专题04 二次函数的实际应用（专项训练）数学北京版九年级上册

专题04 二次函数的实际应用 目录 A题型建模・专项突破 题型一、图形问题 1 题型二、图形运动问题 2 题型三、拱桥问题 3 题型四、销售问题 5 题型五、投球问题 6 题型六、喷水问题 8 题型七、增长率问题 8 题型八、其他问题 8 题型九、利润问题中的捐赠问题 9 题型十、二次函数的角度问题 11 题型十一、二次函数的铅锤高、水平宽问题 11 题型十二、二次函数与相似三角形综合 11 题型十三、二次函数的面积问题 11 题型十四、二次函数的存在性问题 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、图形问题 1．下面的三个问题中都有两个变量： ①新能源汽车电池充满电后，使用智能驾驶功能匀速耗电，电池剩余电量与使用时间； ②用固定长度的新型导热线型材料，制作矩形形状的芯片散热框架，矩形面积与一边长； ③点燃一根粗细均匀的蜡烛，蜡烛的剩余高度与燃烧时间． 其中，变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查了函数的图象，①根据电池剩余电量y随使用时间x的增加而减小判断即可；②根据矩形的面积公式判断即可；③根据蜡烛的剩余高度y与随燃烧时间x的增加而减小判断即可． 【详解】解：①新能源汽车电池充满电后，使用智能驾驶功能匀速耗电，则电池剩余电量y随使用时间x的增加而减小，符合题意； ②用长度一定的绳子围成一个矩形，周长一定时，矩形面积是长x的二次函数，不符合题意； ③点燃一根粗细均匀的蜡烛，蜡烛的剩余高度y与随燃烧时间x的增加而减小，符合题意； 故选：C． 2．用长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框，则做成的窗框的最大透光面积是 ．（透光面积指的是整个矩形面积） 【答案】 【分析】设窗的宽为，高为，则根据矩形面积公式列出二次函数，求函数值的最大值即可．本题考查了二次函数的应用，熟记二次函数的顶点坐标公式是解题的关键． 【详解】解：设窗框的宽为m， 高为， ， ， 有最大值，即：当时 ， 则 做成宽为、长为时，才能使做成的窗框的透光面积最大，最大透光面积是， 故答案为：2． 3．如图，一块矩形土地由篱笆围着，并且由一条与边平行的篱笆分开．已知篱笆的总长为（篱笆的厚度忽略不计），当 m时，矩形土地的面积最大．    【答案】50 【分析】设，求出的长度关系，然后求出四边形的面积关系式，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】解：设，则， 所以四边形的面积为， ∵，开口向下， ∴当时，S取得最大值为3750平方米， 故答案为：50． 【点睛】本题考查了二次函数函数的实际应用，涉及到二次函数的性质，属于基础题． 4．随某农场要建一个饲养区（长方形），饲养区的一面靠墙（墙最大可用长度为15米），另三边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏），建成后木栏总长45米，设饲养区（长方形）的宽为 米． (1)饲养区的长＝　 　．（用含的代数式表示） (2)当为何值时，饲养区的面积最大，此时饲养区达到的最大面积为多少． 【答案】(1)米 (2)当时，饲养场的面积最大，最大面积为165 【分析】（1）根据题意和图形，可以用含的代数式表示出的长； （2）根据题意可以得到与的函数关系式，然后根据二次函数的性质和的取值范围，可以解答本题． 【详解】（1）解：由图可得，的长为（米）， 故答案为：米； （2）解：设饲养场的面积是， 由题意得：，即， 解得：， 则， 该函数的对称轴为， ∵， ∴当时，随的增大而减小， 故当时，取得最大值为165， 答：当时，饲养场的面积最大，最大面积为165 【点睛】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和方程的知识解答． 题型二、图形运动问题 5．如图，等腰（）的直角边与正方形的边长均为，且与在同一条直线上，开始时点与点重合，让沿直线向右平移，直到点与点重合为止．设的长为，与正方形重合部分（图中阴影部分）的面积为，则与之间的函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点的位置对分类讨论，分别画出对应的图形，根据等腰直角三角形的性质、梯形面积公式和三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：由题意可知：当点到点时，；当点到点时，； 当时，如下图所示，此时阴影部分为梯形，设与交于点 ∵四边形是正方形， ∴， ∴ ∵，，是等腰直角三角形， ∴， ∴为等腰直角三角形 ∴ ∴； 当，如下图所示，此时阴影部分为三角形，设与交于点 ∵四边形是正方形， ∴， ∵，，是等腰直角三角形， ∴， ∴为等腰直角三角形 ∴ ∴． 综上所述： 结合图像可得只有项符合题意， 故选：． 【点睛】此题考查的是求实际问题中的函数关系式，二次函数的图像及性质，掌握正方形的性质、等腰直角三角形的性质、梯形面积公式、三角形的面积公式和分类讨论的数学思想是解决此题的关键． 6．如图，在矩形中，，，点P从点A出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点D运动；点Q从点B出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点A运动． P，Q两点同时出发，设点P运动的时间为（单位：秒），的面积为．则关于的函数表达式为 ．    【答案】 【分析】根据，，，得到，根据矩形的角是直角，得到． 【详解】∵，，， ∴， ∵矩形中，， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形，三角形面积．解决问题的关键是熟练掌握矩形角的性质和三角形面积公式． 7．如图，已知正方形OBCD的三个顶点坐标分别为B(1,0),C(1,1), D(0,1). 若抛物线与正方形OBCD的边共有3个公共点，则h的取值范围是 . 【答案】0<h<1 【分析】分别画出h不同取值时函数图象,由图直观得出与正方形有3个交点时h的取值范围. 【详解】 图(1)当h=0时,抛物线与正方形有2个公共点, 图(2)当 0<h<1时, 抛物线与正方形有3个公共点, 图(3) 当h=1时,抛物线与正方形有2个公共点, 所以当 0<h<1时符合要求. 【点睛】本题考查函数图象的特点,数形结合是解答此题的关键. 8．如图，中，，，．动点，分别从，两点同时出发，点沿边向以每秒个单位长度的速度运动，点沿边向以每秒个单位长度的速度运动，当，到达终点，时，运动停止．设运动时间为（单位：秒）． (1)①当运动停止时，的值为______. ②设，之间的距离为，则与满足______（选填“正比例函数关系”，“一次函数关系”，“二次函数关系”） (2)设的面积为， ①求的表达式（用含有的代数式表示），并写出的取值范围； ②是否可以为？若可以，请求出此时的值，若不能，请通过计算说明理由． 【答案】(1)①①；②一次函数关系 (2)①；②不可以为，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的应用，涉及动点问题，三角形的面积，解题的关键是用含有的式子表示、的长度． （1）①根据时间路程速度即可求解；②由，，可得，即可求解； （2）①由（1）得：，，最后根据，即可求解；②由，可得时，有最大值为，即可判断． 【详解】（1）解：①，点沿边向以每秒个单位长度的速度运动， 当运动停止时，的值为， 故答案为：； ②，， ， 即， 与满足一次函数关系， 故答案为：一次函数关系； （2）①由题意得：， 由（1）得：， ， ； ②不可以为，理由如下： ，且， 时，有最大值，最大值为， ， 不可以为． 题型三、拱桥问题 9．如图，抛物线形的拱桥在正常水位时，水面的宽为．涨水时水面上升了．达到了警戒水位，这时水面宽．当水位继续以每小时的速度上升时，再经过几小时就到达拱顶？ 【答案】5小时 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确求出抛物线的解析式是解题关键．以直线为轴，的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设轴与交于点，抛物线的顶点为点，则可得，利用待定系数法求出抛物线的解析式，从而可得点的坐标，则可得的长，由此即可得． 【详解】解：如图，以直线为轴，的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系， 设轴与交于点，抛物线的顶点为点， 由题意得：，，， ∴， 设抛物线形的拱桥所在的函数解析式为， 将点代入得：， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵水位继续以每小时的速度上升， ∴（小时）， 答：再经过5小时就到达拱顶． 10．如图1，某隧道内设单向两车道公路，其截面由长方形的三条边，，和抛物线的一段（点E为抛物线的顶点）构成．以的中点O为原点，分别以直线和抛物线的对称轴为x轴和y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．其中，米，米，米． (1)求该抛物线的解析式； (2)为保证安全，要求行驶车辆顶部（视为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差不小于1米．若行车道的总宽度为8米，且O为的中点，请计算通过隧道的车辆的限制高度．（车道分界线的宽度忽略不计） 【答案】(1) (2)米 【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，正确求得抛物线的解析式是解答的关键． （1）利用待定系数法求解解析式即可； （2）先将代入（1）中解析式求得y值，结合与隧道顶部在竖直方向上高度之差不小于1米求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，抛物线经过点，， 设抛物线的解析式为， 则，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：根据题意，， 当时，， ∵与隧道顶部在竖直方向上高度之差不小于1米， ∴通过隧道的车辆的限制高度为米 11．赛龙舟是中国端午节最重要的一种节日民俗活动，一场赛龙舟活动中，图1是比赛途中经过的一座拱桥，图2是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，桥拱上的点到水面的竖直高度y（单位：m）与到点O的水平距离x（单位：m）近似满足二次函数关系，水面的宽度为； 拱桥最高处到水面的距离为9米． (1)求桥拱上的点到水面的竖直高度y（单位：m）与到点O的水平距离x（单位：m）满足的二次函数解析式； (2)据调查，各参赛队所用龙舟均为活动主办方统一提供，每条龙舟宽度为9m．龙舟最高处距离水面；为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少为．问5条龙舟（不考虑龙舟之间的间隔）是否可以同时通过桥洞？ 【答案】(1) (2)5条龙舟（不考虑龙舟之间的间隔）不可以同时通过桥洞，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设顶点式，利用待定系数法求解； （2）依据题意，令，解方程求出的值，求出可设计赛道的宽度，再除以9得出可设计赛道的条数，从而判断5条龙舟（不考虑龙舟之间的间隔）是否可以同时通过桥洞． 【详解】（1）解：由题意，抛物线的顶点，点， 设二次函数解析式为， 将点代入得， 解得， 二次函数解析式为； （2）解：由题意，当时，， 或． 可设计赛道的宽度为． ， 最多可设计龙舟赛道的数量为4条， 条龙舟（不考虑龙舟之间的间隔）不可以同时通过桥洞． 12．被誉为“中轴线上第一桥”的万宁桥（如图1），是北京中轴线15个遗产构成要素之一，是中轴线上最古老的桥梁，也是北京市目前唯一还在为社会交通服务的元代桥梁．据记载，元代初建时桥下的净空高度约为6米，其后由于湖底淤积逐渐增高，桥下的净空高度不断减小，遂给人难以通船的感觉． (1)假设万宁桥拱截面为抛物线，以抛物线对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图2），求该抛物线的解析式； (2)现有一艘游船，其左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，此船正对着桥洞在河中航行（如图2）．水面到棚顶的高度为米，遮阳棚的宽为4米，问此船能否通过桥洞？请说明理由． 【答案】(1) (2)能，理由见解析 【分析】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键． （1）先得出点A，点C，点E的坐标，再待定系数法求出解析式即可； （2）求出当时，得出y的值，然后计算棚顶比较即可得到答案． 【详解】（1）解： 由题意知，，，， 设抛物线解析式为， 把A、B、E代入解析式得 ， 解得， ∴此桥拱截面所在抛物线的表达式为； （2）解：此船能通过，理由： 船正对着桥洞在河中航行，水面到棚顶的高度为米，遮阳棚的宽为4米，水位高1米 则长方体形状的遮阳棚最右上端的坐标为：， 当时，代入， 解， ∴此船能通过桥洞． 题型四、销售问题 13．节日期间草莓采摘园推出优惠促销方案，采摘的草莓每千克销售单价（元）与一次性采摘量（千克）之间满足如图所示的函数关系．活动期间，采摘园对不同顾客的销售单价进行了记录，部分数值如下表．采摘园的草莓每千克的成本为13元． 一次性采摘量（千克） 5 8 14 24 31 40 销售单价（元） 30 30 28 23 20 20 (1)求和的值． (2)某顾客在采摘园一次性采摘千克，顾客采摘下来的草莓需全部买走，求当为何值时，采摘园获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)；； (2)当时，有最大值，最大值为元． 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的应用． （1）利用待定系数法求得当时，设与之间的函数表达式为，再求得当时，的值，当时，的值； （2）分当和时，两种情况讨论，当时，根据，列式，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：当时，设与之间的函数表达式为， 将，和，代入得， ， 解得：． ∴与之间的函数表达式为． 当时，，解得； 当时，； （2）解：采摘园获得的利润为元， 当时，采摘的草莓每千克销售单价， 采摘园获得的利润， ∵，∴当时，有最大值，最大值为元， 当时，采摘的草莓每千克销售单价， 采摘园获得的利润， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为元． 14．某商家销售一种成本为元的商品，当售价定为元件时，每天可销售件，根据经验，售价每涨价元，每天销量将减少件，且单件该商品的利润率不能超过． (1)求每天的销量（件）与当天的销售单价（元件）满足的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）； (2)当销售单价定为多少元时，商家销售该商品每天获得的利润最大，并求出最大利润； (3)当销售单价定为什么范围时，商家销售该商品每天获得的利润不低于元？ 【答案】(1)； (2)当销售单价定为元时，商家销售该商品每天获得的利润最大，最大利润是元； (3)当时每天获得的利润不低于元． 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，二次函数的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意列出函数关系式即可； （）设利润为元，得出，再求出，再通过，开口向下，当时，随的增大而增大，则当时， 有最大值； （）根据题意，得，再根据根据二次函数性质可知当时，． 【详解】（1）解：； （2）解：设利润为元， ，     又∵单件该商品的利润率不能超过， ∴， 解得，， ∵，开口向下，当时，随的增大而增大， ∴时， 最大为元， 答：当销售单价定为元时，商家销售该商品每天获得的利润最大，最大利润是元； （3）解：根据题意，得， 解这个方程，得，， ∵，开口向下，且， 根据二次函数性质：当时，， 答：当时每天获得的利润不低于元． 15．春节期间，由“饺子”编剧并执导的奇幻动画电影《哪吒之魔童闹海》一上映就获得观众好评．某商家抓住商机，随即销售一种成本为每件20元的特色哪吒纪念品．经销售发现：当售价为每件30元时，每天可售出100件；售价每上涨2元，日销量就会减少4件；售价每下降1元，日销量就会增加5件．设该纪念品的售价为每件元（为整数且），每天的销售量为件． (1)求出与的函数关系式； (2)该纪念品售价定为多少元时，商家每天获得的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)； (2)当定价为50元时，商家每天获得的最大利润为1800元． 【分析】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，掌握相关知识是解题的关键． （1）分情况列出一次函数关系式即可； （2）根据题意，求出每种情况的最大利润，再比较即可得出答案． 【详解】（1）解：当时，每天的销量为， 当时，日销量为， ∴； （2）解：设商家获得的利润为w元， 当时，则， 对称轴为， ，且x为整数，此时w随x的增大而增大， 故当时，则最大利润， 当时，则， 对称轴为， ，且x为整数，此时w随x的增大而增大， 当时，则最大利润， 综上所述：当定价为50元时，商家每天获得的利润最大，最大利润为1800元． 16．南门大街某特产店销售A、B两种品牌的咸鸭蛋，已知A品牌咸鸭蛋的进价为50元/盒，B品牌咸鸭蛋的进价60元/盒．若客户购买1盒A品牌咸鸭蛋和1盒B品牌咸鸭蛋，则需要137元；若客户购买2盒A品牌咸鸭蛋和3盒B品牌咸鸭蛋，则需要349元． (1)求该特产品A、B两品牌咸鸭蛋每盒的售价各是多少元？ (2)A品牌咸鸭蛋供货充足，按原价销售每天可售出60盒，经过市场调查发现：若每盒降价1元，则每天可多售出10盒（每盒售价不低于进价）；B品牌咸鸭蛋供货紧张，每天只能购进110盒且能按原价售完．求A品牌咸鸭蛋每盒降价多少元时，该特产店每天销售这两品牌咸鸭蛋的总利润w最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1)A品牌咸鸭蛋的售价为62元/盒，B品牌咸鸭蛋的售价为75元/盒； (2)A品牌咸鸭蛋每盒售价降价3元时，每天销售利润最大，最大利润为2460元． 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用、二次函数的应用． （1）设每盒A品牌咸鸭蛋的售价为a元，每盒B品牌咸鸭蛋的售价为b元，根据“购买1盒A品牌咸鸭蛋和1盒B品牌咸鸭蛋，则需要137元；若客户购买2盒A品牌咸鸭蛋和3盒B品牌咸鸭蛋，则需要349元”列出二元一次方程组求解即可； （2）设每盒A品牌咸鸭蛋降价x元，该特产店每天销售这两品牌咸鸭蛋的总利润w元，整理得到关于x的二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每盒A品牌咸鸭蛋的售价为a元，每盒B品牌咸鸭蛋的售价为b元． 根据题意得， 解得， 答：A品牌咸鸭蛋的售价为62元/盒，B品牌咸鸭蛋的售价为75元/盒； （2）解：设每盒A品牌咸鸭蛋降价x元，该特产店每天销售这两品牌咸鸭蛋的总利润w元， 由题意得 ． ， ∴当时，w有最大值2460． 答：A品牌咸鸭蛋每盒售价降价3元时，每天销售利润最大，最大利润为2460元． 题型五、投球问题 17．排球场的长度为，球网在场地中央且高度为．排球出手后的运动路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，排球运动过程中的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系．    (1)某运动员第一次发球时，测得水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离 0 2 4 6 11 12 竖直高度 2.48 2.72 2.8 2.72 1.82 1.52 ①根据上述数据，求这些数据满足的函数关系； ②判断该运动员第一次发球能否过网________（填“能”或“不能”）． (2)该运动员第二次发球时，排球运动过程中的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系，请问该运动员此次发球是否出界，并说明理由． 【答案】(1)①；②能 (2)没出界，见解析 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是求出二次函数解析式． （1）①利用待定系数法求解即可；②求出当时的的值，判断即可得解； （2）令，则，求解即可． 【详解】（1）解：①由表中数据可得顶点， 设， 把代入得， 解得：， ∴所求函数关系为． ②当时，， 故该运动员第一次发球能过网； （2）解：判断：没有出界． 第二次发球：， 令，则， 解得（舍），， ∵， ∴该运动员此次发球没有出界． 18．爱思考的小芳在观看排球比赛时发现一个有趣的现象：排球被垫起后，沿弧线运动，运动轨迹类似抛物线的一部分，于是她和同学小宛一起进行实验探究． 【提出问题】排球运动过程中距地面的竖直高度与距垫球点的水平距离近似满足怎样的函数关系？ 【分析问题】经实地测量可知，排球场地长为，球网在场地中央且高度为．建立如图所示的平面直角坐标系． 测得小宛第一次发球时排球运动过程中的竖直高度与水平距离的几组数据如下表，并在平面直角坐标系中，描出了各组数值的对应点． 水平距离 0 2 4 6 8 11 12 竖直高度 2.00 2.44 2.71 2.80 2.71 2.24 2.00 【解决问题】 (1)①请在如图的平面直角坐标系中画出表示排球运行的轨迹； ②根据表格数据和所画轨迹形状，求排球运动过程中的竖直高度与水平距离近似满足的函数关系式； ③通过计算，判断小宛这次发球能否过网，并说明理由． (2)小宛第二次发球时，如果只上下调整击球高度，球运行轨迹形状不变，那么为了确保排球既要过网，又不出界（排球压线属于没出界），求击球高度的取值范围． 【答案】(1)①作图见解析；②；③能，理由见解析 (2) 【分析】本题考查抛物线解实际应用题，熟练掌握用待定系数法求抛物线解析式、抛物线的图象与性质、抛物线的平移等知识是解题的关键． （1）①根据图中描的点进行连线即可作出图象；②根据题意，设与的函数关系式为，将代入计算即可得到答案；③将代入抛物线解析式，求得值与比较即可得到答案； （2）设击球高度，则平移距离为，可得平移后的抛物线的解析式为，再根据，则，，当时解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：①如图所示： ②根据题意，设与的函数关系式为， 将代入，得， 解得，即， 将下表中数据： 水平距离 0 2 4 6 8 11 12 竖直高度 2.00 2.44 2.71 2.80 2.71 2.24 2.00 代入检验，可知排球运动过程中的竖直高度与水平距离近似满足的函数关系式为； ③能， 理由如下： 小宛这次发球是站在点， 发球点到球网水平距离为， 当时，， 这次发球能过网； （2）解：由（1）②可知，当时，抛物线的解析式为， 设击球高度，则平移距离为， 平移后的抛物线的解析式为， ，当时，， ， ， 当时，， ， ， 答：击球高度的取值范围是． 19．如图，小林和小伟在玩沙包游戏．沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可看作抛物线的一部分，小林和小伟分别站在点O和点A处，测得距离为．若以点O为原点，所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，小伟在距离地面1的B处将沙包抛出，小林在点C处接住，运动轨迹如图中；然后小林跳起将沙包回传，运动轨迹如图中． (1)轨迹中，测得沙包的水平距离x（单位：）与竖直高度y（单位：）的几组数据如下： 水平距离x/m 0 2 4 6 8 竖直高度y/m 1.0 2.5 3.0 2.5 1.0 请根据以上数据，解决问题： 抛物线中，沙包运行的最高点距离地面的高度是_______； ②求y与x满足的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)已知小林跳起将沙包回传的运动轨迹C2近似满足函数关系式：．小伟在x轴上方1的高度上，且到点A水平距离不超过1的范围内接到了沙包，则b的取值范围是_______． 【答案】(1)①3；②； (2) 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）①g根据表中数据即可得到结论； ②设抛物线的解析式为，把代入解方程即可得到结论； （2）根据题意得到点B的坐标范围是～，把代入函数解析式得到，解方程得到，把代入函数解析式得到，解方程得到，于是得到结论． 【详解】（1）解：①由表中数据可得抛物线的最高点坐标为的， 抛物线中，沙包运行的最高点距离地面的高度是3， 故答案为：3； ②设抛物线的解析式为， 把代入得， 解得， 设抛物线的解析式为； （2）解：小伟在x轴上方1的高度上，且到点A水平距离不超过1的范围内接到了沙包， 此时，点B的坐标范围是～， 当经过时，， 解得：， 当经过时，， 解得：， ， 的取值范围是． 故答案为：． 20．某小组设计了一款自动浇花装置，小组同学调节浇花装置出水管，使其沿水平方向．水滴从出水点水平喷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．从水滴离开出水点到落地点的过程中，水滴距离地面的竖直高度为（单位：），水平距离为（单位：），建立如图1所示的平面直角坐标系． a．通过仪器测量，小组同学记录了水滴离开出水点后的运动时间为（单位：）时的多组数据，其中几组数据如下： 时间 0 0.10 0.20 0.30 水平距离 0 0.10 0.20 0.30 竖直线高度 h 0.75 0.60 0.35 b．小组同学通过学习知道，水滴运动时，水平距离与时间的关系为（为水滴离开出水点时的速度，单位） 根据以上信息，解决下列问题： (1)的值是______； (2)的值是______，水滴从离开出水点到落在落地点，需要经过______； (3)将如图2所示的一个高为的花盆放置在地面上，使花盆底面中心在图1所示的轴上，且．若该装置可以调节出水点的高度（出水管保持水平），要使水滴运动时恰好经过花盆顶端中心（不考虑其他因素），则需要将出水点向______（填“上”或“下”）平移______． 【答案】(1)1； (2)0.8，0.4； (3)上，0.2 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）根据水平距离与时间的关系为，结合表格中的数据求解即可； （2）利用待定系数法求出对应的抛物线解析式，再求出当时的函数值即可求出h的值；再求出时，x的值即可得到答案； （3）设平移后的抛物线解析式为，由题意得，抛物线经过点，利用待定系数法求出f的结果即可得到答案设平移后的抛物线解析式为， 由题意得，抛物线经过点， 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：设抛物线解析式为， 把代入到中得 ， 解得， ∴抛物线解析式为， 在中，当时，， ∴； 在中，当时，解得或（舍去）， ∴水滴从离开出水点到落在落地点，需要经过； （3）解：设平移后的抛物线解析式为， 由题意得，抛物线经过点， ∴， 解得， ∴要使水滴运动时恰好经过花盆顶端中心（不考虑其他因素），则需要将出水点向上平移． 题型六、喷水问题 21．一个大型社区，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心．    (1)以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． (2)求水管的长． 【答案】(1)见解析 (2)水管应长 【分析】（1）以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系； （2）设抛物线的解析式为，将代入求得值，令，得的y值即为水管的长． 【详解】（1）解：如图，建立以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系，    （2）解：由于在距池中心的水平距离为时达到最高，高度为， 则设抛物线的解析式为：，代入， 解得：． 将值代入得到抛物线的解析式为： ， 令，则． 故水管长为． 【点睛】此题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据图形建立合适的直角坐标系． 22．如图，在水池中心点处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点在同一水平面．安装师傅进行了调试，记录了三次数据：第一次，喷头高时，水柱落点距点；第二次，喷头高时，水柱落点距点．第三次，喷头高时，水柱落点距点． (1)根据上述数据，求该抛物线表达式中的值； (2)若记第一次调试时，抛物线形水柱距离水平面的最大高度为，记第二次调试时，抛物线形水柱距离水面的最大高度为，在某次调试中，抛物线形水柱距离水面的最大高度为，若，则喷头的高度为___________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数解析式是解题的关键： （1）根据上下平移不改变a、b的值利用待定系数法求解即可； （2）分别求出第一次调试和第二次调试时的解析式，进而确定的值，进而确定d的值，则可求出抛物线形水柱距离水面的最大高度为时的解析式，据此可得答案． 【详解】（1）解：由题意得，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，故a、b的值不发生变化， ∵第一次，喷头高时，水柱落点距点；第二次，喷头高时，水柱落点距点．第三次，喷头高时，水柱落点距点， ∴， ∴； （2）解：由（1）得第一次调试时的解析式为，第二次调试时的解析式为， ∴， ∵， ∴， ∴抛物线形水柱距离水面的最大高度为的这次调试时的解析式为， 在中，当时，， ∴喷头的高度为． 23．某广场的声控喷泉是由若干个垂直于地面的柱形喷泉装置组成的．每个柱形喷泉装置上都有上下两个喷头，这两个喷头朝向一致，喷出的水流均呈抛物线型．当围观游人喊声较小时，下喷头喷水；当围观游人喊声较大时，上下两个喷头都喷水．如图所示，点A和点B是一个柱形喷泉装置上的两个喷头，A喷头喷出的水流的落地点为C．以O为原点，以所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．（柱形喷泉装置的粗细忽略不计） 已知：，，，从A喷头和B喷头各喷出的水流的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式分别是和； (1)求A喷头喷出的水流的最大高度； (2)一名游人站在点D处，．当围观游人喊声较大时，B喷头喷出的水流是否会落在该游人所站的点D处？ 【答案】(1) (2)不会 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，构造二次函数模型并计算是解题的关键． （1）根据喷头喷出的水流高度与水平距离的函数关系式，求出的最大值即可； （2）根据喷头喷出的水流高度与水平距离的函数关系式，令，通过计算的值即可判断． 【详解】（1）解：根据题意，令，易得， 令，，可求得， 因此A喷头和喷头各喷出的水流的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式分别是和； 函数的对称轴为，此时， 因此A喷头喷出的水流的最大高度是； （2）解：函数，令， ， 因此B喷头喷出的水流不会落在该游人所站的点D处． 24．某广场建了一座圆形音乐喷水池，在池中心竖直安装一根水管，安装在水管顶端A处的圆形喷头向四周喷水，且各个方向喷出的抛物线形水柱形状相同．如图1，以池中心O点为坐标原点，水平方向为x轴，所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．x轴上的点C，D为水柱的落水点，若落地直径，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高． (1)求图1中右边抛物线的解析式； (2)计划在图1中的线段上的点B处竖立一座雕像，雕像高，若想雕像不碰到水柱，请求出线段的取值范围； (3)圆形水池的直径为，喷水造型会随着音乐节奏起伏而变化，从而产生一组不同的抛物线（如图2），若右侧抛物线顶点始终在直线上，当喷出的抛物线水柱最大高度为时，水柱会喷到圆形水池之外吗？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)水柱会落在圆形水池外，理由见解析 【分析】本题考查的知识点是待定系数法求解析式、二次函数的实际应用，解题关键是理解题意求出正确的二次函数解析式． （1）求出点和顶点坐标为，设顶点式，利用待定系数法解答即可； （2）将代入即可求得线段的取值范围； （3）求出点坐标，由题意设右侧喷出的最高抛物线解析式为，求出坐标解析式后可求抛物线喷出的最远距离，即可判断水柱是否会喷到圆形水池之外． 【详解】（1）解： ， ， ， ∵喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高． ∴顶点坐标为， 设右侧抛物线的解析式为：， 把代入得到，， 解得， ∴图1中右边抛物线的解析式为； （2）解：当时，， 解得（不合题意，舍去） ∴线段的取值范围为； （3）解：水柱会落在圆形水池外，理由如下： 当时，， ∴点A的坐标为， 把代入 ， ， 当右侧喷出的抛物线最大高度为时， 设抛物线的解析式为：， 又上述抛物线过点，则 则， ， 当时，， ， ，（舍去）， 水柱会落在圆形水池之外． 题型七、增长率问题 25．进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价．若设平均每次降价的百分率是x，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设平均每次降价的百分率是x，，第一次降价后的价格为，第二次降价的价格为，根据题意列出函数关系式即可求解． 【详解】解：设平均每次降价的百分率是x，，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x之间的函数关系式为， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 26．某种商品的价格是元，准备进行两次降价．如果每次降价的百分率都是，经过两次降价后的价格（单位：元）随每次降价的百分率的变化而变化，则关于的函数解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意利用增长率公式表示出与的函数解析式进而判断即可. 【详解】解：根据题意得y=2（1-x）2， 所以y与x之间的函数解析式为y=2（1-x）2． 故选：B. 【点睛】本题考查根据实际问题列二次函数关系式，注意掌握根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． 27．某学校去年对实验器材投资为2万元，预计今明两年的投资总额为y万元，年平均增长率为 x．则y与x的函数解析式 ． 【答案】 【分析】由已知可得今年投资是2（x+1）万元，明年投资是2（1+x）2万元；故y=2（x+1）+2（1+x）2． 【详解】解：依题意可得y=2（x+1）+2（1+x）2= 故答案为y=． 【点睛】本题考核知识点：列二次函数，解题关键点：理解题意列出函数关系式． 28．某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件． (1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第二、三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率； (2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件． ①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？ ②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？ 【答案】(1) (2)①每件应张价5元；②每件涨价应为8元 【分析】（1）设第二、三天的日平均增长率为x，利用第三天的销售量=第一天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）①设每件应张价y元，则每件盈利（毛利润）为元，销售数量为件，根据每件盈利（毛利润）×销售数量＝每天总毛利润列方程求解即可； ②设每件涨价应为z元，则每天总毛利润为元，每天总纯利润为元，根据每天总纯利润要达到5100元，列方程求解即可． 【详解】（1）解： 设第二、三天的日平均增长率为x，根据题意，得 ， 解得： ， (不符合题意，舍去)， ∴， 答： 第二、三天的日平均增长率为10%． （2）解：①设每件应张价y元，根据题意，得 ， 解得：，， ∵要使顾客得到实惠， ∴， 答：每件应张价5元； ②设每件涨价应为z元，根据题意，得 ， 解得：， ∴， 答：每件涨价应为8元． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，设恰当未知数，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 题型八、其他问题 29．一个重物从高处做自由落体运动时，若不考虑空气阻力，它的速度会因地心引力而均匀加速，速度（v）与时间（t）的函数图象如图①，下降的距离会随时间的增加而增加，距离（s）与时间（t）的函数图象如图②．下列结论错误的是（   ） A．该重物在秒时，速度为3米/秒 B．该重物在秒时间段内下降的距离与在秒时间段内下降的距离相同 C．时间每增加1秒，该重物的速度增加米/秒 D．当秒时，该重物下降距离为米 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，解题关键是利用待定系数法求出函数表达式． 先求出一次函数的解析式，再求出秒的速度，可以判断A； 分别求出重物在秒时间内下降的距离与在秒时间段内下降的距离，可判断B； 根据（A）中求得的函数表达式，可判断C； 先求出函数表达式，再求出时的函数值，可判断D． 【详解】解：设直线的解析式为， 则，解得：， 所以直线的解析式为， 所以当秒时，米/秒，故A正确，但不符合； 该重物在秒时间段内下降的距离为米，在秒时间段内下降的距离为，故B错误，符合； 直线的解析式为，所以时间每增加1秒，该重物的速度增加米/秒，故C正确，但不符合； 设距离（s）与时间（t）的函数解析式为， 因为当时，， 所以，解得：， 所以距离（s）与时间（t）的函数解析式为， 当秒时，，该重物下降距离为米，故D正确，但不符合， 故选：B． 30．冬季蔬菜大棚内某天的温度（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，其中．有下列结论： ①蔬菜大棚内当天的温度可以是； ②蔬菜大棚内当天的温度的最大值为； ③蔬菜大棚内当天的温度不低于19℃的时长为． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，依据题意得，，故当时，有最大值为19.4，且当时，随的增大而增大，进而逐个判断可以得解．解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 【详解】解：由题意得，， 当时，有最大值为19.4，且当时，随的增大而增大，故②错误． ，且当时，， 蔬菜大棚内当天的温度可以是，故①正确． 令， ． 或． 的图象开口向下， 蔬菜大棚内当天的温度不低于的时长为：小时，故③正确． 综上，正确的有①③，共2个． 故选：C． 31．一种高脚杯如图1所示，其杯肚部分外轮廓线为抛物线的一部分，图2为其杯肚的截面图，已知杯口，杯深．如图3，若将盛有部分液体的高脚杯倾斜（即与液面所在直线相交，所夹较小角为），液面与交于点E，且点E距杯口的距离，则此时液面宽为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，建立如图所示平面直角坐标系，作于点H，作于点Q，则，求解二次函数解析式为，FG所在直线解析式为，再进一步求解即可． 【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系，作于点H，作于点Q， 则， 则各点坐标为：，，，，． 设抛物线的表达式为， 把点A坐标代入解析式，得， 解得， ∴． ∵，E点坐标为， ∴直线与x轴的交点为． 设所在直线解析式为， 把点，代入解析式，得． 令， 得， 解得，． ∴， ∴． 故答案为：C． 32．“路亚”是一种钓鱼方法，用这种方法钓鱼时先把鱼饵通过鱼线收到鱼竿末端，然后用力将鱼饵甩向远处．如图，人站在离水面高度的位置，当鱼饵被抛出后，鱼竿所在的位置为直线，此时鱼线形成的图象近似的看成抛物线，若点C到y轴的距离为，则鱼线落在水面上的点到点A的水平距离 ． 【答案】10 【分析】根据题意，得，代入解析式，确定，得到解析式，根据，得到，代入解析式得到（舍去），解答即可． 【详解】解：根据题意，得，代入解析式， 解得， 故一次函数的解析式， 当时， ， 故点， 把代入解析式， 解得（舍去）， 故抛物线的解析式为， 当时， ， 解得， 故鱼线落在水面上的点到点A的水平距离． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，点到坐标轴的距离意义，解方程，抛物线的性质，熟练掌握待定系数法，抛物线的性质是解题的关键． 题型九、利润问题中的捐赠问题 33．端午节是中国四大传统节日之一，时间为农历五月初五，是集拜神祭祖、祈福辟邪、欢庆娱乐和饮食为一体的民俗大节．在节日前夕，某商店从节令食品加工厂购进由粽子、皮蛋、咸蛋和绿豆糕搭配而成的A、B两种礼盒．其中A礼盒每盒利润28元，每天可以卖出120盒，B礼盒每盒利润20元，每天可以卖出160盒．若A礼盒每盒价格提高1元，则每天少卖出3盒，B礼盒每盒价格提高1元，则每天少卖出4盒．（注：两种礼盒成本不变） (1)若每份礼盒的价格提高x元，每天销售A、B两种礼盒的利润分别为元和元，请求出与x之间的函数关系式； (2)物价部门规定这两种礼盒提高的价格之和为9元，那么A礼盒的价格提高多少元时两种礼盒每天售出的利润之和最大？最大是多少元？ (3)在（2）的条件下，当每天的销售利润最大时，每售出一盒礼盒均捐赠a元（）给福利院，该商店每天的利润要想不少于6000元时，请直接写出a的取值范围． 【答案】(1)； (2)A礼盒的价格提高2元时，两种礼盒每天售出的利润之和最大，最大为6984元 (3) 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，一元一次不等式的应用； （1）根据利润=每盒利润×销量列式即可； （2）设两种礼盒每天的销售利润之和为W元，A礼盒的价格每盒提高m元，则B礼盒的价格每盒提高元，列出W关于m的二次函数关系式，利用二次函数的性质可得答案； （3）求出销售利润最大时两种礼盒的销量，再根据题意列出一元一次不等式，求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：； ； （2）设两种礼盒每天的销售利润之和为W元，A礼盒的价格每盒提高m元，则B礼盒的价格每盒提高元， 由题意得： ∴当时，元， 即A种礼盒的价格提高2元时，两种礼盒每天售出的利润之和最大，最大为6984元； （3）由（2）可知，当时，A种礼盒每天售出盒，B种礼盒每天售出盒， 则， ， ， ． 34．某公司推出一款产品，成本价元/千克，经过市场调查，该产品的日销售量（千克）与销售单价（元/千克）之间满足一次函数关系，该产品的日销售量与销售单价之间的几组对应值如下表： 销售单价（元/千克） 日销售量（千克） 注：日销售利润日销售量（销售单价成本单价） (1)求关于的函数解析式（不要求写出的取值范围）； (2)当销售价格为多少元时，日销售利润最大，最大利润是多少元； (3)该公司决定从每天的销售利润中捐赠元给“精准扶贫”对象，为了保证捐赠后每天的剩余利润不低于元，请直接写出该产品销售单价的范围_________． 【答案】(1) (2)当销售价格元时，日销售利润最大，最大值是元 (3) 【分析】本题考查一次函数的应用，二次函数的性质，能够理解题意列出合理的方程和不等式是解题的关键． （1）从表格中取点代入一次函数解析式即可求解； （2）建立与的函数关系式，利用二次函数性质求最大值即可． （3）先求捐赠后的利润为元时的销售单价，再利用二次函数的性质直接下结论即可． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， 则解得：，， ， （2）因为， 所以当时，有最大值， 最大值为，   所以当销售价格元时，日销售利润最大，最大值是元； （3）因为， 整理得：，解得：， 所以，当时，捐赠后每天的剩余利润不低于1025元 故答案为：． 35．某玩具店销售一款玩具，已知该玩具成本为20元，经试销发现，该玩具每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间近似满足函数关系式：，为了保证利润，规定． (1)当销售单价为30元时，该玩具每天的销售额为多少？（销售额销售量销售单价） (2)求销售该玩具每天的利润w（元）的最大值． (3)该店为响应“助力防控，回馈社会”活动，决定每卖出一个玩具就捐赠a元（），若每天扣除捐款后仍可获最大利润196元，则a的值为多少？ 【答案】(1)该玩具每天的销售额为600元 (2)销售该玩具每天的利润最大值为225元 (3)的值为2 【分析】（1）先求出时y的值，再根据“销售额＝销售量销售单价”计算即可； （2）根据“利润=（销售单价成本）销售量”列出w与x之间的函数关系式，再根据抛物线的顶点的坐标，结合x的范围即可求出w的最大值． （3）设每天扣除捐款后的利润为, 根据“利润=（销售单价成本）销售量”列出z与x之间的函数关系式，再根据抛物线的顶点的坐标，可得时，，结合a的范围即可求出a的值． 【详解】（1）解：当元时，． ． 答：当销售单价为30元时，该玩具每天的销售额为600元． （2）解：           ∵， ∴当时，． 答：销售该玩具每天的利润最大值为225元． （3）解：设每天扣除捐款后的利润为,则 ，    当时,达到最大值．将代入得： 即， 即，     ∴， ∴，， ∵， ∴． 答：的值为2． 【点睛】本题考查了二次函数的应用、解一元二次方程等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 36．平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶，商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于58元，经调查发现：每降价1元，平均每周可多售出20顶． (1)若该商店希望平均每周获利4000元，则每顶头盔应降价多少？ (2)商店降价销售后，决定每销售1顶头盔，就向某慈善机构捐赠m元（m为整数，且），帮助做“交通安全”宣传，捐赠后发现，该商店每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大，求m的值． 【答案】(1)每顶头盔应降价20元； (2)或4． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式． （1）设每顶头盔应降价元，则每顶头盔的销售利润为元，平均每周的销售量为顶，根据每周销售头盔获得的利润每顶头盔的销售利润平均每周的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，结合每顶售价不高于58元，即可确定的值； （2）设每周扣除捐赠后可获得利润为元，每顶头盔售价为元，利用每周销售头盔获得的利润每顶头盔的销售利润平均每周的销售量，即可得出关于的函数关系式，利用二次函数的性质可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，再结合且为整数，即可得出的值． 【详解】（1）解：设每顶头盔应降价元，则每顶头盔的销售利润为元，平均每周的销售量为顶， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， ， ， ． 答：每顶头盔应降价20元； （2）解：设每周扣除捐赠后可获得利润为元，每顶头盔售价为元， 依题意得：． 抛物线的对称轴为，开口向下，当时，利润仍随售价的增大而增大， ， 解得：， 又∵，且为整数， 或． 题型十、二次函数的角度问题 37．如图，已知抛物线的图象与轴交于两点，与轴交于点，点的坐标为，且抛物线对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，连接，为线段下方抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，作轴交轴于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)如图，连接，在直线下方抛物线上是否存在一点，使得，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)的最大值为，此时； (3)存在，． 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的性质，待定系数法求解析式，二次函数的最值，全等三角形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解； （）先求出，再求出直线表达式为，设，则，所以，然后通过二次函数的性质即可求解； （）当点在下方时，如图，作轴，作于点，与抛物线的交点为，连接，求出，则，证明，所以，又，，故有，则，可得点与点重合，从而求解． 【详解】（1）解：由题意知，解得， ∴解析式为； （2）解：∵点的坐标为，且抛物线对称轴为直线， ∴， 当，， ∴， 设直线表达式为：， ∴，解得， ∴直线表达式为， 设， 则， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值为，此时； （3）解：存在，理由如下： 当点在下方时，如图，作轴，作于点，与抛物线的交点为，连接， ∵， ∴当时，， 解得：或， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 如图，点与点重合， ∴． 38．如图所示，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，与轴的另一个交点为． (1)求抛物线的解析式． (2)是线段上一动点（不与点，重合），过点作轴于点，交于点，交抛物线于点，连接，，． ①是否存在点．使？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． ②若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①不存在点，使；理由见解析；②的值为 【分析】（1）把代入求出一次函数解析式，则的坐标为，再把代入中即可求出抛物线的解析式． （2）①求出，根据，求出，，结合轴，求出，设，则，，由题意得四边形是平行四边形，得到，据此求解即可； ②求出直线的解析式，根据题意得出点P在x轴上方，如图，连接，延长交x轴于N，证明，求出，从而求出直线的解析式，联立抛物线解析式求出的值即可求解． 【详解】（1）解：把代入得：， 故， 则的坐标为， 把代入中 得， 解得：， ∴抛物线的解析式的为：． （2）解：①不存在点，使；理由如下， ∵， 令，则，解得：或3， ∴， 又∵， ∴，，， 又轴， ， ， ， ∵， ∴，， ， ∵轴， ∴， 当时，则四边形是平行四边形， ∴， ∴，整理得， ∵， ∴不存在点，使； ②∵点，， 设直线的解析式为：， 则，解得：， ∴直线的解析式为：， ∵是线段上一动点（不与点，重合）， ∴点P在x轴上方， 如图，连接，延长交x轴于N， ， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为：，则，解得：， ∴直线的解析式为：， ， 解得：，（舍去）； ∴的值为． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与x轴的交点问题，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质和判定，一次函数解析式求解，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键． 39．如图，平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于点、点，与轴相交于点，连接、． (1)求：，的值； (2)当时，函数的最小值是2，求出的值； (3)在抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，2 (2) (3)存在，点或 【分析】本题考查了二次函数的综合运用，涉及待定系数法求表达式，二次函数的性质，二次函数与角度问题等．第（3）问关键是构造三角全等． （1）由题意得：，利用待定系数法求解即可； （2）先求出点，点，抛物线的对称轴为直线，再根据二次函数的性质解答即可； （3）先求出，分点在左侧时，点在右侧时，两种情况讨论，利用三角形全等的性质解答即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 则，则， 抛物线的解析式为：， 则； （2）解：当时，， 解得，， 点， 当时，， 点． 由抛物线的表达式知，其对称轴为直线， 当时，函数的最小值是2，即时，函数取得最小值， 则，则（舍去）， ∴的值为； （3）解：存在点，理由如下： ∵，， ∴， ， ①当点在左侧时，如图，在轴上取点，延长交抛物线于点， 在和中， ，，， ， ， ， 设直线的解析式为， 由点、的坐标得，直线的解析式为， 联立上式和抛物线的表达式得：， 则（舍去）或，故点； ②当点在右侧时，如上图，作关于的对称，交二次函数于点， 则，，， ， ， 四边形是正方形， ， 令中，，则， 解得或， ，， ，， ， ， ， 在点抛物线上，即点满足条件， 故存在满足条件的点有两个，分别为：或． 40．已知，二次函数． (1)如图，该二次函数图象交轴于点、，交轴于点，点是函数图象上一动点． ①求该二次函数表达式； ②当时，求点的坐标； (2)定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”．在的范围内，若该二次函数的对称轴为直线，且图象上有且只有1个“三倍点”，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①；②或 (2)或 【分析】此题考查了一次函数和二次函数综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质是关键． （1）①由待定系数法即可求出答案；②当时，则直线的表达式为，联立解一元二次方程即可得到答案； （2）由定义可知，求得，当与只有一个交点时，有两个相等的实数根，则，解得，当时，，则当函数过时满足题意，当时，，当函数过时满足题意，据此即可得到答案． 【详解】（1）解：①由题意可得， ， 解得， ∴该二次函数表达式为； ②当时，， 解得， ∴， 当时，则直线的表达式为， 和抛物线解析式联立得到，或， 解得（舍去）或或， 即点的坐标为或； （2）由定义可知， 由题意可得， ，解得， ∴抛物线解析式为 当与只有一个交点时， 有两个相等的实数根， ∴， 解得， 当时， 当函数过时满足题意， ∴，解得， 当时， 当函数过时满足题意， 则，解得， ∴或 题型十一、二次函数的铅锤高、水平宽问题 41．如图①，已知二次函数与轴相交于、两点，与轴相交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)如图②，连结、． ①在对称轴上是否存在一个点，使的周长最小？若存在，请求出点的坐标和此时的周长；若不存在，请说明理由； ②点为抛物线在第四象限内图象上一个动点，是否存在点，使得的面积最大？若存在，请求出点的坐标和此时面积的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①存在一个点，使的周长最小，，的周长最小值为；②存在，此时面积的最大值为． 【分析】（1）运用待定系数法计算即可． （2）①运用待定系数法计算即可直线为，判定、是对称点，计算当时的函数值即可确定坐标，进而确定最小周长． ②设，过点作交直线于点，则，根据面积法构造二次函数，根据二次函数的最值计算即可． 【详解】（1）解：∵二次函数与轴相交于、两点， ∴， 解得， ∴该抛物线的解析式为． （2）解：①存在，点．理由如下： 中，当时，， ∴， 设直线为， 把，代入得， ， 解得，， ∴直线为； ∵抛物线与轴交于、两点，， ∴、关于二次函数对称轴对称， ∴，，， ∴的周长为， 根据两点之间线段最短得，当在直线上时，最短，即的周长最小， ∵直线的解析式为， ∴当时，， ∴点， ∴的周长最小值为； ③存在，设，过点作交直线于点，则， ∵，， ∴， 故当时，取得最大值，且为， 当时，， ∴． ∴存在，此时面积的最大值为． 【点睛】本题考查了待定系数法确定二次函数的解析式，一次函数的解析式，构造二次函数计算三角形的最值，熟练掌握待定系数法，灵活构造二次函数是解题的关键． 42．如图，抛物线的图象与x轴交于两点（点在点的左边），与轴交于点，点为抛物线的顶点．点的坐标为，点的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)点为线段上一点（点不与点、重合），过点M作x轴的垂线，与直线交于点E，与抛物线交于点P，过点P作交抛物线于点Q，过点Q作轴于点N．若点P在点左边，当矩形的周长最大时，求的面积； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式即可； （2）设点的坐标为，则点P的坐标为，结合二次函数对称性得到点Q的坐标为，点N的坐标为，利用表示出矩形的周长，即可推出当矩形的周长最大时，的值，利用待定系数法求出直线的解析式，得到点E的坐标，再利用三角形面积公式求解，即可解题． 【详解】（1）解：由题知，抛物线的图象过点，， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：设点的坐标为， 则点P的坐标为， 抛物线的对称轴为直线，， 点Q的坐标为， 点N的坐标为， 则矩形的周长 ， ， 当时，矩形的周长最大，最大值为， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 则有，解得， 直线的解析式为， 则点E的坐标为， ， 的面积为． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数最值，图形与坐标，解题的关键在于灵活运用相关知识． 43．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求这个二次函数的表达式和顶点坐标． (2)若点是直线上方抛物线上的一个动点，当的面积最大时求 点坐标． 【答案】(1)，顶点为 (2)面积的最大值为；此时点 【分析】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质及铅垂法是解题的关键； （1）根据待定系数法求得解析式，进而化为顶点式求得顶点坐标； （2）过点M作轴，交直线于点H，由题意可求得直线的解析式，然后设点，则有，进而可得，最后根据铅垂法可进行求解． 【详解】（1）解：由题意可得： ， 解得：， ∴该二次函数的解析式为， ∵， ∴顶点坐标为； （2）解：令时，则有， ∴， 设直线的解析式为，则有： ，解得：， ∴直线的解析式为， 过点M作轴，交直线于点H，如图所示： 设点，则有， ∴， ∴， 由可知取得最大值，最大值为， ∴此时点． 44．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)是直线下方抛物线上的一动点，连接，，当的面积最大时，求点的坐标； (3)是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点P的坐标是或或 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （１）由直线求出B，C坐标，再运用待定系数法求出二次函数解析式即可； （2）首先过点E作y轴的平行线交直线于点G，交x轴于点F，然后设点E的坐标是，则点G的坐标是，求出的值是多少；最后根据三角形的面积的求法，求出，进而判断出当面积最大时，点E的坐标； （3）在抛物线上存在点P，使得以P、Q、B、C为顶点的四边形是平行四边形．然后分三种情况讨论，根据平行四边形的特征，求出使得以P、Q、B、C为顶点的四边形是平行四边形的点P的坐标是多少即可． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与y轴交于点B， ∴点B，C的坐标分别为，． 把点，代入抛物线， 得：， 解之，得 ∴抛物线的解析式为． （2）解：如图，过点E作轴，交直线于点G，交x轴于点F， 设点E的坐标为，则点的坐标为， ∴． ∴． ∴当时，的面积就最大． 此时点E的坐标为． （3）解：存在．由抛物线 ∴对称轴是直线． ∵Q是抛物线对称轴上的动点， ∴点Q的横坐标为1． ①当为边时，点B到点C的水平距离是4， ∴点Q到点P的水平距离也是4． ∴点P的横坐标是5或， ∴点P的坐标为或； ②当为对角线时，点到点C的水平距离是3， ∴点B到点P的水平距离也是3， ∴点P的坐标为． 综上所述，在抛物线上存在点P，使得以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标是或或． 题型十二、二次函数与相似三角形综合 45．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点M是抛物线上一动点（不与点B重合），过点M作轴于点N，交直线于点P． (1)求线段的长； (2)若，求点M的坐标； (3)若点M在直线下方的抛物线上运动，是否存在点M，使以点M，P，C为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点M的坐标为或 (3)存在，点M的坐标为或 【分析】此题是二次函数的综合题，涉及到二次函数、一次函数解析式的确定，二次函数的性质，函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，一次函数与二次函数的交点等重要知识；要注意的是（3）题中，一定要根据相似三角形的不同对应顶点来分类讨论，以免漏解． （1）根据题意确定，，即可求出线段的长度； （2）先求出，再求出直线的解析式为，设，则，，则，，列出方程，再求解即可； （3）设，且，则，，再求出；再分为当时及当时，这两种情况分别求解即可． 【详解】（1）解：令，得， 解得，． 点A在点B的左侧， ，， ． （2）令，得， ． 设直线的解析式为 把点，代入， 得， 解得 直线的解析式为． 轴， 设，则， ， ， 或， 解得，（舍去），，（舍去）． 点M的坐标为或． （3）轴， 设，且，则，， ，，． 和相似，且， 或． 当时，，且， ，即， 解得（舍去），， ； 当时，如图，过点M作轴于点D， 则， ， ，， ，解得（舍去），， 综上，当以点M，P，C为顶点的三角形与相似时，点M的坐标 为或． 46．如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，P是第二象限内抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图 1，设对称轴交线段于点N，点Q在对称轴上，且在点N的下方，是否存在以P，Q，N为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图 2，连接，交于点E，交y轴于点F，令，求k的最大值． 【答案】(1) (2)存在，P的坐标为 (3)的最大值为 【分析】本题主要考查了函数的解析式的求法、二次函数与几何的综合等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）将点和点代入求得a、b的值即可解答； （2）以点P、Q、N为顶点的三角形与相似，则为等腰直角三角形，，故当和为直角时，点Q和点A重合，不符合题意；当为直角时，则，即，解方程即可求解； （3）先求得直线的表达式为易得，再根据计算，然后根据二次函数的性质求最值即可。 【详解】（1）解：将点和点代入可得： ，解得：， 故抛物线的表达式为． （2）解：∵抛物线的表达式为， ∴当时，，即 ∴，即为等腰直角三角形， ∵以点P、Q、N为顶点的三角形与相似， ∴为等腰直角三角形， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的表达式为， ∵抛物线解析式为， ∴该抛物线的对称轴为：， 当时，，即点， ∵， 故当和为直角时，点P和点A重合，不符合题意； 当为直角时，则， 当时，解得：或（舍去）， ∴点． （3）解：如图：连接，设点， 设直线的表达式为， 则有，解得：， ∴直线的表达式为， ∴， ∴， ∴， ． ∴的最大值为． 47．如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)抛物线关于轴对称得到抛物线，点的对应点为为抛物线上一点且在轴上方，过点作轴于点，连接．当和相似时，求符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标是或 【分析】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法确定函数表达式、二次函数与相似三角形综合、解一元二次方程等知识，熟练掌握二次函数图象与性质是解决问题的关键． （1）由待定系数法求二次函数表达式即可得到答案； （2）先求出关于轴对称得到抛物线，由题意可知，从而由题中和相似，分两种情况分类讨论求解即可得到答案． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点和点，与轴交于点， ，解得， 抛物线的函数表达式为； （2）解：抛物线关于轴对称得到抛物线， 抛物线的函数表达式为， ，抛物线的对称轴为， ，， ， ， 若和相似，则分两种情况：①；②； 设，则， 当时， ，则， ，则， 解得或（与重合，舍去）， 为抛物线上一点且在轴上方， ； 当时， ，则， ，则， 解得或（与重合，舍去）， 为抛物线上一点且在轴上方， ； 综上所述，当和相似时，符合条件的点的坐标是或． 48．如图，抛物线交x轴于两点，交y轴于点C，连接． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)点P是第一象限抛物线上一点，设P点的横坐标为m．过点P作轴，交于点D，过点D作轴，垂足为E，连接，当和相似时，求点P的坐标； 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)点P的坐标或 【分析】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数，二次函数的解析式，相似三角形的性质和判定，两点间的距离公式，二次函数的最值等知识，第二问注意两三角形相似时根据边的对应关系分情况讨论是解题的关键， （1）用待定系数法进行解答即可； （2）根据已知P点的横坐标为m，可得点P和D的坐标，用m的代数式表示和，根据相似三角形的两种情况，由两直角边对应成比例，列出m的方程即可． 【详解】（1）解：∵抛物线交x轴于两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图1，令，得， ∴， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的解析式为：， 依题意得，则， ∴， ∵， ∵， ∴当和相似时， ∴或， ∴或， ①当时，， ， 解得（舍）或2， ∴， ②当时，， 解得：（舍）或， ∴； 综上，点P的坐标为：或． 题型十三、二次函数的面积问题 49．已知抛物线与x轴交于A，B两点，且经过点，顶点坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点D为抛物线上一个动点，连接，求的面积的最大值； (3)如图2，点E为抛物线上第四象限内一点，连接，交于点F，记的面积为，的面积为，当最大时，点E的坐标． 【答案】(1) (2)面积的最大值为8 (3) 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，二次函数与几何图形的综合，相似三角形的判定与性质，掌握二次函数图形的性质是解题的关键． （1）设抛物线的表达式为：，利用待定系数法求解即可； （2）先求出点B的坐标，再求出直线的表达式为：，过点作轴的垂线交于点，设点，则点，求出，进而得到，利用二次函数的性质即可解答； （3）过点A作x轴的垂线交的延长线于点N，过点E作x轴的垂线交于点M，易证，推出，再求出，设点，则点，进而得到，利用二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为： 将点代入得， ∴表达式为：； （2）解：当时，， 得，， ∴， 设直线的表达式为：， 将代入得，解得， ∴直线的表达式为：， 过点作轴的垂线交于点， 设点，则点， ∴， ∴， ∵， ∴当是，的面积有最大值；最大值为8； （3）解：过点A作x轴的垂线交的延长线于点N，过点E作x轴的垂线交于点M， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 将代入，得， ∴， 设点，则点， ∴， ， ∴当时，有最大值， 此时，． 50．在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A、 B两点，与y轴交于点． (1)求a的值； (2)点D为第四象限抛物线上一点 ①求的面积最大值 ②连接交于点E，连接，记的面积为，的面积为，求的最大值； 【答案】(1) (2)①4；② 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①先求出点C的坐标，进而求出直线解析式，如图所示，过点D作轴交于E，设，则，则，由，利用二次函数的性质求解即可； ②过点作轴于点，交于点，过点作轴交的延长线于点，证明，得到，则，求出，设，则，则，可得．则当时，有最大值，最大值是． 【详解】（1）解：把代入中得， ∴； （2）解：①由（1）得抛物线解析式为， ∴点A和点B的坐标分别为， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 如图所示，过点D作轴交于E， 设，则， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为4； ②过点作轴于点，交于点，过点作轴交的延长线于点， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，， ∴ ∴， 设，则， ∴， ∴． ∴当时，有最大值，最大值是． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，一次函数与几何综合，通过把求面积的最值问题转换成求线段的最值问题是解题的关键． 51．在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图，点D为第四象限抛物线上一点，连接，交于点E，连接，记的面积为，的面积为，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设抛物线的解析式为，将点的坐标代入可求得的值，从而得到抛物线的解析式； （2）过点作轴于点，交于点，过点作轴交的延长线于点，证明，得出，则，求出直线的解析式为，设，则，可得出的关系式，由二次函数的性质可得出结论． 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于，两点， 则设抛物线的解析式为． ∵将代入得：，解得， ∴抛物线的解析式为，即． （2）过点作轴于点，交于点，过点作轴交的延长线于点， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴． ∴当时，有最大值，最大值是． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，相似三角形的性质和判定，三角形的面积等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 52．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A(4，0)，C(﹣1，0)两点，与y轴交于点B，P为第一象限抛物线上的动点，连接AB，BC，PA，PC，PC与AB相交于点Q． (1)求抛物线的解析式； (2)设APQ的面积为S1，BCQ的面积为S2，当S1﹣S2＝5时，求点P的坐标； (3)是否存在点P，使PAQ为直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)y＝﹣x2+3x+4 (2)(1，6)或(2，6) (3)存在，(3，4)或(，1) 【分析】（1）根据题意将的坐标代入抛物线解析式，待定系数法求解析式即可； （2）设P（x，y），对于抛物线y＝﹣x2+3x+4．令x＝0，求得点的坐标，根据S1﹣S2＝5，求得的值，进而令抛物线解析式，即可求得点的坐标； （3）分三种情况讨论，①若∠AQP＝90°时，先待定系数法求得直线PC的解析式为y＝x+1．联立直线PC的解析式与抛物线解析式，求得交点P，②若∠APQ＝90°时，△APC是直角三角形，设P（m，n），则n＝﹣m2+3m+4．根据勾股定理构建方程，求得的值，进而求得点的坐标，③若∠QAP＝90°时，该种情况不存在． 【详解】（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（4，0），C（﹣1，0）两点， ∴． 解得． ∴抛物线的解析式是y＝﹣x2+3x+4； （2）设P（x，y），对于抛物线y＝﹣x2+3x+4．令x＝0，则y＝4， ∴B（0，4）． ∵S1﹣S2＝5， ∴S1＝S2+5． ∴S1+S△AQC＝S2+S△AQC+5，即S△APC＝S△ABC+5． ∴＝+5． ∴y＝6． ∴﹣x2+3x+4＝6． 解得x1＝1，x2＝2． ∴点P的坐标是（1，6）或（2，6）． （3）存在，点P的坐标是（3，4）或（，1）． 理由： ①若∠AQP＝90°时，即AB⊥CP． 由A（4，0），B（0，4）知，OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA＝45°． ∴∠PCA＝45°． ∴设直线PC解析式为：y＝x+t． 把C（﹣1，0）代入，得﹣1+t＝0． 解得t＝1． 故直线PC的解析式为y＝x+1． 联立， 解得（舍去）或． ∴P（3，4）； ②若∠APQ＝90°时，△APC是直角三角形， 设P（m，n），则n＝﹣m2+3m+4． 则由AP2+CP2＝AC2，即（m+1）2+n2+（m﹣4）2+n2＝（4+1）2． 整理，得m2﹣3m﹣4+n2＝0． ∴﹣n+n2＝0． 解得n1＝0，n2＝1． 当n＝0时，﹣m2+3m+4＝0，即（m﹣4）（m+1）＝0． 解得m1＝﹣1，m2＝4． 当n＝1时，﹣m2+3m+4＝1，即m2﹣3m﹣3＝0， 解得m1＝，m2＝（舍去）． 此时点P的坐标分别是（﹣1，0）（舍去），（4，0）（舍去），（，1）． ③若∠QAP＝90°时，该种情况不存在． 综上所述，符合条件的点P的坐标是(3，4)或(，1)． 【点睛】本题考查了抛物线的综合运用，抛物线与三角形的面积，抛物线与直线交点问题，直角三角形的性质，勾股定理，综合运用以上知识是解题的关键． 题型十四、二次函数的存在性问题 53．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线经过点． (1)求抛物线的表达式； (2)M是抛物线上一点，过点M作y轴的平行线交直线于点N，是否存在以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在．当点M的坐标为或时，以为顶点的四边形是平行四边形 【分析】本题考查了二次函数与平行四边形的存在性问题，涉及待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，平行四边形的性质等知识点． （1）运用待定系数法即可求解； （2）设点，求出直线的函数表达式为，由平行四边形可得，用代数式表示，再由建立一元二次方程求解． 【详解】（1）解：抛物线过点， ， 解得， 抛物线的表达式为； （2）解：存在．设点， ， ， 设直线， ∴ 解得： ∴直线的函数表达式为， 轴，如答案图所示， ， ， ∴要使以为顶点的四边形是平行四边形，只需使即可， 当点M在第一、二，三象限时，， 解得：； 当时，； 当时，， ； 当点M在第四象限时，，此时m无实数解． 综上所述，当点M的坐标为或时，以为顶点的四边形是平行四边形． 54．如图，已知二次函数是常数，的图象与x轴分别相交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l．点C关于l的对称点为D，连接．点E为该函数图象上一点，平分． (1)①线段的长为_______． ②求点E的坐标；（①、②中的结论均用含m的代数式表示） (2)设M是该函数图象上一点，点N在l上．探索：是否存在点M．使得以A、E、M、N为顶点的四边形是矩形？如果存在，求出点M坐标；如果不存在，说明理由． 【答案】(1)①；② (2)或 【分析】此题是二次函数综合题，主要考查了抛物线与坐标轴的交点坐标，对称轴，勾股定理，矩形的性质，解本题的关键是用角平分线得到直线解析式． （1）①令，求出抛物线与轴的交点坐标； ②根据抛物线解析式确定出对称轴，和轴交点坐标； （2）先设出点的坐标，分两种情况计算，利用矩形的对角线互相平分来确定出点的坐标，再用勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：①令，则， 或， ，， ， 故答案为：； ②二次函数， ，对称轴， ， 平分， 点关于轴的对称点，在直线上， 设直线的解析式为， 把，代入，得 ，解得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：，， 点是抛物线和直线的交点， ． （2）解：设， ，． 以、、、为顶点的四边形是矩形， ①以，为对角线时， ，的中点重合， ， ， ， ， ， （舍去，或， ， ②以，为对角线时， ，的中点重合， ， ， ， ， ， （舍去或 ， ③以，为对角线时， ，的中点重合， ， ， ， ， ，此方程无解， 即：存在，或． 55．如图所示，抛物线与轴交于点，点，是抛物线的顶点． (1)求抛物线所对应的函数解析式； (2)设直线所在的函数解析式为，请直接写出不等式的解集； (3)抛物线上是否存在点，使得，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，二次函数与不等式，求一次函数的关系式， 对于（1），将点，点代入顶点式，整理求出解即可； 对于（2），先求出交点B，P的坐标，再根据直线在抛物线上方时自变量的取值范围即为答案； 对于（3），分两种情况：点M在x轴下方时，此时与点P重合可得答案；点M在x轴上方时，先求出点P关于x轴的对称点的坐标，再求出直线的关系式，然后联立直线和抛物线的关系式，求出解即可. 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，点． 设抛物线解析式为 ． 整理，得； （2）解：． 将化为顶点式，得． 点坐标为. 点的坐标为， 不等式的解集为； （3）解：存在． 由抛物线的对称性可知 故当点在x轴下方时，点与点重合，可得点坐标为． 如图所示，作点关于轴的对称点，点P的坐标为， 可得Q点坐标为. 设直线的解析式为． ∵点，， 直线的解析式为． 联立方程组可得 解得（舍）． 将代入， 得． 故的坐标为. 综合以上可得点M的坐标为或． 56．如图，已知抛物线与轴交于，的两点，与轴交于点，为顶点，点是轴上方的抛物线上的一个动点，轴于点，与交于点． (1)求该抛物线所对应的函数关系式及顶点的坐标； (2)是否存在点，使得以点，、为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在点，或 【分析】本题主要考查二次函数的性质、勾股定理的逆定理、待定系数法求一次函数、两点之间距离公式和相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟悉二次函数的性质和相似三角形的性质． （1）设抛物线解析式为，将点代入求得函数解析式，再化为顶点式即可； （2）根据点的坐标利用两点之间的距离公式和勾股定理逆定理即可判定为直角三角形，且，，．分两种情况(Ⅰ) ，则；(Ⅱ) ，则，分别求解即可． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， ∵抛物线与轴交于，两点，与轴交于点， 解得 ∴抛物线所对应的函数关系式， ∴抛物线的顶点为； （2）存在点，使得以点，、为顶点的三角形与相似；理由如下： ∵，， 则，，， ∵， ∴为直角三角形，． （Ⅰ）如图2，若，则， 即， 整理，得， 解得，（舍去）． ∴． （Ⅱ）如图3，若， 则， 即 整理，得， 解得，（舍去）． ∴ 故符合条件的点的坐标为或 1．（24-25九年级下·北京西城·一模）某科技展览馆在周末开放时，统计了参观者到达展览馆检票口的情况，如果把参观者到达检票口的累计人数（为整数，单位：人）和时间（为整数，单位：分钟）的数据点标记到坐标系中，用光滑的曲线连接数据点，可近似看作的二次函数，其图象经过原点，且顶点坐标为，．若展览馆入口处有一个自动检票机，每分钟可处理张票． (1)求与之间的函数解析式； (2)展览馆入口处排队等待检票的参观者人数最多时有多少人？ (3)检票开始后的第分钟开始，为了减少排队等候时间，展览馆在入口处临时开放了一个自动检票机，若新自动检票机每分钟可处理张票，则新机器投入使用多长时间后，展览馆检票处不再出现排队等待的情况（直接写出结果）． 【答案】(1) (2)人 (3)分钟 【分析】（）利用顶点式假设出二次函数的解析式，再利用待定系数法解答即可； （）设第分钟时的排队等待人数为人，求出与之间的二次函数解析式，再利用二次函数的性质解答即可； （）设自动检票机分钟时间后，展览馆入口处不再出现排队等待的情况，根据题意可列出关于的方程，解方程即可求解； 本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，利用待定系数法求出二次函数的解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵抛物线顶点坐标为， ∴可设， 将代入，得， 解得， ∴； （2）解：设第分钟时的排队等待人数为人， 由题意可得， ， ∵， ∴当时，的最大值为， ∴排队等待人数最多时是人； （3）解：设自动检票机分钟时间后，展览馆入口处不再出现排队等待的情况， 由题意得，， 整理得，， 解得，（不合，舍去）， 答：自动检票机分钟时间后，展览馆入口处不再出现排队等待的情况． 2．（2025·北京门头沟·二模）射门是足球比赛的重要得分手段，运动员踢出的足球在空中的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．如图所示建立平面直角坐标系，足球在空中的飞行过程中，足球距离地面的竖直高度（单位：米）与距离球门的水平距离（单位：米）近似满足函数关系． (1)小明第一次射门时，记录了水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离/米 1 2 3 4 5 6 竖直高度/米 3 根据上述数据，回答下列问题： ①求函数关系式； ②如果球门高米，在没有守门员情况下，判断该球______（填“能”或“不能”）射进球门（忽略足球大小及其它因素影响）； (2)点为上一点，米，现在小明从原有位置带球向正后方移动米再射门，如果足球在空中飞行路线的形状与最大高度均保持不变，当足球射进区域（含点和）时，忽略足球大小及其它因素的影响，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①；②不能 (2) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，理解题意找出顶点坐标，再利用待定系数法求函数解析式是解题关键． （1）①由表格可知抛物线的顶点为，即得出抛物线解析式为，再将点代入，求出a的值即可； ②令时，求出y的值，再与球门高比较即可． （2）依题意，小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为，再把点和点分别代入，算出的值，即可作答． 【详解】（1）解：①由表格得：抛物线的顶点为，且过点， ∴， ∴， 解得：， ∴y与x之间的函数关系式为； ②当时，， 解得：， ∴球不能射进球门； （2）解：依题意，小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为， 把点代入，得：， 解得（舍去）或， 把点代入，得：， 解得（舍去）或， 即． 3．（2025·贵州黔南·二模）近期，全国多地新能源汽车充电站迎来升级改造，遮阳棚成为标配设施，为车主提供更舒适、安全的充电环境．图①是某弧形遮阳棚横截面的示意图，其中棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，棚顶的端点为该抛物线的最高点，点到地面的距离为3米，棚顶与立柱的交点到地面的距离为2米，且点和点的水平距离为6米． (1)按如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的函数解析式； (2)现有一辆观光车需要充电，如图②是观光车的截面图，已知车身长约5米，车厢最高点与遮阳棚接触点离地面高约米，请通过计算说明这辆观光车是否可以完全停进遮阳棚正下方； (3)为了让弧形遮阳棚更加稳固和美观，计划在遮阳棚内侧安装钢架．如图③所示，钢架分两段，其中一段连接点与点，然后在棚顶上某处取点，在钢架和棚顶之间竖直安装第二段钢架．求出第二段钢架长度的最大值． 【答案】(1) (2)这辆观光车不可以完全停进遮阳棚正下方 (3)钢架长度的最大值是米 【分析】本题考查的是二次函数的应用；二次函数的性质； （1）结合题意设抛物线的函数解析式为，代入点的坐标为，即可得到答案； （2）将代入中，可得，再进一步求解即可； （3）先直线的函数解析式为．结合抛物线为，设点的坐标为．可得点的坐标为，再建立二次函数求解即可． 【详解】（1）解：由题可得：抛物线的顶点的坐标为． 设与的函数解析式为， 抛物线的函数解析式为． 点的坐标为， 将点代入函数解析式中，得，解得． 抛物线的函数解析式为． （2）解：根据题意：设点的坐标为， 将代入中， 得：， 解得：（舍去），． ， 这辆观光车不可以完全停进遮阳棚正下方． （3）解：设直线的函数解析式为． 将点代入中， 得， 直线的函数解析式为． 抛物线的一般式为， 且是抛物线上的点， 设点的坐标为． ∵轴，点的横坐标为，点在上， 点的坐标为， ． 当时，取最大值，最大值为． 钢架长度的最大值是米． 4．（2025·山东青岛·一模）打印技术通过数字化建模与增材制造特性，成为传统工艺数字化升级与消费体验迭代的核心驱动力．在某次科技活动中，小明利用所学数学知识借助打印设备制作了两款水杯（分别记为1号杯和2号杯），并对两款水杯所盛水的水面高度与体积之间的数量关系进行了统计与分析： 1号水杯所盛水的水面高度与体积的关系如表： 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.45 0 2 4 m 8 9 水面高度与体积近似地满足一次函数关系． 2号水杯所盛水的水面高度与体积的关系可以近似地用二次函数刻画，其图象如图所示： 请解答下列问题： (1)_______； (2)求2号水杯所盛水的水面高度与体积的函数关系式； (3)当时，在所盛水的体积相同的情况下，_______号水杯的水面高度较高（填“1”或“2”），两个水杯水面高度差的最大值是多少？ 【答案】(1)6， (2)， (3)1，两个水杯水面高度差的最大值是1． 【分析】本题考查待定系数法求解析式，二次函数的性质． （1）由表格数据可知高度与体积成正比例关系，由此即可得出答案； （2）根据待定系数法求解即可； （3）在坐标系画出两个图象，观察图象可知，当时，在上方，由此即可得出1号水杯的水面高度较高，根据函数解析式求出两个水杯水面高度差，利用二次函数的最值求解即可， 【详解】（1）解：由表格数据可知高度与体积成正比例关系，， 当时，，即． （2）由图可知：时，；时，， ∴，解得： ∴2号水杯所盛水的水面高度与体积的函数关系式是． （3）由图可知： 当时，在上方，即1号水杯的水面高度较高， 两个水杯水面高度差为 ：， 当时，的最大值为1． 即两个水杯水面高度差的最大值是1． 5．（2025·陕西榆林·二模）【素材1】在毕业晚会上，为了烘托晚会气氛，需要在晚会上悬挂一串彩灯，如图①．挂好后彩灯灯绳形状可近似看成由两段抛物线拼接而成． 【素材2】将图①的两段抛物线抽象成如图②所示的抛物线和抛物线，抛物线和抛物线大小形状完全相同，，，三个支撑杆均垂直于地面，垂足分别是点，，，． 【素材3】点C是的中点，．以点O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立如图②所示的平面直角坐标系，抛物线的函数表达式为． 【任务】 (1)求的值； (2)求抛物线的函数表迭式； (3)在抛物线的点M处绑一根竖直彩带（彩带绷直，打结处的长度忽略不计，抛物线的形状不改变），彩带末端恰好接触到地面N处，于点，，求彩带的长度． 【答案】(1)； (2)； (3)彩带的长度为 【分析】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式是解答的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意可得，抛物线可由抛物线向右平移4个单位得到，据此求解即可； （3）根据题意，求得点N的横坐标为5，求得当时，的值即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，点，均在抛物线线上， 把点，代入， 得， 解得； （2）解：由（1）可得抛物线的函数表达式为， 根据题意可得，抛物线可由抛物线向右平移4个单位得到， 抛物线的函数表达式为； （3）解：点C是的中点，， ， ， 当时，， 彩带的长度为． 6．（2024·福建泉州·模拟预测）【项目化学习】 项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响”． 项目内容：数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用． 实验过程：如图（a）所示，一个黑球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从黑球运动到点处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在木板上的运动时间（单位：）、运动速度（单位：）、滑行距离（单位：）的数据． 记录的数据如下： 运动时间 0 2 4 6 8 10 … 运动速度 10 9 8 7 6 5 … 滑行距离 0 19 36 51 64 75 … 根据表格中的数值分别在图（b）、图（c）中即可作出与的函数图象、与的函数图象； 任务一：描点画图 （1）请在图（b）中画出与的函数图象； 任务二：观察分析 （2）数学兴趣小组通过观察所作的函数图象，并结合已学习过的函数知识，发现图（b）中与的函数关系为一次函数关系，图（c）中与的函数关系为二次函数关系.请你结合表格数据，分别求出与的函数关系式和与的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围） 任务三：问题解决 （3）若黑球到达木板点处的同时，在点的前方处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，若黑球不能撞上小车，求的取值范围． 【答案】（1）见详解；（2）；；（3） 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，待定系数法，一次函数与二次函数的应用，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解题的关键． （1）利用描点法解答即可； （2）利用待定系数法解答即可； （3）假定经过秒小球追上小电动车得到关于的一元二次方程，令，得到关于的不等式，解不等式即可得出结论． 【详解】解：（1）画出与的函数图象如下： （2）由（b）中图象可知：与的函数关系为一次函数关系， 设，代入，得： ， 解得：， 与的函数关系为； 设代入，得： ， 所得：， 与的函数关系式为； （3）假定经过秒小球追上小电动车， ， ． 由题意：， ． 若黑球不能撞上小车，则的取值范围为． 故答案为：． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 二次函数的实际应用 目录 A题型建模・专项突破 题型一、图形问题 1 题型二、图形运动问题 2 题型三、拱桥问题 3 题型四、销售问题 5 题型五、投球问题 6 题型六、喷水问题 8 题型七、增长率问题 8 题型八、其他问题 8 题型九、利润问题中的捐赠问题 9 题型十、二次函数的角度问题 11 题型十一、二次函数的铅锤高、水平宽问题 11 题型十二、二次函数与相似三角形综合 11 题型十三、二次函数的面积问题 11 题型十四、二次函数的存在性问题 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、图形问题 1．下面的三个问题中都有两个变量： ①新能源汽车电池充满电后，使用智能驾驶功能匀速耗电，电池剩余电量与使用时间； ②用固定长度的新型导热线型材料，制作矩形形状的芯片散热框架，矩形面积与一边长； ③点燃一根粗细均匀的蜡烛，蜡烛的剩余高度与燃烧时间． 其中，变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 2．用长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框，则做成的窗框的最大透光面积是 ．（透光面积指的是整个矩形面积） 3．如图，一块矩形土地由篱笆围着，并且由一条与边平行的篱笆分开．已知篱笆的总长为（篱笆的厚度忽略不计），当 m时，矩形土地的面积最大．    4．随某农场要建一个饲养区（长方形），饲养区的一面靠墙（墙最大可用长度为15米），另三边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏），建成后木栏总长45米，设饲养区（长方形）的宽为 米． (1)饲养区的长＝　 　．（用含的代数式表示） (2)当为何值时，饲养区的面积最大，此时饲养区达到的最大面积为多少． 题型二、图形运动问题 5．如图，等腰（）的直角边与正方形的边长均为，且与在同一条直线上，开始时点与点重合，让沿直线向右平移，直到点与点重合为止．设的长为，与正方形重合部分（图中阴影部分）的面积为，则与之间的函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在矩形中，，，点P从点A出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点D运动；点Q从点B出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点A运动． P，Q两点同时出发，设点P运动的时间为（单位：秒），的面积为．则关于的函数表达式为 ．    7．如图，已知正方形OBCD的三个顶点坐标分别为B(1,0),C(1,1), D(0,1). 若抛物线与正方形OBCD的边共有3个公共点，则h的取值范围是 . 8．如图，中，，，．动点，分别从，两点同时出发，点沿边向以每秒个单位长度的速度运动，点沿边向以每秒个单位长度的速度运动，当，到达终点，时，运动停止．设运动时间为（单位：秒）． (1)①当运动停止时，的值为______. ②设，之间的距离为，则与满足______（选填“正比例函数关系”，“一次函数关系”，“二次函数关系”） (2)设的面积为， ①求的表达式（用含有的代数式表示），并写出的取值范围； ②是否可以为？若可以，请求出此时的值，若不能，请通过计算说明理由． 题型三、拱桥问题 9．如图，抛物线形的拱桥在正常水位时，水面的宽为．涨水时水面上升了．达到了警戒水位，这时水面宽．当水位继续以每小时的速度上升时，再经过几小时就到达拱顶？ 10．如图1，某隧道内设单向两车道公路，其截面由长方形的三条边，，和抛物线的一段（点E为抛物线的顶点）构成．以的中点O为原点，分别以直线和抛物线的对称轴为x轴和y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．其中，米，米，米． (1)求该抛物线的解析式； (2)为保证安全，要求行驶车辆顶部（视为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差不小于1米．若行车道的总宽度为8米，且O为的中点，请计算通过隧道的车辆的限制高度．（车道分界线的宽度忽略不计） 11．赛龙舟是中国端午节最重要的一种节日民俗活动，一场赛龙舟活动中，图1是比赛途中经过的一座拱桥，图2是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，桥拱上的点到水面的竖直高度y（单位：m）与到点O的水平距离x（单位：m）近似满足二次函数关系，水面的宽度为； 拱桥最高处到水面的距离为9米． (1)求桥拱上的点到水面的竖直高度y（单位：m）与到点O的水平距离x（单位：m）满足的二次函数解析式； (2)据调查，各参赛队所用龙舟均为活动主办方统一提供，每条龙舟宽度为9m．龙舟最高处距离水面；为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少为．问5条龙舟（不考虑龙舟之间的间隔）是否可以同时通过桥洞？ 12．被誉为“中轴线上第一桥”的万宁桥（如图1），是北京中轴线15个遗产构成要素之一，是中轴线上最古老的桥梁，也是北京市目前唯一还在为社会交通服务的元代桥梁．据记载，元代初建时桥下的净空高度约为6米，其后由于湖底淤积逐渐增高，桥下的净空高度不断减小，遂给人难以通船的感觉． (1)假设万宁桥拱截面为抛物线，以抛物线对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图2），求该抛物线的解析式； (2)现有一艘游船，其左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，此船正对着桥洞在河中航行（如图2）．水面到棚顶的高度为米，遮阳棚的宽为4米，问此船能否通过桥洞？请说明理由． 题型四、销售问题 13．节日期间草莓采摘园推出优惠促销方案，采摘的草莓每千克销售单价（元）与一次性采摘量（千克）之间满足如图所示的函数关系．活动期间，采摘园对不同顾客的销售单价进行了记录，部分数值如下表．采摘园的草莓每千克的成本为13元． 一次性采摘量（千克） 5 8 14 24 31 40 销售单价（元） 30 30 28 23 20 20 (1)求和的值． (2)某顾客在采摘园一次性采摘千克，顾客采摘下来的草莓需全部买走，求当为何值时，采摘园获得的利润最大？最大利润是多少元？ 14．某商家销售一种成本为元的商品，当售价定为元件时，每天可销售件，根据经验，售价每涨价元，每天销量将减少件，且单件该商品的利润率不能超过． (1)求每天的销量（件）与当天的销售单价（元件）满足的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）； (2)当销售单价定为多少元时，商家销售该商品每天获得的利润最大，并求出最大利润； (3)当销售单价定为什么范围时，商家销售该商品每天获得的利润不低于元？ 15．春节期间，由“饺子”编剧并执导的奇幻动画电影《哪吒之魔童闹海》一上映就获得观众好评．某商家抓住商机，随即销售一种成本为每件20元的特色哪吒纪念品．经销售发现：当售价为每件30元时，每天可售出100件；售价每上涨2元，日销量就会减少4件；售价每下降1元，日销量就会增加5件．设该纪念品的售价为每件元（为整数且），每天的销售量为件． (1)求出与的函数关系式； (2)该纪念品售价定为多少元时，商家每天获得的销售利润最大？最大利润是多少？ 16．南门大街某特产店销售A、B两种品牌的咸鸭蛋，已知A品牌咸鸭蛋的进价为50元/盒，B品牌咸鸭蛋的进价60元/盒．若客户购买1盒A品牌咸鸭蛋和1盒B品牌咸鸭蛋，则需要137元；若客户购买2盒A品牌咸鸭蛋和3盒B品牌咸鸭蛋，则需要349元． (1)求该特产品A、B两品牌咸鸭蛋每盒的售价各是多少元？ (2)A品牌咸鸭蛋供货充足，按原价销售每天可售出60盒，经过市场调查发现：若每盒降价1元，则每天可多售出10盒（每盒售价不低于进价）；B品牌咸鸭蛋供货紧张，每天只能购进110盒且能按原价售完．求A品牌咸鸭蛋每盒降价多少元时，该特产店每天销售这两品牌咸鸭蛋的总利润w最大，最大利润是多少元？ 题型五、投球问题 17．排球场的长度为，球网在场地中央且高度为．排球出手后的运动路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，排球运动过程中的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系．    (1)某运动员第一次发球时，测得水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离 0 2 4 6 11 12 竖直高度 2.48 2.72 2.8 2.72 1.82 1.52 ①根据上述数据，求这些数据满足的函数关系； ②判断该运动员第一次发球能否过网________（填“能”或“不能”）． (2)该运动员第二次发球时，排球运动过程中的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系，请问该运动员此次发球是否出界，并说明理由． 18．爱思考的小芳在观看排球比赛时发现一个有趣的现象：排球被垫起后，沿弧线运动，运动轨迹类似抛物线的一部分，于是她和同学小宛一起进行实验探究． 【提出问题】排球运动过程中距地面的竖直高度与距垫球点的水平距离近似满足怎样的函数关系？ 【分析问题】经实地测量可知，排球场地长为，球网在场地中央且高度为．建立如图所示的平面直角坐标系． 测得小宛第一次发球时排球运动过程中的竖直高度与水平距离的几组数据如下表，并在平面直角坐标系中，描出了各组数值的对应点． 水平距离 0 2 4 6 8 11 12 竖直高度 2.00 2.44 2.71 2.80 2.71 2.24 2.00 【解决问题】 (1)①请在如图的平面直角坐标系中画出表示排球运行的轨迹； ②根据表格数据和所画轨迹形状，求排球运动过程中的竖直高度与水平距离近似满足的函数关系式； ③通过计算，判断小宛这次发球能否过网，并说明理由． (2)小宛第二次发球时，如果只上下调整击球高度，球运行轨迹形状不变，那么为了确保排球既要过网，又不出界（排球压线属于没出界），求击球高度的取值范围． 19．如图，小林和小伟在玩沙包游戏．沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可看作抛物线的一部分，小林和小伟分别站在点O和点A处，测得距离为．若以点O为原点，所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，小伟在距离地面1的B处将沙包抛出，小林在点C处接住，运动轨迹如图中；然后小林跳起将沙包回传，运动轨迹如图中． (1)轨迹中，测得沙包的水平距离x（单位：）与竖直高度y（单位：）的几组数据如下： 水平距离x/m 0 2 4 6 8 竖直高度y/m 1.0 2.5 3.0 2.5 1.0 请根据以上数据，解决问题： 抛物线中，沙包运行的最高点距离地面的高度是_______； ②求y与x满足的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)已知小林跳起将沙包回传的运动轨迹C2近似满足函数关系式：．小伟在x轴上方1的高度上，且到点A水平距离不超过1的范围内接到了沙包，则b的取值范围是_______． 20．某小组设计了一款自动浇花装置，小组同学调节浇花装置出水管，使其沿水平方向．水滴从出水点水平喷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．从水滴离开出水点到落地点的过程中，水滴距离地面的竖直高度为（单位：），水平距离为（单位：），建立如图1所示的平面直角坐标系． a．通过仪器测量，小组同学记录了水滴离开出水点后的运动时间为（单位：）时的多组数据，其中几组数据如下： 时间 0 0.10 0.20 0.30 水平距离 0 0.10 0.20 0.30 竖直线高度 h 0.75 0.60 0.35 b．小组同学通过学习知道，水滴运动时，水平距离与时间的关系为（为水滴离开出水点时的速度，单位） 根据以上信息，解决下列问题： (1)的值是______； (2)的值是______，水滴从离开出水点到落在落地点，需要经过______； (3)将如图2所示的一个高为的花盆放置在地面上，使花盆底面中心在图1所示的轴上，且．若该装置可以调节出水点的高度（出水管保持水平），要使水滴运动时恰好经过花盆顶端中心（不考虑其他因素），则需要将出水点向______（填“上”或“下”）平移______． 题型六、喷水问题 21．一个大型社区，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心．    (1)以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． (2)求水管的长． 22．如图，在水池中心点处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点在同一水平面．安装师傅进行了调试，记录了三次数据：第一次，喷头高时，水柱落点距点；第二次，喷头高时，水柱落点距点．第三次，喷头高时，水柱落点距点． (1)根据上述数据，求该抛物线表达式中的值； (2)若记第一次调试时，抛物线形水柱距离水平面的最大高度为，记第二次调试时，抛物线形水柱距离水面的最大高度为，在某次调试中，抛物线形水柱距离水面的最大高度为，若，则喷头的高度为___________． 23．某广场的声控喷泉是由若干个垂直于地面的柱形喷泉装置组成的．每个柱形喷泉装置上都有上下两个喷头，这两个喷头朝向一致，喷出的水流均呈抛物线型．当围观游人喊声较小时，下喷头喷水；当围观游人喊声较大时，上下两个喷头都喷水．如图所示，点A和点B是一个柱形喷泉装置上的两个喷头，A喷头喷出的水流的落地点为C．以O为原点，以所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．（柱形喷泉装置的粗细忽略不计） 已知：，，，从A喷头和B喷头各喷出的水流的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式分别是和； (1)求A喷头喷出的水流的最大高度； (2)一名游人站在点D处，．当围观游人喊声较大时，B喷头喷出的水流是否会落在该游人所站的点D处？ 24．某广场建了一座圆形音乐喷水池，在池中心竖直安装一根水管，安装在水管顶端A处的圆形喷头向四周喷水，且各个方向喷出的抛物线形水柱形状相同．如图1，以池中心O点为坐标原点，水平方向为x轴，所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．x轴上的点C，D为水柱的落水点，若落地直径，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高． (1)求图1中右边抛物线的解析式； (2)计划在图1中的线段上的点B处竖立一座雕像，雕像高，若想雕像不碰到水柱，请求出线段的取值范围； (3)圆形水池的直径为，喷水造型会随着音乐节奏起伏而变化，从而产生一组不同的抛物线（如图2），若右侧抛物线顶点始终在直线上，当喷出的抛物线水柱最大高度为时，水柱会喷到圆形水池之外吗？请说明理由． 题型七、增长率问题 25．进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价．若设平均每次降价的百分率是x，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 26．某种商品的价格是元，准备进行两次降价．如果每次降价的百分率都是，经过两次降价后的价格（单位：元）随每次降价的百分率的变化而变化，则关于的函数解析式是（    ） A． B． C． D． 27．某学校去年对实验器材投资为2万元，预计今明两年的投资总额为y万元，年平均增长率为 x．则y与x的函数解析式 ． 28．某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件． (1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第二、三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率； (2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件． ①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？ ②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？ 题型八、其他问题 29．一个重物从高处做自由落体运动时，若不考虑空气阻力，它的速度会因地心引力而均匀加速，速度（v）与时间（t）的函数图象如图①，下降的距离会随时间的增加而增加，距离（s）与时间（t）的函数图象如图②．下列结论错误的是（   ） A．该重物在秒时，速度为3米/秒 B．该重物在秒时间段内下降的距离与在秒时间段内下降的距离相同 C．时间每增加1秒，该重物的速度增加米/秒 D．当秒时，该重物下降距离为米 30．冬季蔬菜大棚内某天的温度（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，其中．有下列结论： ①蔬菜大棚内当天的温度可以是； ②蔬菜大棚内当天的温度的最大值为； ③蔬菜大棚内当天的温度不低于19℃的时长为． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 31．一种高脚杯如图1所示，其杯肚部分外轮廓线为抛物线的一部分，图2为其杯肚的截面图，已知杯口，杯深．如图3，若将盛有部分液体的高脚杯倾斜（即与液面所在直线相交，所夹较小角为），液面与交于点E，且点E距杯口的距离，则此时液面宽为（    ） A． B． C． D． 32．“路亚”是一种钓鱼方法，用这种方法钓鱼时先把鱼饵通过鱼线收到鱼竿末端，然后用力将鱼饵甩向远处．如图，人站在离水面高度的位置，当鱼饵被抛出后，鱼竿所在的位置为直线，此时鱼线形成的图象近似的看成抛物线，若点C到y轴的距离为，则鱼线落在水面上的点到点A的水平距离 ． 题型九、利润问题中的捐赠问题 33．端午节是中国四大传统节日之一，时间为农历五月初五，是集拜神祭祖、祈福辟邪、欢庆娱乐和饮食为一体的民俗大节．在节日前夕，某商店从节令食品加工厂购进由粽子、皮蛋、咸蛋和绿豆糕搭配而成的A、B两种礼盒．其中A礼盒每盒利润28元，每天可以卖出120盒，B礼盒每盒利润20元，每天可以卖出160盒．若A礼盒每盒价格提高1元，则每天少卖出3盒，B礼盒每盒价格提高1元，则每天少卖出4盒．（注：两种礼盒成本不变） (1)若每份礼盒的价格提高x元，每天销售A、B两种礼盒的利润分别为元和元，请求出与x之间的函数关系式； (2)物价部门规定这两种礼盒提高的价格之和为9元，那么A礼盒的价格提高多少元时两种礼盒每天售出的利润之和最大？最大是多少元？ (3)在（2）的条件下，当每天的销售利润最大时，每售出一盒礼盒均捐赠a元（）给福利院，该商店每天的利润要想不少于6000元时，请直接写出a的取值范围． 34．某公司推出一款产品，成本价元/千克，经过市场调查，该产品的日销售量（千克）与销售单价（元/千克）之间满足一次函数关系，该产品的日销售量与销售单价之间的几组对应值如下表： 销售单价（元/千克） 日销售量（千克） 注：日销售利润日销售量（销售单价成本单价） (1)求关于的函数解析式（不要求写出的取值范围）； (2)当销售价格为多少元时，日销售利润最大，最大利润是多少元； (3)该公司决定从每天的销售利润中捐赠元给“精准扶贫”对象，为了保证捐赠后每天的剩余利润不低于元，请直接写出该产品销售单价的范围_________． 35．某玩具店销售一款玩具，已知该玩具成本为20元，经试销发现，该玩具每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间近似满足函数关系式：，为了保证利润，规定． (1)当销售单价为30元时，该玩具每天的销售额为多少？（销售额销售量销售单价） (2)求销售该玩具每天的利润w（元）的最大值． (3)该店为响应“助力防控，回馈社会”活动，决定每卖出一个玩具就捐赠a元（），若每天扣除捐款后仍可获最大利润196元，则a的值为多少？ 36．平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶，商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于58元，经调查发现：每降价1元，平均每周可多售出20顶． (1)若该商店希望平均每周获利4000元，则每顶头盔应降价多少？ (2)商店降价销售后，决定每销售1顶头盔，就向某慈善机构捐赠m元（m为整数，且），帮助做“交通安全”宣传，捐赠后发现，该商店每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大，求m的值． 题型十、二次函数的角度问题 37．如图，已知抛物线的图象与轴交于两点，与轴交于点，点的坐标为，且抛物线对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，连接，为线段下方抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，作轴交轴于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)如图，连接，在直线下方抛物线上是否存在一点，使得，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 38．如图所示，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，与轴的另一个交点为． (1)求抛物线的解析式． (2)是线段上一动点（不与点，重合），过点作轴于点，交于点，交抛物线于点，连接，，． ①是否存在点．使？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． ②若，求点的坐标． 39．如图，平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于点、点，与轴相交于点，连接、． (1)求：，的值； (2)当时，函数的最小值是2，求出的值； (3)在抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 40．已知，二次函数． (1)如图，该二次函数图象交轴于点、，交轴于点，点是函数图象上一动点． ①求该二次函数表达式； ②当时，求点的坐标； (2)定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”．在的范围内，若该二次函数的对称轴为直线，且图象上有且只有1个“三倍点”，直接写出的取值范围． 题型十一、二次函数的铅锤高、水平宽问题 41．如图①，已知二次函数与轴相交于、两点，与轴相交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)如图②，连结、． ①在对称轴上是否存在一个点，使的周长最小？若存在，请求出点的坐标和此时的周长；若不存在，请说明理由； ②点为抛物线在第四象限内图象上一个动点，是否存在点，使得的面积最大？若存在，请求出点的坐标和此时面积的最大值；若不存在，请说明理由． 42．如图，抛物线的图象与x轴交于两点（点在点的左边），与轴交于点，点为抛物线的顶点．点的坐标为，点的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)点为线段上一点（点不与点、重合），过点M作x轴的垂线，与直线交于点E，与抛物线交于点P，过点P作交抛物线于点Q，过点Q作轴于点N．若点P在点左边，当矩形的周长最大时，求的面积； 43．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求这个二次函数的表达式和顶点坐标． (2)若点是直线上方抛物线上的一个动点，当的面积最大时求 点坐标． 44．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)是直线下方抛物线上的一动点，连接，，当的面积最大时，求点的坐标； (3)是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型十二、二次函数与相似三角形综合 45．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点M是抛物线上一动点（不与点B重合），过点M作轴于点N，交直线于点P． (1)求线段的长； (2)若，求点M的坐标； (3)若点M在直线下方的抛物线上运动，是否存在点M，使以点M，P，C为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 46．如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，P是第二象限内抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图 1，设对称轴交线段于点N，点Q在对称轴上，且在点N的下方，是否存在以P，Q，N为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图 2，连接，交于点E，交y轴于点F，令，求k的最大值． 47．如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)抛物线关于轴对称得到抛物线，点的对应点为为抛物线上一点且在轴上方，过点作轴于点，连接．当和相似时，求符合条件的点的坐标． 48．如图，抛物线交x轴于两点，交y轴于点C，连接． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)点P是第一象限抛物线上一点，设P点的横坐标为m．过点P作轴，交于点D，过点D作轴，垂足为E，连接，当和相似时，求点P的坐标； 题型十三、二次函数的面积问题 49．已知抛物线与x轴交于A，B两点，且经过点，顶点坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点D为抛物线上一个动点，连接，求的面积的最大值； (3)如图2，点E为抛物线上第四象限内一点，连接，交于点F，记的面积为，的面积为，当最大时，点E的坐标． 50．在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A、 B两点，与y轴交于点． (1)求a的值； (2)点D为第四象限抛物线上一点 ①求的面积最大值 ②连接交于点E，连接，记的面积为，的面积为，求的最大值； 51．在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图，点D为第四象限抛物线上一点，连接，交于点E，连接，记的面积为，的面积为，求的最大值． 52．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A(4，0)，C(﹣1，0)两点，与y轴交于点B，P为第一象限抛物线上的动点，连接AB，BC，PA，PC，PC与AB相交于点Q． (1)求抛物线的解析式； (2)设APQ的面积为S1，BCQ的面积为S2，当S1﹣S2＝5时，求点P的坐标； (3)是否存在点P，使PAQ为直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由． 题型十四、二次函数的存在性问题 53．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线经过点． (1)求抛物线的表达式； (2)M是抛物线上一点，过点M作y轴的平行线交直线于点N，是否存在以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 54．如图，已知二次函数是常数，的图象与x轴分别相交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l．点C关于l的对称点为D，连接．点E为该函数图象上一点，平分． (1)①线段的长为_______． ②求点E的坐标；（①、②中的结论均用含m的代数式表示） (2)设M是该函数图象上一点，点N在l上．探索：是否存在点M．使得以A、E、M、N为顶点的四边形是矩形？如果存在，求出点M坐标；如果不存在，说明理由． 55．如图所示，抛物线与轴交于点，点，是抛物线的顶点． (1)求抛物线所对应的函数解析式； (2)设直线所在的函数解析式为，请直接写出不等式的解集； (3)抛物线上是否存在点，使得，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由． 56．如图，已知抛物线与轴交于，的两点，与轴交于点，为顶点，点是轴上方的抛物线上的一个动点，轴于点，与交于点． (1)求该抛物线所对应的函数关系式及顶点的坐标； (2)是否存在点，使得以点，、为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 1．（24-25九年级下·北京西城·一模）某科技展览馆在周末开放时，统计了参观者到达展览馆检票口的情况，如果把参观者到达检票口的累计人数（为整数，单位：人）和时间（为整数，单位：分钟）的数据点标记到坐标系中，用光滑的曲线连接数据点，可近似看作的二次函数，其图象经过原点，且顶点坐标为，．若展览馆入口处有一个自动检票机，每分钟可处理张票． (1)求与之间的函数解析式； (2)展览馆入口处排队等待检票的参观者人数最多时有多少人？ (3)检票开始后的第分钟开始，为了减少排队等候时间，展览馆在入口处临时开放了一个自动检票机，若新自动检票机每分钟可处理张票，则新机器投入使用多长时间后，展览馆检票处不再出现排队等待的情况（直接写出结果）． 2．（2025·北京门头沟·二模）射门是足球比赛的重要得分手段，运动员踢出的足球在空中的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．如图所示建立平面直角坐标系，足球在空中的飞行过程中，足球距离地面的竖直高度（单位：米）与距离球门的水平距离（单位：米）近似满足函数关系． (1)小明第一次射门时，记录了水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离/米 1 2 3 4 5 6 竖直高度/米 3 根据上述数据，回答下列问题： ①求函数关系式； ②如果球门高米，在没有守门员情况下，判断该球______（填“能”或“不能”）射进球门（忽略足球大小及其它因素影响）； (2)点为上一点，米，现在小明从原有位置带球向正后方移动米再射门，如果足球在空中飞行路线的形状与最大高度均保持不变，当足球射进区域（含点和）时，忽略足球大小及其它因素的影响，直接写出的取值范围． 3．（2025·贵州黔南·二模）近期，全国多地新能源汽车充电站迎来升级改造，遮阳棚成为标配设施，为车主提供更舒适、安全的充电环境．图①是某弧形遮阳棚横截面的示意图，其中棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，棚顶的端点为该抛物线的最高点，点到地面的距离为3米，棚顶与立柱的交点到地面的距离为2米，且点和点的水平距离为6米． (1)按如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的函数解析式； (2)现有一辆观光车需要充电，如图②是观光车的截面图，已知车身长约5米，车厢最高点与遮阳棚接触点离地面高约米，请通过计算说明这辆观光车是否可以完全停进遮阳棚正下方； (3)为了让弧形遮阳棚更加稳固和美观，计划在遮阳棚内侧安装钢架．如图③所示，钢架分两段，其中一段连接点与点，然后在棚顶上某处取点，在钢架和棚顶之间竖直安装第二段钢架．求出第二段钢架长度的最大值． 4．（2025·山东青岛·一模）打印技术通过数字化建模与增材制造特性，成为传统工艺数字化升级与消费体验迭代的核心驱动力．在某次科技活动中，小明利用所学数学知识借助打印设备制作了两款水杯（分别记为1号杯和2号杯），并对两款水杯所盛水的水面高度与体积之间的数量关系进行了统计与分析： 1号水杯所盛水的水面高度与体积的关系如表： 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.45 0 2 4 m 8 9 水面高度与体积近似地满足一次函数关系． 2号水杯所盛水的水面高度与体积的关系可以近似地用二次函数刻画，其图象如图所示： 请解答下列问题： (1)_______； (2)求2号水杯所盛水的水面高度与体积的函数关系式； (3)当时，在所盛水的体积相同的情况下，_______号水杯的水面高度较高（填“1”或“2”），两个水杯水面高度差的最大值是多少？ 5．（2025·陕西榆林·二模）【素材1】在毕业晚会上，为了烘托晚会气氛，需要在晚会上悬挂一串彩灯，如图①．挂好后彩灯灯绳形状可近似看成由两段抛物线拼接而成． 【素材2】将图①的两段抛物线抽象成如图②所示的抛物线和抛物线，抛物线和抛物线大小形状完全相同，，，三个支撑杆均垂直于地面，垂足分别是点，，，． 【素材3】点C是的中点，．以点O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立如图②所示的平面直角坐标系，抛物线的函数表达式为． 【任务】 (1)求的值； (2)求抛物线的函数表迭式； (3)在抛物线的点M处绑一根竖直彩带（彩带绷直，打结处的长度忽略不计，抛物线的形状不改变），彩带末端恰好接触到地面N处，于点，，求彩带的长度． 6．（2024·福建泉州·模拟预测）【项目化学习】 项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响”． 项目内容：数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用． 实验过程：如图（a）所示，一个黑球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从黑球运动到点处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在木板上的运动时间（单位：）、运动速度（单位：）、滑行距离（单位：）的数据． 记录的数据如下： 运动时间 0 2 4 6 8 10 … 运动速度 10 9 8 7 6 5 … 滑行距离 0 19 36 51 64 75 … 根据表格中的数值分别在图（b）、图（c）中即可作出与的函数图象、与的函数图象； 任务一：描点画图 （1）请在图（b）中画出与的函数图象； 任务二：观察分析 （2）数学兴趣小组通过观察所作的函数图象，并结合已学习过的函数知识，发现图（b）中与的函数关系为一次函数关系，图（c）中与的函数关系为二次函数关系.请你结合表格数据，分别求出与的函数关系式和与的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围） 任务三：问题解决 （3）若黑球到达木板点处的同时，在点的前方处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，若黑球不能撞上小车，求的取值范围． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$