河南省河南省天立教育2025-2026学年九年级上学期开学数学试题

绝密★启用前 天立教育2025－2026学年秋期入学联合考试 九年级数学试题卷 本试题卷共6页，三大题，23小题，满分120分。考试时间100分钟。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知一次函数的图象如图，则下列说法正确的是（    ） A． B．当时， C．函数值y随自变量x的增大而减小 D．图象与y轴交于点 2．数学课上，老师在黑板上画出了菱形，并以点为圆心，的长为半径画弧，交直线于点，连接，关于四边形的形状，让同学们进行讨论，小明认为：只有当时，四边形是菱形；小红认为：当时，四边形是正方形，小刚认为：四边形是菱形，且，与的度数无关，下列判断正确的是（　　） A．小明和小红正确，小刚错误 B．小红和小刚正确，小明错误 C．小明和小刚错误，小红正确 D．小明和小红错误，小刚正确 3．已知菱形的周长为，两条对角线的和为6，则菱形的面积为(　　) A．2 B． C．3 D．4 4．规定表示不大于的最大整数，例如，，．那么函数的图象为（    ） A． B． C． D． 5．已知：平行四边形的顶点，点在轴的正半轴上，按以下步骤作图： ①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，交于点． ②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内相交于点 ③画射线，交于点，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 6．如果最简二次根式与可以进行合并，则的值为（   ） A．7 B．16 C．25 D．81 7．如图，在矩形中，，，动点从点出发，沿路线做匀速运动，那么面积的与点运动的路程之间的函数图像大致是（　　） A． B． C． D． 8．平面直角坐标系中，过点（-2，3）的直线经过一、二、三象限，若点（0，），（-1，），（，-1）都在直线上，则下列判断正确的是（ ） A． B． C． D． 9．在中．是上一点，平分，且是的中点，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（    ） A．①② B．②④ C．③④ D．①②④ 10．如图，E，F分别是平行四边形的边，上的点，与相交于点P，与相交于点Q，若，，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11．如图，正方形ABCD的边长为2，点E为边BC的中点，点P在对角线BD上移动，则PE+PC的最小值是 ． 12．若最简二次根式与是同类二次根式，则x的值为 ． 13．在四边形中，，给出下列4组条件：①，②，③，④．其中，不能得到“四边形是平行四边形”的条件是 ．（只填序号） 14．为了响应学校“书香校园”建设，阳光班的同学们积极捐书，其中宏志学习小组的6名同学捐书册数分别是：5，7，x，8，4，6．已知他们平均每人捐6本，则这组数据的中位数是 ． 15．矩形中，，是的中点，点在直线上，且，若与关于直线对称，则的长为 ． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．一条笔直的公路上依次有A、B、C三地，甲车从A地驶往C地，乙车从A地驶往B地，修好后立即以原速的两倍继续前进到达B地；如图是甲、乙两车与A地的距离y（千米）（小时）之间的大致图象．    (1)求B、C两地之间的距离； (2)什么时候乙追上甲； (3)当两车相距40千米时，甲车行驶了多长时间． 17．如图，在中，，，E，F分别为，的中点，过点B作的平行线与的延长线交于点D，连接，． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，求四边形的面积． 18．小明对菱形的作法非常感兴趣，他根据所学的知识，利用直尺和圆规，在内分别以，为圆心，以的长为半径画弧，分别交，于点，，快速地作出一个菱形，如图（）所示，根据小明的尺规作图过程，解决下列问题． (1)小明用到的作图依据是（   ） A．一组对边平行且相等的四边形是菱形 B．两组对边分别相等的四边形是菱形 C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 (2)请在图（2）内运用另一种尺规作图的方法作出菱形，并证明你的结论．（保留作图痕迹，不写作法） 19．如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠DAB，已知CE＝6，BE＝8，DE＝10． （1）求BC的长； （2）若∠CBE＝36°，求∠ADC．    20．某学校计划组织452人参加社会实践活动，与某汽车租赁公司接洽后，得知该公司有型和型两种客车，它们的载客量和租金如下表所示． A型客车 B型客车 载客量/（人辆） 45 26 租金/（元/辆） 400 240 经测算，租用型和型客车共13辆较为合理．设租用型客车辆． (1)用含的代数式填写下表． 车量数/辆 载客量/人 租金/元 A型客车 B型客车 (2)采用怎样的租车方案可以使总的租车费用最低？最低为多少？ 21．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C，求证：AB=CD． 22．已知，如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，对角线的中点，对角线BD平分． (1)求证：四边形BEDF为菱形； (2)若AG//DB交CB的延长线于G，求证：四边形AGBD为矩形． 23．皇家驿站今年五一期间吸引了各地的游客前来观光，驻马店特产“伏陈醋”和“小磨香油”等也大受欢迎．某经销商抓住商机，计划购进某种包装的“伏陈醋”和“小磨香油”共100瓶，已知购进10瓶“伏陈醋”和20瓶“小磨香油”共需620元，购进30瓶“伏陈醋”和40瓶“小磨香油”共需1360元． (1)每瓶“伏陈醋”和“小磨香油”的进价分别是多少元？ (2)结合游客的实际需求，该经销商决定购进“伏陈醋”的数量不超过“小磨香油”数量的，请你帮他计算如何进货才能使所花费用最少，最少费用是多少元？ 九年级数学 试题卷第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$九年级数学 试题卷第 1 页（共 6 页） 绝密★启用前 天立教育 2025－2026学年秋期入学联合考试 九年级数学试题卷 本试题卷共 6页，三大题，23小题，满分 120分。考试时间 100分钟。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 10小题，每小题 3分，共 30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知一次函数 1y kx  的图象如图，则下列说法正确的是（ ） A． 0k  B．当 1x   时， 0y  C．函数值 y随自变量 x的增大而减小 D．图象与 y轴交于点  0 1， 2．数学课上，老师在黑板上画出了菱形 ABCD，并以点C为圆心， AC的长为半径画弧，交直线 BD于点 E F， ， 连接 AE EC CF AF， ， ， ，关于四边形 AECF的形状，让同学们进行讨论，小明认为：只有当 60DCB  时，四边 形 AECF是菱形；小红认为：当 45DCB  时，四边形 AECF是正方形，小刚认为：四边形 AECF 是菱形，且 120ECF  ，与 DCB 的度数无关，下列判断正确的是（ ） A．小明和小红正确，小刚错误 B．小红和小刚正确，小明错误 C．小明和小刚错误，小红正确 D．小明和小红错误，小刚正确 3．已知菱形的周长为 4 5，两条对角线的和为 6，则菱形的面积为( ) A．2 B． 5 C．3 D．4 九年级数学 试题卷第 2 页（共 6 页） 4．规定  x 表示不大于 x的最大整数，例如  2.3 2 ， 3 3 ， 2.5 3   ．那么函数  y x 的图象为（ ） A． B． C． D． 5．已知：平行四边形 AOCD的顶点 (0,0)O ，点C在 x轴的正半轴上，按以下步骤作图： ①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA于点M ，交OC于点 N． ②分别以点M ，N为圆心，大于 1 2 MN 的长为半径画弧，两弧在 AOC 内相交于点 E ③画射线OE，交 AD于点 (3,4)F ，则点A的坐标为（ ） A． 7 ,4 6      B．  2,4 C． 4 ,3 5      D． 6 ,4 7      6．如果最简二次根式 2a  与 2 7可以进行合并，则 2a 的值为（ ） A．7 B．16 C．25 D．81 7．如图，在矩形 ABCD中， 4AB  ， 2BC  ，动点 P从点 B出发，沿路线 B C D  做匀速运动，那么 ABP 面 积的S与点 P运动的路程 x之间的函数图像大致是（ ） A． B． C． D． 8．平面直角坐标系中，过点（-2，3）的直线 经过一、二、三象限，若点（0， ），（-1， ），（ ，-1）都在 直线 上，则下列判断正确的是（ ） A． B． C． D． 九年级数学 试题卷第 3 页（共 6 页） 9．在 ABCD 中 AB BC ． F 是 BC上一点， AE平分 FAD ，且 E是CD的中 点，则下列结论：① AB BF ；② AF CF CD  ；③ AF CF AD  ；④ AE EF ， 其中正确的是（ ） A．①② B．②④ C．③④ D．①②④ 10．如图，E，F分别是平行四边形 ABCD的边 AB，CD上的点，AF 与DE相交于点 P，BF与CE相交于点 Q，若 APDS a ， BQCS b ， ABCDS c ，则阴影部分的面积为（ ） A． a b B． c a b  C． 1 2 c a b  D．2a b 二、填空题：本题共 5小题，每小题 3分，共 15分． 11．如图，正方形 ABCD的边长为 2，点 E为边 BC的中点，点 P在对角线 BD上移动，则 PE+PC的最小值是 ． 12．若最简二次根式 2 2x  与 2 2x  是同类二次根式，则 x的值为 ． 13．在四边形 ABCD中，AB CD∥ ，给出下列 4组条件：① AB CD ，② AD BC ，③ AD BC∥ ，④ ABC ADC   ．其 中，不能．．得到“四边形 ABCD是平行四边形”的条件是 ．（只填序号） 14．为了响应学校“书香校园”建设，阳光班的同学们积极捐书，其中宏志学习小组的 6 名同学捐书册数分别是：5， 7，x，8，4，6．已知他们平均每人捐 6 本，则这组数据的中位数是 ． 15．矩形 ABCD中， 1AB  ，O是 BD的中点，点 E在直线 AD上，且 3DE  ，若 BOE△ 与 DOE 关于直线OE对称， 则 AD的长为 ． 三、解答题：本题共 8小题，共 75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．一条笔直的公路上依次有 A、B、C三地，甲车从 A地驶往 C地，乙车从 A地驶往 B地，修好后立即以原速的 两倍继续前进到达 B地；如图是甲、乙两车与 A地的距离 y（千米）（小时）之间的大致图象． (1)求 B、C两地之间的距离； (2)什么时候乙追上甲； (3)当两车相距 40千米时，甲车行驶了多长时间． 九年级数学 试题卷第 4 页（共 6 页） 17．如图，在Rt ABC△ 中， 90ABC  ， 2 3BC  ，E，F分别为 AB，AC的中点，过点 B作 AC的平行线与 FE 的延长线交于点 D，连接 BF， AD． (1)求证：四边形 ADBF 为菱形； (2)若 30C  ，求四边形 ADBC的面积． 18．小明对菱形的作法非常感兴趣，他根据所学的知识，利用直尺和圆规，在 ABCD 内分别以A，D为圆心，以 AD 的长为半径画弧，分别交 AB，DC于点 E，F ，快速地作出一个菱形 ADFE，如图（1）所示，根据小明的尺规作 图过程，解决下列问题． (1)小明用到的作图依据是（ ） A．一组对边平行且相等的四边形是菱形 B．两组对边分别相等的四边形是菱形 C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 (2)请在图（2） ABCD 内运用另一种尺规作图的方法作出菱形，并证明你的结论．（保留作图痕迹，不写作法） 九年级数学 试题卷第 5 页（共 6 页） 19．如图，在平行四边形 ABCD中，AE平分∠DAB，已知 CE＝6，BE＝8，DE＝10． （1）求 BC的长； （2）若∠CBE＝36°，求∠ADC． 20．某学校计划组织 452人参加社会实践活动，与某汽车租赁公司接洽后，得知该公司有A型和 B型两种客车，它 们的载客量和租金如下表所示． A型客车 B型客车 载客量/（人辆） 45 26 租金/（元/辆） 400 240 经测算，租用A型和 B型客车共 13辆较为合理．设租用A型客车 x辆． (1)用含 x的代数式填写下表． 车量数/辆 载客量/人 租金/元 A型客车 x 45x 400x B型客车 13 x (2)采用怎样的租车方案可以使总的租车费用最低？最低为多少？ 21．如图，在四边形 ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C，求证：AB=CD． 九年级数学 试题卷第 6 页（共 6 页） 22．已知，如图，在平行四边形 ABCD中，E、F分别为边 AB、CD的中点，对角线的中点，对角线 BD平分 EBF ． (1)求证：四边形 BEDF为菱形； (2)若 AG//DB交 CB的延长线于 G，求证：四边形 AGBD为矩形． 23．皇家驿站今年五一期间吸引了各地的游客前来观光，驻马店特产“伏陈醋”和“小磨香油”等也大受欢迎．某经销 商抓住商机，计划购进某种包装的“伏陈醋”和“小磨香油”共 100瓶，已知购进 10瓶“伏陈醋”和 20瓶“小磨香油”共 需 620元，购进 30瓶“伏陈醋”和 40瓶“小磨香油”共需 1360元． (1)每瓶“伏陈醋”和“小磨香油”的进价分别是多少元？ (2)结合游客的实际需求，该经销商决定购进“伏陈醋”的数量不超过“小磨香油”数量的 2 3 ，请你帮他计算如何进货才 能使所花费用最少，最少费用是多少元？ 天立教育2025－2026学年秋期入学联合考试 九年级数学参考答案及评分细则 第Ⅰ卷　选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D D A A D B D C C 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．D 【分析】本题主要考查了一次函数图像的性质、一次函数与坐标轴交点问题等知识点，灵活运用一次函数性质成为解题的关键． 根据一次函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：根据一次函数图像可知：函数值y随自变量x的增大而增大，，即A、C选项错误；由于k的值不确定，则一次函数与x轴交点坐标不确定，故B选项错误；当时，，即图象与y轴交于点，则D选项正确，符合题意． 故选：D． 2．D 【分析】本题考查的是菱形的判定与性质，正方形的判定，等边三角形的判定与性质，由菱形的性质证明，，由作图可得：，可得，再进一步的分析即可. 【详解】解：∵菱形， ∴，，， ∴，， 由作图可得：， ∴， ∴四边形为菱形；为等边三角形， ∴， ∴， ∴小明认为：只有当时，四边形是菱形；说法错误； 小刚认为：四边形是菱形，且，与的度数无关，说法正确； 当时，而， ∴四边形不是正方形， 小红认为：当时，四边形是正方形，说法错误； 故选D 3．D 【分析】根据菱形周长求出边长，根据勾股定理求出AO2+BO2=5，利用公式变形得出（AO+BO）2=9，求出2AO•BO=4，即可． 【详解】解：如图 四边形ABCD是菱形，AC+BD=6，菱形的周长为， ∴AB=，AC⊥BD，AO=AC，BO=BD， ∴AO+BO=3， ∴AO2+BO2=AB2，（AO+BO）2=9， 即AO2+BO2=5，AO2+2AO•BO+BO2=9， ∴2AO•BO=4， ∴菱形的面积=AC•BD=2AO•BO=4； 故选：D． 【点睛】本题考查菱形的性质、勾股定理，完全平方公式变形应用；解题的关键是记住菱形的面积公式，记住菱形的对角线互相垂直． 4．A 【分析】根据定义可将函数进行化简． 【详解】解：由已知得：当0≤x＜1时，y=[x]=0， 当1≤x＜2时，y=[x]=1， 当2≤x＜3时，y=[x]=2， 当-1≤x＜0时，y=[x]=-1， 当-2≤x＜-1时，y=[x]=-2， …… 由以上可得A选项符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查函数的图象，解题的关键是正确理解[x]的定义，然后对函数关系式进行化简． 5．A 【分析】本题考查了作图复杂作图．也考查了坐标与图形性质和平行四边形的性质．交轴于点，如图，利用基本作图得到，再根据平行四边形的性质和平行线的性质得到，所以，设，则，，在中利用勾股定理得到，然后解方程求出，从而得到点坐标． 【详解】解：交轴于点，如图， 由作法得平分， ， 四边形为平行四边形， ∴， ， ， 设，则， ， ，， ， ， 在中，， 解得， 点坐标为． 故选：A． 6．D 【分析】同类二次根式的定义：化简为最简二次根式后，被开方数是相同的， 由此得到，求解即可．本题考查了乘方，同类二次根式的定义，正确理解题意，得到是解题的关键． 【详解】解：最简二次根式与可以合并， ， 解得：， ∴ 故选：D． 7．B 【分析】根据点在线段、线段两种情况确定随的变化规律，确定出当点与点重合时，可确定的最大值，即可判断． 【详解】解：当点在线段上运动时， ∵，线段的长度将随着点沿路线运动的过程中而增大， ∴的面积随点的增大而增大， 当点与点重合时， ∵，， ∴， 当点在线段上运动时，的底边，边上的高的长是， ∴， 即此时的面积为定值，不随点的变化而变化， ∴符合题意的是B选项所表示的图像． 故选：B． 【点睛】本题考查动点问题的函数图像，运用了分类讨论的思想．能根据点的不同位置确定出变化趋势，且求出特殊点的值是解题的关键． 8．D 【详解】解：根据直线l经过第一、二、三象限且过点（-2，3），所以y随x的增大而增大． 因为-2<-1<0，所以3<b<a，所以A、B、C均错； 又因点（c，-1）在直线l上，所以c<-2． 故选D． 【点睛】考点：一次函数的图象和性质． 9．C 【分析】首先延长AD，交FE的延长线于点M，易证得△DEM≌△CEF，即可得EM＝EF，又由AE平分∠FAD，即可判定△AEM是等腰三角形，由三线合一的知识，可得AE⊥EF，进而可对各选项进行判断． 【详解】解：延长AD，交FE的延长线于点M， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠M＝∠EFC，   ∵E是CD的中点， ∴DE＝CE， 在△DEM和△CEF中， ， ∴△DEM≌△CEF（AAS）， ∴EM＝EF， ∵AE平分∠FAD， ∴AM＝AF，AE⊥EF． 即AF＝AD+DM＝CF+AD；故③，④正确，②错误． ∵AF不一定是∠BAD的角平分线， ∴AB不一定等于BF，故①错误． 故选：C． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 10．C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、三角形的面积，解题的关键在于求出各三角形之间的面积关系． 连接、两点，过点作于点，根据平行四边形的面积与三角形的面积公式推出，由三角形的面积公式推出，，进一步推出，，根据、阴影部分的面积得出答案即可． 【详解】解：连接、两点，过点作于点， ∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴的边上的高与的边上的高相等，的边上的高与的边上的高相等， ∴，， ∴，即， ，即， ∵，， ∴，， ∴， ∴阴影部分的面积． 故选：C． 第Ⅱ卷　非选择题 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11． 【分析】要求PE+PC的最小值，PE，PC不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PE，PC的值，从而找出其最小值求解． 【详解】解：如图，连接AE， ∵点C关于BD的对称点为点A， ∴PE+PC=PE+AP， 根据两点之间线段最短可得AE就是AP+PE的最小值， ∵正方形ABCD的边长为2，E是BC边的中点， ∴BE=1， ∴AE=． 故答案为：． 12．2． 【分析】根据同类二次根式的定义得到x2﹣2＝2x﹣2，求解即可. 【详解】∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴x2﹣2＝2x﹣2， 解得：x1＝0，x2＝2， 当x＝0时与是无意义， 所以x＝0舍去， 故答案为：2. 【点睛】此题考查同类二次根式的定义，最简二次根式的定义，正确理解定义列得x2﹣2＝2x﹣2是解题的关键. 13．② 【分析】根据平行四边形的判定直接判断即可． 【详解】①，则一组对边平行且相等，可得到四边形是平行四边形，不符合题意； ②，无法得到四边形是平行四边形，符合题意； ③，两组对边分别平行，可得到四边形是平行四边形，不符合题意； ④，则此两角都是的补角，而与为同旁内角互补，可推出，两组对边分别平行，可得到四边形是平行四边形，不符合题意； 故答案为：② 【点睛】此题考查平行四边形的判定定理，解题关键是熟练掌握所有平行四边形的判定定理． 14．6 【分析】根据平均数可得x的值，根据中位数的定义可得答案. 【详解】由题意可得：＝6，可知：x＝6，将该数据从小到大排列得：4,5,6,6,7,8，故中位数为＝6，故答案为6. 【点睛】本题主要考查了平均数和中位数的基本概念，解本题的要点在于求出x 的值. 15．或 【分析】本题考查轴对称的性质，矩形的性质，勾股定理，关键是要分两种情况讨论．分两种情况，如图①，由轴对称的性质得到，由勾股定理求出，得到，如图②，由轴对称的性质得到，由勾股定理求出，得到，即可得到的长为或． 【详解】解：如图①，    与关于直线对称， ， 四边形是矩形， ， ， ； 如图②，    与关于直线对称， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 则的长为或． 故答案为：或． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．(1)60千米 (2)出发后4.5小时 (3)或3.5或小时 【分析】本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，路程、速度、时间三者之间的关系． （1）根据题意，结合图象列式计算即可； （2）设乙t小时追上甲，根据甲行驶的路程＝乙行驶的路程，列出方程解答便可； （3）利用待定系数法分别求出时甲行驶的距离与x的关系式以及时，乙与A地距离与出发时间x之间的函数关系式，再列方程解答即可． 【详解】（1）乙前面的速度为：（千米/小时）， 乙后来的速度为：（千米/小时）， （千米）， 答：B、C两地之间的距离为60千米； （2）甲的速度为：（千米/小时）， 设乙t小时追上甲， 根据题意得， 解得， 答：出发后4.5小时乙追上甲； （3）当时，两车距离小于40， ①当时， 设甲距离A地的距离y（千米）与出发时间x（小时）之间的关系式为， 代入可得， ， ，解得； ②当时， 由（1）可得，A、B两地之间的距离为：， 设乙与A地距离与出发时间x之间的函数关系式为， 代入和 得， 解得， ， 解方程得（不合题意，舍去）， 解方程得； ③当时， 解方程得． 答：当两车相距40千米时，甲车行驶了或3.5或小时． 17．(1)见解析； (2)四边形的面积为． 【分析】（1）根据平行线的性质得出，求出，证，推出，推出四边形是平行四边形，再求出即可； （2）求出，，推出，由勾股定理得出，求出，求出，，即可求出四边形的面积． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵为中点， ∴， 在和中 ∴（ASA）， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵为中点，为中点， ∴， ∵， ∴， 即， ∴四边形为菱形； （2）解：∵，E，F分别为，的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∵，， ∴，， ∴四边形的面积为： ． 即：四边形的面积为． 【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质和判定，含30°角的直角三角形性质，菱形的性质和判定，三角形的面积，平行四边形的判定的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，题目综合性比较强，难度适中． 18．(1)C； (2)作图、证明见解析． 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定与性质，掌握菱形的判定方法是解题的关键． （）根据平行四边形的判定和性质，菱形的判定方法，结合作图分析即可； （）运用对角线互相垂直的平行四边形是菱形的方法作图即可． 【详解】（1）解：根据作图，， ∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形， 用到的作图依据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，有一组邻边相等的平行四边形是萎形， 故选：C； （2）解：连接，作的中垂线交于，则四边形是菱形， 理由：由作图可知：，，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形 19．（1）BC＝10；（2）126°． 【分析】（1）依据DC∥AB，可得∠DEA＝∠EAB，依据AE平分∠DAB，可得∠DAE＝∠EAB，再根据∠DAE＝∠DEA，即可得到AD＝DE＝10，进而得出BC＝10； （2）依据勾股定理的逆定理即可得出∠BEC＝90°，再根据三角形内角和定理得出∠C的度数，进而得到∠ADC的度数． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，DC∥AB， ∴∠DEA＝∠EAB， ∵AE平分∠DAB， ∴∠DAE＝∠EAB， ∴∠DAE＝∠DEA， ∴AD＝DE＝10， ∴BC＝10； （2）∵CE＝6，BE＝8，BC＝10， ∴CE2+BE2＝62+82＝100＝BC2， ∴△BCE是直角三角形，且∠BEC＝90°， ∴∠C＝90°﹣∠CBE＝90°﹣36°＝54°， ∵AD∥BC， ∴∠D＝180°﹣∠C＝180°﹣54°＝126°． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，解题时注意：平行四边形的对边相等，平行四边形的对角相等． 20．(1)； (2)租型车6辆、型车7辆时，总的租车费用最低，最低为4080元 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系得出代数式；（2）根据数量关系找出关于的函数关系式．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系找出一元一次不等式（或函数关系式）是关键． （1）根据“型车的载客量租的辆数满载人数”以及“租型车应付租金每辆的租金租的辆数”即可得出结论； （2）设租车的总费用为元，根据“总租金租型车的租金租型车的租金”即可得出关于的函数关系式，再根据共452人参加社会实践活动，列出关于的一元一次不等式，解不等式即可得出的取值范围，根据一次函数的性质即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设租用型客车辆，则租用型客车辆， 型车的载客量，租金为． 故答案为：；． （2）设租车的总费用为元，则有：． 由已知得：， 解得：． 在中， 当时，取最小值，最小值为4080元． 故租型车6辆、型车7辆时，总的租车费用最低，最低为4080元． 21．见解析 【分析】过点D作DF∥AB，易证四边形ABFD是平行四边形，所以AB=DF，再利用已知条件可证明DF=DC，进而可得AB=CD． 【详解】过点D作DF∥AB， ∵AD∥BC， ∴四边形ABFD是平行四边形， ∴AB=DF，∠DFC=∠B， ∵∠B=∠C， ∴∠DFC=∠C， ∴DF=DC， ∴AB=CD． 【点睛】此题考查平行四边形的判定和性质以及等腰三角形的判定和性质，解题的关键是正确作出辅助线构造平行四边形． 22．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，即可得AD=BC，AB∥CD，又由E、F分别为边AB、CD的中点，可得四边形DEBF是平行四边形，证出DE=BE可得出答案； （2）连接EF交BD于点O，由菱形的性质得出EF⊥DB，OD=OB，证明∠ADB=90°，由矩形的判定可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，ABCD， ∵E、F分别为边AB、CD的中点， ∴DF=EB，DFEB， ∴四边形DEBF是平行四边形， ∵DB平分∠EDF， ∴∠EDB=∠FDB， ∵DFEB， ∴∠FDB=∠EBD， ∴DE=BE， 又∵四边形DEBF是平行四边形， ∴四边形DEBF是菱形． （2）证明：连接EF交BD于点O， ∵四边形DEBF是菱形， ∴EF⊥DB，OD=OB， 又∵E为AB的中点， ∴OEAD， ∴AD⊥BD， ∴∠ADB=90°， ∵ADBG，AGBD， ∴四边形AGBD为平行四边形， ∵∠ADB=90°， ∴四边形AGBD为矩形． 【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键． 23．(1)每瓶“伏陈醋”的进价是12元，每瓶“小磨香油”的进价是25元 (2)购进“伏陈醋”40瓶，“小磨香油”60瓶，才能使所花费用最少，最少费用是1980元 【分析】本题考查二元一次方程组和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关系式． （1）设每瓶“伏陈醋”的进价是元，每瓶“小磨香油”的进价是元，可得：，即可解得每瓶“伏陈醋”的进价是12元，每瓶“小磨香油”的进价是25元； （2）设购进“伏陈醋” 瓶，由购进“伏陈醋”的数量不超过“小磨香油”数量的，得，，设他所花费用为元，则，由一次函数性质可得答案． 【详解】（1）设每瓶“伏陈醋”的进价是元，每瓶“小磨香油”的进价是元， 根据题意得：， 解得， 每瓶“伏陈醋”的进价是12元，每瓶“小磨香油”的进价是25元； （2）设购进“伏陈醋” 瓶，则购进“小磨香油” 瓶， 购进“伏陈醋”的数量不超过“小磨香油”数量的， ， 解得：， 设他所花费用为元， 根据题意得， ， 随增大而减小， 当时，取最小值（元， 此时， 购进“伏陈醋”40瓶，“小磨香油”60瓶，才能使所花费用最少，最少费用是1980元． 九年级数学 参考答案及评分细则第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 天立教育2025－2026学年秋期入学联合考试 九年级数学试题卷 本试题卷共6页，三大题，23小题，满分120分。考试时间100分钟。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知一次函数的图象如图，则下列说法正确的是（    ） A． B．当时， C．函数值y随自变量x的增大而减小 D．图象与y轴交于点 2．数学课上，老师在黑板上画出了菱形，并以点为圆心，的长为半径画弧，交直线于点，连接，关于四边形的形状，让同学们进行讨论，小明认为：只有当时，四边形是菱形；小红认为：当时，四边形是正方形，小刚认为：四边形是菱形，且，与的度数无关，下列判断正确的是（　　） A．小明和小红正确，小刚错误 B．小红和小刚正确，小明错误 C．小明和小刚错误，小红正确 D．小明和小红错误，小刚正确 3．已知菱形的周长为，两条对角线的和为6，则菱形的面积为(　　) A．2 B． C．3 D．4 4．规定表示不大于的最大整数，例如，，．那么函数的图象为（    ） A． B． C． D． 5．已知：平行四边形的顶点，点在轴的正半轴上，按以下步骤作图： ①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，交于点． ②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内相交于点 ③画射线，交于点，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 6．如果最简二次根式与可以进行合并，则的值为（   ） A．7 B．16 C．25 D．81 7．如图，在矩形中，，，动点从点出发，沿路线做匀速运动，那么面积的与点运动的路程之间的函数图像大致是（　　） A． B． C． D． 8．平面直角坐标系中，过点（-2，3）的直线经过一、二、三象限，若点（0，），（-1，），（，-1）都在直线上，则下列判断正确的是（ ） A． B． C． D． 9．在中．是上一点，平分，且是的中点，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（    ） A．①② B．②④ C．③④ D．①②④ 10．如图，E，F分别是平行四边形的边，上的点，与相交于点P，与相交于点Q，若，，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11．如图，正方形ABCD的边长为2，点E为边BC的中点，点P在对角线BD上移动，则PE+PC的最小值是 ． 12．若最简二次根式与是同类二次根式，则x的值为 ． 13．在四边形中，，给出下列4组条件：①，②，③，④．其中，不能得到“四边形是平行四边形”的条件是 ．（只填序号） 14．为了响应学校“书香校园”建设，阳光班的同学们积极捐书，其中宏志学习小组的6名同学捐书册数分别是：5，7，x，8，4，6．已知他们平均每人捐6本，则这组数据的中位数是 ． 15．矩形中，，是的中点，点在直线上，且，若与关于直线对称，则的长为 ． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．一条笔直的公路上依次有A、B、C三地，甲车从A地驶往C地，乙车从A地驶往B地，修好后立即以原速的两倍继续前进到达B地；如图是甲、乙两车与A地的距离y（千米）（小时）之间的大致图象．    (1)求B、C两地之间的距离； (2)什么时候乙追上甲； (3)当两车相距40千米时，甲车行驶了多长时间． 17．如图，在中，，，E，F分别为，的中点，过点B作的平行线与的延长线交于点D，连接，． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，求四边形的面积． 18．小明对菱形的作法非常感兴趣，他根据所学的知识，利用直尺和圆规，在内分别以，为圆心，以的长为半径画弧，分别交，于点，，快速地作出一个菱形，如图（）所示，根据小明的尺规作图过程，解决下列问题． (1)小明用到的作图依据是（   ） A．一组对边平行且相等的四边形是菱形 B．两组对边分别相等的四边形是菱形 C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 (2)请在图（2）内运用另一种尺规作图的方法作出菱形，并证明你的结论．（保留作图痕迹，不写作法） 19．如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠DAB，已知CE＝6，BE＝8，DE＝10． （1）求BC的长； （2）若∠CBE＝36°，求∠ADC．    20．某学校计划组织452人参加社会实践活动，与某汽车租赁公司接洽后，得知该公司有型和型两种客车，它们的载客量和租金如下表所示． A型客车 B型客车 载客量/（人辆） 45 26 租金/（元/辆） 400 240 经测算，租用型和型客车共13辆较为合理．设租用型客车辆． (1)用含的代数式填写下表． 车量数/辆 载客量/人 租金/元 A型客车 B型客车 (2)采用怎样的租车方案可以使总的租车费用最低？最低为多少？ 21．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C，求证：AB=CD． 22．已知，如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，对角线的中点，对角线BD平分． (1)求证：四边形BEDF为菱形； (2)若AG//DB交CB的延长线于G，求证：四边形AGBD为矩形． 23．皇家驿站今年五一期间吸引了各地的游客前来观光，驻马店特产“伏陈醋”和“小磨香油”等也大受欢迎．某经销商抓住商机，计划购进某种包装的“伏陈醋”和“小磨香油”共100瓶，已知购进10瓶“伏陈醋”和20瓶“小磨香油”共需620元，购进30瓶“伏陈醋”和40瓶“小磨香油”共需1360元． (1)每瓶“伏陈醋”和“小磨香油”的进价分别是多少元？ (2)结合游客的实际需求，该经销商决定购进“伏陈醋”的数量不超过“小磨香油”数量的，请你帮他计算如何进货才能使所花费用最少，最少费用是多少元？ 九年级数学 试题卷第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$九年级数学 参考答案及评分细则第 1 页（共 15 页） 天立教育 2025－2026学年秋期入学联合考试 九年级数学参考答案及评分细则 第Ⅰ卷 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D D A A D B D C C 一、选择题：本题共 10小题，每小题 3分，共 30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．D 【分析】本题主要考查了一次函数图像的性质、一次函数与坐标轴交点问题等知识点，灵活运用一次函数性质成为 解题的关键． 根据一次函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：根据一次函数图像可知：函数值 y随自变量 x的增大而增大， 0k  ，即 A、C选项错误；由于 k的值 不确定，则一次函数 1y kx  与 x轴交点坐标不确定，故B选项错误；当 0x  时， 1y   ，即图象与 y轴交于点  0 1， ， 则 D选项正确，符合题意． 故选：D． 2．D 【分析】本题考查的是菱形的判定与性质，正方形的判定，等边三角形的判定与性质，由菱形的性质证明 EA EC ， FA FC ，由作图可得：CA CE CF  ，可得 AE CE AF CF AC    ，再进一步的分析即可. 【详解】解：∵菱形 ABCD， ∴ AC BD ，OA OC ，OB OD ， ∴ EA EC ， FA FC ， 由作图可得：CA CE CF  ， ∴ AE CE AF CF AC    ， ∴四边形 AECF为菱形； AEC AFC , 为等边三角形， ∴ 60ACE ACF     ， ∴ 120ECF  ， ∴小明认为：只有当 60DCB  时，四边形 AECF 是菱形；说法错误； 小刚认为：四边形 AECF是菱形，且 120ECF  ，与 DCB 的度数无关，说法正确； 当 45DCB  时，而 120ECF  ， ∴四边形 AECF不是正方形， 小红认为：当 45DCB  时，四边形 AECF 是正方形，说法错误； 故选 D 九年级数学 参考答案及评分细则第 2 页（共 15 页） 3．D 【分析】根据菱形周长求出边长，根据勾股定理求出 AO2+BO2=5，利用公式变形得出（AO+BO）2=9，求出 2AO•BO=4， 即可． 【详解】解：如图 四边形 ABCD是菱形，AC+BD=6，菱形的周长为4 5， ∴AB= 5 ，AC⊥BD，AO= 1 2 AC，BO= 1 2 BD， ∴AO+BO=3， ∴AO2+BO2=AB2，（AO+BO）2=9， 即 AO2+BO2=5，AO2+2AO•BO+BO2=9， ∴2AO•BO=4， ∴菱形的面积= 12 AC•BD=2AO•BO=4； 故选：D． 【点睛】本题考查菱形的性质、勾股定理，完全平方公式变形应用；解题的关键是记住菱形的面积公式，记住菱形 的对角线互相垂直． 4．A 【分析】根据定义可将函数进行化简． 【详解】解：由已知得：当 0≤x＜1时，y=[x]=0， 当 1≤x＜2时，y=[x]=1， 当 2≤x＜3时，y=[x]=2， 当-1≤x＜0时，y=[x]=-1， 当-2≤x＜-1时，y=[x]=-2， …… 由以上可得 A选项符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查函数的图象，解题的关键是正确理解[x]的定义，然后对函数关系式进行化简． 5．A 【分析】本题考查了作图复杂作图．也考查了坐标与图形性质和平行四边形的性质．AD交 y轴于 B点，如图，利 用基本作图得到 AOF COF   ，再根据平行四边形的性质和平行线的性质得到 AFO AOF   ，所以 AF AO ，设 九年级数学 参考答案及评分细则第 3 页（共 15 页） ( ,4)A t ，则 AB t  ， 3OA t  ，在Rt OAB 中利用勾股定理得到 2 2 24 (3 )t t   ，然后解方程求出 t，从而得到A点坐 标． 【详解】解： AD交 y轴于 B点，如图， 由作法得OF平分 AOC ， AOF COF  ， 四边形 AOCD为平行四边形， ∴ AD OC∥ ， AFO AOF  ， AF AO  ， 设 ( ,4)A t ，则 AB t  ， (3,4)F ， 3BF  ， 4OB  ， 3AF t   ， 3OA t   ， 在Rt OAB 中， 2 2 24 (3 )t t   ， 解得 7 6 t   ， A 点坐标为 7 ,4 6      ． 故选：A． 6．D 【分析】同类二次根式的定义：化简为最简二次根式后，被开方数是相同的， 由此得到 2 7a   ，求解即可．本题 考查了乘方，同类二次根式的定义，正确理解题意，得到 2 7a   是解题的关键． 【详解】解：最简二次根式 2a  与2 7可以合并， 2 7a   ， 解得： 9a  ， ∴ 2 29 81a   故选：D． 7．B 九年级数学 参考答案及评分细则第 4 页（共 15 页） 【分析】根据点 P在线段 BC、线段DC两种情况确定S随 P的变化规律，确定出当点 P与点C重合时，可确定S的 最大值，即可判断． 【详解】解：当点 P在线段 BC上运动时， ∵ 4AB  ，线段 BP的长度 x将随着点 P沿路线B C 运动的过程中而增大， ∴ ABP 的面积S随点 P的增大而增大， 当点 P与点C重合时， ∵ 4AB  ， 2x BC  ， ∴ 1 1 4 2 4 2 2ABP S AB BC      最大△ ， 当点 P在线段DC上运动时， ABP 的底边 4AB  ， AB边上的高的长是 2， ∴ 1 4 2 4 2ABP S     ， 即此时 ABP 的面积S为定值 4，不随点 P的变化而变化， ∴符合题意的是 B选项所表示的图像． 故选：B． 【点睛】本题考查动点问题的函数图像，运用了分类讨论的思想．能根据点 P的不同位置确定出变化趋势，且求出 特殊点的值是解题的关键． 8．D 【详解】解：根据直线 l经过第一、二、三象限且过点（-2，3），所以 y随 x的增大而增大． 因为-2<-1<0，所以 3<b<a，所以 A、B、C均错； 又因点（c，-1）在直线 l上，所以 c<-2． 故选 D． 【点睛】考点：一次函数的图象和性质． 9．C 【分析】首先延长 AD，交 FE的延长线于点 M，易证得△DEM≌△CEF，即可得 EM＝EF，又由 AE平分∠FAD， 即可判定△AEM是等腰三角形，由三线合一的知识，可得 AE⊥EF，进而可对各选项进行判断． 【详解】解：延长 AD，交 FE的延长线于点 M， ∵四边形 ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠M＝∠EFC， ∵E是 CD的中点， ∴DE＝CE， 在△DEM和△CEF中， 九年级数学 参考答案及评分细则第 5 页（共 15 页） M EFC DEM CEF DE CE         ， ∴△DEM≌△CEF（AAS）， ∴EM＝EF， ∵AE平分∠FAD， ∴AM＝AF，AE⊥EF． 即 AF＝AD+DM＝CF+AD；故③，④正确，②错误． ∵AF不一定是∠BAD的角平分线， ∴AB不一定等于 BF，故①错误． 故选：C． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中， 注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 10．C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、三角形的面积，解题的关键在于求出各三角形之间的面积关系． 连接 E、F 两点，过点 E作 EM DC 于点M ，根据平行四边形的面积与三角形的面积公式推出 0.5DECS c ，由三角 形的面积公式推出 EFC BCFS S  ， EFD AFDS S=  ，进一步推出 EFQ BQC bS S   ， EFP APD aS S   ，根据 EFP EFQEPFQS S S  四边形 、阴影部分的面积 DEC EPFQS S  四边形 得出答案即可． 【详解】解：连接 E、 F 两点，过点 E作 EM DC 于点M ， ∵ 1 2DEC S DC EM  ， ABCDS DC EM c   ， ∴ 0.5DECS c ， ∵四边形 ABCD是平行四边形， ∴ AB CD∥ ， ∴ EFC 的 FC边上的高与 BCFV 的 FC边上的高相等， EFD 的FD边上的高与 AFD△ 的 FD边上的高相等， 九年级数学 参考答案及评分细则第 6 页（共 15 页） ∴ EFC BCFS S  ， EFD AFDS S=  ， ∴ EFC FQC BCF FQCS S S S     ，即 EFQ BQCS S△ △ ， EFD DPF AFD DPFS S S S     ，即 EFP APDS S  ， ∵ APDS a ， BQCS b ， ∴ EFPS a ， EFQS b ， ∴ EFP EFQEPFQS S S a b    四边形 ， ∴阴影部分的面积  0.5 0.5DEC EPFQS S c a b c a b        四边形 ． 故选：C． 第Ⅱ卷 非选择题 二、填空题：本题共 5小题，每小题 3分，共 15分． 11． 5 【分析】要求 PE+PC的最小值，PE，PC不能直接求，可考虑通过作辅助线转化 PE，PC的值，从而找出其最小值 求解． 【详解】解：如图，连接 AE， ∵点 C关于 BD的对称点为点 A， ∴PE+PC=PE+AP， 根据两点之间线段最短可得 AE就是 AP+PE的最小值， ∵正方形 ABCD的边长为 2，E是 BC边的中点， ∴BE=1， ∴AE= 2 21 2 5  ． 故答案为： 5 ． 12．2． 【分析】根据同类二次根式的定义得到 x2﹣2＝2x﹣2，求解即可. 【详解】∵最简二次根式 2 2x  与 2 2x  是同类二次根式， ∴x2﹣2＝2x﹣2， 九年级数学 参考答案及评分细则第 7 页（共 15 页） 解得：x1＝0，x2＝2， 当 x＝0时 2 2x  与 2 2x  是无意义， 所以 x＝0舍去， 故答案为：2. 【点睛】此题考查同类二次根式的定义，最简二次根式的定义，正确理解定义列得 x2﹣2＝2x﹣2是解题的关键. 13．② 【分析】根据平行四边形的判定直接判断即可． 【详解】① AB CD ，则一组对边平行且相等，可得到四边形 ABCD是平行四边形，不符合题意； ② AD BC ，无法得到四边形 ABCD是平行四边形，符合题意； ③ AD BC∥ ，两组对边分别平行，可得到四边形 ABCD是平行四边形，不符合题意； ④ ABC ADC   ，则此两角都是 BAC 的补角，而 BAC 与 ABC 为同旁内角互补，可推出 AD BC∥ ，两组对 边分别平行，可得到四边形 ABCD是平行四边形，不符合题意； 故答案为：② 【点睛】此题考查平行四边形的判定定理，解题关键是熟练掌握所有平行四边形的判定定理． 14．6 【分析】根据平均数可得 x的值，根据中位数的定义可得答案. 【详解】由题意可得： 5 7 x 8 4 6 6      ＝6，可知：x＝6，将该数据从小到大排列得：4,5,6,6,7,8，故中位数为 6 6 2  ＝6，故答案为 6. 【点睛】本题主要考查了平均数和中位数的基本概念，解本题的要点在于求出 x 的值. 15．3 2 2 或3 2 2 【分析】本题考查轴对称的性质，矩形的性质，勾股定理，关键是要分两种情况讨论．分两种情况，如图①，由轴 对称的性质得到 3BE DE= = ，由勾股定理求出 2 2 2 2AE BE AB   ，得到 3 2 2AD DE AE    ，如图②，由轴对 称的性质得到 3BE DE= = ，由勾股定理求出 2 2 2 2AE BE AB   ，得到 3 2 2AD DE AE    ，即可得到 AD的长 为3 2 2 或3 2 2 ． 【详解】解：如图①， BOE△ 与 DOE 关于直线OE对称， 3BE DE   ， 四边形 ABCD是矩形， 九年级数学 参考答案及评分细则第 8 页（共 15 页） 90A  ， 2 2 2 23 1 2 2AE BE AB      ， 3 2 2AD DE AE     ； 如图②， BOE△ 与 DOE 关于直线OE对称， 3BE DE   ， 四边形 ABCD是矩形， 90BAD  Q ， 90BAE  ， 1AB  ， 2 2 2 2AE BE AB    ， 3 2 2AD DE AE     ， 则 AD的长为3 2 2 或3 2 2 ． 故答案为：3 2 2 或3 2 2 ． 三、解答题：本题共 8小题，共 75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．(1)60千米 (2)出发后 4.5小时 (3) 7 3 或 3.5或 17 3 小时 【分析】本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，路程、速度、时间三者之间的关 系． （1）根据题意，结合图象列式计算即可； （2）设乙 t小时追上甲，根据甲行驶的路程＝乙行驶的路程，列出方程解答便可； （3）利用待定系数法分别求出2 2.8x  时甲行驶的距离与 x的关系式以及 2.8 4.8x  时，乙与 A地距离与出发时 间 x之间的函数关系式，再列方程解答即可． 【详解】（1）乙前面的速度为：100 2 50  （千米/小时）， 乙后来的速度为：50 2 100  （千米/小时）， 360 100 100 (4.8 2.8) 60BC       （千米）， 九年级数学 参考答案及评分细则第 9 页（共 15 页） 答：B、C两地之间的距离为 60千米； （2）甲的速度为：360 6 60  （千米/小时）， 设乙 t小时追上甲， 根据题意得60 100 100( 2.8)t t   ， 解得 4.5t  ， 答：出发后 4.5小时乙追上甲； （3）当0 2x  时，两车距离小于 40， ①当2 2.8x  时， 设甲距离 A地的距离 y（千米）与出发时间 x（小时）之间的关系式为 1y k x ， 代入 (6,360)可得 2 60k  ， 60 ,y x  ， 60 100 40x   ，解得 7 3 x  ； ②当 2.8 4.8x  时， 由（1）可得，A、B两地之间的距离为：360 60 300(km)  ， 设乙与 A地距离与出发时间 x之间的函数关系式为 2y k x b  ， 代入 (2.8,100)和 (4.8,300) 得 2 2 2.8 100 4.8 300 k b k b      ， 解得 2 100 180 k b     ， 100 180,y x   ， 解方程100 180 60 40x x   得 5.2x  （不合题意，舍去）， 解方程60 (100 180) 40x x   得 3.5x  ； ③当 4.8x  时， 解方程60 300 40x   得 17 3 x  ． 答：当两车相距 40千米时，甲车行驶了 7 3 或 3.5或 17 3 小时． 17．(1)见解析； (2)四边形 ADBC的面积为3 3． 【分析】（1）根据平行线的性质得出 DBE EAF   ，求出 AE BE ，证 AEF BED ≌ ，推出 EF DE ，推出四 边形 ADBF 是平行四边形，再求出 AB DF 即可； 九年级数学 参考答案及评分细则第 10 页（共 15 页） （2）求出 1 3 2 EF BC  ， 30AFE C    ，推出 2AF AE ，由勾股定理得出 2 2 2( 3) (2 )AE AE  ，求出 1AE  ， 求出 2 2AB AE  ， 2 2 3DF EF  ，即可求出四边形的面积． 【详解】（1）证明：∵BD AC∥ ， ∴ DBE EAF   ， ∵ E为 AB中点， ∴ AE BE ， 在 AEF△ 和 BED 中 EAF DBE AE BE AEF BED         ∴ AEF BED ≌ （ASA）， ∴ EF DE ， ∵ AE BE ， ∴四边形 ADBF 是平行四边形， ∵ E为 AB中点， F 为 AC中点， ∴ EF BC∥ ， ∵ 90ABC  ， ∴ 90AEF ABC    ， 即 AB DF ， ∴四边形 ADBF 为菱形； （2）解：∵ 2 3BC  ，E，F分别为 AB， AC的中点， ∴ EF BC∥ ， 1 3 2 EF BC  ， ∵ 30C  ， ∴ 30AFE C    ， ∴ 2AF AE ， 在RtAEF 中，由勾股定理得： 2 2 2( 3) (2 )AE AE  ， 解得： 1AE  ， ∵ 1AE BE  ， EF DE ， 3EF ∴ 2 2AB AE  ， 2 2 3DF EF  ， ∴四边形 ADBC的面积为： 1 1 1 12 2 3 2 3 1 3 3 2 2 2 2FBCADBF S S S AB DF BC BE            菱形 ． 九年级数学 参考答案及评分细则第 11 页（共 15 页） 即：四边形 ADBC的面积为3 3． 【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质和判定，含 30°角的直角三角形性质，菱形的性质和判定，三角 形的面积，平行四边形的判定的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，题目综合性比较强，难度适中． 18．(1)C； (2)作图、证明见解析． 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定与性质，掌握菱形的判定方法是解题的 关键． （1）根据平行四边形的判定和性质，菱形的判定方法，结合作图分析即可； （ 2）运用对角线互相垂直的平行四边形是菱形的方法作图即可． 【详解】（1）解：根据作图， AE AD DF  ， ∵四边形 ABCD是平行四边形， ∴CD AB∥ ，即 AE DF∥ ， ∵ AE DF ， ∴四边形 AEFD是平行四边形， ∵ AE AD ， ∴平行四边形 AEFD是菱形， 用到的作图依据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，有一组邻边相等的平行四边形是萎形， 故选：C； （2）解：连接 AC，作 AC的中垂线交CD AB、 于G H、 ，则四边形 AHCG是菱形， 理由：由作图可知： AG CG ， AH CH ， AO CO ， ∵四边形 ABCD是平行四边形， ∴CD AB∥ ， ∴ OCG OAH  ， ∵ COG AOH  ， AO CO ， ∴  ASACOG AOH ≌ ， ∴OG OH ， ∴四边形 AHCG是平行四边形， 九年级数学 参考答案及评分细则第 12 页（共 15 页） ∵ AG CG ， ∴四边形 AHCG是菱形 19．（1）BC＝10；（2）126°． 【分析】（1）依据 DC∥AB，可得∠DEA＝∠EAB，依据 AE平分∠DAB，可得∠DAE＝∠EAB，再根据∠DAE＝ ∠DEA，即可得到 AD＝DE＝10，进而得出 BC＝10； （2）依据勾股定理的逆定理即可得出∠BEC＝90°，再根据三角形内角和定理得出∠C的度数，进而得到∠ADC的 度数． 【详解】解：（1）∵四边形 ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，DC∥AB， ∴∠DEA＝∠EAB， ∵AE平分∠DAB， ∴∠DAE＝∠EAB， ∴∠DAE＝∠DEA， ∴AD＝DE＝10， ∴BC＝10； （2）∵CE＝6，BE＝8，BC＝10， ∴CE2+BE2＝62+82＝100＝BC2， ∴△BCE是直角三角形，且∠BEC＝90°， ∴∠C＝90°﹣∠CBE＝90°﹣36°＝54°， ∵AD∥BC， ∴∠D＝180°﹣∠C＝180°﹣54°＝126°． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，解题时注意：平行四边形的对边相等，平行四边形的对角相等． 20．(1) 26(13 )x ； 240(13 )x (2)租A型车 6辆、 B型车 7辆时，总的租车费用最低，最低为 4080元 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系得出代数式；（2）根据数量关系找出W 关于 x的函数关系式．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系找出一元一次不等式（或函 数关系式）是关键． （1）根据“ B型车的载客量租的辆数满载人数”以及“租 B型车应付租金 每辆的租金租的辆数”即可得出结论； （2）设租车的总费用为W元，根据“总租金租A型车的租金 租 B型车的租金”即可得出W关于 x的函数关系式， 再根据共 452人参加社会实践活动，列出关于 x的一元一次不等式，解不等式即可得出 x的取值范围，根据一次函 数的性质即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设租用A型客车 x辆，则租用 B型客车 (13 )x 辆， 九年级数学 参考答案及评分细则第 13 页（共 15 页） B型车的载客量 26(13 )x ，租金为 240(13 )x ． 故答案为： 26(13 )x ； 240(13 )x ． （2）设租车的总费用为W元，则有： 400 240(13 ) 160 3120W x x x     ． 由已知得： 45 26(13 ) 452x x   ， 解得： 6x  ． 在 160 3120W x  中160 0 ， 当 6x  时，W取最小值，最小值为 4080元． 故租A型车 6辆、 B型车 7辆时，总的租车费用最低，最低为 4080元． 21．见解析 【分析】过点 D作 DF∥AB，易证四边形 ABFD是平行四边形，所以 AB=DF，再利用已知条件可证明 DF=DC，进 而可得 AB=CD． 【详解】过点 D作 DF∥AB， ∵AD∥BC， ∴四边形 ABFD是平行四边形， ∴AB=DF，∠DFC=∠B， ∵∠B=∠C， ∴∠DFC=∠C， ∴DF=DC， ∴AB=CD． 【点睛】此题考查平行四边形的判定和性质以及等腰三角形的判定和性质，解题的关键是正确作出辅助线构造平行 四边形． 22．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由四边形 ABCD是平行四边形，即可得 AD=BC，AB∥CD，又由 E、F分别为边 AB、CD的中点， 可得四边形 DEBF是平行四边形，证出 DE=BE可得出答案； （2）连接 EF交 BD于点 O，由菱形的性质得出 EF⊥DB，OD=OB，证明∠ADB=90°，由矩形的判定可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形 ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，AB∥CD， ∵E、F分别为边 AB、CD的中点， 九年级数学 参考答案及评分细则第 14 页（共 15 页） ∴DF=EB，DF∥EB， ∴四边形 DEBF是平行四边形， ∵DB平分∠EDF， ∴∠EDB=∠FDB， ∵DF∥EB， ∴∠FDB=∠EBD， ∴DE=BE， 又∵四边形 DEBF是平行四边形， ∴四边形 DEBF是菱形． （2）证明：连接 EF交 BD于点 O， ∵四边形 DEBF是菱形， ∴EF⊥DB，OD=OB， 又∵E为 AB的中点， ∴OE∥AD， ∴AD⊥BD， ∴∠ADB=90°， ∵AD∥BG，AG∥BD， ∴四边形 AGBD为平行四边形， ∵∠ADB=90°， ∴四边形 AGBD为矩形． 【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰三角形的性质等知识；熟练 掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键． 23．(1)每瓶“伏陈醋”的进价是 12元，每瓶“小磨香油”的进价是 25元 (2)购进“伏陈醋”40瓶，“小磨香油”60瓶，才能使所花费用最少，最少费用是 1980元 【分析】本题考查二元一次方程组和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关系式． （1）设每瓶“伏陈醋”的进价是m元，每瓶“小磨香油”的进价是 n元，可得： 10 20 620 30 40 1360 m n m n      ，即可解得每瓶“伏 陈醋”的进价是 12元，每瓶“小磨香油”的进价是 25元； （2）设购进“伏陈醋” x瓶，由购进“伏陈醋”的数量不超过“小磨香油”数量的 2 3 ，得 2 (100 ) 3 x x  ， 40x  ，设他 九年级数学 参考答案及评分细则第 15 页（共 15 页） 所花费用为w元，则 12 25(100 ) 13 2500w x x x      ，由一次函数性质可得答案． 【详解】（1）设每瓶“伏陈醋”的进价是m元，每瓶“小磨香油”的进价是 n元， 根据题意得： 10 20 620 30 40 1360 m n m n      ， 解得 12 25 m n    ， 每瓶“伏陈醋”的进价是 12元，每瓶“小磨香油”的进价是 25元； （2）设购进“伏陈醋” x瓶，则购进“小磨香油” (100 )x 瓶， 购进“伏陈醋”的数量不超过“小磨香油”数量的 2 3 ， 2 (100 ) 3 x x   ， 解得： 40x  ， 设他所花费用为w元， 根据题意得 12 25(100 ) 13 2500w x x x      ， 13 0  ， w 随 x增大而减小， 当 40x  时，w取最小值 13 40 2500 1980    （元 )， 此时100 100 40 60x    ， 购进“伏陈醋”40瓶，“小磨香油”60瓶，才能使所花费用最少，最少费用是 1980元． 九年级数学 试题卷第 1 页（共 3 页） 绝密★启用前 天立教育 2025－2026学年秋期入学联合考试 九年级数学试题卷 本试题卷共 6页，三大题，23小题，满分 120分。考试时间 100分钟。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 10小题，每小题 3分，共 30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知一次函数 1y kx  的图象如图，则下列说法正确的是（ ） A． 0k  B．当 1x   时， 0y  C．函数值 y随自变量 x的增大而减小 D．图象与 y轴交于点  0 1， 2．数学课上，老师在黑板上画出了菱形 ABCD，并以点C为圆心， AC的长为半径画弧，交直线 BD于点 E F， ， 连接 AE EC CF AF， ， ， ，关于四边形 AECF的形状，让同学们进行讨论，小明认为：只有当 60DCB  时，四边 形 AECF是菱形；小红认为：当 45DCB  时，四边形 AECF是正方形，小刚认为：四边形 AECF 是菱形，且 120ECF  ，与 DCB 的度数无关，下列判断正确的是（ ） A．小明和小红正确，小刚错误 B．小红和小刚正确，小明错误 C．小明和小刚错误，小红正确 D．小明和小红错误，小刚正确 3．已知菱形的周长为 4 5，两条对角线的和为 6，则菱形的面积为( ) A．2 B． 5 C．3 D．4 4．规定 x 表示不大于 x的最大整数，例如  2.3 2 ， 3 3 ， 2.5 3   ．那么函数  y x 的图象为（ ） A． B． C． D． 5．已知：平行四边形 AOCD的顶点 (0,0)O ，点C在 x轴的正半轴上，按以下步骤作图： ①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA于点M ，交OC于点 N． ②分别以点M ，N为圆心，大于 1 2 MN的长为半径画弧，两弧在 AOC 内相交于点 E ③画射线OE，交 AD于点 (3,4)F ，则点A的坐标为（ ） A． 7 ,4 6      B．  2,4 C． 4 ,3 5      D． 6 ,4 7      6．如果最简二次根式 2a  与2 7可以进行合并，则 2a 的值为（ ） A．7 B．16 C．25 D．81 7．如图，在矩形 ABCD中， 4AB  ， 2BC  ，动点 P从点 B出发，沿路线 B C D  做匀速运动，那么 ABP 面 积的S与点 P运动的路程 x之间的函数图像大致是（ ） A． B． C． D． 8．平面直角坐标系中，过点（-2，3）的直线 经过一、二、三象限，若点（0， ），（-1， ），（ ，-1）都在 直线 上，则下列判断正确的是（ ） A． B． C． D． 九年级数学 试题卷第 2 页（共 3 页） 9．在 ABCD 中 AB BC ． F 是 BC上一点， AE平分 FAD ，且 E是CD的中 点，则下列结论：① AB BF ；② AF CF CD  ；③ AF CF AD  ；④ AE EF ， 其中正确的是（ ） A．①② B．②④ C．③④ D．①②④ 10．如图，E，F分别是平行四边形 ABCD的边 AB，CD上的点，AF 与DE相交于点 P，BF与CE相交于点 Q，若 APDS a ， BQCS b ， ABCDS c ，则阴影部分的面积为（ ） A． a b B． c a b  C． 1 2 c a b  D．2a b 二、填空题：本题共 5小题，每小题 3分，共 15分． 11．如图，正方形 ABCD的边长为 2，点 E为边 BC的中点，点 P在对角线 BD上移动，则 PE+PC的最小值是 ． 12．若最简二次根式 2 2x  与 2 2x  是同类二次根式，则 x的值为 ． 13．在四边形 ABCD中，AB CD∥ ，给出下列 4组条件：① AB CD ，② AD BC ，③ AD BC∥ ，④ ABC ADC   ．其 中，不能．．得到“四边形 ABCD是平行四边形”的条件是 ．（只填序号） 14．为了响应学校“书香校园”建设，阳光班的同学们积极捐书，其中宏志学习小组的 6 名同学捐书册数分别是：5， 7，x，8，4，6．已知他们平均每人捐 6 本，则这组数据的中位数是 ． 15．矩形 ABCD中， 1AB  ，O是 BD的中点，点 E在直线 AD上，且 3DE  ，若 BOE△ 与 DOE 关于直线OE对称， 则 AD的长为 ． 三、解答题：本题共 8小题，共 75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．一条笔直的公路上依次有 A、B、C三地，甲车从 A地驶往 C地，乙车从 A地驶往 B地，修好后立即以原速的 两倍继续前进到达 B地；如图是甲、乙两车与 A地的距离 y（千米）（小时）之间的大致图象． (1)求 B、C两地之间的距离； (2)什么时候乙追上甲； (3)当两车相距 40千米时，甲车行驶了多长时间． 17．如图，在Rt ABC△ 中， 90ABC  ， 2 3BC  ，E，F分别为 AB，AC的中点，过点 B作 AC的平行线与FE 的延长线交于点 D，连接 BF， AD． (1)求证：四边形 ADBF 为菱形； (2)若 30C  ，求四边形 ADBC的面积． 18．小明对菱形的作法非常感兴趣，他根据所学的知识，利用直尺和圆规，在 ABCD 内分别以A，D为圆心，以 AD 的长为半径画弧，分别交 AB，DC于点 E，F ，快速地作出一个菱形 ADFE，如图（1）所示，根据小明的尺规作 图过程，解决下列问题． (1)小明用到的作图依据是（ ） A．一组对边平行且相等的四边形是菱形 B．两组对边分别相等的四边形是菱形 C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 (2)请在图（2） ABCD 内运用另一种尺规作图的方法作出菱形，并证明你的结论．（保留作图痕迹，不写作法） 九年级数学 试题卷第 3 页（共 3 页） 19．如图，在平行四边形 ABCD中，AE平分∠DAB，已知 CE＝6，BE＝8，DE＝10． （1）求 BC的长； （2）若∠CBE＝36°，求∠ADC． 20．某学校计划组织 452人参加社会实践活动，与某汽车租赁公司接洽后，得知该公司有A型和 B型两种客车，它 们的载客量和租金如下表所示． A型客车 B型客车 载客量/（人辆） 45 26 租金/（元/辆） 400 240 经测算，租用A型和 B型客车共 13辆较为合理．设租用A型客车 x辆． (1)用含 x的代数式填写下表． 车量数/辆 载客量/人 租金/元 A型客车 x 45x 400x B型客车 13 x (2)采用怎样的租车方案可以使总的租车费用最低？最低为多少？ 21．如图，在四边形 ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C，求证：AB=CD． 22．已知，如图，在平行四边形 ABCD中，E、F分别为边 AB、CD的中点，对角线的中点，对角线 BD平分 EBF ． (1)求证：四边形 BEDF为菱形； (2)若 AG//DB交 CB的延长线于 G，求证：四边形 AGBD为矩形． 23．皇家驿站今年五一期间吸引了各地的游客前来观光，驻马店特产“伏陈醋”和“小磨香油”等也大受欢迎．某经销 商抓住商机，计划购进某种包装的“伏陈醋”和“小磨香油”共 100瓶，已知购进 10瓶“伏陈醋”和 20瓶“小磨香油”共 需 620元，购进 30瓶“伏陈醋”和 40瓶“小磨香油”共需 1360元． (1)每瓶“伏陈醋”和“小磨香油”的进价分别是多少元？ (2)结合游客的实际需求，该经销商决定购进“伏陈醋”的数量不超过“小磨香油”数量的 2 3 ，请你帮他计算如何进货才 能使所花费用最少，最少费用是多少元？