第二章 直角三角形的边角关系（知识清单）数学鲁教版五四制九年级上册

第二章 直角三角形的边角关系 1. 正弦、余弦、正切 正弦：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的对边与斜边的比叫做 ∠A的正弦，记作sin A，即； 余弦：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的邻边与斜边的比叫做 ∠A的余弦，记作cos A，即； 正切：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的对边与邻边的比叫做 ∠A的正切，记作tan A，则 2. 锐角三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都是∠A的三角函数．（其中：0＜∠A＜90°） 3. 特殊角的三角函数值 利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，如下表所示： 三角函数值 特殊角 30° 45° 60° sin α cos α tan α 1 4. 锐角三角函数的关系： 在Rt△ABC中，若∠C为直角，则∠A与∠B互余时，有以下两种关系： 1）同角三角函数的关系： ① 平方关系：； ② 商数关系：. 2) 互余两角的三角函数关系： ① 互余关系： sin A = cos B，即一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值. sin B = cos A，即一个锐角的余弦值等于它的余角的正弦值. ② 倒数关系： 5. 解直角三角形 定义：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形． 在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系： 1）直角三角形的五个元素：边：a、b、c，角：∠A、∠B. 2）三边之间的关系：. 3）两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°. 4）边角之间的关系：sin A = ，sin B = ，cos A= ，tan A = . 解直角三角形的常见类型 已知条件 解法步骤 图示 两 边 斜边和一直角边(如a，c) 两直角边(如a，b) 一 边 一 角 斜边和一锐角（如c，∠A） 一直角边和一锐角（如a，∠A） 另一直角边和一锐角（如b，∠A） 【总结】在直角三角形中，除直角外的五个元素中，已知其中的两个元素(至少有一条边)，可求出其余的三个未知元素(知二求三). 6. 解直角三角形应用题中的常见概念 1）仰角、俯角 视角：视线与水平线的夹角叫做视角． 仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角． 俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角． 【注意】仰角和俯角是相对于水平线而言的，在不同的位置观测，仰角和俯角是不同的. 2）坡度、坡角 坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作. 坡角：坡面与水平面的夹角α叫做坡角. 【注意】坡度与坡角是两个不同的概念，坡角是两个面的夹角，坡度(用字母i表示)是比；两者之压间的关系是，坡角越大，坡度越大. 3）方位角、方向角 方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°. 方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°. 序号 易错点 易错题 注意事项 1 锐角三角函数概念混淆 1-3 正弦、余弦、正切是在直角三角形中进行定义的，本质是两条线段的比，因此没有单位，只与角的大小有关，而与直角三角形的边长无关. 2 记错特殊角三角函数值 4-6 有关特殊角的三角函数值的计算是一类重要题型，解这类问题时，要熟记30°、45°60°角的三种三角函数值，并能准确地把值代入算式，结合实数的运算顺序及运算法则进行相关计算. 3 解直角三角形 7-8 题目若没有直角三角形，有时需要通过辅助线来构造直角三角形. 4 解直角三角形的实际应用 9-13 理解仰角、俯角、坡角、坡比、方向角等的概念 1．（24-25九年级上·山东济南·期中）在中，，，，的对边分别用表示，则下列等式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义及运用，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，根据锐角三角函数的定义进行解答即可求解，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：、，即，该选项等式正确，不合题意； 、，即，该选项等式不正确，符合题意； 、，即，该选项等式正确，不合题意； 、，即，该选项等式正确，不合题意； 故选：．    2．（23-24九年级上·广东清远·阶段练习）把三边的长度都扩大为原来的2倍，则锐角的正弦值（   ） A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的2倍 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，由于三边的长度都扩大为原来的倍所得的三角形与原三角形相似，得到锐角的大小没改变，根据正弦的定义得到锐角的正弦值也不变． 【详解】因为三边的长度都扩大为原来的倍，所得的三角形与原三角形相似， 所以锐角的大小没改变，所以锐角的正弦值也不变． 故选A． 3．（23-24九年级上·山东泰安·阶段练习）如图，在中，，于点，则下列结论不正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用余弦的定义即可判断A、B，根据同角的余角相等可得，再根据余弦的定义即可判断C、D，即可得到答案． 【详解】解：， ， 在中，，故A正确，不符合题意； ， 在中，，故B正确，不符合题意； ，， ， 在中，，故D正确，不符合题意，C错误，符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了余弦的定义、同角的余角相等，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． 4．（24-25九年级下·山东济南·开学考试）下列三角函数值是有理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，无理数．熟练掌握特殊角的三角函数值，无理数得概念是解题的关键．分别求出各选项中特殊角的三角函数值，然后进行判断即可． 【详解】解：A、，是无理数，不符合题意； B、，是分数，为有理数，符合题意； C、，是无理数，不符合题意； D、，是无理数，不符合题意； 故选：B． 5．（2024·天津滨海新·模拟预测）的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查特殊角三角函数值及二次根式的加减运算，将，代入，再进行加减运算即可．熟记特殊角三角函数值是解题的关键． 【详解】解：， ∴的值是． 故选：A． 6．（24-25九年级上·山东滨州·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算、二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算特殊角的三角函数值，再计算二次根式的乘法与加减法即可得． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·福建漳州·期末）四边形具有不稳定性，如图，将面积为5的矩形“推”成面积为4的平行四边形，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，矩形，平行四边形，关键是由矩形、平行四边形的面积推出． 由矩形、平行四边形的面积得到，即可求出的值， 【详解】 解：如图，作于， ∵，， ∴， ∴， 令，， ∴， ∴=， 故答案为： 8．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，求和的长． 【答案】， 【分析】如图，作边上的高．,，分别使用勾股定理，计算即可，本题考查了化斜为直解直角三角形，熟练掌握作高是解题的关键． 【详解】解：如图，作边上的高． 在中， ∵， ∴． ∴． 在中， ∵， ∴， ∴． ∴，． ∴． 9．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，某数学实践小组测量一棵垂直于地面的树的高度．在点A处测得树顶C的仰角为，在点B处测得树顶C的仰角为，且A、D、B三点在同一直线上，若米，则这棵树的高度是 米． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用．设米，，根据三角形函数得出，，根据，得出，求出，据此计算即可得出答案． 【详解】解：由题意得：， 设米， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ， ∴， 解得：， ∴， 这棵树的高度约为米． 故答案为：． 10．（24-25九年级上·山东烟台·期中）某校组织一次定向越野拉练活动．如图，点为出发点，途中设置两个检查点，分别为点和点，行进路线为，点在点的南偏东方向处，点在点的北偏东方向，．则检查点和之间的距离 ． 【答案】 【分析】本题主要考查三角函数的应用．过点A作，垂足为，由等角对等边得出，再由正弦函数及正切函数求解即可． 【详解】解：过点A作，垂足为． ， ， ． ， 在中， ， ． ， 在中， ， ， ． 故答案为：． 11．（24-25九年级上·山东威海·期末）如图，，斜坡AB的坡度，某人从斜坡的M处走了50米到达N处，则N与M的垂直高度为 米． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，正确理解坡度的定义是解题关键．根据坡度的定义求解即可． 【详解】 解：由题意知，，斜坡的坡度，， 设N与M的垂直高度， 根据坡度为，则， 根据勾股定理得 ：， 解得：（舍负值）． 故答案为：． 12．（24-25九年级上·山东烟台·期中）“十一”期间，小华和妈妈到某景区游玩，小华想利用所学的数学知识估测基区里的观景塔的高度，他从点D处的观景塔出来走到点A处，沿着坡度为的斜坡从A点走了米到达B点，此时回望观景塔，更显气势宏伟．在点观察到观景塔顶端的仰角为；再沿水平方向继续往前走到处，回头观察到观察到观景塔顶端的仰角为，测得之间的水平距离为10米，则观景塔的高度约为 米．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角、坡度坡角问题．延长交于F，则，作于H，，根据等腰直角三角形的性质求出，根据正切的定义用表示出，根据题意列式求出，结合图形计算，得到答案． 【详解】解：延长交于F，则，作于H， ∵坡度为的斜坡， ∴设，则， ∴，即， 解得， ∴，， 在中，， 则， 在中，， ∴， 由题意得，， 解得，， 则， 故答案为：． 13．（2024·宁夏·中考真题）如图1是三星堆遗址出土的陶盉（hè），图2是其示意图．已知管状短流，四边形是器身，．器身底部距地面的高度为，则该陶盉管状短流口距地面的高度约为 （结果精确到）（参考数据：） 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的知识，解题的关键是过点作交于点，过点作交的延长线于点，根据，求出，根据，求出，根据，，求出，根据该陶盉管状短流口距地面的高度为：，即可． 【详解】解：过点作交于点，过点作交的延长线于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴该陶盉管状短流口距地面的高度为：． 故答案为：． 重难点01 锐角三角函数的相关概念 1．（24-25九年级上·山东淄博·期中）在中，分别是的对边，若，则不正确的结论是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理的逆定理，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，且，根据锐角三角函数的定义表示出、、、，问题即可解答． 【详解】解：∵， ∴是直角三角形，且， 由锐角三角函数的定义可知，，， ∴，，，， ∴选项B的结论不正确，符合题意． 故选：B． 2．（22-23九年级上·山东菏泽·期末）如果 的各边长都缩小为原来的倍，那么锐角A的正弦、余弦值是（ ） A．都扩大为原来的2倍 B．都缩小为原来的 C．没有变化 D．不能确定 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定定理、正弦、余弦的概念解答． 【详解】三角形各边长度都缩小为原来的倍， ∴得到的三角形与原三角形相似， ∴锐角A的大小不变， ∴锐角A的正弦、余弦值不变， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，正弦与余弦的定义，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 3．（23-24九年级上·山东泰安·阶段练习）如图，在中，，于点，则下列结论不正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用余弦的定义即可判断A、B，根据同角的余角相等可得，再根据余弦的定义即可判断C、D，即可得到答案． 【详解】解：， ， 在中，，故A正确，不符合题意； ， 在中，，故B正确，不符合题意； ，， ， 在中，，故D正确，不符合题意，C错误，符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了余弦的定义、同角的余角相等，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． 4．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处，已知，则，两处相距（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数中的余弦值，解题的关键在于熟练掌握余弦值的定义，余弦值就是在直角三角形中，锐角的邻边与斜边之比． 根据锐角三角函数中余弦值的定义即可求出答案． 【详解】解：∵小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处， ∴且米 ∵ ∴ ∴米 故选： B． 重难点02 求角的正弦值/余弦值/正切值 5．（2025·山东临沂·一模）如图，在菱形中，对角线，相交于点O，，，则的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是菱形的性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，利用等面积法求解是解本题的关键． 如图，过作于，先求解，再利用，求解，再利用正弦的定义可得答案． 【详解】解：如图，过作于   菱形中，对角线，相交于点O，，， ． 故选：D． 6．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，在中，是斜边上的高．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查解直角三角形，根据直角三角形的性质进行相等的角之间的转化是解题的关键．根据直角三角形的性质，，，得到，再根据题意即可得到答案． 【详解】解：在中，， ∴， ∵是斜边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 7．（2025·山东东营·中考真题）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积（弦矢＋矢），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为2，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查垂径定理、勾股定理、三角函数的定义等知识点．如图，作交于，交圆弧于，利用垂径定理和勾股定理构建方程组求出，，利用余弦函数定义即可解决问题． 【详解】解：如图，作交于，交圆弧于， 由题意：， 设，由， ∴， ∵，为半径， ∴， 在中， 由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴． 故答案为：． 8．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）如图，在正方体中，的正切值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、正切的定义，正确理解正切的定义，找准边之比是解题的关键． 由题意得，，设，则， 再由正切的定义计算即可得解． 【详解】解：由题意得：，， 设， 则， 故答案为：． 重难点03 已知角的正弦值/余弦值/正切值求边长 9．（24-25九年级上·山东临沂·期末）如图，在中，，，则的长是 ． 【答案】12 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，正弦，勾股定理等知识．作于，由，可得，由，可求，由勾股定理得，，进而可求的长． 【详解】解：如图，作于， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， 由勾股定理得，， ∴， 故答案为：12． 10．（24-25九年级上·山东烟台·期中）已知中，和均为锐角，若，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，根据三角函数定义求值，须先构造直角三角形再解． 过点作于点，在中，已知和的值，根据三角函数可求的长，在中，运用勾股定理可求的长，代入进行求解． 【详解】解：过点作于点， 在中，， ， 在中，， ， ， 故选：C． 11．（22-23九年级上·吉林长春·期末）如图，在中，是的中点，过点作的垂线交于点，则为（   ） A． B．10 C． D．15 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质，由，，求出长，再由，即可求出的长． 【详解】解：，， ， ∵是直角三角形， ， 是的中点， ， ，， ， ， ， ． 故选：A． 12．（24-25九年级上·山东聊城·期中）如图，在中，是中点，， (1)求的长 (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角函数的应用，正弦和正切的概念，过点E作于E构造直角三角形是解题的关键． （1）作于点E，在中，利用求出，在中，利用求出，最后求出； （2）根据是的中点求出，然后求出，最后根据正切定义求得结果． 【详解】（1）解：作于点E， ，， ， ， 在，， ， ， （2），点为的中点， ， ， ， 即． 重难点04 特殊角三角函数值的混合运算 13．（2025·山东济南·模拟预测）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了负整数指数幂、特殊角的三角函数值、零指数幂及绝对值的化简等运算在二次根式计算中的综合运用，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据负整数指数幂、特殊角的三角函数值、零指数幂及绝对值的化简等法则计算，再按照二次根式的加减运算计算即可． 【详解】解： ． 14．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握绝对值的意义，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的性质． （1）先根据特殊角的三角函数值进行化简，然后再按照实数混合运算法则进行计算即可； （2）先根据绝对值的意义，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的性质进行化简，然后再进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 15．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，准确掌握特殊角的三角函数值是解答本题的关键． 根据特殊角的三角函数值，求出对应的函数值，代入原式，得到答案． 【详解】解：由题意得： ． 16．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）计算： (1)； (2)已知为锐角，，计算的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的四则运算，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）先计算乘方和三角函数值，再计算加减法即可； （2）先由特殊角的三角函数值计算出，再代入求值即可． 【详解】（1）解： （2）解：∵为锐角，， ∴． ∴． ∴ 17．（22-23九年级上·甘肃嘉峪关·期末）在中，，则的形状是 ． 【答案】等边三角形 【分析】先根据非负数的性质求出，，再根据三角函数作答． 【详解】∵， ∴，， 即，， ∴，， ∴， 则一定是等边三角形， 故答案为:等边三角形． 【点睛】本题考查了非负数的性质，三角函数，等边三角形的判定，数量掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 18．（22-23九年级上·山西吕梁·期末）在中，若，，，都是锐角，则是 三角形． 【答案】等边 【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出，，进而得出答案． 【详解】解：在中， ，， 且，都是锐角， ，， 是等边三角形． 故答案为：等边． 【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记住特殊角的三角函数是解题关键． 重难点05 由特殊角的三角函数值判断三角形形状 19．（22-23九年级上·山东泰安·阶段练习）若，则以为内角的的形状是 ． 【答案】直角三角形 【分析】直接利用非负数的性质得出，进而得出的形状． 【详解】解：∵， ∴，， 则，， ∴， ∴以为内角的的形状是直角三角形． 故答案为：直角三角形． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、非负数的性质，正确记忆相关数据是解题关键． 20．（24-25九年级上·河南濮阳·阶段练习）已知中，与满足 (1)试判断．的形状； (2)求的值． 【答案】(1)是等腰直角三角形，详见解析 (2) 【分析】（1）根据绝对值的性质求出及的值，再根据特殊角的三角函数值求出与的度数，进而可得出结论； （2）根据与的三角函数值代入进行计算即可． 本题主要考查了特殊角的三角函数值的应用，准确分析计算是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． （2）由（1）可知:，， ∴原式． 重难点06 已知角度比较三角函数值大小 21．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比较三角函数值的大小，根据三个三角函数的取值范围和增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴； 故选D． 22．（21-22九年级上·福建泉州·期中）三角函数之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先把转换成相同的锐角三角函数；再根据正弦值是随着角的增大而增大，进行分析，可以知道，又根据正切值随着角度增大而增大，因此，即可得出正确选项． 【详解】解：∵（）， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查三角函数值的大小比较，掌握正余弦的转换方法：一个角的正弦值等于它的余角的余弦值；以及正余弦值、正切值的变化规律是本题的关键． 23．（22-23九年级下·全国·单元测试）（1）试比较，，，，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小． （2）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：，，，． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）利用三角函数的增减性的规律即可得答案； （2）注意正余弦的转换方法，转换为同一种锐角三角函数后，再根据锐角三角函数值的变化规律进行比较． 【详解】解：（1）∵锐角的正弦值随角度的增大而增大，锐角的余弦值随角度的增大而减小． ∴； ． （2），． ∵， ∴． 【点睛】本题考查互余两角三角函数的关系，掌握锐角三角函数的增减性的规律是解题关键． 重难点07 根据三角函数值判断锐角的取值范围 24．（23-24九年级上·山东淄博·阶段练习）已知，那么锐角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考查了特殊角的三角函数值和锐角三角函数的增减性的应用，注意∶当角是锐角时，其正弦和正切随角度的增大而增大，余弦随角度的增大而减小；根据三角函数的增减性求解即可； 【详解】解： 是锐角， ， ，，， ， 故选：A； 25．（22-23九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知为锐角，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦值随着角度的增大而增大，进行判断即可． 【详解】解：当时，， ∵为锐角，正弦值随着角度的增大而增大， ∴； 故选A． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值．熟记特殊角的三角函数值，以及锐角的正弦值随着角度的增大而增大，是解题的关键． 26．（22-23九年级上·全国·单元测试）若锐角满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先根据得到，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查同角三角函数的关系，解题的关键是掌握同角三角函数的关系及锐角三角函数的增减性． 重难点08 互余两角三角函数值关系 27．（24-25九年级上·广西梧州·期末）已知，都是锐角，且，那么与之间满足的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握互为余角的正余弦关系：一个角的正弦值等于这个锐角的余角的余弦值． 利用互余两角的三角函数关系，得出，进而求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：B． 28．（23-24九年级上·湖南郴州·期末）如果α是锐角，且，那么的值等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查互余的两角三角函数的关系，熟练掌握互余的两角三角函数关系是解题的关键； 在直角三角形中，时，正余弦之间的关系为：一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即；一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即，即可解答； 【详解】，， ； 故选：B． 29．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，，点在边上，满足，若，则图中等于的角有 个． 【答案】2 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，先证明，可得，，再证明即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴； 故答案为：2 30．（24-25九年级上·山东泰安·期中）若为锐角． (1)求证：①；②； (2)试求：的值． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) 【分析】本题主要考查正弦、余弦的计算，理解并掌握正弦、余弦的计算方法，图形结合分析是解题的关键． （1）①根据正弦、余弦的计算方法求解即可；②根据正弦、余弦、勾股定理计算即可； （2）由（1）的计算可得，， ，由此变形即可求解． 【详解】（1）解：若为锐角， 建立如上图所示的直角，，， ①，， ； ②，而，， ； （2）解：由（1）可得：，， ， ． 重难点09 解直角三角形的相关计算 31．（24-25八年级下·山东·期末）已知直角三角形的两条直角边分别是、，斜边是， (1)如果，，求及直角三角形的面积； (2)如果，，求及． 【答案】(1)的值为；直角三角形的面积为1 (2)； 【分析】本题考查解三角形，三角形的面积，二次根式的混合运算， （1）根据勾股定理即可求出斜边c的长度，再根据面积公式即可得出直角三角形的面积； （2）根据勾股定理即可求出b的长度，再根据正切函数的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵在直角三角形，直角边，， ∴ ， ∴的值为； ∴直角三角形的面积为：； （2）解：∵在直角三角形，直角边，斜边， ∴， ∴， ∴的值为，． 32．（24-25九年级下·山东滨州·期中）【教材呈现】 现行人教版九年级下册数学教材85页“拓广探索”第14题： 14．如图，在锐角中，探究，，之间的关系．（提示：分别作和边上的高．） 请根据要求，解答下列问题： (1)【求证结论】借助图1，求证：； (2)【推广证明】借助图2，求证：； (3)【拓展应用】借助图3，在四边形中，，，，．求过A，B，D三点的圆的半径． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）分别作，，垂足分别为D，E，在中和在中分别计算，得到，则；同理：，则结论得证； （2）作直径，连接，利用圆周角定理和直角三角形的边角关系定理得到，利用（1）的结论，结论得证； （3）连接，作于点E，利用矩形的判定与性质和勾股定理得到，，利用直角三角形的边角关系定理得到，再利用（2）的结论解答即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图，分别作，，垂足分别为D，E， ∵在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴； （2）证明：作直径，连接． ∵直径，， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理，， ∴； （3）解：连接，作于点E， ∵， ∴四边形是矩形， ∵，，， ∴，，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，圆的有关性质，圆周角定理，添加适当的辅助线构造直角三角形和连接直径所对的圆周角是解决此类问题常添加的辅助线． 33．（2025·山东日照·二模）如图，在平行四边形中，是对角线，分别以B、D两点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别交于P、Q两点，作直线分别交于点，交于点，交于点． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，解直角三角形，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与尺规作图，熟知相关知识是解题的关键． （1）由作图方法可知垂直平分，则，再证明，即可证明． （2）连接，由等边对等角和三角形内角和定理可推出，由线段垂直平分线的性质得到，则，进而可得，则． 【详解】（1）证明：由作图方法可知垂直平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， ∵由作图方法可知垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 34．（2025·山东青岛·二模）【探究建模】 （1）如图①，是正三角形，边长为，点是的中心点，点是内任意一点，点到各边距离分别为、、．连接，由等面积法，可得______；（结果用含的式子表示） 【类比应用】 （2）如图②，五边形是正五边形，边长为，点是的中心点，点是正五边形内任意一点，点到五边形各边距离分别为，则的值为______（结果用含的式子表示）． （3）正边形的边长为，点是正边形内任意一点，点到正边形各边距离分别为，则的值为______（结果用含和的式子表示）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了代数式的规律、正多边形的性质、解直角三角形等知识点，发现相关规律成为解题的关键． （1）由题意可得、，解直角三角形可得，然后根据等面积法题意列方程求解即可； （2）如图：作于I，连接，则、，解直角三角形可得，然后根据等面积法题意列方程求解即可； （3）类比（2）的方法求解即可． 【详解】解：（1）∵是正三角形，边长为，点是的中心点， ∴，， ∴， ∵， ∴，即得：． （2）如图：作于I，连接，则，， ∴， ∴，， ∴，解得：． （3）由（2）可得正边形的面积为，， ∴，解得：． 重难点10 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 35．（24-25九年级下·山东济南·开学考试）如图，在中，已知，，，求的面积． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，过点作于点，根据得出，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵，, ∴， ∴． 36．（2022·湖南·中考真题）阅读下列材料： 在中，、、所对的边分别为、、，求证：． 证明：如图1，过点作于点，则： 在中， CD=asinB 在中， 根据上面的材料解决下列问题： (1)如图2，在中，、、所对的边分别为、、，求证：； (2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：， 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作BC边上的高，利用三角函数表示AD后，即可建立关联并求解； （2）作BC边上的高，利用三角函数分别求出AE和BC，即可求解． 【详解】（1）证明：如图2，过点作于点， 在中，， 在中，， ， ； （2）解：如图3，过点作于点， ，， ， 在中， 又 ， 即， ， ． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数的定义是解决问题的前提． 重难点11 仰角俯角问题 37．（24-25九年级下·山东青岛·阶段练习）在数学实践与综合课上，某兴趣小组同学用航拍无人机对某居民小区的一、二号楼进行测高实践．如图为实践时绘制的截面图，无人机从地面的中点垂直起飞到达点处，测得一号楼顶部的俯角为，测得二号楼顶部的俯角为，此时航拍无人机的高度为80米，已知一号楼的高为50米，求二号楼的高.（结果精确到米） （参考数据：，，，，，.） 【答案】64米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，过点、分别作，，垂足分别为、，利用直角三角形的边角关系，分别求出，，进而计算出二号楼的高度即可． 【详解】解：过点、分别作，，垂足分别为、， 由题意得，，， ，，， ∴， 在中， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， 答：二号楼的高度约为64米． 38．（2025·山东青岛·中考真题）学校综合实践小组测量博学楼的高度．如图，点，，，，在同一平面内，点，，在同一水平线上，一组成员从19米高的厚德楼顶部测得博学楼的顶部的俯角为，另一组成员沿方向从厚德楼底部点向博学楼走15米到达点，在点测得博学楼顶部的仰角为，求博学楼的高度．（参考数据：，，，，，） 【答案】博学楼的高度为9米 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确构造直角三角形是解题的关键． 过点作于点，则可得四边形是矩形，解中，得到，设，则，，解，得到，求解，再代入即可． 【详解】解：过点作于点，由题意得，，，，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，∵， ∴， ∴设， 则，， 在中，∵， ∴， 解得：， ∴， 答：博学楼的高度为9米． 39．（2025·山东威海·中考真题）小明同学计划测量小河对面一幢大楼的高度．测量方案如图所示：先从自家的阳台点C处测得大楼顶部点B的仰角的度数，大楼底部点A的俯角的度数．然后在点C正下方点D处，测得大楼顶部点B的仰角的度数．若，，，，求大楼的高度．（精确到）．参考数据：，，；，，） 【答案】大楼的高度约为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，等腰直角三角形的性质，矩形的性质等知识，过作于，过作于，则四边形是矩形，根据矩形的性质得到，根据等腰直角三角形的性质得到，设，解直角三角形即可得到结论，正确地添加辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于，过作于，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 设， 在中，， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：大楼的高度约为． 重难点12 方位角问题 40．（24-25九年级下·山东泰安·阶段练习）如图，某渔船向正东方向以14海里/时的速度航行，在A处测得小岛C在北偏东方向，2小时后渔船到达B处，测得小岛C在北偏东方向，已知该岛周围20海里范围内有暗礁．（参考数据：，，，） (1)求B处距离小岛C的距离（精确到海里）； (2)为安全起见，渔船在B处向东偏南转了继续航行，通过计算说明船是否安全？ 【答案】(1)B处距离小岛C的距离约为海里； (2)安全，说明见解析 【分析】本题考查解直角三角形的应用．根据题意，添加合适的辅助线，构造直角三角形，是解题的关键． （1）如图，过点作于，根据题意求出，利用和锐角三角函数，分别表示出：，再利用，求出，然后求出即可； （2）如图，过点作于，求出的长度，即可得解． 【详解】（1）解：如图，过点作于， 由题意得， ，， 海里， ∵， ∴， 在中， ∵ ， ∴， ∵， 即：， 解得， 在中，（海里） ， 答：B处距离小岛C的距离约为海里； （2）解：如图，过点作于， 在中，，， ∴ (海里)， ∵， ∴能安全通过， 答：能安全通过． 41．（2025·山东烟台·中考真题）【综合与实践】 烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务．为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动． 如图，一艘渔船自东向西以每小时海里的速度向码头航行，小组同学收集到以下信息： 位置信息 码头A在灯塔B北偏西方向 14：30时，渔船航行至灯塔北偏东方向的处 15：00时，渔船航行至灯塔东北方向的处 天气预警 受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头附近海域将出现浓雾天气．请注意防范． 请根据以上信息，解答下列问题： (1)求渔船在航行过程中到灯塔的最短距离； (2)若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头（参考数据：，，，，，）． 【答案】(1)渔船在航行过程中到灯塔的最短距离为海里 (2)不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键； （1）过点作于点，设，根据题意得出，解，得出，建立方程，即可求解； （2）求得的距离，计算的距离，根据路程除以速度得到航行时间，结合题意，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 设， 依题意，，，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴渔船在航行过程中到灯塔的最短距离为海里； （2）解：在中，，， ∴， ∴， 小时分钟， 从14：30，经过分钟是，在之前到达， ∴不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头． 42．（2025·山东青岛·模拟预测）学校正推进“智慧校园”建设，如图，分别为学生公寓、训练广场、学校大门、图书馆，点在点的南偏东方向，点在点的西北方向，点，在点的正南方向，长为120米． (1)求学生公寓到图书馆的距离；（结果精确到0.1米） (2)为了进一步推进“智慧校园”建设，学校需要进一步优化校园网络，技术人员准备在中选择一个地址部署一台核心交换机并为这台核心交换机铺设专用光纤．已知在的南偏西方向，若在地址部署核心交换机，需铺设与两条路线的光纤并在地址再部署一台价值400元的微型交换机（防止之间出现拥堵）；若在地址部署核心交换机，需铺设这3条路线的光纤，不需要再部署微型交换机．已知光纤铺设费用为3元/米，请从费用成本最小的角度说明技术人员应该选择在哪里部署核心交换机？（忽略其他费用，参考数据：） 【答案】(1)231.8米 (2)D地址 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的相关知识是解题的关键； （1）过点B作于点E，如图，解直角三角形分别求出，即可解决问题； （2）设过点D的东西方向线与交于点F，解直角三角形求出，解直角三角形求出，解直角三角形求出，即可求出分别在A地址和D地址部署核心交换机的费用，再比较即可得出答案. 【详解】（1）解：过点B作于点E，如图， 由题意，， ∴， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， ∴（米）， 答：学生公寓A到图书馆D的距离约为231.8米； （2）解：设过点D的东西方向线与交于点F， 由题意，知， 在直角三角形中，（米）， 在直角三角形中，（米）， 在直角三角形中，（米）， （米）， ∴在A地址部署核心交换机的费用（元）， 在D地址部署核心交换机的费用（元）， ∵， 应该选择在D地址部署核心交换机. 重难点13 坡度坡比问题 43．（24-25八年级下·山东济宁·期末）在阳光下，测得一根与地面垂直、长为1米的竹竿的影长为2米．同时一同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，如图，树的影子恰好落在地面和一斜坡上，此时测得地面上的影长为6米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为，则树的高度为多少米？（结果保留根号） 【答案】米 【分析】此题考查了解直角三角形的应用．延长交延长线于D点，作于M，求出（米），（米），在中，，（米），（米），即可得到． 【详解】解：延长交延长线于D点，作于M， 在中，，， ∴（米），（米）， 在中， ∵， ∴（米）， ∴（米）， 在中，（米）． 44．（2025·江苏盐城·三模）如图，一架无人机静止悬浮在空中处，小明在山坡A处测得无人机的仰角为，小亮在水平地面处测得无人机的仰角为，已知山坡的坡度，处到地面的距离为10米，水平地面长为30米． (1)求山坡的长； (2)求此时无人机离地面的高度的长（精确到0.1米）．（参考数据：，，） 【答案】(1)山坡的长为米 (2)此时无人机离地面的高度的长米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）作交的延长线于，由题意可得米，由山坡的坡比，求出米，再由勾股定理计算即可得解； （2）延长交于点，则，易得四边形为矩形，由矩形的性质可得米，，证明为等腰直角三角形，得出，设米，则米，米，解直角三角形，即可得解． 【详解】（1）解：如图，作交的延长线于， 由题意可得：米， ∵山坡的坡比， ∴， ∴米， ∴米， ∴山坡的长为米； （2）解：如图：延长交于点，则， 则：， ∴四边形为矩形， ∴米，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设米，则米，米， ∵， ∴， ∴米，即此时无人机离地面的高度的长米． 45．（2025·山东临沂·二模）【阅读理解】 小明用了如下的方法计算出的值． 如图，在中，，，作线段的垂直平分线交于点，连接，则，．设，则，．．    【拓展应用】 如图，矩形为某建筑物的主视图，小丽在该建筑物的右侧点处用地面测角仪（忽略其高度，下同）测得顶点的仰角为，由于某个原因，的长度无法测量，于是小丽又到它的左侧点处测得的坡度为，同时测得的长度为米． (1)请模仿小明的方法，求出的值； (2)求出的长度．（结果精确到．参考数据：，，，）． 【答案】(1) (2)BM的长度为36.7米 【分析】（1）设 ，根据 与边的关系设出 ，再设 ，在 中利用勾股定理求出 关于 的表达式，最后根据正切函数的定义求出 的值． （2）利用矩形对边相等的性质得到 ，再根据 中 与边的关系求出 的长度． 【详解】（1）解：作线段的垂直平分线EF，连结，如图示：    ∵垂直平分， ∴． ∴． ∴． 由题意得：，． 设，则．设， 在中，由勾股定理得：， 解得：． ∴． （2）解：∵的坡度为， ∴． ∵， ∴． ∵四边形ABCD为矩形， ∴． 在中， ∵， ∴． 答：BM的长度为36.7米． 【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、坡度的概念以及三角函数的应用．解题的关键在于通过作辅助线构造等腰三角形，利用相关性质和定理建立边与角的关系，再结合已知条件逐步求解． 重难点14 从实物中构建数学模型 46．（24-25九年级下·山东潍坊·期末）实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，，试管倾斜角为．（参考数据：；） (1)求试管口与铁杆的水平距离的长度； (2)实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点，且于点（点，，，在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识，理解题意是解题的关键； （1）由题意可求得的长，再由余弦函数定义即可求得的长； （2）由正弦函数求得；延长，交于点，则得四边形是矩形，求得，再由条件得，最后由即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ， ； （2）解：， ， 延长，交于点， 四边形是矩形， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ； 答：线段的长度为． 47．（2025·山东临沂·三模）如图是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面的倾斜角为，长为3米的真空管与水平线的夹角为，安装热水器的铁架竖直管的长度为米．求安装热水器的铁架水平横管的长度（结果精确到米）．、 （参考数据：） 【答案】安装热水器的铁架水平横管的长度约为米 【分析】本题考查的是矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用；过作于．求解（米）．（米），证明四边形是矩形．可得，求解（米），再进一步求解即可． 【详解】解：过作于． 在中，， 则（米）． 在中，， 则（米）， ∵， ∴四边形是矩形． ∴， ∵米， ∴米， 在中，， 则（米）， ∴（米）， 答：安装热水器的铁架水平横管的长度约为米． 48．（24-25九年级下·山东烟台·期中）一扇推拉式窗户，打开一定角度后，其俯视图如图1所示，为固定的窗框底边，为该窗户开启的下沿一边，可绕点旋转一定角度，为支撑杆，其中一端固定在窗户下沿边上的点处，另一端点在窗框底边上滑动（窗户关闭时，，叠合在边上），支撑杆的长度固定不变，．窗户的旋转角的大小控制在一定范围内． (1)现将窗户打开至旋转角时，第一次测得，如图1，求此时的长； (2)在（1）的基础上，继续打开窗户，即绕点逆时针旋转，旋转角从开始逐渐增大，直至第二次测得时停止，如图2，求点在此过程中滑动的长度．（结果均保留根号） 【答案】(1) (2)端点在此过程中滑动的长度为 【分析】本题考查解直角三角形的应用，勾股定理，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． （1）过点作于点，利用解直角三角形求出，．等腰三角形的性质求出，即可解答． （2）过点作交的延长线于点，解直角三角形得出，，勾股定理求出，从而求出，进一步相减可得出结论． 【详解】（1）解：过点作于点， 图1 在中，，， ，， 在中，， ，， ； （2）解：过点作交的延长线于点， 在中，，， ，， 根据（1）可得，， 在中，， ； ， 端点在此过程中滑动的长度为． 图2 49．（2025·山东济宁·三模）学校消防宣传周对曲臂云梯消防车进行了科普，如图1是一辆曲臂云梯消防车的实物图，图2和图3是其工作示意图．曲臂云梯消防车伸缩臂和曲臂可分别绕点A，点B在一定范围内转动，它们的张角分别为和，且当张角满足：，时，才能保证消防车在伸展和旋转过程中的稳定性．已知，，且m，当伸缩臂和曲臂完全伸出时，长为，长为． (1)如图2，若，，求的长； (2)如图3，当，达到最大角度时，顶端C升到最高处，求该消防车可救援的最大高度．（参考数据：，，，，结果精确到0.1． 【答案】(1)24.2m (2)48.2m 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质和判定，熟练运用三角函数表示边与边的关系是解题的关键． （1）过点B作于点E，过点A作于点F，的延长线交于点H，证明四边形和四边形均为矩形，得到，，再结合解直角三角形得到，即可解题； （2）过点A作于点M，过点B作于点N，于点P，证明四边形和四边形均为矩形，得到，再结合，达到最大角度，推出，结合解直角三角形得到，推出，结合解直角三角形得到，最后根据求解，即可解题． 【详解】（1）解：过点B作于点E，过点A作于点F，的延长线交于点H，如图所示： ∵，，， ∴，， ∴， ∴四边形和四边形均为矩形， ∴m，，， ∵， ∴， 在中，，m，， ∴m， ∴m， ∴（m）． 答：此时的长为24.2m． （2）解：过点A作于点M，过点B作于点N，于点P，如图所示： ∵，， ∴， ∴四边形和四边形均为矩形， ∴m，，， 依题意得：当，达到最大角度时，则，， ∴， 在中，，m，， ∴m， ∴m， 在中， ，m， ∴， ∴， ∴m． 答：该消防车可救援的最大高度约为48.2m． 50．（2025·山东菏泽·三模）雨量监测站是一款以互联网为甚础的现代型雨量站，通过这款设备，人们能远程获得降雨量的数据，并能根据当地环境气象判断出未来的雨量情况，从而安排合理的农事作业．如图①，是雨量监测站的实物图，如图②，是该监测站的简化示意图，其中支杆与支架的夹角分别为，，支杆与太阳能供电板的夾角，且支杆端点的距离为14cm，支杆的端点到支架的水平距离为16cm．求支杆端点的距离．（结果精确到0.1cm，参考数据：）． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用. 过点作于点，过点分别作于点，作于点，则四边形是矩形，，根据三角函数求出，求出，则，，，最后根据即可求出的距离. 【详解】解：如图，过点作于点，过点分别作于点，作于点， ∴四边形是矩形，， 在中，，， ． ， ． ． 在中，， ，， ． ， ， 解得． 答：支杆端点的距离约为． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 直角三角形的边角关系 1. 正弦、余弦、正切 正弦：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的_____与_____的比叫做 ∠A的正弦，记作sin A，即； 余弦：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的_____与_____的比叫做 ∠A的余弦，记作cos A，即； 正切：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的_____与_____的比叫做 ∠A的正切，记作tan A，则 2. 锐角三角函数：锐角A的_____、_____、_____都是∠A的三角函数．（其中：_____＜∠A＜_____） 3. 特殊角的三角函数值 利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，如下表所示： 三角函数值 特殊角 30° 45° 60° sin α cos α tan α 4. 锐角三角函数的关系： 在Rt△ABC中，若∠C为直角，则∠A与∠B互余时，有以下两种关系： 1）同角三角函数的关系： ① 平方关系：； ② 商数关系：. 2) 互余两角的三角函数关系： ① 互余关系： sin A = _____，即一个锐角的_____值等于它的余角的_____值. sin B = _____，即一个锐角的_____值等于它的余角的_____值. ② 倒数关系： 5. 解直角三角形 定义：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即_____和_____．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形． 在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系： 1）直角三角形的五个元素：边：a、b、c，角：∠A、∠B. 2）三边之间的关系：. 3）两锐角之间的关系：_____. 4）边角之间的关系：sin A = ，sin B = ，cos A= ，tan A = 解直角三角形的常见类型 已知条件 解法步骤 图示 两 边 斜边和一直角边(如a，c) 两直角边(如a，b) 一 边 一 角 斜边和一锐角（如c，∠A） 一直角边和一锐角（如a，∠A） 另一直角边和一锐角（如b，∠A） 【总结】在直角三角形中，除直角外的五个元素中，已知其中的两个元素(至少有_____)，可求出其余的三个未知元素(知二求三). 6. 解直角三角形应用题中的常见概念 1）仰角、俯角 视角：_____与_____的夹角叫做视角． 仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线_____的角叫做仰角． 俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线_____的角叫做俯角． 【注意】仰角和俯角是相对于水平线而言的，在不同的位置观测，仰角和俯角是不同的. 2）坡度、坡角 坡度：坡面的_____和_____的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作. 坡角：_____与_____的夹角α叫做坡角. 【注意】坡度与坡角是两个不同的概念，坡角是两个面的_____，坡度(用字母i表示)是比；两者之压间的关系是，坡角_____，坡度_____. 3）方位角、方向角 方位角：从某点的指北方向线按_____转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是_____，_____，_____. 方向角：_____方向线与_____线所成的小于_____的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示_____30°，_____45°，_____80°，_____60°. 序号 易错点 易错题 注意事项 1 锐角三角函数概念混淆 1-3 正弦、余弦、正切是在直角三角形中进行定义的，本质是两条线段的比，因此没有单位，只与角的大小有关，而与直角三角形的边长无关. 2 记错特殊角三角函数值 4-6 有关特殊角的三角函数值的计算是一类重要题型，解这类问题时，要熟记30°、45°60°角的三种三角函数值，并能准确地把值代入算式，结合实数的运算顺序及运算法则进行相关计算. 3 解直角三角形 7-8 题目若没有直角三角形，有时需要通过辅助线来构造直角三角形. 4 解直角三角形的实际应用 9-13 理解仰角、俯角、坡角、坡比、方向角等的概念 1．（24-25九年级上·山东济南·期中）在中，，，，的对边分别用表示，则下列等式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·广东清远·阶段练习）把三边的长度都扩大为原来的2倍，则锐角的正弦值（   ） A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的2倍 D．不能确定 3．（23-24九年级上·山东泰安·阶段练习）如图，在中，，于点，则下列结论不正确的是（    ）    A． B． C． D． 4．（24-25九年级下·山东济南·开学考试）下列三角函数值是有理数的是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·天津滨海新·模拟预测）的值是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·山东滨州·期末）计算： ． 7．（24-25八年级上·福建漳州·期末）四边形具有不稳定性，如图，将面积为5的矩形“推”成面积为4的平行四边形，则的值为 ． 8．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，求和的长． 9．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，某数学实践小组测量一棵垂直于地面的树的高度．在点A处测得树顶C的仰角为，在点B处测得树顶C的仰角为，且A、D、B三点在同一直线上，若米，则这棵树的高度是 米． 10．（24-25九年级上·山东烟台·期中）某校组织一次定向越野拉练活动．如图，点为出发点，途中设置两个检查点，分别为点和点，行进路线为，点在点的南偏东方向处，点在点的北偏东方向，．则检查点和之间的距离 ． 11．（24-25九年级上·山东威海·期末）如图，，斜坡AB的坡度，某人从斜坡的M处走了50米到达N处，则N与M的垂直高度为 米． 12．（24-25九年级上·山东烟台·期中）“十一”期间，小华和妈妈到某景区游玩，小华想利用所学的数学知识估测基区里的观景塔的高度，他从点D处的观景塔出来走到点A处，沿着坡度为的斜坡从A点走了米到达B点，此时回望观景塔，更显气势宏伟．在点观察到观景塔顶端的仰角为；再沿水平方向继续往前走到处，回头观察到观察到观景塔顶端的仰角为，测得之间的水平距离为10米，则观景塔的高度约为 米．（结果保留根号） 13．（2024·宁夏·中考真题）如图1是三星堆遗址出土的陶盉（hè），图2是其示意图．已知管状短流，四边形是器身，．器身底部距地面的高度为，则该陶盉管状短流口距地面的高度约为 （结果精确到）（参考数据：） 重难点01 锐角三角函数的相关概念 1．（24-25九年级上·山东淄博·期中）在中，分别是的对边，若，则不正确的结论是（   ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·山东菏泽·期末）如果 的各边长都缩小为原来的倍，那么锐角A的正弦、余弦值是（ ） A．都扩大为原来的2倍 B．都缩小为原来的 C．没有变化 D．不能确定 3．（23-24九年级上·山东泰安·阶段练习）如图，在中，，于点，则下列结论不正确的是（    ）    A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处，已知，则，两处相距（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 重难点02 求角的正弦值/余弦值/正切值 5．（2025·山东临沂·一模）如图，在菱形中，对角线，相交于点O，，，则的正弦值为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，在中，是斜边上的高．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·山东东营·中考真题）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积（弦矢＋矢），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为2，则的值为 ． 8．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）如图，在正方体中，的正切值为 ． 重难点03 已知角的正弦值/余弦值/正切值求边长 9．（24-25九年级上·山东临沂·期末）如图，在中，，，则的长是 ． 10．（24-25九年级上·山东烟台·期中）已知中，和均为锐角，若，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 11．（22-23九年级上·吉林长春·期末）如图，在中，是的中点，过点作的垂线交于点，则为（   ） A． B．10 C． D．15 12．（24-25九年级上·山东聊城·期中）如图，在中，是中点，， (1)求的长 (2)求的值． 重难点04 特殊角三角函数值的混合运算 13．（2025·山东济南·模拟预测）计算：． 14．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）计算： (1)； (2)． 15．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）计算：． 16．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）计算： (1)； (2)已知为锐角，，计算的值． 17．（22-23九年级上·甘肃嘉峪关·期末）在中，，则的形状是 ． 18．（22-23九年级上·山西吕梁·期末）在中，若，，，都是锐角，则是 三角形． 重难点05 由特殊角的三角函数值判断三角形形状 19．（22-23九年级上·山东泰安·阶段练习）若，则以为内角的的形状是 ． 20．（24-25九年级上·河南濮阳·阶段练习）已知中，与满足 (1)试判断．的形状； (2)求的值． 重难点06 已知角度比较三角函数值大小 21．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）的大小关系是（    ） A． B． C． D． 22．（21-22九年级上·福建泉州·期中）三角函数之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 23．（22-23九年级下·全国·单元测试）（1）试比较，，，，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小． （2）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：，，，． 重难点07 根据三角函数值判断锐角的取值范围 24．（23-24九年级上·山东淄博·阶段练习）已知，那么锐角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 25．（22-23九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知为锐角，且，则（    ） A． B． C． D． 26．（22-23九年级上·全国·单元测试）若锐角满足，则的取值范围是 ． 重难点08 互余两角三角函数值关系 27．（24-25九年级上·广西梧州·期末）已知，都是锐角，且，那么与之间满足的关系是（   ） A． B． C． D． 28．（23-24九年级上·湖南郴州·期末）如果α是锐角，且，那么的值等于（　　） A． B． C． D． 29．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，，点在边上，满足，若，则图中等于的角有 个． 30．（24-25九年级上·山东泰安·期中）若为锐角． (1)求证：①；②； (2)试求：的值． 重难点09 解直角三角形的相关计算 31．（24-25八年级下·山东·期末）已知直角三角形的两条直角边分别是、，斜边是， (1)如果，，求及直角三角形的面积； (2)如果，，求及． 32．（24-25九年级下·山东滨州·期中）【教材呈现】 现行人教版九年级下册数学教材85页“拓广探索”第14题： 14．如图，在锐角中，探究，，之间的关系．（提示：分别作和边上的高．） 请根据要求，解答下列问题： (1)【求证结论】借助图1，求证：； (2)【推广证明】借助图2，求证：； (3)【拓展应用】借助图3，在四边形中，，，，．求过A，B，D三点的圆的半径． 33．（2025·山东日照·二模）如图，在平行四边形中，是对角线，分别以B、D两点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别交于P、Q两点，作直线分别交于点，交于点，交于点． (1)求证：． (2)若，，求的长． 34．（2025·山东青岛·二模）【探究建模】 （1）如图①，是正三角形，边长为，点是的中心点，点是内任意一点，点到各边距离分别为、、．连接，由等面积法，可得______；（结果用含的式子表示） 【类比应用】 （2）如图②，五边形是正五边形，边长为，点是的中心点，点是正五边形内任意一点，点到五边形各边距离分别为，则的值为______（结果用含的式子表示）． （3）正边形的边长为，点是正边形内任意一点，点到正边形各边距离分别为，则的值为______（结果用含和的式子表示）． 重难点10 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 35．（24-25九年级下·山东济南·开学考试）如图，在中，已知，，，求的面积． 36．（2022·湖南·中考真题）阅读下列材料： 在中，、、所对的边分别为、、，求证：． 证明：如图1，过点作于点，则： 在中， CD=asinB 在中， 根据上面的材料解决下列问题： (1)如图2，在中，、、所对的边分别为、、，求证：； (2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：， 重难点11 仰角俯角问题 37．（24-25九年级下·山东青岛·阶段练习）在数学实践与综合课上，某兴趣小组同学用航拍无人机对某居民小区的一、二号楼进行测高实践．如图为实践时绘制的截面图，无人机从地面的中点垂直起飞到达点处，测得一号楼顶部的俯角为，测得二号楼顶部的俯角为，此时航拍无人机的高度为80米，已知一号楼的高为50米，求二号楼的高.（结果精确到米） （参考数据：，，，，，.） 38．（2025·山东青岛·中考真题）学校综合实践小组测量博学楼的高度．如图，点，，，，在同一平面内，点，，在同一水平线上，一组成员从19米高的厚德楼顶部测得博学楼的顶部的俯角为，另一组成员沿方向从厚德楼底部点向博学楼走15米到达点，在点测得博学楼顶部的仰角为，求博学楼的高度．（参考数据：，，，，，） 39．（2025·山东威海·中考真题）小明同学计划测量小河对面一幢大楼的高度．测量方案如图所示：先从自家的阳台点C处测得大楼顶部点B的仰角的度数，大楼底部点A的俯角的度数．然后在点C正下方点D处，测得大楼顶部点B的仰角的度数．若，，，，求大楼的高度．（精确到）．参考数据：，，；，，） 重难点12 方位角问题 40．（24-25九年级下·山东泰安·阶段练习）如图，某渔船向正东方向以14海里/时的速度航行，在A处测得小岛C在北偏东方向，2小时后渔船到达B处，测得小岛C在北偏东方向，已知该岛周围20海里范围内有暗礁．（参考数据：，，，） (1)求B处距离小岛C的距离（精确到海里）； (2)为安全起见，渔船在B处向东偏南转了继续航行，通过计算说明船是否安全？ 41．（2025·山东烟台·中考真题）【综合与实践】 烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务．为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动． 如图，一艘渔船自东向西以每小时海里的速度向码头航行，小组同学收集到以下信息： 位置信息 码头A在灯塔B北偏西方向 14：30时，渔船航行至灯塔北偏东方向的处 15：00时，渔船航行至灯塔东北方向的处 天气预警 受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头附近海域将出现浓雾天气．请注意防范． 请根据以上信息，解答下列问题： (1)求渔船在航行过程中到灯塔的最短距离； (2)若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头（参考数据：，，，，，）． 42．（2025·山东青岛·模拟预测）学校正推进“智慧校园”建设，如图，分别为学生公寓、训练广场、学校大门、图书馆，点在点的南偏东方向，点在点的西北方向，点，在点的正南方向，长为120米． (1)求学生公寓到图书馆的距离；（结果精确到0.1米） (2)为了进一步推进“智慧校园”建设，学校需要进一步优化校园网络，技术人员准备在中选择一个地址部署一台核心交换机并为这台核心交换机铺设专用光纤．已知在的南偏西方向，若在地址部署核心交换机，需铺设与两条路线的光纤并在地址再部署一台价值400元的微型交换机（防止之间出现拥堵）；若在地址部署核心交换机，需铺设这3条路线的光纤，不需要再部署微型交换机．已知光纤铺设费用为3元/米，请从费用成本最小的角度说明技术人员应该选择在哪里部署核心交换机？（忽略其他费用，参考数据：） 重难点13 坡度坡比问题 43．（24-25八年级下·山东济宁·期末）在阳光下，测得一根与地面垂直、长为1米的竹竿的影长为2米．同时一同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，如图，树的影子恰好落在地面和一斜坡上，此时测得地面上的影长为6米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为，则树的高度为多少米？（结果保留根号） 44．（2025·江苏盐城·三模）如图，一架无人机静止悬浮在空中处，小明在山坡A处测得无人机的仰角为，小亮在水平地面处测得无人机的仰角为，已知山坡的坡度，处到地面的距离为10米，水平地面长为30米． (1)求山坡的长； (2)求此时无人机离地面的高度的长（精确到0.1米）．（参考数据：，，） 45．（2025·山东临沂·二模）【阅读理解】 小明用了如下的方法计算出的值． 如图，在中，，，作线段的垂直平分线交于点，连接，则，．设，则，．．    【拓展应用】 如图，矩形为某建筑物的主视图，小丽在该建筑物的右侧点处用地面测角仪（忽略其高度，下同）测得顶点的仰角为，由于某个原因，的长度无法测量，于是小丽又到它的左侧点处测得的坡度为，同时测得的长度为米． (1)请模仿小明的方法，求出的值； (2)求出的长度．（结果精确到．参考数据：，，，）． 重难点14 从实物中构建数学模型 46．（24-25九年级下·山东潍坊·期末）实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，，试管倾斜角为．（参考数据：；） (1)求试管口与铁杆的水平距离的长度； (2)实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点，且于点（点，，，在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度． 47．（2025·山东临沂·三模）如图是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面的倾斜角为，长为3米的真空管与水平线的夹角为，安装热水器的铁架竖直管的长度为米．求安装热水器的铁架水平横管的长度（结果精确到米）．、 （参考数据：） 48．（24-25九年级下·山东烟台·期中）一扇推拉式窗户，打开一定角度后，其俯视图如图1所示，为固定的窗框底边，为该窗户开启的下沿一边，可绕点旋转一定角度，为支撑杆，其中一端固定在窗户下沿边上的点处，另一端点在窗框底边上滑动（窗户关闭时，，叠合在边上），支撑杆的长度固定不变，．窗户的旋转角的大小控制在一定范围内． (1)现将窗户打开至旋转角时，第一次测得，如图1，求此时的长； (2)在（1）的基础上，继续打开窗户，即绕点逆时针旋转，旋转角从开始逐渐增大，直至第二次测得时停止，如图2，求点在此过程中滑动的长度．（结果均保留根号） 49．（2025·山东济宁·三模）学校消防宣传周对曲臂云梯消防车进行了科普，如图1是一辆曲臂云梯消防车的实物图，图2和图3是其工作示意图．曲臂云梯消防车伸缩臂和曲臂可分别绕点A，点B在一定范围内转动，它们的张角分别为和，且当张角满足：，时，才能保证消防车在伸展和旋转过程中的稳定性．已知，，且m，当伸缩臂和曲臂完全伸出时，长为，长为． (1)如图2，若，，求的长； (2)如图3，当，达到最大角度时，顶端C升到最高处，求该消防车可救援的最大高度．（参考数据：，，，，结果精确到0.1． 50．（2025·山东菏泽·三模）雨量监测站是一款以互联网为甚础的现代型雨量站，通过这款设备，人们能远程获得降雨量的数据，并能根据当地环境气象判断出未来的雨量情况，从而安排合理的农事作业．如图①，是雨量监测站的实物图，如图②，是该监测站的简化示意图，其中支杆与支架的夹角分别为，，支杆与太阳能供电板的夾角，且支杆端点的距离为14cm，支杆的端点到支架的水平距离为16cm．求支杆端点的距离．（结果精确到0.1cm，参考数据：）． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$