黑龙江省大庆铁人中学2025-2026学年高二上学期开学考试数学试卷

报告查询:登录zhixue.com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) 铁人中学2024级高二上学期开学初考试数学 答题卡 考场/座位号：      姓名：             班级：             注意事项 1．答题前，请将姓名、班级、考 场、准考证号填写清楚。 2．客观题答题必须使用2B铅笔填 涂，修改时用橡皮擦干净。 3．主观题使用黑色笔书写。 4．必须在题号对应的答题区内作 答，超出答题区书写无效。 正确填涂 缺考标记 准考证号                 [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] 客观题(1~8为单选题;9~11为多选题) 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 填空题 12. 13. 14. 解答题 15. 16. 17. 18. 19. 铁人中学 2024级高二上学期开学初考试 数学 试题答案 考试时间： 2025 年 8月 第 1 页 共 3 页 铁人中学 2024 级高二上学期开学初考试数学试题答案 选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C C C D A A B D AB ABC ACD 填空题： 12. 7 13. 4 5 14. ①②④ 解答题： 15.【详解】（1）由第二组的频数是第一组频数的 2 倍，可知第二组的频率是第一组频率的 2 倍， 即10 0.016 10 2a    ，则 0.032a  ； 又 (0.016 0.032 0.04 0.008 ) 10 1b     ，解得 0.004b  ； 由于成绩在[50,70）内的频率为0.16 0.32 0.48  ，在[50,80）内的频率为0.16 0.32 0.40 0.88   ， 故中位数位于[70,80），设为 m，则0.48 ( 70) 0.04 0.5m    ，解得 70.5m  ； （2）由 80x  ，可得 1 2 3 10 80 10 800x x x x      ， 则剔除其中的 75 和 85 两个分数，剩余 8 个数平均数为 800 75 85 80 8    ； 又标准差 35s  ，      2 2 22 1 2 10 1 10 s x x x x x x            2 2 2 2 21 2 3 10 1 1 101 2 1010 x x x x x x x x x              2 2 2 2 21 2 3 101 1010 x x x x x          2 2 2 2 2 1 2 3 10 1 10 x x x x x      故   22 2 2 2 2 21 2 3 101 80 3510s x x x x       ， 则 2 2 2 2 1 2 3 10 64350x x x x     ， 则剩余的 8 个数的方差为  2 2 21 64350 75 85 80 37.58     . 16．【解答】（1）证明：取 CD中点 H，连接 GH，EH， 因为 EF∥平面 ABCD，EF⊂平面 ADEF，平面 ADEF∩平面 ABCD＝AD， 所以 EF∥AD，由题意，EF＝4， 又 G，H分别为 CA，CD中点，所以 GH∥AD，GH＝ AD＝4， 所以 EF∥AD且 EF＝AD，即四边形 EFGH为平行四边形， 故 FG∥EH，又 FG⊄平面 CDE，EH⊂平面 CDE， 故 FG∥平面 CDE； （2）解：由题意，∠FAD＝90°，∠FAB＝120°， 则 AD⊥AF，又 AD⊥AB，AF∩AB＝A，AF，AB⊂平面 BAF， 所以 AD⊥平面 BAF，所以 AD为三棱锥 ABFD  的高， ，所以 3 3328120sin44 2 1 3 1   ABFDV 345484 22  BFDFBD ，由已知易得， 51417234 2 1  BDFS 设点 A到平面 FBD 的距离为 h, , 3 332514 3 1   hVV ABFDBDFA ，即由 解得 . 17 178 h 所以点 A到平面 FBD的距离为 . 17 178 17．【详解】（1）（i） 1 2 AC  ， 1BC  ， π 2 BAC  ， 3 1sin 2 2 AB ABC   ， π 6 ABC  ，又 BP BC ，所以 π 3 ABP  ， 3BP  ，  1 1 3 3 3 3sin 3 2 2 2 2 8ABP S AB AP ABP        . 铁人中学 2024级高二上学期开学初考试 数学 试题答案 考试时间： 2025 年 8月 第 2 页 共 3 页 （ii） 2 2 2 3 3 1 92 cos 3 2 3 4 2 2 4 PA BA BP BA BP ABP            ， 所以 3 2 PA  . （2） π 6 APB  ，设 ABC   ，则 π 2 ABP    , cosAB  , 在△ABP中，由正弦定理可得 sin sin AB PB APB PAB    ，即 3 1 cos 2 1 π πsin 2 2 6           ， 所以 2π 3 1cos sin 3 4         ，即  2π 3 1 3 1 3 1cos sin cos cos sin cos 2 1 sin 2 3 2 2 4 4 4                         , 所以 1 3 1 π 1sin 2 cos 2 sin 2 4 4 2 3 4            ,即 π 1sin 2 3 2        ， 因为 π0, 2       ，所以 π π 4π π 7π2 , , 2 3 3 3 3 6          ，所以 5 π 12   ， π π 5π 3ππ 6 2 12 4 PAB           . 18．【详解】（1）在三棱柱 1 1 1ABC ABC 中，连接 1DD ，由 1,D D分别为 1 1,BC BC 中点， 得 1 1 1 1 1 1/ / / / ,DD BB AA DD BB AA  ，则四边形 1 1ADD A为平行四边形， 1 1 / /AD AD， 由 90BAC  ，得 AD BD ，由 1 1A B AC ，得 1AD BC ， 则 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1AA A B AD BD AD AD     ，于是 1AD AD ，由 AB AC ， 得 AD BC ，而 DBCDA 1 ， 1 ,AD BC 平面 1ABC，则 AD 平面 1ABC， 所以 1 1AD 平面 1ABC . ，平面又 BDADA 1111  ∴ BCABDA 111 平面平面  （2）由（1）知， 1 1, , ,BC AD BC AD AD AD   平面 1 1ADD A ,所以 BC 平面 1 1ADD A， 而 BC 平面 1 1BCC B ，则平面 1 1BCC B 平面 1 1ADD A， 在平面 1 1ADD A内过 1A作 1 1AO DD 于点O，平面 1 1BCC B 平面 1 1ADD A 1DD ， 因此 1AO 平面 1 1BCC B ，连接BO， 1ABO 是直线 1A B与平面 1 1BCC B 所成角， 由 12, 4AB AC A A   ，得 2 21 1 1 1 1 12, 14, 4AD AD AD AA AD DD AA       ， 在 11A△ DDRt 中， 1 1 11 1 7 2 AD ADAO DD    ，在 OBRt 1A△ 中， 11 1 7sin 8 AOABO AB    ， 所以直线 1A B与平面 1 1BCC B 所成角的正弦值为 7 8 . （3）由（1）得 1 1 1AD AD ，又 12 2, 4BC A A  ， 则 1 1 1 1 12, 14, 4AD AD AD DD AA     ，由（2）得 1 7 2 AO  ， 过 1A作 1A E 平面 1 1BCC B 于 E，连接DE，由 BC 平面 1 1BCC B ，得 1A E BC ， 而 1 1 1 1 1 1, , ,AD BC AD A E A AD A E   平面 1ADE，则 BC 平面 1ADE， 又DE 平面 1ADE，则DE BC ， 1ADE 是二面角 1 1A BC C  的平面角， 显然 1 1A E AO ，当且仅当 ,E O重合时取等号， 1 1 1 1 1 7 22sin 414 A E AOADE AD AD      ， 铁人中学 2024级高二上学期开学初考试 数学 试题答案 考试时间： 2025 年 8月 第 3 页 共 3 页 所以二面角 1 1A BC C  的正弦值的最大值为 2 4 . 19．【详解】（1）因为 60  ，则 1 2, 60e e    ，又 1 22 3OM e e     ， 则  2 2 21 2 1 1 2 2 π2 3 4 12 9 4 12 cos 9 193OM e e e e e e                  ． （2）不正确，理由如下， 因为 60  ，则 1 2 π 11 1 cos 3 2 e e       ，又 1 1 1 2 2 1 2 2OA x e y e OB x e y e          , ， 则    1 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 21 12 2OA OB x e y e x e y e x x x y x y y y                ， 若OA OB   ，则 0OA OB    ，则 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 0 2 2 x x x y x y y y    ， 所以“OA OB   ”的充要条件是“ 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 0 2 2 x x x y x y y y    ”， 故“OA OB   ”的充要条件是“ 1 2 1 2 0x x y y  ”是不正确的． （3）因为    31 11OA OB AOB       , , , , ，则 1 2 1 23OA e e OB e e          , ，  2 2 21 1 2 1 223 9 6 10 6cosOA e e e e ee                 ，  2 2 21 2 1 2 1 22 2 2cosOB e e e e e e                ，    1 2 1 2 1 23 3 1 4 4 4cosOA OB e e e e e e                      ， 由 3OA tOB    ，得 2 222 3OA tOA OB t OB        ， 所以     210 6cos 2 4 4cos 2 2cos 3t t        ， 即    22 1 cos 8 1 cos 6cos 7 0t t        对 Rt  恒成立， 又1 cos 0  ，所以      2Δ 8 1 cos 4 2 1 cos 6cos 7 0            ，解得 11 cos 2     ， 因为0 π  ，所以 11 cos 2     满足题意， 所以 4 4cos 1 coscos 2 5 3cos10 6cos 2 2cos OA OB OA OB                  2 21 5 3cos3     ， 又 72 5 3cos 2    ，所以 2 210 1 5 3cos 7     ，则 cos的最大值为 2 7 7 ． 铁人中学2024级高二上学期开学初考试 数学 试题 考试时间： 2025 年 8 月 铁人中学2024级高二上学期开学初考试 数学试题 试题说明：1、本试题满分 150 分，答题时间 120 分钟。 2、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡。 第Ⅰ卷 选择题部分 1、 选择题（每小题只有一个选项正确，共8小题，每小题5分，共40分。） 1．若复数（为虚数单位），则的共轭复数的虚部为（    ） A． B． C．1 D．-1 2．某学校高二体检时将学生分为10人一组，测得其中一组学生的心率依次为61、64、65、62、61、74、62、62、70、78，则这组数据的第70百分位数是（  ） A．65 B．67 C．67.5 D．70 3．给出下列四个命题： ①各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱；②若直线l⊥平面α，l∥平面β，则α⊥β； ③若平面外两点到平面的距离相等，则过两点的直线必平行于该平面； ④异面直线a，b不垂直，则过a的任一平面与b都不垂直．其中正确命题是（　 ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 4．一个袋子中放有质地均匀的3个白球，3个红球，摇匀后随机摸出3个球，与事件“至多摸出1个白球”互斥而不对立的事件是（  ） A．摸出3个红球 B．至少摸出1个红球 C．至少摸出1个白球 D．摸出3个白球 5．已知为△ABC所在平面内一点，且满足，则点一定（  ） A．在边的高所在的直线上 B．在平分线所在的直线上 C．在边的中线所在直线上 D．是△ABC的外心 6．在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则（ ） A． B． C． D．2 7．某公司为了调查员工的体重（单位：千克），因为女员工远多于男员工，所以按性别分层，用按比例分层随机抽样的方法抽取样本，已知抽取的所有员工的体重的方差为120，其中女员工的平均体重为50，方差为50，男员工的平均体重为70，方差为30．若样本中有21名男员工，则样本中女员工的人数为（    ） A．68 B．63 C．35 D．48 8．已知正三棱锥的底面的边长为4，直线与平面所成角的余弦值为，动点在以为直径的球面上，且直线平面，则点的轨迹长为（ ） A． B． C． D． 二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得满分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。） 9．某学校为了了解本校学生上学的交通方式，在全校范围内进行了简单随机抽样调查，将所有学生上学的交通方式归为四类方式：A—结伴步行，B—自行乘车，C—家人接送，D—其他方式.并把收集的样本数据整理分别绘制成柱形图和扇形图，下面的柱形图和扇形图只给出了部分统计信息，则根据图中信息，下列说法正确的是（  ） A．扇形图中D的占比最小 B．柱形图中A和C一样高 C．无法计算扇形图中A的占比 D．该校学生上学交通方式为A或C的人数占学生总人数的一半 10.已知圆锥（为圆锥顶点，为底面圆心）轴截面是边长为2的等边三角形，则下面选项正确的是（  ） A．圆锥PO的表面积为 B．圆锥PO的内切球半径为 C．圆锥PO的内接圆柱的侧面积最大时，该圆柱的高为 D．若C为PB的中点，则沿圆锥PO的侧面由点A到点C的最短路程是 11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，则下列说法正确的是（  ） A． B．若，且△ABC有两解，则边b的取值范围为 C．若，且△ABC为锐角三角形，则边c的取值范围为 D．若，且，O为△ABC的内心，则△AOB的面积 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分。) 12．设m，，为虚数单位，若是关于的一元二次方程一个虚根，则 ． 13．已知向量满足，且，则 ． 14．已知矩形，，，将沿对角线进行翻折，得到三棱锥，在翻折的过程中，下列结论： ①三棱锥的体积最大值为； ②三棱锥的外接球体积不变； ③翻折过程中，异面直线与所成角的最大值为； ④翻折过程中，与平面所成角的余弦值最小值为. 所有正确的命题的序号是 . 四、解答题(本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。) 15．（13分）2024年5月22日至5月28日是第二届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“践行新时尚分类志愿行”某中学高一年级举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分为五组，其中第二组的频数是第一组频数的2倍，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： (1)求的值，并估计这次竞赛成绩的中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的75和85两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差. 16．（15分）已知多面体ABCDEF如图所示，其中四边形ABCD为矩形．EF∥平面ABCD，A，D，E，F四点共面，AB＝EF＝AF＝4，BC＝8．点G是线段AC的中点． （1）求证：FG∥平面CDE； （2）若，求点A到平面FBD的距离． （特别提醒：本题不能用空间向量解答，否则不给分） 17．（15分）如图，平面内四点A,B,C,P，满足，，. (1)若， （i）求△ABP的面积； （ii）求； (2)若，，求. 18．（17分）在三棱柱中，，且D为BC的中点， 为的中点. (1)若，求证：； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值； (3)若，求二面角的正弦值的最大值. （特别提醒：本题不能用空间向量解答，否则不给分） 19．（17分）如图所示，设是平面内相交成 角的两条数轴，分别是与 轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下 ， 则把有序实数对叫做向量的仿射坐标，记为． (1)若，求的模长； (2)若，其中均为实数，有同学认为“”的充要条件是“”，你认为是否正确？若正确，请给出证明，若不正确，请说明理由； (3)若在仿射坐标系下，设，若对恒成立，求的范围及的最大值． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$铁人中学 2024级高二上学期开学初考试 数学 试题 考试时间： 2025 年 8 月 学科网（北京）股份有限公司 第 1 页 共 3 页 铁人中学 2024 级高二上学期开学初考试 数学试题 试题说明：1、本试题满分 150 分，答题时间 120 分钟。 2、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡。 第Ⅰ卷 选择题部分 一、选择题（每小题只有一个选项正确，共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。） 1．若复数 1 2i 2 i z   （ i为虚数单位），则 z的共轭复数的虚部为（ ） A． i B． i C．1 D．-1 2．某学校高二体检时将学生分为 10 人一组，测得其中一组学生的心率依次为 61、64、65、62、61、 74、62、62、70、78，则这组数据的第 70 百分位数是（ ） A．65 B．67 C．67.5 D．70 3．给出下列四个命题： ①各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱；②若直线 l⊥平面α，l∥平面β，则α⊥β； ③若平面外两点到平面的距离相等，则过两点的直线必平行于该平面； ④异面直线 a，b不垂直，则过 a的任一平面与 b都不垂直．其中正确命题是（ ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 4．一个袋子中放有质地均匀的 3 个白球，3 个红球，摇匀后随机摸出 3个球，与事件“至多摸出 1 个白球”互斥而不对立的事件是（ ） A．摸出 3 个红球 B．至少摸出 1 个红球 C．至少摸出 1 个白球 D．摸出 3 个白球 5．已知O为△ABC所在平面内一点，且满足 2 2| | | |BA OA BC AB OB AC           ，则点O一定（ ） A．在 AB边的高所在的直线上 B．在 C 平分线所在的直线上 C．在 AB边的中线所在直线上 D．是△ABC的外心 6．在△ABC中，A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知 2c ab ， 2 2b ac a ab   ，则 sinC a c （ ） A． 2 3 3 B． 3 2 C． 3 D．2 7．某公司为了调查员工的体重（单位：千克），因为女员工远多于男员工，所以按性别分层，用 按比例分层随机抽样的方法抽取样本，已知抽取的所有员工的体重的方差为 120，其中女员工的平 均体重为 50，方差为 50，男员工的平均体重为 70，方差为 30．若样本中有 21 名男员工，则样本 中女员工的人数为（ ） A．68 B．63 C．35 D．48 8．已知正三棱锥 A BCD 的底面 BCD△ 的边长为 4，直线 AC与平面 BCD所成角的余弦值为 3 3 ， 动点M 在以 BC为直径的球面上，且直线CD平面MAB，则点M 的轨迹长为（ ） A． 2 B． 3 C． 34 D． 2 3π 二、选择题(本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得满分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。） 9．某学校为了了解本校学生上学的交通方式，在全校范围内进行了简单随机抽样调查，将所有学 生上学的交通方式归为四类方式：A—结伴步行，B—自行乘车，C—家人接送，D—其他方式.并把 收集的样本数据整理分别绘制成柱形图和扇形图，下面的柱形图和扇形图只给出了部分统计信息， 则根据图中信息，下列说法正确的是（ ） A．扇形图中 D的占比最小 B．柱形图中 A 和 C 一样高 C．无法计算扇形图中 A的占比 D．该校学生上学交通方式为 A 或 C 的人数占学生总人数的一半 10.已知圆锥 PO（ P为圆锥顶点，O为底面圆心）轴截面 PAB是边长为 2 的等边三角形，则下面 铁人中学 2024级高二上学期开学初考试 数学 试题 考试时间： 2025 年 8 月 学科网（北京）股份有限公司 第 2 页 共 3 页 选项正确的是（ ） A．圆锥 PO 的表面积为3π B．圆锥 PO 的内切球半径为 3 3 C．圆锥 PO 的内接圆柱的侧面积最大时，该圆柱的高为 3 2 D．若 C为 PB 的中点，则沿圆锥 PO 的侧面由点 A到点 C 的最短路程是 3 11．在△ABC中，角 A，B，C所对的边分别是 a，b，c，且 23 cos 3 cosb C c B a  ，则下列说法正 确的是（ ） A． 3a  B．若 π 4 A  ，且△ABC有两解，则边 b 的取值范围为 3,3 2   C．若 2C A ，且△ABC为锐角三角形，则边 c 的取值范围为  3 2,3 3 D．若 2A C ，且 sin 2sinB C ，O为△ABC的内心，则△AOB的面积 3 3 3 4AOB S △ 三、填空题(本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。) 12．设 m， Rn ， i为虚数单位，若 2 5i 是关于 x的一元二次方程 2 2 0x nx m   一个虚根，则 m n  ． 13．已知向量 cba ,, 满足 1, 2a b c     ，且 0a b c      ，则 cos ,a c b c        ． 14．已知矩形 ABCD， 5AB  ， 2BC  ，将 ADC△ 沿对角线 AC进行翻折，得到三棱锥D ABC ， 在翻折的过程中，下列结论： ①三棱锥D ABC 的体积最大值为 109 ； ②三棱锥D ABC 的外接球体积不变； ③翻折过程中，异面直线 AB与CD所成角的最大值为90； ④翻折过程中， AD与平面 ABC所成角的余弦值最小值为 2 3 . 所有正确的命题的序号是 . 四、解答题(本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。) 15．（13 分）2024 年 5 月 22 日至 5 月 28 日是第二届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周 的主题为“践行新时尚分类志愿行”某中学高一年级举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次 竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩 x（单位：分，得分取正整数，满分为 100 分）作为样 本进行统计，将成绩进行整理后，分为五 (50 60,60 70,70 80,80 90,90 100)x x x x x          组，其中第二组的频数是第一组频数的 2 倍，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示） 解决下列问题： (1)求 ,a b的值，并估计这次竞赛成绩的中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)某老师在此次竞赛成绩中抽取了 10 名学生的分数： 1 2 3 10, , , ,x x x x ，已知这 10 个分数的平均数 80x  ，标准差 35s  ，若剔除其中的 75 和 85 两个分数，求剩余 8 个分数的平均数与方差. 铁人中学 2024级高二上学期开学初考试 数学 试题 考试时间： 2025 年 8 月 学科网（北京）股份有限公司 第 3 页 共 3 页 16．（15 分）已知多面体 ABCDEF如图所示，其中四边形 ABCD为矩形．EF∥平面 ABCD，A，D， E，F四点共面，AB＝EF＝AF＝4，BC＝8．点 G是线段 AC的中点． （1）求证：FG∥平面 CDE； （2）若 90 4 3  FABFAD ，求点 A到平面 FBD的距离． （特别提醒：本题不能用空间向量解答，否则不给分） 17．（15 分）如图，平面内四点 A,B,C,P，满足 π 2 BAC  ， 1BC  ， BP BC . (1)若 3, 2 1  BPAC ， （i）求△ABP的面积； （ii）求 PA； (2)若 π 6 APB  ， 3 1 2 BP  ，求 PAB . 18．（17分）在三棱柱 1 1 1ABC ABC 中， 1 1 1,90BAC A A A B AC     且 D为 BC的中点， 1D 为 1 1BC 的中点. (1)若 AB AC ，求证： BCABDA 111 平面平面  ； (2)若 12, 4AB AC A A   ，求直线 1A B与平面 1 1BCC B 所成角的正 弦值； (3)若 12 2, 4BC A A  ，求二面角 1 1A BC C  的正弦值的最大值. （特别提醒：本题不能用空间向量解答，否则不给分） 19．（17 分）如图所示，设 ,Ox Oy是平面内相交成  0 π   角的两条数轴， 21,ee   分别是与 ,x y 轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系 xOy为仿射坐标系，若在仿射坐标系下 1 2OM beea     ， 则把有序实数对  ,a b 叫做向量OM  的仿射坐标，记为  ,OM a b  ． (1)若 1 260 2 3OM e e        , ，求 OM  的模长； (2)若 1 1 1 2 2 1 2 260 OA x e y e OB x e y e             , , ，其中 2121 ,,, yyxx 均为实数，有同学认为“OA OB   ”的 充要条件是“ 1 2 1 2 0x x y y  ”，你认为是否正确？若正确，请给出证明，若不正确，请说明理由； (3)若在仿射坐标系下，设    31 11OA OB AOB       , , , , ，若 3OA tOB    对 Rt  恒成立，求 cos 的范围及 cos的最大值． 铁人中学2024级高二上学期开学初考试 数学 试题答案 考试时间： 2025 年 8月 铁人中学2024级高二上学期开学初考试数学试题答案 选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C C C D A A B D AB ABC ACD 填空题： 12. 7 13. 14. ①②④ 解答题： 15.【详解】（1）由第二组的频数是第一组频数的2倍，可知第二组的频率是第一组频率的2倍， 即，则； 又，解得； 由于成绩在内的频率为，在内的频率为， 故中位数位于，设为m，则，解得； （2）由，可得， 则剔除其中的75和85两个分数，剩余8个数平均数为； 又标准差， 故， 则， 则剩余的8个数的方差为. 16．【解答】（1）证明：取CD中点H，连接GH，EH， 因为EF∥平面ABCD，EF⊂平面ADEF，平面ADEF∩平面ABCD＝AD， 所以EF∥AD，由题意，EF＝4， 又G，H分别为CA，CD中点，所以GH∥AD，GH＝AD＝4， 所以EF∥AD且EF＝AD，即四边形EFGH为平行四边形， 故FG∥EH，又FG⊄平面CDE，EH⊂平面CDE， 故FG∥平面CDE； （2）解：由题意，∠FAD＝90°，∠FAB＝120°， 则AD⊥AF，又AD⊥AB，AF∩AB＝A，AF，AB⊂平面BAF， 所以AD⊥平面BAF，所以AD为三棱锥的高， 设点A到平面FBD的距离为h, 解得所以点A到平面FBD的距离为 17．【详解】（1）（i），，， ，又，所以，， . （ii）， 所以. （2），设，则,, 在△ABP中，由正弦定理可得，即， 所以，即, 所以,即， 因为，所以，所以， . 18．【详解】（1）在三棱柱中，连接，由分别为中点， 得，则四边形为平行四边形，， 由，得，由，得， 则，于是，由， 得，而，平面，则平面， 所以平面.∴ （2）由（1）知，平面,所以平面， 而平面，则平面平面， 在平面内过作于点，平面平面， 因此平面，连接，是直线与平面 所成角， 由，得， 在中，，在中，， 所以直线与平面 所成角的正弦值为. （3）由（1）得，又， 则，由（2）得， 过作平面于，连接，由平面，得， 而平面，则平面， 又平面，则，是二面角的平面角， 显然，当且仅当重合时取等号，， 所以二面角的正弦值的最大值为. 19．【详解】（1）因为，则，又， 则． （2）不正确，理由如下， 因为，则，又， 则， 若，则，则， 所以“”的充要条件是“”， 故“”的充要条件是“”是不正确的． （3）因为，则， ， ， ， 由，得， 所以， 即对恒成立， 又，所以，解得， 因为，所以满足题意， 所以， 又，所以，则的最大值为． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$