专题06 反比例函数的图象、性质与应用（专项训练）数学北京版九年级上册

专题06 反比例函数的图象、性质与应用 目录 A题型建模・专项突破 题型一、反比例函数的基本概念 1 题型二、反比例函数的图象 2 题型三、求反比例函数解析式 3 题型四、由反比例函数图形的对称性求坐标 5 题型五、已知双曲线分布的象限求参数范围 6 题型六、反比例函数的增减性求参数 8 题型七、比较反比例函数值或自变量的大小 8 题型八、反比例函数的k值 8 题型九、一次函数与反比例函数结合 9 题型十、一次函数与反比例函数的实际应用 11 题型十、反比例函数的实际应用 11 题型十、反比例函数与几何综合 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、反比例函数的基本概念 1．反比例函数 的图象有下述特征：图象与x轴没有公共点且与x轴无限接近．下列说明这一特征的理由中，正确的是（   ） A．自变量且的值可以无限接近 B．自变量且函数值可以无限接近 C．函数值且的值可以无限接近 D．函数值且函数值可以无限接近 2．定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．例如，点是函数图象的“近轴点”．下列三个函数的图象上存在“近轴点”的是(   ) ①；②；③． A．① B．② C．③ D．①②③ 3．关于反比例函数，下列说法错误的是（    ） A．反比例函数图象经过点 B．当时， C．该反比例函数图象与函数的图象没有交点 D．若点在该反比例函数的图象上，则点也在其图象上 4．已知，与成正比例，与成反比例，当时，，时，．则当时， ． 题型二、反比例函数的图象 5．在平面直角坐标系中，二次函数（是常数，且）的图象如图所示，则直线与反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中的位置大致为（   ） A． B． C． D． 6．已知，是关于的函数，函数，的图象存在两个或两个以上的公共点，则称函数与具有性质，以下函数与具有性质的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 7．已知反比例函数图象上的三个点，，，其中，则，，的大小关系是 （用“＜”连接）． 8．阅读与思考：老师在讲完反比例函数的性质后留下了一道题目让大家思考交流将其解决，下面是小红和小明解题过程，请仔细阅读并完成相应任务． 题目：请求出的最小值． 小红的过程： 1．列表 ．．． 0 2 3 4 ．．． ．．． 1 ．．． 2．描点 3．用平滑的曲线连接． 通过观察图象可知：当时，随着的增大而减小，所以当时，有最小值． 小明的过程：小明将其问题进行了逆推． 求的最小值→求的最大值→求的最大值． 通过推理可得：当时，的最大值为6，所以当时，有最小值． 任务： (1)填空：小红的解题过程中体现的数学思想有：__________（写出一个即可）； (2)请用小红或者小明或者自己的方法求出的最大值； (3)直接写出的最小值． 题型三、求反比例函数解析式 9．如图，五个边长均为1的小正方形拼成“”型图形，其中小正方形顶点在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上，顶点在反比例函数的图象上，则的值为（   ） A． B． C． D． 10．已知反比例函数的图象过两点，则该反比例函数的表达式为 ． 11．如图，菱形的周长与面积都是20，反比例函数的图象经过菱形顶点，则反比例函数的解析式为 ． 12．已知，与成正比例，与成反比例，并且当时，，当时，，求关于的函数关系式． 题型四、由反比例函数图形的对称性求坐标 13．正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，若点B的坐标为，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 14．已知点是反比例函数与正比例函数的两个交点，则的值是 ． 15．已知正比例函数图像与反比例函数图像都经过点，那么这两个函数图象必都经过另一个点的坐标为 ． 16．如图，直线与反比例函数图像交于点，B点，． (1)求反比例函数的解析式； (2)直接写出不等式的解集为______；（直接写出结果，无需解答过程） (3)过点B作轴的垂线，垂足为D，求的面积． 题型五、已知双曲线分布的象限求参数范围 17．已知，两点在反比例函数的图象上，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 18．在反比例函数的图象上有两点，，当时，有，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 19．如图所示，在平面直角坐标系中，直线经过点C与x轴平行，且直线分别与反比例函数和的图象交于点P，Q，若的面积为8，则 ． 20．已知反比例函数（a为常数）． (1)若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求a的取值范围； (2)当时，y随x的增大而减小，求a的取值范围． 题型六、反比例函数的增减性求参数 21．已知函数，当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C．或 D．或 22．已知反比例函数的图象，当时，随的增大而增大，则的取值可能为（   ） A． B． C． D． 23．若点均在反比例函数的图象上，且，则a的取值范围是 ． 24．如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，且矩形的面积为8． (1)求的值； (2)若点，是该反比例函数图象上的两点，若，求的取值范围． 题型七、比较反比例函数值或自变量的大小 25．已知点和点均在反比例函数（k是常数，）的图象上，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．无法确定与之间的关系 26．已知和均在反比例函数的图象上，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 27．在函数（a为常数）的图像上三点，，，则函数值、、的大小关系是 ． 28．已知，是反比例函数图象上的两点． (1)若，，求的值． (2)若，关于原点中心对称，求的值． (3)当，，时，求的取值范围． 题型八、反比例函数的k值 29．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点分别在轴、轴的正半轴上，点在上，，函数的图象经过点及矩形的对称中心，顺次连结点，若的面积为4.5，则的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 30．如图，在中，，过原点O，轴，双曲线过A、B两点．过点C作轴交双曲线于点D，连结．若的面积为8，则k的值为（   ） A．4 B．1.5 C．3 D．6 31．如图，在平面直角坐标系中，点是轴负半轴上一点，点是轴正半轴上一点，直线交反比例函数的图象于点，且，若的面积为，则的值为 ． 32．如图，已知点、点都在反比例函数图象上．过点作轴的垂线，垂足为，的面积为，一次函数的图象过点、． (1)求反比例函数的表达式； (2)求一次函数的表达式，并求的面积； (3)根据图象直接写出不等式的解集． 题型九、一次函数与反比例函数结合 33．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点，点的坐标为，与轴交于点，是反比例函数在第一象限内图象上的一个动点．当时，点的坐标为（　　） A． B． C． D． 34．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象在第一象限交于点，点和都在轴上，是等腰直角三角形，，则 ． 35．如图，正比例函数图象与反比例函数图象交于A，B两点，轴于点H，连接交y轴于点G，若，则k的值为 ． 36．如图，在平面直角坐标系中，一次函数（）图像与反比例函数（）图像交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点，点B的横坐标为． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)当时，直接写出自变量x的取值范围； (3)若点D是y轴上的一点，且，求点D坐标． 题型十、一次函数与反比例函数的实际应用 37．某品牌自动饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热．水温开始下降，此时水温（）与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热．若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（    ） A．上午8点接通电源，可以保证当天能喝到不超过的水 B．水温下降过程中，与之间的函数关系式是 C．水温从加热到需要 D．水温不低于的时间为 38．如图1是某种呼气式酒精测试仪的电路原理图，电源电压保持不变，为气敏可变电阻，定值电阻．检测时，可通过电压表显示的读数换算为酒精气体浓度，设，电压表显示的读数与之间的反比例函数图象如图2所示，与酒精气体浓度的关系式为，当电压表示数为时，酒精气体浓度为 ． 39．某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“薫药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量与燃烧时间之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题： (1)求正比例函数和反比例函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？ (3)当空气中每立方米含药量不低于且持续时间不低于分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌．你认为此次消毒是否有效？并说明理由． 40．复习完“数与代数”的内容后，数学学习小组的同学想用“函数图象”的角度解决下面实际问题． 如图，计划围成一个面积为的矩形花园，花园一边靠墙，另外三边用栅栏围住． 问题1：若栅栏总长为，能否围出矩形花园？若能围成，请你写出两边的长； 问题2：若栅栏总长为，能否围出矩形花园？ 【问题探究】 学习小组思路：设为，为．由矩形花园面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；栅栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，两个函数图象交点的坐标可以同时满足题目中的两个条件． （1）学习小组的同学已经画出了图象，请你根据上面的分析思路，利用画好的图象解决问题1． （2）请类比问题1的解决方法，解决问题2并说明理由． 【拓展应用】 （3）从探究中发现当栅栏总长为时，“能否围成矩形花园的问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在性问题”．其中一次函数的图象可以看成是直线平移得到的．若要围成矩形花园，且和的长均不小于，求a的取值范围． 题型十一、反比例函数的实际应用 41．如图为某新款茶吧机，接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升 加热到 时，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，茶吧机再自动加热，重复上述自动程序，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示． (1)请求出一次函数与反比例函数表达式； (2)某同学想喝高于的水，请问他最多需要等待多长时间? 42．如图是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数若在水温为时开始加热，水温与通电时间之间的函数关系如图所示． (1)将水从加热到需要______． (2)在水温下降的过程中，求水温关于通电时间的函数表达式． (3)加热一次，水温不低于的时间有多长？ 43．如图①，这是一个可改变体积的密闭容器的简易图，在该容器内装有一定质量的氧气，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，随着容器体积的改变，该密闭容器内氧气的密度（单位：）随容器体积V（单位：）变化的关系图象如图②所示．结合图③信息窗中的内容，解答下列问题． (1)该容器内氧气的质量为______． (2)求容器内氧气的密度关于体积的函数解析式． (3)若该容器的体积为，求氧气的密度． 44．小明家饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热[此过程中水温与开机时间x（分）满足一次函数关系]，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降[此过程中水温与开机时间x（分）成反比例关系]，当水温降至时，饮水机又自动开始加热，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)求图中t的值； (2)若小明在通电开机后即外出散步，请你预测小明散步45分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少摄氏度？ 题型十二、反比例函数与几何综合 45．定义：如图，在平面直角坐标系中，点是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点分别作轴、轴的垂线，若由点、原点、两个垂足、为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点是平面直角坐标系中的“美好点”． 【尝试初探】： （1）点______“美好点”（填“是”或“不是”）；若点是第一象限内的一个“美好点”，则 ______； 【深入探究】： （2）若“美好点”在双曲线（，且为常数）上，求的值； （3）在（2）的条件下，在双曲线上，求的值． 46．如图，为反比例函数(其中)图象上的一点，在轴正半轴上有一点，， 连接 且． (1)求的值； (2)过点作， 交反比例函数 (其中)的图象于点，连接交于点，求的值． 47．如图，矩形的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，且与交于点E． (1)求反比例函数的解析式及点E的坐标； (2)若点F是边上的一点，且为等腰三角形，求直线的解析式． 48．在矩形中，，．分别以，所在直线为x轴，y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系．F是边上一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E． (1)若，当点F运动到边的中点时， ①则点E的坐标为______； ②连接、，则和的关系是______； (2)如图2，将沿折叠，点C恰好落在边上的点G处，若F是的三等分点，求此时反比例函数的解析式． 1．（24-25九年级上·北京·阶段练习）平面直角坐标系中，过点作平行于轴的直线，分别交抛物线和双曲线于点M，N，则满足的n的值有（   ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25九年级上·北京·开学考试）如图，点A、B是函数与的图象的两个交点，作轴于C，作轴于D，则四边形的面积为（　　） A． B． C． D． 3．（2025·北京·一模）如图，点是反比例函数（k为常数，，）的图象上一点，过点作轴的平行线，交轴于点．点为轴正半轴上的一点，连接，．若的面积为2，则的值是 ． 4．（24-25八年级下·北京·阶段练习）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象交直角梯形的边于点D，交边于点C，且D是边的中点，若四边形的面积为10， ． 5．（2025·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象的一个交点的横坐标为2． (1)求这个反比例函数的解析式； (2)当时，对于的每一个值，反比例函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围______． 6．（24-25九年级上·北京·阶段练习）小平在学习过程中遇到一个函数． 下面是小平对其研究的过程，请补充完整：    (1)函数的自变量的取值范围是________； (2)上表是与的几组对应值．其中的值为________； (3)①根据表格中的数据，在平面直角坐标系中，画出函数图象； ②写出此函数图象的增减性：________． ③过点作平行于轴的直线，结合图象解决问题：若直线与函数的图象有三个交点，则的取值范围是________． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 反比例函数的图象、性质与应用 目录 A题型建模・专项突破 题型一、反比例函数的基本概念 1 题型二、反比例函数的图象 2 题型三、求反比例函数解析式 3 题型四、由反比例函数图形的对称性求坐标 5 题型五、已知双曲线分布的象限求参数范围 6 题型六、反比例函数的增减性求参数 8 题型七、比较反比例函数值或自变量的大小 8 题型八、反比例函数的k值 8 题型九、一次函数与反比例函数结合 9 题型十、一次函数与反比例函数的实际应用 11 题型十、反比例函数的实际应用 11 题型十、反比例函数与几何综合 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、反比例函数的基本概念 1．反比例函数 的图象有下述特征：图象与x轴没有公共点且与x轴无限接近．下列说明这一特征的理由中，正确的是（   ） A．自变量且的值可以无限接近 B．自变量且函数值可以无限接近 C．函数值且的值可以无限接近 D．函数值且函数值可以无限接近 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象，根据反比例函数的性质和题目条件，逐项分析判断即可 【详解】解：图象与轴没有公共点且与轴无限接近即函数值且函数值可以无限接近0， 故选：D． 2．定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．例如，点是函数图象的“近轴点”．下列三个函数的图象上存在“近轴点”的是(   ) ①；②；③． A．① B．② C．③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查了新定义，反比例函数图象上点的坐标特点，一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，分别计算各函数与两坐标轴的交点，与增减性结合即可求解． 【详解】解：①当时，， 当时，， ， 与两坐标的交点分别为和， 当时，； 当时，； 函数的图象上不存在“近轴点”； ②中，在每一象限内随的增大而减小， 当时，， 当时，， 函数的图象上不存在“近轴点”； ③， 当时，；当时，； 函数的图象上存在“近轴点”； 故选：C． 3．关于反比例函数，下列说法错误的是（    ） A．反比例函数图象经过点 B．当时， C．该反比例函数图象与函数的图象没有交点 D．若点在该反比例函数的图象上，则点也在其图象上 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象特征，熟悉掌握反比例函数的图象性质是解题的关键． 根据反比例函数的图象特征逐一判断即可． 【详解】解：将代入反比例函数表达式中，得，A选项正确，不符合题意； 当时，， 函数在第一象限， ∴ ∴，B选项正确，不符合题意； ∵无解， ∴反比例函数与函数的图象没有交点，C选项正确，不符合题意； ∵反比例函数图象关于原点中心对称， ∴当点在该反比例函数的图象上时，点，在其图象上， ∴点不在其图象上，D选项错误，符合题意． 故选：D． 4．已知，与成正比例，与成反比例，当时，，时，．则当时， ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数，反比例函数解析式，掌握待定系数法是关键． 根据题意，设，分别代入计算得到解得，则，即可求解． 【详解】解：∵与成正比例，与成反比例， ∴设， ∴， 当时，，时，， ∴， 解得，， ∴， 当时，， 故答案为： ． 题型二、反比例函数的图象 5．在平面直角坐标系中，二次函数（是常数，且）的图象如图所示，则直线与反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中的位置大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图形，一次函数的图象，反比例函数的图象，熟练掌握二次函数的图象与系数的关系、一次函数的图象与系数的关系、反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键． 根据二次函数图象开口向下得到，再根据对称轴为直线，求得，从而得出，则可确定直线经过第一、二、四象限，再根据当时，，从而确定反比例函数的图象在第二、第四象限，即可求解． 【详解】解：∵二次函数图象开口方向向下， ∴ ∵二次函数图象的对称轴为直线 ∴， ∴， ∴直线经过第一、二、四象限， ∵当时，， ∴反比例函数的图象在第二、第四象限， ∴只有D选项题意． 故选：D． 6．已知，是关于的函数，函数，的图象存在两个或两个以上的公共点，则称函数与具有性质，以下函数与具有性质的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与反比例函数的交点问题，依次画出图象，即可解答，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、如图： 与只有一个公共点，故选项不符合题意； B、如图： 与只有一个公共点，故选项不符合题意； C、如图： 与有三个公共点，故选项符合题意； D、如图： 与只有一个公共点，故选项不符合题意； 故选：C． 7．已知反比例函数图象上的三个点，，，其中，则，，的大小关系是 （用“＜”连接）． 【答案】 【分析】根据平方的非负性得出，再分析反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴反比例函数图象位于第二，第四象限内，且每一象限内y随x的增大而增大． ∵点，，在反比例函数图象上， 且， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了根据反比例函数图象的性质比较反比例函数值的大小，根据平方的非负性判断反比例函数图象所处的象限，并熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 8．阅读与思考：老师在讲完反比例函数的性质后留下了一道题目让大家思考交流将其解决，下面是小红和小明解题过程，请仔细阅读并完成相应任务． 题目：请求出的最小值． 小红的过程： 1．列表 ．．． 0 2 3 4 ．．． ．．． 1 ．．． 2．描点 3．用平滑的曲线连接． 通过观察图象可知：当时，随着的增大而减小，所以当时，有最小值． 小明的过程：小明将其问题进行了逆推． 求的最小值→求的最大值→求的最大值． 通过推理可得：当时，的最大值为6，所以当时，有最小值． 任务： (1)填空：小红的解题过程中体现的数学思想有：__________（写出一个即可）； (2)请用小红或者小明或者自己的方法求出的最大值； (3)直接写出的最小值． 【答案】(1)数形结合思想；函数思想；类比思想．（写一个即可） (2)当时，的最大值为0，所以当时，有最大值为3 (3) 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，描点法画函数图象等知识点，正确用已学知识解决新的问题的是解题的关键． （1）结合解题过程即可得到涉及的解题思想； （2）仿照题干的分析方法求解即可； （3）先将原函数化为，再由小明的推理方式求解． 【详解】（1）解：小红的解题过程中体现的数学思想有：数形结合思想；函数思想；类比思想．（写一个即可）； 故答案为：数形结合思想；函数思想；类比思想．（写一个即可） （2）解：小红的方法， 列表： …… 0 2 3 4 …… …… 3 1 …… 描点、连线得： 观察图象可得：时，随着的增大而增大， ∴当时，取得最大值为3； 小明的方法： 通过推理可得：当，的最大值为， ∴当时，取得最大值为3； （3）解：， 令， ∵， ∴随着的增大而增大， ∴当时，取得最大值， ∴由反比例函数的性质可得取得最小值为， ∴取得最小值为． 题型三、求反比例函数解析式 9．如图，五个边长均为1的小正方形拼成“”型图形，其中小正方形顶点在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上，顶点在反比例函数的图象上，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上的点、正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 过点P作轴于点E，依题意得：，进而根据勾股定理求得，证明得到求出，， 同理可得得到求得，，进而，因此点P的坐标为，将点P坐标代入函数中即可求出k的值． 【详解】解：如图：过点P作轴于点E， 依题意得：， 在中 ，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴，， 同理可证：， ∴，即, ∴，, ∴， ∴点P的坐标为， ∵点P在反比例函数的图象上， ∴． 故选：B． 10．已知反比例函数的图象过两点，则该反比例函数的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查求反比例函数的解析式，根据反比例函数图象上的点的横纵坐标之积为，列出方程求出的值，进一步求出值，即可得出结果． 【详解】解：将代入中， 可得，解得 ， 即． 故答案为：． 11．如图，菱形的周长与面积都是20，反比例函数的图象经过菱形顶点，则反比例函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】先根据菱形的周长求出边长，再结合面积求出顶点的坐标，最后代入反比例函数求出解析式．本题主要考查菱形的性质（周长求边长、面积公式 ）、勾股定理以及反比例函数解析式的求解，熟练掌握菱形的性质和反比例函数图象上点的坐标特征（点在函数图象上则坐标满足解析式 ）是解题的关键． 【详解】解：∵ 菱形的周长是， ∴ 菱形的边长， 又∵ 菱形面积是，设点到轴的距离为（即高），以为底， ∴，，， 在中，，，根据勾股定理， ∵， ∴点的横坐标为，纵坐标为，即， 设反比例函数解析式为，把代入得，， ∴ 反比例函数的解析式为， 故答案为： ． 12．已知，与成正比例，与成反比例，并且当时，，当时，，求关于的函数关系式． 【答案】 【分析】本题主要考查了正比例函数、反比例函数的表达式及待定系数法求函数关系式，熟练掌握待定系数法，准确设出函数表达式并代入已知条件列方程组求解是解题的关键．先设出、的表达式，进而得到的表达式，再将已知的、值代入，通过解方程组求出未知系数，确定函数关系式． 【详解】解：设（），（）．则． 当时，，代入可得：①； 当时，，代入可得：②． 由①得，即，将其代入②得 解得． 把代入，得． 所以关于的函数关系式为． 题型四、由反比例函数图形的对称性求坐标 13．正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，若点B的坐标为，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题侧重考查反比例函数的图象与性质、正比例函数的图象和性质，掌握其性质是解决此题的关键． 已知两函数的图象分别关于坐标原点对称，则点A与点B的坐标关于原点对称． 【详解】解：∵正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点， ∴点A与点B的坐标关于原点对称， ∵点B的坐标为， ∴点A的坐标为． 故选：A． 14．已知点是反比例函数与正比例函数的两个交点，则的值是 ． 【答案】0 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的性质，利用中心对称性质是解题的关键． 根据正比例函数与反比例函数均是中心对称图形即可得到． 【详解】解：∵点是反比例函数与正比例函数的两个交点，且正比例函数与反比例函数均是中心对称图形， ∴， 故答案为：0． 15．已知正比例函数图像与反比例函数图像都经过点，那么这两个函数图象必都经过另一个点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数图像，反比例函数图像的性质等知识．熟练掌握正比例函数图像与反比例函数图像的两个交点关于原点对称是解题的关键． 根据正比例函数图像与反比例函数图像的两个交点关于原点对称作答即可． 【详解】解：∵正比例函数图像与反比例函数图像的两个交点关于原点对称， ∴这两个函数图象必都经过另一个点的坐标为， 故答案为：． 16．如图，直线与反比例函数图像交于点，B点，． (1)求反比例函数的解析式； (2)直接写出不等式的解集为______；（直接写出结果，无需解答过程） (3)过点B作轴的垂线，垂足为D，求的面积． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）先把代入，得，从而得，再把代入，求出k值即可； （2）由反比例函数的对称性可知，根据图像即可求得不等式的解集； （3）利用待定系数法求得直线的解析式，进而求得与轴的交点的坐标和，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴， 把代入，得， ∴， ∴反比例函数的解析式为． （2）解：由反比例函数的对称性可知， 不等式的解集为或， 故答案为：或； （3）解：∵，轴于D， ∴点坐标为， 设直线的解析式为， 将点坐标代入得，解得， 直线的解析式为， 令得， 设交x轴于F，过点A作轴于E，如图， ， ∴， ∵ ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，坐标与图形，勾股定理，一次函数图像上点的坐标特征，三角形的面积，难度适中．数形结合是解题的关键． 题型五、已知双曲线分布的象限求参数范围 17．已知，两点在反比例函数的图象上，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．先根据反比例函数的增减性，判断其图象在二、四象限，得到不等式，再解不等式即可． 【详解】，， 反比例函数的图象在二、四象限， ， 解得． 故选：D． 18．在反比例函数的图象上有两点，，当时，有，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数的性质．首先根据题意，判断函数图象所在象限，再根据所在象限得到的取值范围，进而求解，即可解题． 【详解】解：当时，有， 反比例函数图象在二、四象限， ， 解得， 故选：D． 19．如图所示，在平面直角坐标系中，直线经过点C与x轴平行，且直线分别与反比例函数和的图象交于点P，Q，若的面积为8，则 ． 【答案】 【分析】由轴及函数图象可知，即，于是可得，由图象可知，于是得解． 【详解】解：轴， ， 即：， ， 而， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，反比例函数的性质，三角形的面积公式，绝对值方程，化简绝对值，等式的性质，等式的性质等知识点，熟练掌握反比例函数的图象与性质以及反比例函数与几何综合是解题的关键． 20．已知反比例函数（a为常数）． (1)若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求a的取值范围； (2)当时，y随x的增大而减小，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键． （1）由反比例函数的图象位于第二、四象限，得到，然后求解即可； （2）当时，y随x的增大而减小，得到，，然后求解即可． 【详解】（1）解：反比例函数的图象位于第二、四象限， ， 解得， a的取值范围是； （2）解：反比例函数（a为常数），当时，y随x的增大而减小， ， 解得， a的取值范围是． 题型六、反比例函数的增减性求参数 21．已知函数，当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．先将原函数看成由平移得到，然后运用反比例函数增减性的性质可得，且，解之即可． 【详解】解：可以看成是由平移得到， 当时，随的增大而减小， 根据反比例函数的性质得，，且， 或． 故选：C． 22．已知反比例函数的图象，当时，随的增大而增大，则的取值可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的性质，根据反比例函数的性质可得，再解不等式即可．解题的关键是掌握反比例函数的性质：（1），反比例函数图象在一、三象限，在每一象限内随的增大而减小；（2），反比例函数图象在第二、四象限内，在每一象限内随的增大而增大． 【详解】解：∵当时，随的增大而增大， ∴， 解得：， ∴的取值可能为． 故选：A． 23．若点均在反比例函数的图象上，且，则a的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：∵反比例函数的， ∴反比例函数图象分布在第一三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小， 若点在同一支图象上，且， ∴， 解得， 若点均在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 综上分析，a的取值范围是：． 故答案为：． 24．如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，且矩形的面积为8． (1)求的值； (2)若点，是该反比例函数图象上的两点，若，求的取值范围． 【答案】(1)8 (2)或 【分析】（1）先根据反比例函数k的几何意义，求出k，再反比例函数的图象位置确定k的值； （2）先写出反比例函数的表达式，再求出点的坐标，然后分“点在第一象限”、“点在第三象限”两种情况，分别求出当时的取值范围． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，且矩形的面积为8， ∴， ， 反比例函数的图象位于第一、三象限， ， ； （2）， ∴反比例函数的表达式是， ∵点在该反比例函数的图象上， ， ， 点在第一象限． 分情况讨论： ①当点在第一象限时， 随的增大而减小， 当时，； ②当点在第三象限时，， ，符合题意，此时． 综上所述，的取值范围是或． 【点睛】本题考查了根据图形面积求比例系数（解析式），已知反比例函数的增减性求参数，解题关键是理解反比例函数k的几何意义． 题型七、比较反比例函数值或自变量的大小 25．已知点和点均在反比例函数（k是常数，）的图象上，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．无法确定与之间的关系 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象的中心对称性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据反比例函数图象的中心对称性质及反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数图象分布在第二、四象限，在每个象限内随的增大而增大， ∵， ∴在第二象限，点在第四象限， ∴，， ∵点关于原点的对称点， ∵, ∴， ∵函数在第四象限是增函数， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A ． 26．已知和均在反比例函数的图象上，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是根据反比例函数的解析式和自变量的取值范围，确定函数值的符号，进而分析选项． 先明确反比例函数的比例系数为负，可知其图象在第二、四象限；再根据，确定点A在第二象限，点B在第四象限，进而得出,；最后根据和的符号分析各选项． 【详解】解：对于反比例函数，比例系数，所以其图象位于第二、四象限． ∵和均在该函数图象上，且， ∴点A在第二象限，点B在第四象限． ∴． A选项：的正负无法确定，因为不知道和的具体数值，此选项不符合题意； B选项：，并非，此选项不符合题意； C选项：，此选项符合题意； D选项：的正负无法确定，此选项不符合题意． 故选：C． 27．在函数（a为常数）的图像上三点，，，则函数值、、的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数增减性，反比例函数图象所在象限，掌握相关性质是解题关键．根据反比例函数的比例系数的符号可得反比例函数所在象限为二、四，其中在第四象限的点的纵坐标总小于在第二象限的纵坐标，进而判断在同一象限内的点和的纵坐标的大小即可． 【详解】 解：∵反比例函数的比例系数为， ∴图象的两个分支在第二、四象限； ∵第四象限的点的纵坐标总小于在第二象限的纵坐标，点和在第二象限，点在第四象限， ∴最小， ，y随x的增大而增大， ，． 故答案为：． 28．已知，是反比例函数图象上的两点． (1)若，，求的值． (2)若，关于原点中心对称，求的值． (3)当，，时，求的取值范围． 【答案】(1)4 (2) (3) 【分析】本题主要考查了反比例函数图像上点的坐标特征、反比例函数的性质，中心对称的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键． （1）把，代入，求出，再计算即可； （2）根据中心对称的点的坐标特征求解即可； （3）先确定，，进而确定点在第三象限，点在第一象限，最后根据象限内的点的坐标特征列不等式求解即可． 【详解】（1）解：当，时， ，， ； （2）∵，关于原点中心对称，且都在函数图象上 ∴，，， ∴ （3）∵，， ∴， ∵时，图象在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ∵，， ∴点和点不在同一象限内， ∴点在第三象限，点在第一象限， ∴，且， 解得：． 题型八、反比例函数的k值 29．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点分别在轴、轴的正半轴上，点在上，，函数的图象经过点及矩形的对称中心，顺次连结点，若的面积为4.5，则的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查反比例函数和矩形的性质，连接，根据题意得点在一条直线上，则，那么，，根据线段的比例可得，设点，则，结合三角形面积即可求得答案． 【详解】解：矩形的对称中心是， 连接，则点在一条直线上， 则， ∵的面积为4.5， ∴， ∴ ∵， ， ， 设点，则， ∴， ． 故选：B． 30．如图，在中，，过原点O，轴，双曲线过A、B两点．过点C作轴交双曲线于点D，连结．若的面积为8，则k的值为（   ） A．4 B．1.5 C．3 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特点，能够利用k表示出和的长度是解决本题的关键． 过点A作于点E，设点，则点，根据是等腰三角形，可得，从而得到点C的坐标为，点D的纵坐标为，进而得到，再由，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作于点E， 设点，则点， ∵底边轴， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∴点C的坐标为， ∵轴， ∴点D的横坐标为， ∴点D的纵坐标为， ∴， ∵， ∴， 解得：． 故选：C． 31．如图，在平面直角坐标系中，点是轴负半轴上一点，点是轴正半轴上一点，直线交反比例函数的图象于点，且，若的面积为，则的值为 ． 【答案】 【分析】过点作轴，垂足为，证明出，得到，然后根据反比例函数值的几何意义解答即可． 本题考查了反比例函数值的几何意义，全等三角形的性质和判定，熟练掌握该知识点是关键． 【详解】解：过点作轴，垂足为， 在和中， ， ， ， 的面积为， ， ， 故答案为：． 32．如图，已知点、点都在反比例函数图象上．过点作轴的垂线，垂足为，的面积为，一次函数的图象过点、． (1)求反比例函数的表达式； (2)求一次函数的表达式，并求的面积； (3)根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2)一次函数表达式为，的面积为 (3)或 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，利用数形结合的方法确定不等式的解集是解本题的关键． （1）利用反比例函数中的几何意义求出进而得到反比例函数表达式； （2）先将点代入反比例函数求出、坐标，再代入一次函数表达式，用待定系数法求出一次函数表达式；求面积，可通过将其转化为几个容易计算面积的三角形组合来求解； （3）根据反比例函数与一次函数图象位置关系，找出一次函数图象在反比例函数图象下方时的取值范围． 【详解】（1）解：已知，过点作轴垂线，垂足为，如图所示： ， ， 反比例函数图象在一、三象限， ， ， 反比例函数表达式； （2）把点、点代入上， ，， 、的坐标为，， 一次函数过点、， 将两点代入可得， 解得， 一次函数表达式为， 设直线与轴交点，令，则， ， ， ， ； （3）不等式即一次函数值小于反比例函数值， 从图象看，一次函数图象在反比例函数图象下方时： 当或满足条件， 的解集是或． 题型九、一次函数与反比例函数结合 33．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点，点的坐标为，与轴交于点，是反比例函数在第一象限内图象上的一个动点．当时，点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求出反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为，从而可得点．即，设点，则，计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：把点代入，得． 反比例函数的解析式为． 把点代入，得， 解得， ∴一次函数的解析式为． 当时，， ∴点．即， 设点， 则． 解得， ∵点在第一象限， ， ∴点的坐标为． 故选： C． 34．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象在第一象限交于点，点和都在轴上，是等腰直角三角形，，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了反比例函数与正比例函数的综合、等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握反比例函数与正比例函数的综合是解题关键．过点作轴于点，先根据等腰直角三角形的性质可得，再将代入正比例函数可得点的坐标，然后将点的坐标代入反比例函数的解析式求解即可得． 【详解】解：如图，过点作轴于点， ∵是等腰直角三角形，，， ∴， 将代入正比例函数得：，解得， ∴， 将点代入反比例函数得：， 故答案为：4． 35．如图，正比例函数图象与反比例函数图象交于A，B两点，轴于点H，连接交y轴于点G，若，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数系数k值的几何意义，熟练掌握反比例函数系数k值的几何意义是关键．先根据正比例函数与反比例函数的性质得出A，B两点关于原点对称，得到，继而，可得k值． 【详解】解：正比例函数图象与反比例函数图象交于A，B两点， ，， ， ， ， ， 反比例函数图象在第二象限， ， 故答案为： 36．如图，在平面直角坐标系中，一次函数（）图像与反比例函数（）图像交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点，点B的横坐标为． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)当时，直接写出自变量x的取值范围； (3)若点D是y轴上的一点，且，求点D坐标． 【答案】(1)反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为 (2)或 (3)D或D 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，解题的关键是利用坐标解出函数的解析式． （1）运用待定系数法求解即可； （2）根据函数图像可得的自变量x的取值范围即为一次函数图像在双曲线上方所对应的自变量x的取值范围； （3）对于一次函数，令，可得，则，再由求解即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数（）过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵点B的横坐标为， ∴， ∴，把，代入（）， 得， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：由图像可知，当时，自变量x的取值范围是或． （3）解：对于一次函数，令，可得， ∴， ∵点D是y轴上一点，且， ∴， ∴， ∴或． 题型十、一次函数与反比例函数的实际应用 37．某品牌自动饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热．水温开始下降，此时水温（）与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热．若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（    ） A．上午8点接通电源，可以保证当天能喝到不超过的水 B．水温下降过程中，与之间的函数关系式是 C．水温从加热到需要 D．水温不低于的时间为 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的应用，数形结合是解决本题的关键．该题为反比例函数与一次函数的实际应用的典型题目——浓度、温度问题，先利用待定系数法求函数的解析式，再利用解析式求得对应信息． 【详解】A、根据题意可得与的函数关系式是，令，则， ，即饮水机每经过，要重新从开始加热一次从点至，经过的时间为，，而水温加热到，需要的时间为，故时，饮水机第三次从开始加热了，令，则，即时，饮水机的水温为，故A选项不符合题意； B、由题意可得点在反比例函数的图像上，设反比例函数的解析式为，将点代入，可得， 水温下降过程中，与的函数关系式是，故B选项不符合题意； C、开机加热时水温每分钟上升， 水温从升高到，需要的时间为，故C选项不符合题意； D、水温从加热到所需要的时间为， 令，则，解得， 水温不低于的时间为，故D选项符合题意． 故选：D． 38．如图1是某种呼气式酒精测试仪的电路原理图，电源电压保持不变，为气敏可变电阻，定值电阻．检测时，可通过电压表显示的读数换算为酒精气体浓度，设，电压表显示的读数与之间的反比例函数图象如图2所示，与酒精气体浓度的关系式为，当电压表示数为时，酒精气体浓度为 ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的实际应用等知识．先求出与之间的反比例函数为，再根据求出，代入即可求出． 【详解】解：设电压表显示的读数与之间的反比例函数为， ∵反比例函数图象经过点， ∴， ∴与之间的反比例函数为， 当时，, ∵，， ∴， 把代入得， 解得． 故答案为： 39．某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“薫药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量与燃烧时间之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题： (1)求正比例函数和反比例函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？ (3)当空气中每立方米含药量不低于且持续时间不低于分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌．你认为此次消毒是否有效？并说明理由． 【答案】(1)正比例函数的表达式为  反比例函数的表达式为， (2)至少需要经过分钟后，学生才能回到教室 (3)此次消毒有效，理由见解析 【分析】本题考查了正比例函数和反比例函数的实际应用，熟练掌握用待定系数法求解函数表达式是解答本题的关键． （1）设正比例函数表达式为，反比例函数表达式为，将代入，即可求出反比例函数的表达式，再求出点的坐标，最后将点的坐标代入，即可求出正比例函数的表达式； （2）把代入，求出的值，根据图象，分析其增减性，即可进行解答； （3）将分别代入正比例函数和反比例函数表达式，求出其自变量的值，再计算两个自变量的差与进行比较，即可解答． 【详解】（1）解：设正比例函数表达式为，反比例函数表达式为， 由图可知：反比例函数图象经过点， 将代入，得， 解得：， 反比例函数的表达式为， 把代入，得， 解得：， ， 将点代入，得， 解得：， 正比例函数的表达式为； （2）解：将代入，得， 解得：， 由图可知，当时，室内空气中每立方米的含药量随时间的增加而增加， 当时，室内空气中每立方米的含药量随时间的增加而减少， 至少需要经过分钟后，学生才能回到教室； （3）解：此次消毒有效，理由如下： 将代入，得， 解得：， 将代入，得， 解得：， ， 此次消毒有效． 40．复习完“数与代数”的内容后，数学学习小组的同学想用“函数图象”的角度解决下面实际问题． 如图，计划围成一个面积为的矩形花园，花园一边靠墙，另外三边用栅栏围住． 问题1：若栅栏总长为，能否围出矩形花园？若能围成，请你写出两边的长； 问题2：若栅栏总长为，能否围出矩形花园？ 【问题探究】 学习小组思路：设为，为．由矩形花园面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；栅栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，两个函数图象交点的坐标可以同时满足题目中的两个条件． （1）学习小组的同学已经画出了图象，请你根据上面的分析思路，利用画好的图象解决问题1． （2）请类比问题1的解决方法，解决问题2并说明理由． 【拓展应用】 （3）从探究中发现当栅栏总长为时，“能否围成矩形花园的问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在性问题”．其中一次函数的图象可以看成是直线平移得到的．若要围成矩形花园，且和的长均不小于，求a的取值范围． 【答案】（1）能围成矩形花园，，或，；（2）不能围出矩形花园，理由见解析；（3） 【分析】（1）观察图象，联立解方程组得，求解即可得到另一个交点坐标为，进而可求解； （2）联立，得，根据判别式得到与函数图象没有交点即可求解； （3）联立，得及．因为AB和BC的长均不小于1m，求得当时；当时．要使方程有解，则，且，所以a的取值范围是． 【详解】（1）由，得， ∴， ∴， ∴， 解得，． 当时，；当时，． 所以能围成矩形花园，，或，． （2）由，得， ∴， ∴， ∵， 所以方程无解，不能围出矩形花园． （3）由，得，，． 因为和的长均不小于， 当时，，代入得，； 当时，，，代入得，． 要使方程有解，则，且． 解得．所以a的取值范围是． 【点睛】本题考查了实际应用题的函数直观解释，比较新颖，实质是函数图象的平移，一次函数和反比例图象的交点问题以及解一元二次方程． 题型十一、反比例函数的实际应用 41．如图为某新款茶吧机，接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升 加热到 时，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，茶吧机再自动加热，重复上述自动程序，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示． (1)请求出一次函数与反比例函数表达式； (2)某同学想喝高于的水，请问他最多需要等待多长时间? 【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数表达式为 (2) 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）把分别代入一次函数与反比例函数表达式求出的值，再把代入反比例函数表达式求出的值，用一个周期总的时间减去水温高于的时间即可求解； 本题考查了一次函数与反比例函数的应用，利用待定系数法求出函数表达式是解题的关键． 【详解】（1）解：设一次函数表达式为，把和代入得， ， 解得， ∴一次函数的表达式为， 设反比例函数表达式为，把代入得， ， 解得， ∴反比例函数表达式为； （2）解：把代入，得， 解得， 把代入，得， 解得， 把代入，得， 解得， ∵， ∴他最多需要等待． 42．如图是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数若在水温为时开始加热，水温与通电时间之间的函数关系如图所示． (1)将水从加热到需要______． (2)在水温下降的过程中，求水温关于通电时间的函数表达式． (3)加热一次，水温不低于的时间有多长？ 【答案】(1)4 (2) (3)一个加热周期内水温不低于的时间为 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质、求反比例函数的解析式、利用函数解决实际问题等知识点，掌握反比例函数解析式的求法及利用函数解决实际问题是解题的关键． （1）依题得开机加热时每分钟上升，则水温从加热到，再根据所需时间、热量差、每分钟加热的温度列式计算即可； （2）结合（1）中可得点在反比例函数的图象上，代入即可求得k值，从而得到反比例函数解析式； （2）分类讨论，加热过程中水温不低于的时间与降温过程中水温不低于的时间即为加热一次水温不低于的时间，其中降温过程中水温不低于C的时间利用（2）中的函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：∵开机加热时每分钟上升， ∴水温从加热到所需时间为． 故答案为：4． （2）解：设水温下降过程中，y与x的函数关系式为， 由题意得，点在反比例函数的图象上， ∴， ∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是． （3）解：在加热过程中，水温为时， 所需时间为，即温度都高于； 在降温过程中，水温为时，，解得：，即内温度都高于． ∵， ∴一个加热周期内水温不低于的时间为． 43．如图①，这是一个可改变体积的密闭容器的简易图，在该容器内装有一定质量的氧气，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，随着容器体积的改变，该密闭容器内氧气的密度（单位：）随容器体积V（单位：）变化的关系图象如图②所示．结合图③信息窗中的内容，解答下列问题． (1)该容器内氧气的质量为______． (2)求容器内氧气的密度关于体积的函数解析式． (3)若该容器的体积为，求氧气的密度． 【答案】(1)8 (2) (3)氧气的密度为 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确进行计算是解题关键． （1）根据代入，可求m； （2）运用待定系数法求解即可； （3）把代入（2）中解析式可求结果． 【详解】（1）解：， 故答案为：8； （2）根据题意，设所求的函数解析式为， 由图可知，该函数过点， ． 所求函数的解析式为． （3） 该容器的体积V为，． 答：氧气的密度为． 44．小明家饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热[此过程中水温与开机时间x（分）满足一次函数关系]，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降[此过程中水温与开机时间x（分）成反比例关系]，当水温降至时，饮水机又自动开始加热，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)求图中t的值； (2)若小明在通电开机后即外出散步，请你预测小明散步45分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少摄氏度？ 【答案】(1) (2)小明散步45分钟回到家时，饮水机内的温度约为． 【分析】此题主要考查了一次函数以及反比例函数的应用，根据题意得出正确的函数解析式是解题关键． （1）求出反比例函数解析式进而得出t的值 （2）利用待定系数法求出当时的函数解析式，进一步求解即可． 【详解】（1）解：当时，设水温与开机时间（分）的函数关系为， 把点代入得：， 解得：， ∴当时，水温与开机时间（分）的函数关系为， 当时，， ∴； （2）解：当时，设水温与开机时间（分）的函数关系为：， 依据题意，得， 解得：， 所以当时，函数解析式为：， ∵， 当时， ， 即小明散步45分钟回到家时，饮水机内的温度约为． 题型十二、反比例函数与几何综合 45．定义：如图，在平面直角坐标系中，点是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点分别作轴、轴的垂线，若由点、原点、两个垂足、为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点是平面直角坐标系中的“美好点”． 【尝试初探】： （1）点______“美好点”（填“是”或“不是”）；若点是第一象限内的一个“美好点”，则 ______； 【深入探究】： （2）若“美好点”在双曲线（，且为常数）上，求的值； （3）在（2）的条件下，在双曲线上，求的值． 【答案】（1）不是，；（2）；（3） 【分析】本题是反比例函数综合题，主要考查了矩形的性质、反比例函数的图象与性质、求函数解析式，熟练掌握矩形的性质、反比例函数的图象与性质，理解“美好点”的定义，是解题的关键． （1）直接根据“美好点”的定义可以判断点是不是“美好点”，根据“美好点”的定义得到，进行计算即可得到的值； （2）根据“美好点”的定义求出的值，得到的坐标，将点代入反比例函数解析式，进行计算即可得到答案； （3）先由（2）得出点的坐标，再用待定系数法求出直线的解析式，令直线与轴交于点，当时，求出点的坐标，最后根据进行计算即可． 【详解】解：（1）， 点不是“美好点”， 点是第一象限内的一个“美好点”， ， 解得：， 故答案为：不是，； （2）是“美好点”， ， 解得：， ， 将代入双曲线， 得； （3）在双曲线上， ， ， 设直线的解析式为：， ， ， ， 令直线与轴交于点， 当时，， ， ， ． 46．如图，为反比例函数(其中)图象上的一点，在轴正半轴上有一点，， 连接 且． (1)求的值； (2)过点作， 交反比例函数 (其中)的图象于点，连接交于点，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的几何应用，相似三角形的判定和性质等，正确作出辅助线是解题的关键． （）过点作交轴于点，交于点，由等腰三角形的性质可得，再利用勾股定理求出可得点坐标，进而即可求解； （）由反比例函数解析式可得，即得，进而由得到，再根据即可求解； 【详解】（1）解：过点作交轴于点，交于点， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵为反比例函数图象上的一点， ∴； （2）解：∵， ∴反比例函数解析式为， 把代入，得， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 47．如图，矩形的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，且与交于点E． (1)求反比例函数的解析式及点E的坐标； (2)若点F是边上的一点，且为等腰三角形，求直线的解析式． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）先根据点B的坐标为求出D点坐标，代入反比例函数即可求出m的值，进而得出解析式，再把代入求出y的值即可得出E点坐标； （2）根据为等腰三角形得出的长，进而得出F点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式即可． 本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数图象上点的坐标特点、矩形的性质、一次函数的性质等知识是解答此题的关键． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形，点B的坐标为，点D是的中点， ∴点，． ∵点D在反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴反比例函数的解析式为． ∵点E在上， ∴点E的横坐标为4， 把代入， 得， ∴点E的坐标为． （2）解：∵点F在上，为等腰三角形，， ∴，点F的横坐标为0． 由（1）得点， ∴， ∴点． 设直线的解析式为， 将点，代入，得， 解得， ∴直线的解析式为． 48．在矩形中，，．分别以，所在直线为x轴，y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系．F是边上一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E． (1)若，当点F运动到边的中点时， ①则点E的坐标为______； ②连接、，则和的关系是______； (2)如图2，将沿折叠，点C恰好落在边上的点G处，若F是的三等分点，求此时反比例函数的解析式． 【答案】(1)①；②，； (2)反比例函数为： 【分析】（1）①先求出点的坐标，进而得到反比例函数的解析式，再求出点坐标即可；②证明是的中点，再结合三角形的中位线的性质即可得证； （2）如图，过点作轴，交于点，则四边形为矩形，可得，，由F是的三等分点，可得或，再分两种情况解答即可． 【详解】（1）解：①∵矩形中，， ∴，， 当点F运动到边的中点时：， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象与边交于点E， ∴， ∴； ∴； ②，，理由如下：如图：连接，    ∵，，， ∴， ∴为的中点； ∵为的中点， ∴是的中位线， ∴，. （2）解：如图，过点作轴，交于点，则四边形为矩形， ∴，，    ∵F是的三等分点， ∴或， 当时，则，， ∴，， ∴反比例函数为：， ∵， ∴，即， ∴， 同理：四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴反比例函数为：； 当时，则，， ∵， ∴，与，互相矛盾，舍去， ∴综上：反比例函数为：. 【点睛】本题考查反比例函数与几何的综合应用，矩形的判定和性质，勾股定理，化为最简二次根式，三角形的中位线的性质．利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 1．（24-25九年级上·北京·阶段练习）平面直角坐标系中，过点作平行于轴的直线，分别交抛物线和双曲线于点M，N，则满足的n的值有（   ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与反比例函数的图象与性质，根据题意得到，结合，得到根据图象即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ，即或， 令，即函数图象与函数图象的交点个数即为满足的n的值， 如图， 满足的n的值有2个， 故选：C． 2．（24-25九年级上·北京·开学考试）如图，点A、B是函数与的图象的两个交点，作轴于C，作轴于D，则四边形的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数的几何意义和三角形的面积公式 根据函数的解析式得到各线段的长度，将四边形分为四个小三角形即可求出面积 【详解】解：根据反比例函数的对称性可知，， ∴的面积都等于， ∴四边形的面积为， 故选：D. 3．（2025·北京·一模）如图，点是反比例函数（k为常数，，）的图象上一点，过点作轴的平行线，交轴于点．点为轴正半轴上的一点，连接，．若的面积为2，则的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，根据题意得到关于的方程是解题的关键． 本题设，得到，以为底边的高，然后根据的面积为2，即可求解； 【详解】解：∵点是反比例函数（k为常数，，）的图象上一点， ∴设， ∴中，以为底边的高， ∴， ∴， 故答案为：4； 4．（24-25八年级下·北京·阶段练习）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象交直角梯形的边于点D，交边于点C，且D是边的中点，若四边形的面积为10， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的判定和性质，三角形面积的计算，反比例函数k值意义，连接，延长交x轴于点E，根据反比例函数k的意义，得出，D是边的中点，得出，求出，再得出，根据四边形的面积为12，列出关于k的方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：连接，延长交x轴于点E，如图所示： ∵四边形为直角梯形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴轴， ∴， ∵D是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵反比例函数图象在第二象限， ∴， ∴． 故答案为：． 5．（2025·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象的一个交点的横坐标为2． (1)求这个反比例函数的解析式； (2)当时，对于的每一个值，反比例函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合，掌握一次函数，反比例函数图象的特点，交点的意义，函数值比较大小的方法，不等式的性质即可求解． （1）把图象的一个交点的横坐标为2代入一次函数，计算出交点坐标，再代入反比例函数即可求解； （2）根据题意联立方程组求出一次函数与反比例函数的交点，再根据反比例函数值大于一次函数的函数值，由此即可求解． 【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象的一个交点的横坐标为2， 代入一次函数得，， 交点坐标为， 把代入反比例函数得，， ， 反比例函数解析式为； （2）解：由（1）得，反比例函数解析式为，函数图象经过第一、三象限， 联立方程组得，， 整理得， ∴ 解得，或， 一次函数与反比例函数的交点是，， 若当时，对于的每一个值，反比例函数的值大于一次函数的值， ， 解得，． 6．（24-25九年级上·北京·阶段练习）小平在学习过程中遇到一个函数． 下面是小平对其研究的过程，请补充完整：    (1)函数的自变量的取值范围是________； (2)上表是与的几组对应值．其中的值为________； (3)①根据表格中的数据，在平面直角坐标系中，画出函数图象； ②写出此函数图象的增减性：________． ③过点作平行于轴的直线，结合图象解决问题：若直线与函数的图象有三个交点，则的取值范围是________． 【答案】(1) (2)4 (3)①见解析；②见解析；③ 【分析】本题主要考查函数图象与性质： （1）由分母不能为零，即可得出自变量的取值范围； （2）把代入则可求出的值； （3）①根据描点，连线画出函数图象； ②根据函数图象结合自变量的取值范围分析，即可求解； ③观察函数图象可知，在直线时即，直线与函数有2个交点，在时，有3个交点，故可得结论 【详解】（1）解：∵， ∴，即， 故答案为：； （2）解：当时，， 故答案为：4； （3）（3）①描点，连线得，    ②当或时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小； ③观察函数图象可知，在直线时即，直线与函数有2个交点，在时，有3个交点， 故答案为：． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$