专题05 二次函数的存在性问题（专项训练）数学北京版九年级上册

专题05 二次函数的存在性问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、二次函数中的直角三角形存在性问题 1 题型二、二次函数中的等腰三角形存在性问题 2 题型三、二次函数中等腰直角三角形存在性问题 3 题型四、二次函数中特殊角度的存在性问题 5 题型五、二次函数中平行四边形的存在性问题 6 题型六、二次函数中矩形的存在性问题 8 题型七、二次函数中菱形的存在性问题 8 题型八、二次函数中正方形的存在性问题 8 题型九、二次函数中相似三角形的存在性问题 9 题型十、二次函数中面积最值的存在性问题 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、二次函数中的直角三角形存在性问题 1．如图，抛物线经过点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)设点P为对称轴上的一点，若使最小，求出此时点P的坐标： (3)设抛物线的顶点为D，轴于点E，在y轴上是否存在点M使得是直角三角形?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）已知抛物线上的三点坐标，利用待定系数法可求出该二次函数的解析式； （2）连接交对称轴于点P，根据两点之间线段最短，得出此时最小，即最小，求出直线解析式为，得出当时，，即可得出答案； （3）分三种情况进行讨论：①以A为直角顶点；②以D为直角顶点；③以M为直角顶点；设点M的坐标为，根据勾股定理列出方程，求出t的值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，，， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：如图1中，连接交对称轴于点P， 根据对称性可知：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小， 设直线解析式为，则， 解得， ∴直线解析式为， ∵对称轴为直线， ∴当时，， ∴点P坐标． （3）在y轴上存在点M，能够使得是直角三角形． 理由如下： ∵， ∴顶点D的坐标为， ∵， ∴， 设点M的坐标为，则： ，， ①当A为直角顶点时，由勾股定理，得， 即， 解得， 所以点M的坐标为； ②当D为直角顶点时，由勾股定理，得， 即， 解得， 所以点M的坐标为； ③当M为直角顶点时，由勾股定理，得，即 ， 解得或， 所以点M的坐标为或； 综上可知，在y轴上存在点M，能够使得是直角三角形，此时点M的坐标为或或或． 【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式，三角形周长，二次函数的顶点式，勾股定理等知识，有一定的难度，数形结合、分类讨论及方程思想的运用是解题的关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点A，过点A的抛物线与轴的右交点为点． (1)求抛物线的解析式； (2)过原点作 的平行线，上是否存在点．使得以A，，三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，，，， 【分析】（1）根据待定系数法和题目所给的条件即可求出抛物线的解析式． （2）在抛物线的对称轴上存在点P，使得以A，，三点为顶点的三角形是直角三角形，分三种情况考虑：①当时，②当时，③当时，分别求出P的坐标即可． 【详解】（1）解： 直线与轴交于点A， ， 抛物线过点和， ， 解方程组得， ． （2）存在 ，且过原点， ， 点在上， 设点 ，，， 以A，，三点为顶点的三角形是直角三角形 ①当时，是直角三角形， ， ， ，此时． ②当时，是直角三角形， ， ， ，此时． ③当时，是直角三角形，则， ，， ， ， 即， 或，此时或； 综上所述，，，，． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题，待定系数法求解析式，直角三角形，勾股定理，分类求解是解决问题的关键． 3．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧）． (1)如图①，若抛物线的对称轴为直线，． ①点的坐标为（______，______），点的坐标为（______，______）； ②由①得抛物线的函数表达式为______； (2)将（1）中的抛物线向右平移若干个单位长度，再向下平移若干个单位长度，使平移后的抛物线经过点O，且与轴正半轴交于点，记平移后的抛物线的顶点为，若是直角三角形，则点的坐标为______． 【答案】(1)①，，，0；② (2) 【分析】（1）①根据抛物线的对称轴为直线，得到，； ②利用待定系数法求解即可； （2）根据题意设平移后的抛物线的解析式为：，然后求出点C的坐标是，然后得到是等腰直角三角形，进而得到，解方程求解即可． 【详解】（1）①∵抛物线的对称轴为直线， ∴，； ②将，，代入得， 解得 ∴； （2）∵平移后的抛物线经过点O， ∴设平移后的抛物线的解析式为：， 令，即， 解得，， ∴点C的坐标是， ∵， ∴， ∴， ∵是直角三角形， ∴是等腰直角三角形， ∴，解得：或（舍去）， ∴点P的坐标为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，解一元二次方程，等腰直角三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握抛物线的性质． 4．如图，抛物线经过，两点，与轴交于点，为第一象限抛物线上的动点，连接，，，，与相交于点． (1)求抛物线的解析式： (2)设的面积为，的面积为，当时，求点的坐标； (3)是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由． (4)在抛物线对称轴上是否存在一点，使是以为斜边的直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在， (4)存在，点M的坐标为或 【分析】（1）将，代入，利用待定系数法确定函数解析式； （2）根据图形得到，求出点B坐标，可得，则，然后设，利用三角形面积公式求出或，然后可得点的坐标； （3）过点作轴于点，根据得到，然后根据可知，推出，进而即可求解； （4）求出抛物线的对称轴为，设，然后利用勾股定理构建方程，求出n的值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴， 当时，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 设， ∴， 解得：或， ∴或； （3）解：存在，点的坐标是． 过点作轴于点，    ∵， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点， ∴，， ∴， 整理得， 解得或（不符合题意）， ∴； （4）存在，点M的坐标为或； ∵抛物线的对称轴为， ∴设， ∵，，是以为斜边的直角三角形， ∴， ∴， 整理得：， 解得：， ∴点M的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数与几何综合，待定系数法的应用，二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用；熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键． 题型二、二次函数中的等腰三角形存在性问题 5．如图，已知抛物线经过三点，直线l是抛物线的对称轴． (1)求抛物线的表达式； (2)设点P是直线l上的一个动点，当点P到点A，B的距离之和最短时，求点P的坐标； (3)点M也是直线l上的一个动点，且为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或． 【分析】（1）直接将三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可； （2）由图知：A、B点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知，直线l与x轴的交点，即为符合条件的P点； （3）由于的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①、②、③；可先设出点的坐标，然后用点纵坐标表示的三边长，再按上面的三种情况列式求解． 【详解】（1）解：将代入抛物线中， 得：， 解得：， 故抛物线的解析式：． （2）解：当P点在x轴上，P、A、B三点在一条直线上时，点P到点A、点B的距离之和最短， 此时， 故； （3）解：如图所示：抛物线的对称轴为：， 设， 已知， 则：； ①若，则， 得：，解得：， ②若，则， 得：，解得：； ③若，则， 得：，解得：； 当时，三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去； 综上可知，符合条件的点，且坐标为或或或． 【点睛】此题主要考查了二次函数综合题涉及了抛物线的性质及解析式的确定、等腰三角形的判定、勾股定理、解方程等知识，在判定等腰三角形时，一定要根据不同的腰和底分类进行讨论，以免漏解． 6．如图，关于x的二次函数的图象与x轴相交于点和点，与y轴相交于点C． (1)求二次函数的表达式和线段的长； (2)在抛物线对称轴上找一点P，使为等腰三角形？直接写出点P的坐标． 【答案】(1)；； (2)或或． 【分析】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求二次函数，等腰三角形的性质，轴对称的性质等知识，运用分类讨论思想是解题的关键． （1）代入和，解方程组即可；令，求出点的坐标，利用两点间距离公式求解即可； （2）当为等腰三角形时分三种情况进行讨论：①；②；③，分别求解即可． 【详解】（1）解：把和代入可得， 解得：， ∴二次函数的表达式为：； 令抛物线，则， ∴， ∴； （2）存在． 理由：∵， ∴设， ∵，， ∴，， ∵，为等腰三角形， ∴当时，， 解得：，此时； 当时，， 解得，此时； 当时，， 解得：，此时； 综上所述，或或． 7．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点，直线与抛物线交于B，C两点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)若是以为腰的等腰三角形，求点B的坐标． 【答案】(1) (2)点B的坐标为或或 【分析】本题考查了利用待定系数法求解函数解析式，以及二次函数与等腰三角形的综合应用. 用待定系数法将两点代入表达式，求出未知系数a，c的值. 设，考虑等腰三角形存在的两种可能情况，利用等腰三角形的性质两腰相等建立等式求解B点坐标. 【详解】（1）解：抛物线经过点，且与y轴交于点. 解得 ∴抛物线的函数解析式为． （2）解：设． 是以为腰的等腰三角形，∴分以下两种情况讨论： ①当时，点B和点P关于y轴对称． ； ②当时，， ， 整理，得， 解得． 当时，； . 当时，． . 综上所述，点B的坐标为或或． 8．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点C．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式； (2)第一象限内的抛物线上有一动点，使的面积最大，求点的坐标和面积的最大值； (3)对称轴与轴交于点，在对称轴上找一点，使是以为腰的等腰三角形，求点的坐标． 【答案】(1) (2)；面积最大值为 (3)点M的坐标为，， 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质的综合应用，等腰三角形的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握二次函数的图象和性质，合理作出辅助线是解决此题的关键． （1）用待定系数法即可求解； （2）如图，过点P作轴交于点E，先用含m的解析式表示出，再利用二次函数的性质即可得解； （3）分①当时，②当时，两种种情况讨论，即可求解； 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴， 将代入得， 由①②得，，， ∴抛物线的解析式为； （2）解：令得， ∴，， ∴， 令得， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解方程得， ∴直线的解析式为， 如图，过点P作轴交于点E， 设P点坐标为，则，， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴， ∴此时P点坐标为； （3）解：∵对称轴与x轴交于点N， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，、 ①当时， 如图所示有，， ②当时，过点C作， ∵，， ∴， ∴， 综上所述：点M的坐标为，，． 题型三、二次函数中等腰直角三角形存在性问题 9．如图，抛物线经过，两点，与轴相交于点，连接，点为线段上方抛物线上一动点（不与点重合），过点作轴的垂线，交于点，交轴于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)过点作直线，为垂足，当点运动到何处时，以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形？并求出此时点的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2)． 【分析】本题考查了待定系数法确定二次函数的解析式，等腰直角三角形的性质，解一元二次方程，掌握知识点的应用是解题的关键． （）把，两点代入即可求解； （）由直线，则，轴，又，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，则有，设，则，，然后分当在上方时和当在下方时两种情况分析，然后解方程并检验即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵直线， ∴，轴， ∵，，为顶点的三角形是等腰直角三角形， ∴， 由抛物线的解析式为得，当时，， ∴， ∴， 设，则，， ∴当在上方时，， 解得：或， ∴此时与重合，舍去；或， 当在下方时，， 解得：或， ∴，此时与重合，舍去；或，此时与重合，舍去； 综上可得：． 10．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，作直线，其中点，点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点在线段上运动（点不与点，重合），过点作轴的垂线，交抛物线于点，交轴于点，是否存在点使得为等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程，掌握这些知识点的应用是解题的关键． （）把点， 点代入即可求解； （2）分当时和当时两种情况分析即可； 【详解】（1）解：∵抛物线过点，点， ∴，解得：， ∴该抛物线的解析式为； （2）存在，理由： 令，则， 解得， ∴，， 设直线的解析式为， ∵，， ∴，，解得， ∴，直线的解析式为， 设点E的坐标为，则，， ∵轴， ∴， ∴； 当时，，如图， ∴，即解得：，（舍去）， ∴此时； 当时，如图，作于点，则有， ∴，解得：，（舍去）， ∴此时； 综上可知：点的坐标为或． 11．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，连接．若点在线段上运动（点不与点重合），过点作轴的垂线，交抛物线于点，交轴于点．设点的横坐标为． (1)求拋物线的函数表达式． (2)若，求的值． (3)在点的运动过程中，是否存在使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出的值；若不存在请说明理由． 【答案】(1)抛物线解的函数表达式为 (2) (3)或 【分析】本题考查了二次函数的性质，等腰直角三角形的判断与性质等知识： （1）根据题意设代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）设，得，，求出，，根据列方程，求出方程的解即可； （3）先证明是等腰直角三角形，得，再分和两种情况列出关于的方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于两点， ∴设 代入，得 解得： ∴抛物线解的函数表达式为； （2）解：设直线的解析式为， 把,代入解析式得， ， 解得， ∴直线的解析式为； ∵点P的横坐标为m， ∴点P的坐标为 ∴，， ∴；， ∵， ∴， 整理得，， 解得，或（不合题意，舍去） ∴； （3）解：由②知，，， ∵， ∴， 又轴， ∴ ∴， 若是等腰直角三角形，则有： ①当时，连接，如图， ∴， ∵ ∴ ∴轴， ∴ ∴， 解得，或（不合题意，舍去） ②当时，如图，连接则作于点K， 则且轴， ∴ ∵ ∴ ∴， ∵ ∴ 解得，或（不符合题意，舍去）， 综上，当或时，为等腰直角三角形 12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过原点，与轴正半轴交于另一点，点在抛物线上，点是抛物线上一点（不与点重合），其横坐标为，以为对角线作矩形，垂直于轴． (1)求抛物线的解析式； (2)当抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升时，直接写出的取值范围； (3)当矩形内部的图象（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为4时，求的值； (4)当点在对称轴左侧时，在抛物线的对称轴上是否存在一点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)且 (3)或或 (4)存在，或 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）抛物线的对称轴为直线，则点B关于抛物线对称轴的对称点为，当M在的左侧时，抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升，即可求解； （3）点，矩形内部的图象（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为4，当点M的纵坐标为时，，解得；当点M的纵坐标为时，，即可求解； （4）当点在点B的上方时，证明，得到，即可求解；当点在点B的下方时，同理可解． 【详解】（1）解：抛物线经过原点， 抛物线的表达式为， 将点代入上式得，， 解得， 抛物线的解析式为； （2）由（1）中抛物线的解析式可知，抛物线的对称轴为直线，则点B关于抛物线对称轴的对称点为， 当M在的左侧时，抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升， 即， 点B、M不重合， 故， 即且； （3）点，矩形内部的图象（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为4， 当点M的纵坐标为时，， 解得； 当点M的纵坐标为时，， 解得：或， 综上，m的值为1或或； （4）存在，或，理由如下： 当点在点B的上方时，如图，设点， 过点B、M分别作抛物线对称轴的垂线，垂足分别为H、G， 是以为斜边的等腰直角三角形， 则， ， ， ， ， ， 则点， 将点M的坐标代入抛物线表达式得，   解得（舍去）或， 则； 当点在点B的下方时， 同理可得，点， 将点M的坐标代入抛物线表达式得，， 解得：（不合题意的值已舍去）， 则， 综上，或． 【点睛】本题考查了二次函数的解析式的求法和几何图形结合的综合能力的培养，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 题型四、二次函数中特殊角度的存在性问题 13．如图，抛物线（）与轴交于点和点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，过点作直线轴，过点作，交直线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，求证：； (3)如图，点为第三象限内抛物线上的点，连接和交于点，当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据抛物线的对称轴交轴于点，得到对称轴为，根据对称性求得，再由待定系数法即可求解； （2）由直线轴，，得到，根据同角的余角相等得到．令，则，得到，从而，进而有，即可证明结论； （3）由，得到，根据相似三角形的性质可求得，从而，根据待定系数法求出直线的解析式为，过点P作轴，交直线于点，设（），则，，从而，，进而得到，代入后求出m的值，即可解答． 【详解】（1）解：解法一：∵抛物线的对称轴交轴于点， ∴对称轴为， ∵抛物线与轴交于点和点， ∴点与点B关于对称轴对称， ∴， 设抛物线的解析式为：， ∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴； 解法二：∵抛物线的对称轴交轴于点， ∴对称轴为， ∵抛物线与轴交于点和点， ∴点与点B关于对称轴对称， ∴， ∵抛物线过点，， ∴， 解得， ∴； （2）证明：∵直线轴，， ∴， ∴，， ∴， ∵在函数中，令，则， ∴， ∵， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵，， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为：， ∵直线过点，， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 过点P作轴，交直线于点，设（）， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 经检验，，都是方程的解，但不合题意，舍去， 当时，， ∴． 【点睛】本题考查待定系数法求解析式，二次函数的图象及性质，相似三角形的判定及性质，同角的余角相等，等腰三角形的性质，综合运用相关知识是解题的关键． 14．如图，平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于点、点，与轴相交于点，连接、． (1)求：，的值； (2)当时，函数的最小值是2，求出的值； (3)在抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，2 (2) (3)存在，点或 【分析】本题考查了二次函数的综合运用，涉及待定系数法求表达式，二次函数的性质，二次函数与角度问题等．第（3）问关键是构造三角全等． （1）由题意得：，利用待定系数法求解即可； （2）先求出点，点，抛物线的对称轴为直线，再根据二次函数的性质解答即可； （3）先求出，分点在左侧时，点在右侧时，两种情况讨论，利用三角形全等的性质解答即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 则，则， 抛物线的解析式为：， 则； （2）解：当时，， 解得，， 点， 当时，， 点． 由抛物线的表达式知，其对称轴为直线， 当时，函数的最小值是2，即时，函数取得最小值， 则，则（舍去）， ∴的值为； （3）解：存在点，理由如下： ∵，， ∴， ， ①当点在左侧时，如图，在轴上取点，延长交抛物线于点， 在和中， ，，， ， ， ， 设直线的解析式为， 由点、的坐标得，直线的解析式为， 联立上式和抛物线的表达式得：， 则（舍去）或，故点； ②当点在右侧时，如上图，作关于的对称，交二次函数于点， 则，，， ， ， 四边形是正方形， ， 令中，，则， 解得或， ，， ，， ， ， ， 在点抛物线上，即点满足条件， 故存在满足条件的点有两个，分别为：或． 15．已知抛物线，的顶点分别为、，且它们都经过轴上的点． (1)如果抛物线经过点，抛物线经过点，求这两个抛物线的表达式； (2)已知，求的值； (3)当时，能否确定系数、、的值？如果能，请求出相应的值；如果不能，请简要说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)，m、n的值不能确定，理由见解析 【分析】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）先求出两个抛物线与y轴的交点坐标，进而得到，再利用待定系数法求解即可； （2）先求出，，再过点B作轴于D，连接，可证明是等腰直角三角形，得到，则，据此求解即可； （3）求出，则可得到轴，设与y轴交于D，可证明，则可得到，据此可求出a的值，而m、n的值为任意实数，据此可得答案． 【详解】（1）解：在中，当时，， 在中，当时，， ∵两个抛物线都经过轴上的点， ∴， ∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴两个抛物线的解析式分别为，； （2）解：∵， ∴， 在中，当时，， ∴， 如图所示，过点B作轴于D，连接， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴或（舍去）； （3）解：，m、n的值不能确定，理由如下： ∵， ∴， 由（1）得，由（2）得， ∴点A与点B的纵坐标相同， ∴轴， 设与y轴交于D， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）； ∵当时，都能满足， ∴m、n为任意实数， ∴m、n的值不能确定． 16．在平面直角坐标系中，抛物线（m是常数）与x轴交于、B，与y轴交于点C，点P是抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式及点P的坐标； (2)已知点Q是对称轴右侧抛物线上的一点． ①当时，求点Q的坐标； ②过点P作，交x轴于点H，当时，求点Q的坐标． 【答案】(1)， (2)①或；② 【分析】（1）把代入抛物线中得：，解方程可得m的值，从而得抛物线的解析式，配方成顶点式可得点P的坐标； （2）①令，可计算C，分两种情况：当点Q在x轴的上方时，如图1，连接，证明是等腰直角三角形，即可得点Q的坐标为；当点Q在x轴的下方时，如图2，过点Q作轴于E，设，根据，列方程即可解答； ②如图3，过点P作轴，过点H作于M，过点Q作于N，设点Q的坐标为，证明，得，即可解答． 【详解】（1）解：把代入抛物线中得：， ∴， ∴抛物线的解析式为：， ∵， ∴P的坐标为； （2）①当时，， ∴C， 分两种情况： 当点Q在x轴的上方时，如图1，连接， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 则当点Q与C重合时，， 此时Q的坐标为； 当点Q在x轴的下方时，如图2，过点Q作轴于E， 设 ∵点Q是对称轴右侧抛物线上的一点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（舍），， 当时，， ∴Q的坐标为， 综上，点Q的坐标是或； ②如图3，过点P作轴，过点H作于M，过点Q作于N， 设点Q的坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴°， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点评】本题考查了二次函数的综合知识，涉及到的考点有：二次函数解析式的确定，二次函数的性质，三角形全等的性质和判定，等腰直角三角形的判定及性质等知识，对学生综合运用知识的能力要求较高． 题型五、二次函数中平行四边形的存在性问题 17．如图，抛物线与轴相交于、两点（点在点的左侧），与轴相交于点，顶点为，连接，与抛物线的对称轴交于点． (1)求点、点的坐标和抛物线的对称轴； (2)求直线的函数关系式； (3)点为线段上的一个动点，过点P作交抛物线于点．设点的横坐标为；用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时，四边形为平行四边形？ 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为，抛物线的对称轴为直线； (2)直线的函数关系式为； (3)线段的长为，当时，四边形为平行四边形． 【分析】（1）根据题意，分别将、与抛物线的解析式联立，即可得点、点的坐标，将系数代入即可得抛物线的对称轴； （2）设直线的函数关系式为，代入点、点的坐标可得和，即可得直线的函数关系式； （3）根据题意可知，点和点的横坐标均为，点和点的横坐标均为，代入对应的解析式，可得纵坐标，根据位置关系即可求得线段长度，由平行四边形的判定定理，，即可得的值． 【详解】（1）解：在中， 当时，， 当时，由，得，， 结合题意可得，，， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 答：点的坐标为，点的坐标为，抛物线的对称轴为直线． （2）解：设直线的函数关系式为， ∵，， ∴， 解得，， ∴， 答：直线的函数关系式为． （3）解：根据题意可知，点和点的横坐标均为，点和点的横坐标均为， 在中， 当时，， 当时，， ∴，， 在中， 当时，， 当时，， ∴，， ∵点在线段上， ∴点在点的上方， ∴， ∵， ∴当时，四边形为平行四边形， ∴，， ∴， 答：线段的长为，当时，四边形为平行四边形． 【点睛】本题考查抛物线与坐标轴的交点，直线与坐标轴的交点，二次函数的图象及其性质，用待定系数法求一次函数的解析式，用坐标表示线段长度，平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握待定系数法和平行四边形的判定． 18．如图，抛物线与x轴交于 ， B 两点（点 A 在点 B 的左侧）， 与y轴交于点，直线 与x轴交于点 D，动点M在抛物线上运动，过点 M 作轴，垂足为P，交直线于点 N． (1)求抛物线的解析式； (2)E是抛物线对称轴与x轴交点，点F是x轴上一动点，在M 运动过程中，若C、E、F、M为顶点的四边形是平行四边形时，请求出满足条件的点F的坐标． 【答案】(1) (2)或或或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）分三种情况，利用平行四边形的对角线互相平分，进行求解即可． 【详解】（1）解：把，代入，得： ，解得：， ∴； （2）∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴，设，， ∵， ∴当以为对角线时，则：，解得：或（舍去）； ∴； 当以为对角线时，，解得：或， ∴或； 当以为对角线时，，解得：或（舍去）； ∴； 综上：或或或． 19．已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求，的值； (2)直线，且直线与抛物线只有一个交点． ①求直线的表达式； ②设直线与抛物线的交点为，在平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若不存在，说明理由；若存在，求出点的坐标． 【答案】(1)， (2); 存在，点的坐标为或或 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式即可； （2）①先求出直线的解析式为，根据直线，设的表达式为，再根据与抛物线只有一个交点求解即可；②先求出点的坐标，设，然后根据四边形的对角线分三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：将，代入抛物线解析式，得： ， 解得：，； （2）解：①由（1）可知，抛物线解析式为：， 令，则， ∴， 设直线的解析式为， 将代入，得： ， 解得：， ∴， ∵直线， ∴设的表达式为：， 联立直线与抛物线，得： ， 整理，得：， ∵直线与抛物线只有一个交点， ∴， 解得：， ∴直线的表达式为：； ②存在，点的坐标为或或， 理由如下： 设直线与抛物线的交点为， ∴， 解得：， ∴， ∵，， ∴直线的解析式为：， ∴不在直线上， ∴一定存在， 设，然后分三种情况讨论： 第一种情况：当四边形为平行四边形时，由平行四边形的性质可知，和互相平分， 又，，， ∴，， ∴，， ∴； 第二种情况：当四边形为平行四边形时，和互相平分， ∴，， ∴，， ∴； 第三种情况：当四边形为平行四边形时，和互相平分， ∴，， ∴，， ∴； 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数、二次函数解析式，求一次函数与二次函数交点，解二元一次方程组，二次函数与平行四边形的结合，中点坐标公式等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质、平行四边形的性质及中点坐标公式是解题的关键． 20．如图，抛物线与x轴交于、两点点在点左侧，直线与抛物线交于、两点，其中点的横坐标为． (1)求、两点的坐标及直线的函数表达式； (2)是线段上的一个动点，过点作轴的平行线交抛物线于点，求三角形面积的最大值； (3)点是抛物线上的动点，在轴上是否存在点，使、、、这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，写出所有满足条件的点坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在个这样的点，分别是，，， 【分析】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及到了待定系数法求一次函数解析式、平行四边形的判定、二次函数的性质等重要知识点，综合性强，解答本题的关键掌握分类讨论，数形结合的数学思想方法． （1）因为抛物线与轴相交，所以可令，解出、的坐标．再根据点在抛物线上，点的横坐标为，代入抛物线中即可得出点的坐标．再根据两点式方程即可解出的函数表达式； （2）根据点在上可设出点的坐标．点坐标可根据已知的抛物线求得．因为都在垂直于轴的直线上，所以两点之间的距离为，列出方程后结合二次函数的性质即可得出答案； （3）此题要分两种情况：①以为边，②以为对角线．确定平行四边形后，可直接利用平行四边形的性质求出点的坐标． 【详解】（1）解：令， 解得：或， ∴， 将C点的横坐标代入 得， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得：， 直线的函数解析式是； （2）设点的横坐标为， 则的坐标分别为：，， ∵点在点的上方，， 当时，的最大值； 则的面积的最大值是：； （3）存在4个这样的点F，分别是，，，， ①如图，连接点与抛物线和轴的交点，那么轴，此时， ∴点的坐标是； ②如图，则， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为； ③如图，此时两点的纵坐标互为相反数，因此点的纵坐标为，代入抛物线中即可得出G点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点代入后可得出直线的解析式为， 令，则， 因此直线与轴的交点的坐标为； ④如图，同③可求出F的坐标为． 总之，符合条件的F点共有4个分别是，，，． 题型六、二次函数中矩形的存在性问题 21．如图，抛物线的图象经过，两点，与轴交于点，是抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式和顶点的坐标； (2)将原抛物线进行平移，平移后的抛物线顶点为，在原抛物线的对称轴上，是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点的坐标，并说明平移的方向和距离；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)点的坐标为或，当点的坐标为时，原抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度；当点的坐标为时，原抛物线向左平移1个单位长度． 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可 （2）设，分三种情况讨论：①以为对角线时，由，求出m的值，再由中点坐标公式，求得，则平移的方向为先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度；②以为对角线时，点P在x轴上，则，从而求得，则平移的方向为向左平移1个单位长度；③以为对角线时，矩形不存在 本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，点的平移性质是解题的关键 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，． 将，代入， 得解得 抛物线的表达式为， ， 顶点的坐标为； （2）存在． 如图，设． ①以为对角线． 此时，，， ， 即，解得． ，为矩形的对角线，由中点坐标公式，得， 平移的方向为先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度． ②以为对角线． ，点在轴上，，则， 平移的方向为向左平移1个单位长度． ③以为对角线时，矩形不存在． 综上所述，点的坐标为或，当点的坐标为时， 原抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度； 当点的坐标为时，原抛物线向左平移1个单位长度． 22．已知抛物线交轴于点，交轴于点，连接，将抛物线平移后得到抛物线，且点对应点． (1)求抛物线的表达式． (2)在轴上是否存在一点，使得以点为顶点的四边形为矩形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，当时，点的坐标为，点的坐标为．当时，点的坐标为，点的坐标为 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，矩形的性质． （1）将点代入，利用待定系数法求函数解析式即可； （2）设点为，分两种情况讨论：①当时，证明即可得，可求得M的坐标，再根据矩形的性质可求得E的坐标；②当时，此时点与原点重合，而可得答案． 【详解】（1）解：将点代入， 得， 解得， 抛物线的函数表达式为； （2）解：存在． 设点为， 分以下两种情况讨论： ①当时， ， ， ， ， ， ， ， ， 点的坐标为， 四边形为矩形， ∴ 解得， 点的坐标为， ②当时，此时点与原点重合， 点的坐标为． 四边形为矩形， ， 点的坐标为． 23．已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)请直接写出：此抛物线的函数解析式为_____________； (2)如图1，已知点在第二象限的抛物线上，点在抛物线的对称轴上，是否存在这样的、两点使得四边形为矩形？若存在，求、两点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，平移抛物线，使新抛物线的顶点在的延长线上，过点作轴于点，过原抛物线的顶点作轴，交新抛物线于点，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式； （2）首先求出对称轴为直线，，设，，首先根据平行四边形的性质得到，然后代入求出，，然后利用两点间距离公式得到，证明出四边形为矩形，符合题意，即可求解； （3）首先求出抛物线的顶点坐标，求出所在直线表达式为，得到新抛物线的顶点P的坐标为，然后求出表示出，根据列方程求出，进而求解即可． 【详解】（1）解：将，代入函数解析式得， ， 解得， 此二次函数的解析式为； （2）∵ ∴对称轴为直线 当时， ∴ ∵点在第二象限的抛物线上，点在抛物线的对称轴上 ∴设， 当四边形为矩形时，四边形为平行四边形 ∴，即 ∴ ∴， ∴， ∴ ∴四边形为矩形，符合题意， ∴，； （3）抛物线 ∴顶点坐标 ∵， ∴设所在直线表达式为 ∴ ∴ ∴所在直线表达式为 ∵平移抛物线，使新抛物线的顶点在的延长线上， ∴新抛物线的顶点P的坐标为 ∴设新抛物线的表达式为 将代入得， ∴ ∵ ∴ 解得或 ∵新抛物线的顶点在的延长线上 ∴，故应舍去 ∴ ∴． 【点睛】本题属于二次函数和一次函数综合题，考查了待定系数法，特殊四边形的存在性问题，抛物线的平移，勾股定理等知识，解题的关键是掌握待定系数法以及二次函数的性质． 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点两点，点是直线上一动点，过点作轴的垂线交抛物线于点、交轴于点．设点的横坐标为t； (1)分别求直线和这条抛物线的解析式； (2)若点在第四象限，若，求此时点的坐标； (3)点是平面直角坐标系中的一点，当点在第四象限时，是否存在这样的点，使得以A、C、B、为顶点组成的以为边的矩形?若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2) (3) 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，待定系数法求函数解析式，二次函数与一次函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）设，将代入两个函数解析式即可求出答案； （2）设，根据则计算即可； （3）分当时；两种情况依次进行讨论即可． 【详解】（1）解：设， 将代入， ， 解得， 故， ， 将代入， ， 解得， ； （2）解：点是直线上一动点，过点作轴的垂线交抛物线于点、交轴于点，点在第四象限， 设，，则， ，整理得，， ∴，， ， ∴； （3）解：，，， ∴，，， ①当时． ， ， ， ， ， ， 解得，或（舍）， (没在第四象限，舍去)； ②时， ， ， ， 而， ， ∴四边形是矩形时，， 综上所述，． 题型七、二次函数中菱形的存在性问题 25．如图，抛物线 与x轴交于两点，与y轴交于点C，对称轴为直线l． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线下方的抛物线上一个动点，求四边形面积的最大值及此时P点的坐标； (3)点F是直线l上一点，点G是平面内一点，是否存在以为边，以点B，C，F，G为顶点的菱形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)四边形面积的最大值为9，此时点P的坐标为； (3)或或或 【分析】1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）连接，设点P的坐标为，再由四边形面积，结合二次函数的性质解答，即可求解； （3）设点F的坐标为，分两种情况： 当为边，为对角线时，；当为边，为对角线时，，即可求解． 【详解】（1）解：把点代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵点， ∴， 当时，， ∴点， ∴， 如图，连接， 设点P的坐标为， ∴四边形面积 ， ∵， ∴当时，四边形面积最大，最大值为9， 此时点P的坐标为； （3）解：∵点， ∴抛物线的对称轴为直线， 设点F的坐标为， 当为边，为对角线时，， 即， ∴， 解得：， ∴点F的坐标为或； 当为边，为对角线时，， 即， ∴， 解得：， ∴点F的坐标为或； 综上所述，点F的坐标为或或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式、二次函数与坐标轴的交点、面积的计算，菱形的性质，勾股定理等知识点，数形结合、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 26．如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点，连接，点为线段上一个动点（不与点C，B重合），过点P作轴交抛物线于点Q． (1)求抛物线的表达式和对称轴； (2)设P的横坐标为t，请用含t的式子表示线段的长，并求出线段的最大值； (3)已知点M是抛物线对称轴上的一个点，点N是平面直角坐标系内一点，当线段取得最大值时，是否存在这样的点M，N，使得四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，抛物线的对称轴为直线； (2)，的最大值为 (3)存在，点M的坐标为或．理由见解析 【分析】（1）利用两点式写出函数解析式，再根据对称轴计算公式进行求解即可； （2）先求出直线的表达式，再设点，求出，最后利用二次函数的性质即可求出的最大值； （3）当四边形是菱形时，，设点，可列方程，求出m的值，即得答案． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为， 因为抛物线与x轴交于点，， 所以，则抛物线的对称轴为直线． （2）解：由抛物线表达式得：C点坐标为， 设直线的表达式为，将点B的坐标代入上式得， 故直线的表达式为， 设点，则点， 则， ，故有最大值，当时，的最大值为． （3）解：存在，理由如下： 当时，点， 设点，而点； 四边形是菱形，则， 即，解得：， 即点M的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的交点式、求一次函数的解析式、二次函数的图象与性质、菱形的性质等知识点，熟练掌握二次函数的图象及性质及菱形的性质是解题的关键． 27．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于和，与y轴交于点C，连接， (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，在x轴上有一动点D，平面内是否存在一点E，使以点A、D、C、E为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点E的坐标，若不存在，请说明理由． (3)如图2，若点M为直线上方的抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交于点N，过点M作x轴的平行线，交直线于点Q，求周长的最大值． 【答案】(1) (2)存在，或或或 (3) 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，待定系数法，菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）利用待定系数法进行计算求解即可； （2）设，，分以，为对角线，以，为对角线，以，为对角线三种情况进行分类讨论即可． （3）设，证明，根据相似三角形的性质进行求解即可得到答案． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：平面内存在一点E，使以点A、D、C、E为顶点的四边形是菱形，理由如下： 设，， 在中，令得， ， 又， ①以，为对角线，则，的中点重合，且， ， 解得， ； ②以，为对角线，则，的中点重合，且， ， 解得或（此时A，D重合，舍去）； ； ③以，为对角线，则，的中点重合，且， ， 解得或， 或； 综上所述，E的坐标为或或或； （3）解：设， ，， ，，直线解析式为， ，， ， 轴，轴， ， ， ， ， ， ， ， ， 时，取最大值； 周长的最大值为． 28．已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左边），与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)若将抛物线沿轴向右平移得到抛物线，平移后点的对应点为点，点是平面内任意一点，是否存在以、、、四个点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)存在，点的坐标为或或或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，菱形的性质，勾股定理，解题的关键是分类讨论． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点，点，得到，过点作轴于点，根据菱形的性质求解即可． 【详解】（1）解：将点代入抛物线得：， 解得：， 抛物线的表达式为； （2）存在以、、、四个点为顶点的四边形是菱形，理由如下： ， 令，则， 解得：，， 点，点． ， 如图，当四边形为菱形时，，过点作轴于点， 四边形为菱形， ， ， ， ， 同理，如图，当四边形为菱形时，，， ． 同理，如图，当四边形为菱形时，，， ， 当四边形为菱形时，设交于点，则， ， ； 综上所述，点的坐标为或或或． 题型八、二次函数中正方形的存在性问题 29．如图，在平面直角坐标系中，将一个正方形放在第一象限斜靠在两坐标轴上，且点，的坐标分别为，，抛物线经过点． (1)求点的坐标； (2)求抛物线的表达式，并求出其顶点坐标； (3)在抛物线上是否存在点与点（点，除外）使四边形为正方形？若存在，请求出，的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，顶点坐标为； (3)， 【分析】（1）如图，作轴于点，证明出，得到，，进而求解即可； （2）利用待定系数法求出抛物线的解析式为，即可得到顶点坐标为； （3）如图，以为边在的左侧作正方形，过作于，轴于，同（1）可证，求出点坐标为，点坐标为．然后分别代入抛物线验证即可． 【详解】（1）如图，作轴于点， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， 又∵ ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴点坐标为； （2）∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为 ∴顶点坐标为； （3）在抛物线上存在点、，使四边形是正方形． 如图，以为边在的左侧作正方形，过作于，轴于， 同（1）可证， ∴，， ∴点坐标为，点坐标为． 由（2）抛物线， 当时，；当时，． ∴、在抛物线上． 故在抛物线上存在点、，使四边形是正方形． 【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数和四边形综合，全等三角形的性质和判定，正方形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 30．如图，抛物线与x轴交于、两点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点N在坐标平面内，请问在抛物线上是否存在点M，过点M作x轴的垂线交x轴于点H，使得四边形是正方形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在的坐标为或时，使得四边形是正方形 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象及性质、二次函数综合问题． （1）利用将、代入，利用待定系数法即可求解； （2）由题意，设，四边形是正方形，可知，得则，分两种情况：当时，当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，将、代入， 得：，解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）存在的坐标为或时，使得四边形是正方形，理由如下： 由题意，设， ∵，四边形是正方形，轴，则， ∴， 则， 即：， 当时， 解得：，（舍去）， 则，即； 当时， 解得：，（舍去）， 则，即； 综上，存在的坐标为或时，使得四边形是正方形． 31．如图，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点B的坐标为，点C的坐标为，点D是抛物线的顶点．    (1)求抛物线的解析式及点D的坐标； (2)点M是抛物线上一动点，过点M作轴交抛物线于点N，点P在x轴上，在坐标平面内是否存在点Q，使得四边形为正方形，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)拋物线的解析式为，点D的坐标为 (2)存在，满足条件的点Q有两个，其坐标分别是或 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式，再转化为顶点式即可求解； （2）由点M、N关于拋物线对称轴对称，可得点P为拋物线对称轴与x轴的交点，点Q在抛物线的对称轴上，设，则，代入抛物线解析式求解即可． 【详解】（1）解：把代入抛物线中， 得， 解得， ∴拋物线的解析式为， ， ∴点D的坐标为； （2）解：在坐标平面内存在点Q，使得比边形为正方形，理由如下． 如解图，设对解线交于点， ∵点M、N关于拋物线对称轴对称，且四边形为正方形， ∴点P为拋物线对称轴与x轴的交点，点Q在抛物线的对称轴上，且与点P关于对称， 由（1）得抛物线的对称轴为直线， 设，则， ∵点M在抛物线的图象上， ， 解得或， 或， 满足条件的点Q有两个，其坐标分别是或．            【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、待定系数法求函数解析式、二次函数的性质，确定出P、Q的位置是解题的关键． 32．如图，已知拋物线与轴交于点与轴交于点．    (1)求的值及该抛物线的对称轴； (2)若点在直线上，点是平面内一点．是否存在点，使得以点为顶点的四边形为正方形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，二次函数对称轴为直线 (2)或 【分析】（1）将点A的坐标代入到二次函数的解析式即可求出c的值，然后将二次函数的解析式化成顶点式的即可确定二次函数对称轴； （2）分AB是正方形的边、AB是正方形的对角线两种情况，通过画图，利用正方形性质即可解答． 【详解】（1）解：把代入二次函数得： ∴，解得：； ∴二次函数的解析式为：， ∴二次函数对称轴为直线． （2）解：存在，理由如下： 令y=0，即，解得或， ∴点B的坐标为， ∵， ∴； ①当是正方形的对角线时，此时，对应的矩形为， ∵是正方形对角线， ∴线段和线段互相垂直平分， ∴点E在抛物线对称轴上，且到x轴的距离为， ∴点E的坐标为； ②当AB是正方形的边时，此时，对应的正方形为，    ∵， ， ∴， ∴， ∵B的坐标为, ∴， ∴点的坐标为； 故点E的坐标为或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查的是二次函数的性质、正方形的性质等知识点，掌握正方形存在性问题需要分类求解是解答本题的关键． 题型九、二次函数中相似三角形的存在性问题 33．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点和点，与轴交于点． (1)求二次函数的解析式； (2)点是二次函数图象上的一个动点，当点在第一象限时，过点作轴于点，与线段交于点，是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在点，使得与相似点坐标为或 【分析】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法，相似三角形的判定和性质是关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）根据题意得到直线的解析式为，是等腰直角三角形，分类讨论：第一种情况，如图所示，第二种情况，如图所示，，作点作与点；根据等腰直角三角形的性质列式求解即可． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过点和点，与轴交于点， ∴设二次函数解析式为， ∴， 解得，， ∴二次函数解析式为； （2）解：∵， ∴，且， ∴是等腰直角三角形， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 第一种情况，如图所示，， ∴是等腰直角三角形，， 点是二次函数图象上的一个动点，点在第一象限，过点作轴于点，与线段交于点， ∴设，则，， ∴， ∴， 解得，（舍去），， ∴， ∴； 第二种情况，如图所示，，作点作与点， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 解得，（舍去），， ∴， ∴； 综上所述，存在点，使得与相似点坐标为或． 34．如图，已知抛物线的图象与轴交于和两点，与轴交于，直线经过点，且与轴交于点，与抛物线交于点，与对称轴交于点． (1)求抛物线的解析式和的值； (2)在轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似，若存在，求出点的坐标；若不存在，试说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为， (2)存在，点的坐标为或 【分析】本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程等知识与方法，画出符合条件的图形是解答本题的关键． （1）用待定系数法，将B、C两点的坐标代入二次函数解析式求解，再把代入即可得答案； （2）若存在这样的点P，根据相似三角形的判定，与应均为等腰直角三角形，所以有两种可能情况，即，或，由此画出对应的图形并求解，即可得到答案． 【详解】（1）解：把，代入， 得， 解得， 抛物线的解析式为， 把代入， 得， ； （2）解：把代入，得， 点的坐标为， 点的坐标为，点的坐标为， ，， 由于点在轴上，设，则， 若∽， 得，即， 解得， 点的坐标为， 若∽， 得，即， 解得， 点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 35．如图，抛物线（、为常数，）与轴交于，两点，与轴交于点，连接，为第三象限抛物线上的动点，轴，交线段于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)是否存在以，，为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，灵活运用三角形相似的判定与性质解题是关键． （1）直接运用待定系数法求解即可； （2）令，求出点的坐标，判断为等腰直角三角形，，分两种情况讨论，设点，由为第三象限抛物线上的动点，若以，，为顶点的三角形与相似，则以，，为顶点的三角形也是等腰直角三角形，当是直角时，根据列方程可求出的值，当是直角时，求出，根据列方程可求出的值，即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线（、为常数，）与轴交于，两点， ∴， 解得， ∴该抛物线的函数表达式为； （2）解：对于，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴是等腰直角三角形， 若以，，为顶点的三角形与相似，则以，，为顶点的三角形也是等腰直角三角形， ①当时，则有，如图， 设直线的解析式为， 把，代入得： ， 解得，， ∴直线的解析式为， 设点， ∵ ∴轴， ∴点的横坐标为， ∴ ∵为第三象限抛物线上的动点， ∴， ∴， ∵轴，且， ∴， ， 解得，，（舍去）， ∴， 当时，， ∴； ②当时，， ∴ 过点作轴于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ， 解得，，（舍去）， ∴， 当时，， ∴； 综上，点E的坐标为或． 36．如图，抛物线交轴于，两点，与轴交于点．连接，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点为抛物线在第三象限的一个动点，轴于点．交于点，于点，求线段的最大值； (3)如图2，若为抛物线上一点，直线与线段交于点，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形与相似．若存在，请求出此时点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点的横坐标为或 【分析】（1）把和的坐标代入抛物线解析求出a和b即可求解； （2）求出直线的解析式为，设，则，进而求得的表达式，根据二次函数的性质，即可得出答案； （3）分两种情况，①若，②若，由相似三角形的性质可求出的长，求出点坐标，联立直线和抛物线的解析式可求出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线交轴于，两点， ∴ ， 解得， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：∵抛物线的解析式为， ∴时，， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， 设直线的解析式为， ∴ ， ∴， ∴直线的解析式为， 设， 则， 则 ∵， ∴时，有最大值， ∴的最大值为． （3）解：∵，，， ∴，，， 若以为顶点的三角形与相似，可分两种情况： ①若， ∴， ∴， ∴， 过点作于点， ∴， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∴ ， ∴， ②若， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理的解析式为， ∴ ， ∴， 综上所述，点Q的坐标为点Q的横坐标为或． 【点睛】本题是二次函数压轴题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、图形面积计算、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握二次函数图象和性质，相似三角形的性质等相关知识是解题关键． 题型十、二次函数中面积最值的存在性问题 37．如图，在矩形中，，，点沿边从点向点以的速度移动；同时，点从点沿边向点以的速度移动，设点、移动的时间为．问： (1)当为何值时，的面积等于？ (2)当为何值时，是直角三角形？ (3)是否存在的值，使的面积最小，若存在，求此时的值及此时的面积；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当或时，的面积等于 (2)当或或时，是直角三角形 (3)存在，当时，的面积最小，为 【分析】本题考查解一元二次方程，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的最值等，熟练掌握相关知识点，并灵活运用是解题的关键； （1）由题知，，，根据的面积等于，列方程求解即可； （2）当时，易得是直角三角形；当时，易得，均为锐角，当时， 证明，推出，代入可得关于的一元二次方程，解方程即可，综合可得的值； （3）利用割补法表示出的面积，转化为关于的式子，根据二次函数的性质，求得当时，的面积最小，为． 【详解】（1）由题知，， ， 由得，， 解得，， 当或时，的面积等于． （2）四边形是矩形， ，，， ， 当时，点P与点A重合，点Q与点B重合，，是直角三角形； 当时，易得，均为锐角，当时，是直角三角形， 此时， 又， ， 又， ， ，即， ， 解得，， 当时，点P与点B重合，点Q与点C重合，符合题意； 综上可知，当或或时，是直角三角形． （3）存在，当时，的面积最小，为，理由如下： ， ， ， 由解得， 当时，的面积最小，为． 38．已知抛物线与x轴交于，两点，交y轴于点C． (1)求抛物线L的表达式． (2)将抛物线先向右平移5个单位，再向上平移6个单位，得到抛物线，抛物线与x轴交于，（在左侧），在x轴上方的抛物线上是否存在一动点P，使得的面积等于的2倍，若存在，则求点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质. （1）将和代入求解即可； （2）由题意可知，求出，求出平移后，令，得到，设P点纵坐标为，由求出，求解即可. 【详解】（1）将和代入中得， 解得， 抛物线L的表达式为. （2）L的表达式为 ∵抛物线与x轴交于，两点，交y轴于点C， ∴， 向右平移5个单位，向上平移6个单位得 令，，解得， ，， ， 设P点纵坐标为， ， ， 解得，， 或. 39．如图，已知直线与抛物线相交于A、C两点，与y轴交于点E， 抛物线与y轴交于点N，其顶点为D．若连接， (1)直接写出点A、N的坐标，A（_______，_______）；N(________，_______）． (2)求直线的函数关系式； (3)若P是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值及此时点P的坐标； (4)在对称轴上是否存在一点M，使的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和周长的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2,0；0,12 (2) (3)， (4)存在，，周长的最小值为 【分析】对于（1），令求出x值可得点A的坐标，令求出y的值可得点N的坐标； 对于（2），根据可得，过点C作交x轴于点F，再根据说明，然后根据求出，进而得出点C的坐标，最后根据待定系数法求出直线关系式； 对于（3），先过点P作轴，交于点G，设点，即可得点G，再根据得出二次函数，然后结合自变量取值范围讨论最大值即可； 对于（4），先求出，再根据的周长等于，要求周长最小即求最小，作点N关于对称轴的对称点C，可得，根据“两点之间线段最短”可知，接下来根据勾股定理解答即可. 【详解】（1）解：当时，， 解得， ∴点. 当时，， ∴； 故答案为：2，0；0，12； （2）解：∵， ∴， 即. 过点C作，交x轴于点F， ∵， ∴， ∴ ∵点， ∴， ∴， ∴. 当时，， 即点. 将点A,C代入直线的关系式，得 ， 解得， 所以直线关系式； （3）解：先过点P作轴，交于点G， 设点，则点， ∴， ∴. ∵， ∴抛物线开口向下，有最大值， 即当时，， ∴点； （4）解：存在， ∵点，， ∴， 根据勾股定理，得. 的周长等于，要求周长最小即求最小， ∵点，点关于对称轴对称， ∴， 可知， 当点M是对称轴与直线的交点时，即时，， 即点. 在中，， 根据勾股定理，得， 所以周长的最小值是. 当点时，周长的最小值是. 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，求二次函数与坐标轴的交点坐标，求一次函数的关系式，相似三角形的性质和判定，勾股定理，根据轴对称求最大值，学会用坐标差表示线段长是解题的关键. 40．如图，抛物线交轴于两点，交轴于点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若点在线段上运动，过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点，连接，求四边形的面积的最大值，并写出此时点的坐标． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为或； (3)四边形的面积的最大值为，此时点的坐标为． 【分析】（1）将点和代入抛物线的函数解析式，利用待定系数法求解即可； （2）先求出抛物线的对称轴，进而设点，利用坐标两点距离公式，得到，，，再根据是以为斜边的直角三角形，利用勾股定理列方程，求出的值，即可得到点的坐标； （3）先求出，再利用待定系数法求出直线的解析式为，设，且，则，，可得，从而得出，进而得到，利用二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：抛物线交轴于两点，交轴于点， ， 解得：， 抛物线的函数解析式为． （2）解：存在，理由如下： ， 抛物线的对称轴为直线， 点在抛物线的对称轴上， 设点， ，， ，，， 是以为斜边的直角三角形， ， ， 整理得：， 解得：， 存在点使得是以为斜边的直角三角形，点的坐标为或； （3）解：，， ，， ， 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为， 点在线段上运动， 设，且， 过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点， ，， ， ， ， ， 当时，有最大值， 即四边形的面积的最大值为，此时点的坐标为． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，勾股定理，公式法解一元二次方程，二次函数的最值问题等，利用数形结合的思想解决问题是关键． 1．（2025·北京·一模）如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，顶点的横坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，将直线沿轴向上平移个单位长度，当它与抛物线有交点时，求的取值范围； (3)如图2，抛物线的对称轴交直线于点，交轴于点，连接．抛物线上是否存在点（不与点重合），使得．若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在点P，横坐标为,， 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质、直线与抛物线的位置关系、三角形面积的计算以及面积相等的点的存在性问题． （1）利用顶点横坐标为和公式求出参数进而得到抛物线表达式； （2）先求点A和B的坐标，确定直线方程；将直线向上平移m个单位后与抛物线联立，利用判别式求m的范围； （3）先求对称轴与直线的交点D及顶点计算；设点P坐标，利用面积公式列方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）∵抛物线顶点横坐标为， ∴由顶点公式，其中即 ∴ ∴抛物线表达式为 ． （2）当时，即 解得或（舍去）， 故． 当时，故． 设直线的方程为 将点与点代入得 ∴直线的方程为． 向上平移m个单位后，直线方程为． 与抛物线联立： 整理得： 抛物线与直线有交点时，， 解得，又 ， ∴m 的取值范围为． （3）抛物线对称轴为． 直线当时，故． 顶点当故． 点． 设在抛物线上，． 如图， 情况1：过点C作的平行线，与抛物线交于点P，此时， 因，且，故可设直线的解析式为，将点代入求得，即的解析式为， 联立抛物线方程， 解得：或， ∴点P坐标为. 情况2：过点E作的平行线，交抛物线于点与，因， ∴直线向下平移到直线的距离等于直线向下平移到直线的距离， 当过点时，代入 ∴解析式为， 联立， 整理得：， 解得：， 即点的横坐标是，点的横坐标是. 综上所述，存在点横坐标为. 2．（2025九年级下·北京海淀·阶段练习）已知，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点． (1)求点A、B、C三点的坐标； (2)过点A作交抛物线于点P，求四边形的面积； (3)在（2）的条件下，在线段上是否存在一点M，使的周长最小？若存在，请直接写出周长的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)16 (3)存在， 【分析】（1）分别令，求出点和点，点的坐标即可； （2）先求出直线的解析式，进而求出的解析式，联立抛物线解析式组成方程组求出点的坐标，再利用分割法来求解即可； （3）延长到点，使，过点作轴于点，连接，则与的交点即为点，易得到，进而求出点，易得到解析式，联立直线解析式组成方程组求解． 【详解】（1）解：当时，， 解得； 点坐标为点坐标为； 当时，， 点坐标为． （2）解：， ∴设直线的解析式为：，把代入，得：； 直线解析式：． ，设直线的解析式为：，把代入得： ； 则直线解析式为：， 联立解析式有： 解得，； 点坐标为； ． （3）解：存在． 延长到点，使，过点作轴于点，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ， 与关于对称，且为的中点， 点坐标为，， ∴的周长为：， ∴当在线段上时，的周长最小， 同（2）法可得：直线的解析式为； 联立方程组， 解得 点的坐标为； 此时，， 的周长最小值为； 在线段上存在一点，使的周长最小为． 【点晴】本题考查了二次函数图象与坐标轴交点的坐标的求法，函数图象交点坐标的求法，图形面积的求法，最短路径，二元一次方程组的解法，理解二次函数的图象和性质是解答关键． 3．（2025·北京·模拟预测）如图，抛物线与直线相交于两点，抛物线与x轴的另一个交点是点C． (1)求抛物线的解析式． (2)点P是抛物线上的一个动点（不与重合），过点P作轴于点D，交直线于点E，连接，是否存在点P，使为直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；否则，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在点P，使为直角三角形，且点P的坐标为或 【分析】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式、函数图象上点的坐标特点、勾股定理、解一元二次方程等知识，熟练掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式、全面分类是解题的关键； （1）先求出点B的坐标，然后利用待定系数法求解即可； （2）先求出点C的坐标，然后设点，则，，利用两点间的距离公式表示出，再分三种情况：当、、时，利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】（1）解：把代入直线，得， ∴， 把代入抛物线的解析式可得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式是； （2）解：对于，当时，， 解得， ∴， 设点，则，， ∴，，， 若为直角三角形， 则当时，， ∴，即 解得：或（舍去）； 此时点P的坐标为； 当时，， ∴，即 解得：； 此时点P的坐标为； 当时，， ∴， 解得：（舍去）； 综上，存在点P，使为直角三角形，且点P的坐标为或． 4．（24-25九年级上·北京通州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点D，抛物线的顶点为E，直线与抛物线相交于A，C两点． (1)求抛物线的解析式． (2)在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，使，若存在，请直接写出所有满足要求的点M的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，一次函数与抛物线交点问题，锐角三角函数，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）由题意得：，即可求解； （2）由，利用待定系数法求得直线的表达式为：，再联立一次函数与抛物线解析式，求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴， 即． （2）解：令，则 ∴点，则， ∵， ∴， 设 ∵点M在x轴上方，过点M作轴于N，如图， 则， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 设直线的表达式为， 把，代入，得 ，解得： 则直线的表达式为：， 联立，得 解得： ；（舍去）， ∴点的坐标为：． 5．（24-25九年级上·北京门头沟·期中）已知二次函数的图象过点． (1)求该二次函数表达式； (2)如图，若该二次函数的图象与x轴有两个公共点A，B，并与动直线交第一象限于点P，连接，，，，其中交y轴于点D，交于点E．设的面积为，的面积为． ①当时，求点P的坐标； ②探究在直线l的运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在最大值，最大值为12． 【分析】本题主要考查了二次函数的知识，用公共三角形表示出，是正确解答此题的关键． (1)把点代入二次函数解析式可得的值，即可求得二次函数的表达式； (2)易得点、、的坐标，设出点的坐标，易得；，①时，易得点的纵坐标和点的纵坐标相等，列出方程，求解即可；②用含的代数式表示出，进而根据二次函数的性质可得的最大值． 【详解】（1）解：的图象过点， ， ， 解得：， 二次函数表达式为：； （2）解：二次函数表达式为：， 二次函数的图象与轴有两个公共点，，与轴交于点， 点，点，点， 设点， ， ， ①， ， 解得：（不合题意，舍去），， 点的坐标为； ②， 当时存在最大值，最大值为12. 6．（2025·北京·三模）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点为抛物线的顶点，直线交轴于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)点是第三象限内抛物线上的一个动点，作轴交于点． ①求线段的最大值及此时点的坐标； ②是否存在点，使得以点为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①，；②存在，或 【分析】题目主要考查二次函数的应用，相似三角形的判定和性质，最值问题，理解题意，熟练掌握二次函数的相关性质是解题关键． （1）根据题意利用待定系数法即可确定函数解析式； （2）①设，则，其中，确定，即可求解； ②根据待定系数法确定直线的解析式为，得出点的坐标为，分别过点、作轴于点轴于点，由，得，然后分两种情况讨论：I．当时，，II．当时，，即可求解． 【详解】（1）解：将代入， 得 解得 该抛物线的表达式为； （2）①当时，， ∴， 设直线的解析式是：， 则，解得：， ∴直线的解析式是：， 如图1，设，则，其中， 则， 当时，线段有最大值，为，， 此时点的坐标为． ②存在，理由如下： ， 使用待定系数法同理可得：直线的解析式为． 令，则， 点的坐标为． ， ，且， ． 如图1，分别过点、作轴于点轴于点． 由，得， ∴． 分两种情况讨论： I．当时，， 即， 解得，满足， 此时点的坐标为． II．当时，， 即， 解得，满足，此时，点的坐标为． 综上所述，存在点，使得以点、、为顶点的三角形与相似， 点的坐标为或． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 二次函数的存在性问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、二次函数中的直角三角形存在性问题 1 题型二、二次函数中的等腰三角形存在性问题 2 题型三、二次函数中等腰直角三角形存在性问题 3 题型四、二次函数中特殊角度的存在性问题 5 题型五、二次函数中平行四边形的存在性问题 6 题型六、二次函数中矩形的存在性问题 8 题型七、二次函数中菱形的存在性问题 8 题型八、二次函数中正方形的存在性问题 8 题型九、二次函数中相似三角形的存在性问题 9 题型十、二次函数中面积最值的存在性问题 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、二次函数中的直角三角形存在性问题 1．如图，抛物线经过点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)设点P为对称轴上的一点，若使最小，求出此时点P的坐标： (3)设抛物线的顶点为D，轴于点E，在y轴上是否存在点M使得是直角三角形?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由 2．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点A，过点A的抛物线与轴的右交点为点． (1)求抛物线的解析式； (2)过原点作 的平行线，上是否存在点．使得以A，，三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 3．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧）． (1)如图①，若抛物线的对称轴为直线，． ①点的坐标为（______，______），点的坐标为（______，______）； ②由①得抛物线的函数表达式为______； (2)将（1）中的抛物线向右平移若干个单位长度，再向下平移若干个单位长度，使平移后的抛物线经过点O，且与轴正半轴交于点，记平移后的抛物线的顶点为，若是直角三角形，则点的坐标为______． 4．如图，抛物线经过，两点，与轴交于点，为第一象限抛物线上的动点，连接，，，，与相交于点． (1)求抛物线的解析式： (2)设的面积为，的面积为，当时，求点的坐标； (3)是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由． (4)在抛物线对称轴上是否存在一点，使是以为斜边的直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 题型二、二次函数中的等腰三角形存在性问题 5．如图，已知抛物线经过三点，直线l是抛物线的对称轴． (1)求抛物线的表达式； (2)设点P是直线l上的一个动点，当点P到点A，B的距离之和最短时，求点P的坐标； (3)点M也是直线l上的一个动点，且为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 6．如图，关于x的二次函数的图象与x轴相交于点和点，与y轴相交于点C． (1)求二次函数的表达式和线段的长； (2)在抛物线对称轴上找一点P，使为等腰三角形？直接写出点P的坐标． 7．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点，直线与抛物线交于B，C两点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)若是以为腰的等腰三角形，求点B的坐标． 8．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点C．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式； (2)第一象限内的抛物线上有一动点，使的面积最大，求点的坐标和面积的最大值； (3)对称轴与轴交于点，在对称轴上找一点，使是以为腰的等腰三角形，求点的坐标． 题型三、二次函数中等腰直角三角形存在性问题 9．如图，抛物线经过，两点，与轴相交于点，连接，点为线段上方抛物线上一动点（不与点重合），过点作轴的垂线，交于点，交轴于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)过点作直线，为垂足，当点运动到何处时，以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形？并求出此时点的坐标． 10．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，作直线，其中点，点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点在线段上运动（点不与点，重合），过点作轴的垂线，交抛物线于点，交轴于点，是否存在点使得为等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 11．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，连接．若点在线段上运动（点不与点重合），过点作轴的垂线，交抛物线于点，交轴于点．设点的横坐标为． (1)求拋物线的函数表达式． (2)若，求的值． (3)在点的运动过程中，是否存在使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出的值；若不存在请说明理由． 12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过原点，与轴正半轴交于另一点，点在抛物线上，点是抛物线上一点（不与点重合），其横坐标为，以为对角线作矩形，垂直于轴． (1)求抛物线的解析式； (2)当抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升时，直接写出的取值范围； (3)当矩形内部的图象（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为4时，求的值； (4)当点在对称轴左侧时，在抛物线的对称轴上是否存在一点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 题型四、二次函数中特殊角度的存在性问题 13．如图，抛物线（）与轴交于点和点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，过点作直线轴，过点作，交直线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，求证：； (3)如图，点为第三象限内抛物线上的点，连接和交于点，当时，求点的坐标． 14．如图，平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于点、点，与轴相交于点，连接、． (1)求：，的值； (2)当时，函数的最小值是2，求出的值； (3)在抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 15．已知抛物线，的顶点分别为、，且它们都经过轴上的点． (1)如果抛物线经过点，抛物线经过点，求这两个抛物线的表达式； (2)已知，求的值； (3)当时，能否确定系数、、的值？如果能，请求出相应的值；如果不能，请简要说明理由． 16．在平面直角坐标系中，抛物线（m是常数）与x轴交于、B，与y轴交于点C，点P是抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式及点P的坐标； (2)已知点Q是对称轴右侧抛物线上的一点． ①当时，求点Q的坐标； ②过点P作，交x轴于点H，当时，求点Q的坐标． 题型五、二次函数中平行四边形的存在性问题 17．如图，抛物线与轴相交于、两点（点在点的左侧），与轴相交于点，顶点为，连接，与抛物线的对称轴交于点． (1)求点、点的坐标和抛物线的对称轴； (2)求直线的函数关系式； (3)点为线段上的一个动点，过点P作交抛物线于点．设点的横坐标为；用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时，四边形为平行四边形？ 18．如图，抛物线与x轴交于 ， B 两点（点 A 在点 B 的左侧）， 与y轴交于点，直线 与x轴交于点 D，动点M在抛物线上运动，过点 M 作轴，垂足为P，交直线于点 N． (1)求抛物线的解析式； (2)E是抛物线对称轴与x轴交点，点F是x轴上一动点，在M 运动过程中，若C、E、F、M为顶点的四边形是平行四边形时，请求出满足条件的点F的坐标． 19．已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求，的值； (2)直线，且直线与抛物线只有一个交点． ①求直线的表达式； ②设直线与抛物线的交点为，在平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若不存在，说明理由；若存在，求出点的坐标． 20．如图，抛物线与x轴交于、两点点在点左侧，直线与抛物线交于、两点，其中点的横坐标为． (1)求、两点的坐标及直线的函数表达式； (2)是线段上的一个动点，过点作轴的平行线交抛物线于点，求三角形面积的最大值； (3)点是抛物线上的动点，在轴上是否存在点，使、、、这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，写出所有满足条件的点坐标；如果不存在，请说明理由． 题型六、二次函数中矩形的存在性问题 21．如图，抛物线的图象经过，两点，与轴交于点，是抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式和顶点的坐标； (2)将原抛物线进行平移，平移后的抛物线顶点为，在原抛物线的对称轴上，是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点的坐标，并说明平移的方向和距离；若不存在，请说明理由． 22．已知抛物线交轴于点，交轴于点，连接，将抛物线平移后得到抛物线，且点对应点． (1)求抛物线的表达式． (2)在轴上是否存在一点，使得以点为顶点的四边形为矩形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 23．已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)请直接写出：此抛物线的函数解析式为_____________； (2)如图1，已知点在第二象限的抛物线上，点在抛物线的对称轴上，是否存在这样的、两点使得四边形为矩形？若存在，求、两点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，平移抛物线，使新抛物线的顶点在的延长线上，过点作轴于点，过原抛物线的顶点作轴，交新抛物线于点，若，求点的坐标． 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点两点，点是直线上一动点，过点作轴的垂线交抛物线于点、交轴于点．设点的横坐标为t； (1)分别求直线和这条抛物线的解析式； (2)若点在第四象限，若，求此时点的坐标； (3)点是平面直角坐标系中的一点，当点在第四象限时，是否存在这样的点，使得以A、C、B、为顶点组成的以为边的矩形?若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型七、二次函数中菱形的存在性问题 25．如图，抛物线 与x轴交于两点，与y轴交于点C，对称轴为直线l． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线下方的抛物线上一个动点，求四边形面积的最大值及此时P点的坐标； (3)点F是直线l上一点，点G是平面内一点，是否存在以为边，以点B，C，F，G为顶点的菱形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 26．如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点，连接，点为线段上一个动点（不与点C，B重合），过点P作轴交抛物线于点Q． (1)求抛物线的表达式和对称轴； (2)设P的横坐标为t，请用含t的式子表示线段的长，并求出线段的最大值； (3)已知点M是抛物线对称轴上的一个点，点N是平面直角坐标系内一点，当线段取得最大值时，是否存在这样的点M，N，使得四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 27．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于和，与y轴交于点C，连接， (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，在x轴上有一动点D，平面内是否存在一点E，使以点A、D、C、E为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点E的坐标，若不存在，请说明理由． (3)如图2，若点M为直线上方的抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交于点N，过点M作x轴的平行线，交直线于点Q，求周长的最大值． 28．已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左边），与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)若将抛物线沿轴向右平移得到抛物线，平移后点的对应点为点，点是平面内任意一点，是否存在以、、、四个点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型八、二次函数中正方形的存在性问题 29．如图，在平面直角坐标系中，将一个正方形放在第一象限斜靠在两坐标轴上，且点，的坐标分别为，，抛物线经过点． (1)求点的坐标； (2)求抛物线的表达式，并求出其顶点坐标； (3)在抛物线上是否存在点与点（点，除外）使四边形为正方形？若存在，请求出，的坐标；若不存在，请说明理由． 30．如图，抛物线与x轴交于、两点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点N在坐标平面内，请问在抛物线上是否存在点M，过点M作x轴的垂线交x轴于点H，使得四边形是正方形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 31．如图，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点B的坐标为，点C的坐标为，点D是抛物线的顶点．    (1)求抛物线的解析式及点D的坐标； (2)点M是抛物线上一动点，过点M作轴交抛物线于点N，点P在x轴上，在坐标平面内是否存在点Q，使得四边形为正方形，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 32．如图，已知拋物线与轴交于点与轴交于点．    (1)求的值及该抛物线的对称轴； (2)若点在直线上，点是平面内一点．是否存在点，使得以点为顶点的四边形为正方形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型九、二次函数中相似三角形的存在性问题 33．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点和点，与轴交于点． (1)求二次函数的解析式； (2)点是二次函数图象上的一个动点，当点在第一象限时，过点作轴于点，与线段交于点，是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 34．如图，已知抛物线的图象与轴交于和两点，与轴交于，直线经过点，且与轴交于点，与抛物线交于点，与对称轴交于点． (1)求抛物线的解析式和的值； (2)在轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似，若存在，求出点的坐标；若不存在，试说明理由． 35．如图，抛物线（、为常数，）与轴交于，两点，与轴交于点，连接，为第三象限抛物线上的动点，轴，交线段于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)是否存在以，，为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 36．如图，抛物线交轴于，两点，与轴交于点．连接，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点为抛物线在第三象限的一个动点，轴于点．交于点，于点，求线段的最大值； (3)如图2，若为抛物线上一点，直线与线段交于点，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形与相似．若存在，请求出此时点的横坐标；若不存在，请说明理由． 题型十、二次函数中面积最值的存在性问题 37．如图，在矩形中，，，点沿边从点向点以的速度移动；同时，点从点沿边向点以的速度移动，设点、移动的时间为．问： (1)当为何值时，的面积等于？ (2)当为何值时，是直角三角形？ (3)是否存在的值，使的面积最小，若存在，求此时的值及此时的面积；若不存在，请说明理由． 38．已知抛物线与x轴交于，两点，交y轴于点C． (1)求抛物线L的表达式． (2)将抛物线先向右平移5个单位，再向上平移6个单位，得到抛物线，抛物线与x轴交于，（在左侧），在x轴上方的抛物线上是否存在一动点P，使得的面积等于的2倍，若存在，则求点P的坐标，若不存在，请说明理由． 39．如图，已知直线与抛物线相交于A、C两点，与y轴交于点E， 抛物线与y轴交于点N，其顶点为D．若连接， (1)直接写出点A、N的坐标，A（_______，_______）；N(________，_______）． (2)求直线的函数关系式； (3)若P是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值及此时点P的坐标； (4)在对称轴上是否存在一点M，使的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和周长的最小值；若不存在，请说明理由． 40．如图，抛物线交轴于两点，交轴于点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若点在线段上运动，过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点，连接，求四边形的面积的最大值，并写出此时点的坐标． 1．（2025·北京·一模）如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，顶点的横坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，将直线沿轴向上平移个单位长度，当它与抛物线有交点时，求的取值范围； (3)如图2，抛物线的对称轴交直线于点，交轴于点，连接．抛物线上是否存在点（不与点重合），使得．若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，说明理由． 2．（2025九年级下·北京海淀·阶段练习）已知，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点． (1)求点A、B、C三点的坐标； (2)过点A作交抛物线于点P，求四边形的面积； (3)在（2）的条件下，在线段上是否存在一点M，使的周长最小？若存在，请直接写出周长的最小值；若不存在，请说明理由． 3．（2025·北京·模拟预测）如图，抛物线与直线相交于两点，抛物线与x轴的另一个交点是点C． (1)求抛物线的解析式． (2)点P是抛物线上的一个动点（不与重合），过点P作轴于点D，交直线于点E，连接，是否存在点P，使为直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；否则，请说明理由． 4．（24-25九年级上·北京通州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点D，抛物线的顶点为E，直线与抛物线相交于A，C两点． (1)求抛物线的解析式． (2)在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，使，若存在，请直接写出所有满足要求的点M的坐标；若不能，请说明理由． 5．（24-25九年级上·北京门头沟·期中）已知二次函数的图象过点． (1)求该二次函数表达式； (2)如图，若该二次函数的图象与x轴有两个公共点A，B，并与动直线交第一象限于点P，连接，，，，其中交y轴于点D，交于点E．设的面积为，的面积为． ①当时，求点P的坐标； ②探究在直线l的运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由． 6．（2025·北京·三模）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点为抛物线的顶点，直线交轴于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)点是第三象限内抛物线上的一个动点，作轴交于点． ①求线段的最大值及此时点的坐标； ②是否存在点，使得以点为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$