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一交点为， ∴当时，；当时，， ∴两式相减可得，即②正确； ∵抛物线顶点坐标为，开口向下， ∴为最大值， ∴对于任意实数，都有，即③错误； ④由图象可得，当时，，即④正确． 综上，正确的有3个． 故选C． 27．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集是 【答案】或 【分析】本题考查图象法求不等式的解集，将不等式变形为，即找到抛物线在直线下方时的自变量的范围即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵抛物线与直线交于两点， ∴由图象可知：的解集为：或； 故答案为：或． 28．已知抛物线的顶点坐标为，且图象经过点，交轴于、两点， (1)求此二次函数的解析式； (2)求、点坐标， (3)根据图象，当函数值时，写出自变量的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查了求二次函数解析式，求抛物线与坐标轴的交点，根据函数图象求不等式的解集，掌握二次函数的性质是解题的关键； （1）设抛物线解析式为，代入，求得的值，即可求解； （2）令，解方程即可求得、点坐标； （3）根据函数图象以及、点的横坐标，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为，且图象经过点， ∴设抛物线解析式为 代入，得 解得： ∴ （2）解：当时， 解得： ∴， （3）解：∵， 根据函数图象可得，当函数值时，自变量的取值范围为． 题型八利用不等式求自变量或函数值的范围 29．对于任意的未知数都满足，其中为常数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查抛物线与x轴交点问题，抛物线的图象性质，二次函数与不等式的关系，掌握抛物线与x轴无交点或只有唯一交点，则是解题的关键． 由于，所以不等式恒成立的条件是，据此列不等式求解即可． 【详解】解：， 函数的图象开口向上， 不等式恒成立的条件是， ． 解得． 故选：A． 30．已知抛物线与直线在之间有个公共点，则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，利用不等式求自变量或函数值的范围，掌握知识点的应用是解题的关键． 先根据题意画出图象，通过抛物线与直线在之间有个公共点，则，最后解出不等式组即可． 【详解】解：如图， 由直线得，当时，，当时，， ∵抛物线与直线在之间有个公共点， ∴， 解得：， 故选：． 31．已知二次函数的图象与x轴有两交点，当且该函数图象与轴两交点的横坐标，满足：，时，则的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的图像与性质、利用不等式组求字母取值范围等知识点，熟练掌握二次函数各系数与图象之间的关系是解题的关键． 中根据开口方向及，的范围可判断出对应y的取值，从而建立不等式组求解即可． 【详解】解：当时，，即二次函数开口向上， ∵， ∴当时，；当时，， ∴，解得：， ∵， ∴当时，；时，， ∴，解得：， ∴． 故选：B． 32．若一个点的坐标满足，我们将这样的点定义为“倍值点”．若关于的二次函数（为常数，）总有两个不同的倍值点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义、二次函数与一元二次方程、解一元二次不等式，理解“倍值点”的定义是解题的关键．设倍值点的坐标为，代入到二次函数整理得，由题意得恒成立，则有恒成立，推出，解不等式即可得出的取值范围． 【详解】解：设倍值点的坐标为， 代入到二次函数得，， 整理得：， 二次函数总有两个不同的倍值点， 恒成立， 恒成立， ， 解得：， 的取值范围是． 故答案为：． 题型九、根据交点确定不等式解集 33．二次函数的部分对应值如下表所示： x 3 4 y m 0 m 则当时，x的取值范围为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由表格给出的信息可知，对称轴为直线，利用二次函数的对称性得到当时，或，进而可得二次函数的开口方向以及与x轴的交点坐标，当时，函数图象在x轴下方，据此求出x的取值范围． 【详解】解：由表可知，二次函数的对称轴为直线， 则当时，或， ，在对称轴左侧，y随x的增大而增大， 二次函数的图象开口向下，且与x轴的交点为， 当时，x的取值范围为或， 故选：C． 34．如图，二次函数的图象的对称轴是直线，与轴的一个交点为，则不等式的解集为 ． 【答案】或 【分析】本题考查图象法求不等式的解集，对称性，求出抛物线与轴的另一个交点的坐标，图象法求出不等式的解集即可． 【详解】解：∵二次函数的图象的对称轴是直线，与轴的一个交点为， ∴抛物线与轴的另一个交点为， 由图象可知：不等式的解集为或； 故答案为：或． 35．二次函数的图象如图所示．根据图象解答下列问题： （1）不等式的解集为 ． （2）若方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为 ． 【答案】 或 【分析】本题主要考查，图象法解一元二次不等式，一元二次方程与二次函数综合等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）根据不等式的解集即为二次函数图象在x轴下方时自变量的取值范围求解即可； （2）根据方程有两个不相等的实数根即二次函数与直线有两个不同的交点进行求解即可． 【详解】（1）解：由函数图象可知不等式的解集为或， 故答案为：或； （2）解：解：由函数图象可知方程有两个不相等的实数根，即为二次函数与直线有两个不同的交点， ∴， 故答案为：． 36．如图，抛物线的图像与x轴交于A，B两点，A在B左侧，与y轴交于点C． (1)点C坐标为 ，顶点坐标为 ； (2)不等式的解集是 ； (3)当x满足时，y的取值范围是 ． (4)当y满足时，x的取值范围是 ． 【答案】(1)； (2) (3) (4)或 【分析】本题考查了二次函数的性质，抛物线与两坐标轴的交点及与不等式的关系，利用数形结合的思想解答是解题的关键． （1）把代入可得点坐标，把函数解析式转化为顶点式可得顶点坐标； （2）把代入求出点、坐标，再结合图象解答即可求解； （3）求出的函数值，再结合顶点坐标预计函数的图象即可求解； （4）把代入求出对应的的值，再结合图象解答即可求解； 【详解】（1）解：把代入得，， ∴点坐标为， ∵， ∴顶点坐标为， 故答案为：； （2）解：把代入得，， 解得：， ， 由图象可得，当时，，即， ∴不等式的解集是， 故答案为：； （3）解：由前面可知抛物线的顶点坐标为： 故当时，y取得最小值为． 当时，， 结合函数图像可知，当时，． （4）解：令，则，即， 解得：，， 又， 故结合函数图象可知：当或时，． 题型十、二次函数与不等式、方程的关系综合 37．某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． (1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值如下： x … 0 1 2 3 … y … 0 m 0 … 其中，______； (2)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中，“数学兴趣小组”的同学们画出了函数图象的一部分，请你补全这个函数图象并利用图象解决下列问题： ①方程有______个实数根； ②关于x的方程有4个实数根时，a的取值范围是______； ③不等式的解集是______． 【答案】(1) (2)①3；②；③或 【分析】把代入函数解析式即可得m的值； 描点、连线即可得到函数的图象； ①根据函数图象与x轴的交点个数，即可得到结论； ②根据的图象与直线的交点个数，即可得到结论； ③根据函数的图象即可得到a的取值范围． 本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能结合函数的图象进行分析是关键． 【详解】（1）解：解：由题意，当时，， 故答案为： （2）解：根据给定的表格中数据描点画出图形，如图所示． ①观察函数图象可知：函数的图象与只有3个交点， 方程有3个实数根． 故答案为： ②观察图象可知：关于x的方程有4个实数根时， 的取值范围是 故答案为： ③由题意，不等式的解集就是的解集， 不等式的解集是函数图象在x轴上方部分对应的自变量的范围． 结合图象可得，或 故答案为：或 38．已知抛物线（，为常数）经过点，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当时，，当时，，且，为两个连续偶数，求的值； (3)该抛物线与直线（为常数且）相交于，两点，且在的左侧．若在范围内，的取值恰好有3个整数值，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，确定直线经过定点是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）由二次函数性质可得当时，；当或时，；即可求出， 或，最后根据，为两个连续偶数确定具体的值即可； （3）先求出直线经过定点，再判断在抛物线上，即可得到直线与抛物线一个交点为，则或，据此分情况讨论，再根据在范围内，的取值恰好有3个整数值确定的取值范围． 【详解】（1）解：将，代入中， ∴， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：当时，， 解得或， ∵开口向下， ∴当时，；当或时，； ∵当时，， ∴， ∵当时，， ∴或， ∵，为两个连续偶数， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴直线经过定点， ∵当时， ∴在抛物线上， ∵抛物线与直线（为常数且）相交于，两点， ∴或， 当时，在范围内，的取值恰好有3个整数值，则， 当时，，直线经过点时，，解得； 当时，，直线经过点时，，解得； ∴当时，在范围内，的取值恰好有3个整数值； 同理当时，在范围内，的取值恰好有3个整数值，； ∵， ∴当时，在范围内，的取值恰好有3个整数值． 39．已知抛物线，（）． (1)求该二次函数的顶点坐标（用含式子表示）； (2)若的值为1时，该二次函数的图象与轴交于、两点（点在点左边），与轴交于点，在对称轴上是否存在点，使得为，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由； (3)若的值为1时，把该二次函数的图象往上平移个单位长度后，当时，该二次函数上存在两个点其纵坐标都为横坐标的两倍，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）将抛物线解析式化为顶点式即可得出结果； （2）根据题意得到抛物线的解析式，先求出点C的坐标，设设，再求出直线的解析式，过点A作交于点Q，分别过点作轴的垂线，垂足分别为，证明，求出点Q的坐标，即可求出的值，金额得到点P的坐标； （3）根据题意得到抛物线的解析式，求出平移后的解析式，当时，该二次函数上存在两个点其纵坐标都为横坐标的两倍，即当时，方程有两个不相等的实数根，利用判别式即不等式组求解即可． 【详解】（1）解：， 则该二次函数的顶点坐标为； （2）解：存在点坐标为或时，为，理由如下： 由题意得：抛物线解析式为：， 则抛物线图象的对称轴为， 根据题意，设，直线的解析式为， 将代入，则， ∴， 当时，解得 ∴ 将代入， 则，解得， ∴直线的解析式为， 过点A作交于点Q，分别过点作轴的垂线，垂足分别为， 当点在x轴上方时，如图， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 将代入，则， 解得：或（舍去）； 当点在x轴下方时，如图， 同理得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 将代入，则， 解得：或（舍去）； 综上，当点坐标为或时，为； （3）解：由题意得：抛物线解析式为：， 则二次函数的图象往上平移个单位长度后，抛物线解析式为：， 当时，该二次函数上存在两个点其纵坐标都为横坐标的两倍， 则当时，方程有两个不相等的实数根， 即当时，方程有两个不相等的实数根， ∴，即， ∴； 解方程的 解得：或， ∴，即； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 解得：， 综上，的取值范围为． 【点睛】本题考查了待定系数法确定二次函数的解析式，抛物线的对称轴和顶点坐标，角度与特殊三角形问题，二次函数与一元二次方程问，熟练掌握配方法或公式法求顶点坐标，数形结合的思想是解题的关键． 40．已知抛物线（都是常数，）与轴交于两点，对称轴为直线． (1)已知时的最大值为时的最大值为．求的值． (2)若． ①求抛物线的顶点坐标（用含的代数式表示）； ②规定：在坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线在点，之间的部分与线段所围成的区域内（不含边界）恰有6个整点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①抛物线的顶点坐标为；②． 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数与不等式的关系等． （1）根据题意抛物线的对称轴是直线，且开口向下，得到进而求解即可； （2）①由抛物线的对称轴是直线，求得，由求得，据此求得，求得抛物线的顶点坐标为； ②由题意求得抛物线经过和，顶点坐标为，与轴的交点，根据题意列得不等式组，求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线，且， ∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， ∵时，的最大值为， ∴顶点坐标为， ∴， ∵时，的最大值为， ∴当时，， ∴，，； （2）解：①∵抛物线的对称轴是直线， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为； ②不妨设点在点的左侧， ∵， ∴当时，， ∴抛物线与轴交点坐标为， ∵抛物线的对称轴直线， ∴点坐标为，点坐标为， ∴在区域中的整点的横坐标只能为0，1，2， ∴根据抛物线的对称性，只考虑顶点和抛物线与轴的交点是否在区域内， 如图，由于区域内6个整点分别为，，，，，， ∴，且， 解得，且， ∴． 1．（24-25九年级上·北京·期中）已知抛物线与直线的交点横坐标分别是和1，抛物线与轴的其中一个交点的横坐标满足，那么的取值可能是（　　） A． B．1 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题抛物线与轴的交点和抛物线上点的坐标特征，熟悉函数的图象和性质是解题的关键．求出抛物线的表达式，可得，再根据求解． 【详解】解：当时，，当时，， 即抛物线过点、， 由题意得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：， 令，得， 解得：， 抛物线与轴的其中一个交点的横坐标为，另外一个交点的横坐标为， 抛物线与轴的其中一个交点的横坐标满足， ， 即， 解得：， 故选：D． 2．（24-25九年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，且．若将此抛物线先向左平移2个单位，再向下平移个单位，所得新抛物线与轴两个交点间的距离为8，则的值为（   ） A．6 B．2 C．24 D．36 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线与x轴交点问题及抛物线的平移、一元二次方程根于系数的关系，熟练掌握相关性质是解题关键． 设两根为，根据得到，由题意得出当时，抛物线上两点之间距离为8，得，解方程求出即可． 【详解】解：抛物线，当时， 设两根为， 则， ， ， ， ， 此抛物线先向左平移2个单位，再向下平移m个单位，所得新抛物线与x轴两个交点间的距离为8， 即当时，抛物线上两点之间距离为8， 设两根为， 则， ， ， ， ， ， 解得：． 故选：D． 3．（24-25九年级上·北京·期中）二次函数满足以下条件：当时，它的图象位于x轴的上方；当时，它的图象位于x轴的下方，那么的解集是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．由题意知，二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，根据抛物线的对称性可得当时，它的图象位于x轴的上方，当时，它的图象位于x轴的下方，进而可得二次函数的图象与x轴的交点坐标为和，再结合图象可得答案． 【详解】解：二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∵当时，它的图象位于x轴的上方；当时，它的图象位于x轴的下方， ∴当时，它的图象位于x轴的上方，当时，它的图象位于x轴的下方， ∴二次函数的图象与x轴的交点坐标为和， ∴的解集是． 故答案为：． 4．（24-25九年级上·北京·期中）已知函数，当时，y随x的增大而减小，且抛物线上有两点、，，，、总满足，则实数a的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次函数图像与系数的关系，对任意的，，，相应的函数值，总满足，只需最大值与最小值的差小于等于即可，进而求解．将转换为最大值与最小值的差小于等于是解题的关键． 【详解】解：∵函数的对称轴为，而时，函数值随增大而减小， ∴， ∵和， ∴时，函数的最小值为：， ∴函数的最大值在和中产生， 则，中，抛物线开口向上，离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴，而， ∴距离更远， ∴当时，函数取得最大值为：， ∵对任意的，，，相应的函数值，总满足， ∴最大值与最小值的差小于等于， 即， ∴， 解得：， ∵， ∴实数的取值范围是． 故答案为：． 5．（2025·北京昌平·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)写出抛物线的对称轴（用含的式子表示）； (2)若点，抛物线与线段只有一个交点，求的取值范围； (3)是抛物线上两点，若，直接写出取值范围． 【答案】(1)对称轴为 (2)或或 (3) 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练利用数形结合思想是解题的关键． （1）利用二次函数的性质即可解答； （2）求得二次函数与轴的交点，使交点与比较即可； （3）表示出，再表示出，最后解不等式即可． 【详解】（1）解：对称轴为； （2）解：令，， 解得， 二次函数与轴的交点为， 当在点左边时，抛物线与线段只有一个交点，此时， 解得； 当与时，抛物线与线段只有一个交点，此时； 当在点右边时，抛物线与线段只有一个交点，此时， 解得； 综上所述，或或； （3）解：对称轴为， 为顶点， 二次函数开口向上， ， ， 可得， ， ， ， 可得， 解得． 6．（2025·北京延庆·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线． (1)当时，求抛物线的顶点坐标； (2)已知和是抛物线上的两点，若对于，，都有，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数顶点坐标公式，以及根据函数单调性结合点的位置来确定参数的取值范围． （1）将代入抛物线表达式，通过配方法或顶点坐标公式求出顶点坐标； （2）先求出对应的函数值，再根据的正负性，结合二次函数单调性以及的条件确定的取值范围． 【详解】（1）解：（1）当时，抛物线为 ∴抛物线的顶点坐标为直线． （2）解：∵抛物线的对称轴为，对于，，分两种情况 ①若，∵抛物线的对称轴为， ∴点在对称轴的右侧 ∵抛物线开口向上， ∴当时，y随x的增大而增大 ∴当时，y随x的增大而减小 ， ∴点N在对称轴右侧， ， ． ②若 抛物线开口向下， 当时，y随x的增大而减小 当时，y随x的增大而增大 抛物线的对称轴为， 点关于对称轴的对称点为 ， ， 即． 解不等式组得 综上所述，a的取值范围是或． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$