专题05 因式分解的应用（举一反三专项训练）数学华东师大版2024八年级上册

专题05 因式分解的应用（举一反三专项训练） 【华东师大版2024】 【题型1 利用因式分解求值】 1 【题型2 利用因式分解进行简算】 1 【题型3 利用因式分解解决整除问题】 2 【题型4 利用因式分解进行证明】 2 【题型5 利用因式分解判断三角形的形状】 3 【题型6 利用因式分解解决几何图形问题】 3 【题型7 利用因式分解解决新定义问题】 4 【题型8 利用因式分解解决阅读理解类问题】 5 【题型1 利用因式分解求值】 【例1】（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知，，，则代数式的值为（　　） A．5 B．6 C．3 D．8 【变式1-1】（24-25七年级上·内蒙古呼和浩特·期末）若，则的值为 ． 【变式1-2】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-3】（24-25九年级下·浙江宁波·期末）已知，则的值为 ． 【题型2 利用因式分解进行简算】 【例2】（24-25八年级下·河南周口·阶段练习）计算：的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25八年级下·河北保定·期末）计算：101×1022﹣101×982=（ ） A．404 B．808 C．40400 D．80800 【变式2-2】（24-25八年级上·福建厦门·期中）计算： ． 【变式2-3】（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）计算： ． 【题型3 利用因式分解解决整除问题】 【例3】（24-25八年级上·河南南阳·期末）若为整数，则代数式的值一定可以（   ） A．被9整除 B．被6整除 C．被3整除 D．被2整除 【变式3-1】（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）不能被整除的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2025·河北沧州·二模）若n为任意整数，如果的值总能被4整除，则整数k不能取（    ） A． B．1 C．2 D．5 【变式3-3】（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知，n为正整数． (1)求的值． (2)利用因式分解说明：能被24整除． 【题型4 利用因式分解进行证明】 【例4】（24-25八年级上·福建漳州·期中）“整体思想”在数学解题中运用广泛，下面例题是运用“整体思想”对多项式进行因式分解：因式分解：． 解：原式 (1)以上例题解答过程中把___________当作一个整体，多项式变形后，运用_________公式进行因式分解； (2)请仿照以上方法对下面多项式进行因式分解：； (3)拓展应用： 求证：四个连续自然数、、、的积与1的和等于一个奇数的平方． 【变式4-1】（2025·辽宁沈阳·模拟预测）求证：当是整数时，两个连续奇数的平方差是这两个奇数的和的倍． 【变式4-2】（24-25七年级上·上海·专题练习）若、、为非零实数，且，求证：． 【变式4-3】（2025·陕西汉中·二模）已知，且．求证：． 【题型5 利用因式分解判断三角形的形状】 【例5】（24-25八年级上·湖北十堰·期末）已知a、b、c是△ABC的三边的长，且满足a2+b2+c2=ab+bc+ac，关于此三角形的形状有下列判断：①是锐角三角形；②是直角三角形；③是钝角三角形；④是等边三角形．其中正确说法的是 ．(把你认为正确结论的序号都填上) 【变式5-1】（24-25八年级下·重庆·期中）已知，，是的三边，且满足，则的形状是 ． 【变式5-2】（24-25八年级下·四川达州·阶段练习）已知a，b，c为的三条边的长． (1)当时，试判断的形状； (2)判断的值的符号，并说明理由． 【变式5-3】（24-25八年级上·山东淄博·期末）已知的三边，，满足，则的形状为（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【题型6 利用因式分解解决几何图形问题】 【例6】（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张可拼成如图2的大正方形． (1)图2大正方形的面积既可以表示为 ，又可以表示为 ，所以可得等式 ． (2)请利用A型，B型，C型若干张拼出一个面积为的长方形，并在图3的方框中画出示意图．研究拼图发现可将因式分解为 ． 【变式6-1】（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为，则另一边长为 ． 【变式6-2】（2025·浙江宁波·一模）如图，4张如图1的长为a，宽为b（a＞b）长方形纸片，按图2的方式放置，阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2，若S2＝2S1，则a，b满足（　　） A．a＝ B．a＝2b C．a＝b D．a＝3b 【变式6-3】（24-25七年级下·安徽安庆·阶段练习）如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x、y表示四个大小相同的长方形两边长，观察图案及以下关系式：；；；其中正确的关系式的个数有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型7 利用因式分解解决新定义问题】 【例7】（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）定义：若一个整数能表示成（a，b是正整数）的形式，则称这个数为“对称数” 例如：因为，所以13是“对称数”； 再如：因为，所以也是“对称数”． (1)填空： ①请直接写出一个小于10的“对称数”，这个“对称数”是______； ②判断45是否为“对称数”______（请填写“是”或“否”）； (2)已知（x是整数，k是常数，且），要使M为“对称数”，求出k值； (3)如果数m，n都是“对称数”，试说明也是“对称数”． 【变式7-1】（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）定义：任意两个数，按规则运算得到一个新数，称所得的新数为的“和积数”． (1)若，求的“和积数”； (2)若，求的“和积数”； (3)已知，且的“和积数”，求（用含的式子表示）． 【变式7-2】（24-25八年级上·山东德州·期末）定义：任意两个数，，按规则运算得到一个新数，称所得的新数为，的“和积数”． (1)若，，则，的“和积数”_____； (2)若，，求，的“和积数”； (3)已知，且，的“和积数”，若，求的值（用含的式子表示）． 【变式7-3】（24-25九年级下·山东临沂·期中）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第7个智慧优数是 ． 【题型8 利用因式分解解决阅读理解类问题】 【例8】（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0． 利用上述阅读材料求解： (1)若是多项式的一个因式，求的值； (2)若和是多项式的两个因式，试求的值． (3)在（2）的条件下，把多项式因式分解． 【变式8-1】（24-25七年级下·广西桂林·期中）阅读材料，回答问题． 对于多项式，如果我们把代入此多项式，发现多项式，这时可以断定多项式中有因式（注：把代入多项式能使多项式的值为，则多项式含有因式，于是我们可以把多项式写成：这种因式分解的方法叫试根法．） (1)式子中 ； ； (2)请你用“试根法”因式分解．（写过程） 【变式8-2】（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）阅读材料：若，求、的值． 解：， ， ， ，， ，． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知，求的值； (2)已知的三边长、、都是正整数，且满足，求的周长的最大值． 【变式8-3】（24-25八年级上·新疆昌吉·期末）阅读材料：根据代数式的特征进行如下变形后可将其因式分解． 例如： 【探究】请你仿照上面的方法，把代数式因式分解； 【拓展】（1）把代数式因式分解； （2）当时，求出的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 因式分解的应用（举一反三专项训练） 【华东师大版2024】 【题型1 利用因式分解求值】 1 【题型2 利用因式分解进行简算】 3 【题型3 利用因式分解解决整除问题】 5 【题型4 利用因式分解进行证明】 7 【题型5 利用因式分解判断三角形的形状】 10 【题型6 利用因式分解解决几何图形问题】 12 【题型7 利用因式分解解决新定义问题】 15 【题型8 利用因式分解解决阅读理解类问题】 20 【题型1 利用因式分解求值】 【例1】（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知，，，则代数式的值为（　　） A．5 B．6 C．3 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，掌握完全平方公式，把所求式子变形为含、、的形式是关键．由，，，得，，，将进行因式分解变形，即可得结论． 【详解】解： ，，， ，，， ， 故选：C． 【变式1-1】（24-25七年级上·内蒙古呼和浩特·期末）若，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，解答本题的关键是把原式每相邻的四项提取公因式．对所求代数式每相邻四项为一组提取公因式，然后代入已知条件式进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴原式 ． 故答案为：1． 【变式1-2】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的运用，非负数的性质．由原式可以变形为，根据非负数的性质及条件可以得出，，，，从而可以求出x、y的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵两项都非负，只能都为0， ∴，， ∴， ∴． 故选：D． 【变式1-3】（24-25九年级下·浙江宁波·期末）已知，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了因式分解的应用,解题的关键是将待求式变形为含有已知条件的形式，将待求式变形为，再将已知条件变形为，代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：2． 【题型2 利用因式分解进行简算】 【例2】（24-25八年级下·河南周口·阶段练习）计算：的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】原式各因式利用平方差公式化简，计算即可得到结果． 【详解】 ， ， ， ， 故选：． 【点睛】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式及其运算是解题的关键． 【变式2-1】（24-25八年级下·河北保定·期末）计算：101×1022﹣101×982=（ ） A．404 B．808 C．40400 D．80800 【答案】D 【分析】先提取公因式，再运用平方差公式分解因式，然后计算即可． 【详解】解：101×1022﹣101×982 =101（1022﹣982） =101（102+98）（102﹣98） =101×200×4=80800； 故选D． 【点睛】本题考查了应用因式分解进行简化计算，解答关键是先进行因式分解再进行计算． 【变式2-2】（24-25八年级上·福建厦门·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，利用平方差公式和完全平方公式进行因式分解后，计算即可． 【详解】解：原式 ； 故答案为：． 【变式2-3】（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）计算： ． 【答案】1 【分析】把分子因式分解后即可求解． 【详解】 ． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，正确因式分解是解答本题的关键． 【题型3 利用因式分解解决整除问题】 【例3】（24-25八年级上·河南南阳·期末）若为整数，则代数式的值一定可以（   ） A．被9整除 B．被6整除 C．被3整除 D．被2整除 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的四则混合运算、因式分解的应用等知识点，掌握整式的四则混合运算法则成为解题的关键． 先运用整式的四则混合运算化简，再因式分解，然后判断即可． 【详解】解：因为 ， 所以该代数式的值一定可以被3整除． 故选：C． 【变式3-1】（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）不能被整除的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了因式分解的应用，先提取公因式，再利用平方差公式因式分解得到，即可作出判断和选择． 【详解】解：∵， ∴不能被整除的是， 故选：A． 【变式3-2】（2025·河北沧州·二模）若n为任意整数，如果的值总能被4整除，则整数k不能取（    ） A． B．1 C．2 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的应用，先利用完全平方公式计算，再将代数式分组为一定被4整除的一组和需要确定范围的一组，找到能被整除的数即可得答案． 【详解】解： ． ∵的值总能被4整除，n为任意整数， ∴总能被整除． 整数k为、1、5均满足条件，故选项A、B、D不符合题意， 整数k为，，不能满足n为任意整数时的值总能被4整除， 故选：C． 【变式3-3】（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知，n为正整数． (1)求的值． (2)利用因式分解说明：能被24整除． 【答案】(1)25 (2)见解析 【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法的逆运算，因式分解，熟知同底数幂乘除法的逆运算法则是解题的关键． （1）根据计算求解即可； （2）根据同底数幂乘法的逆运算法则把原式变形为，再提取公因数分解因式得到，据此可证明结论． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）证明：∵， ∴ ， ∵是偶数，一定能被24整除， ∴一定能被24整除． 【题型4 利用因式分解进行证明】 【例4】（24-25八年级上·福建漳州·期中）“整体思想”在数学解题中运用广泛，下面例题是运用“整体思想”对多项式进行因式分解：因式分解：． 解：原式 (1)以上例题解答过程中把___________当作一个整体，多项式变形后，运用_________公式进行因式分解； (2)请仿照以上方法对下面多项式进行因式分解：； (3)拓展应用： 求证：四个连续自然数、、、的积与1的和等于一个奇数的平方． 【答案】(1)；完全平方公式 (2) (3)证明见解析 【分析】本题主要考查了因式分解： （1）根据解题过程可得解答过程中把当作一个整体，多项式变形后，运用完全平方公式公式进行因式分解； （2）先把原式分组为，再仿照题中例子求解即可； （3）先把原式分组为，再仿照题中例子推出原式，据此证明即可． 【详解】（1）解：由题意得，以上例题解答过程中把当作一个整体，多项式变形后，运用完全平方公式公式进行因式分解， 故答案为：；完全平方公式； （2）解： ； （3）证明： ， ∵n是自然数， ∴一定是偶数， ∴是偶数， ∴是奇数， ∴四个连续自然数、、、的积与1的和等于一个奇数的平方． 【变式4-1】（2025·辽宁沈阳·模拟预测）求证：当是整数时，两个连续奇数的平方差是这两个奇数的和的倍． 【答案】见解析 【分析】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 【详解】证明： 即：两个连续奇数的平方差是这两个奇数的和的倍． 【变式4-2】（24-25七年级上·上海·专题练习）若、、为非零实数，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式，平方差公式，先分组再综合运用提取公因式法和公式法因式分解即可得到答案，理解分组分解因式的思想方法是解决问题的关键． 【详解】证明：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式4-3】（2025·陕西汉中·二模）已知，且．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用，把两式相减得，把右式移项到左边，利用平方差公式和提公因式法对等式的左式因式分解，根据两式相乘积为，必有一个因式为即可求解，掌握因式分解的应用是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴两式相减得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【题型5 利用因式分解判断三角形的形状】 【例5】（24-25八年级上·湖北十堰·期末）已知a、b、c是△ABC的三边的长，且满足a2+b2+c2=ab+bc+ac，关于此三角形的形状有下列判断：①是锐角三角形；②是直角三角形；③是钝角三角形；④是等边三角形．其中正确说法的是 ．(把你认为正确结论的序号都填上) 【答案】①④ 【分析】先将原式转化为完全平方公式，再根据非负数的性质得出a=b=c．进而判断即可． 【详解】解：∵a2+b2+c2=ab+bc+ca， ∴2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ca， 即（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2=0， ∴a=b=c， ∴此三角形为等边三角形，同时也是锐角三角形． 故答案是：①④． 【点睛】此题考查了因式分解的应用，根据式子特点，将原式转化为完全平方公式是解题的关键． 【变式5-1】（24-25八年级下·重庆·期中）已知，，是的三边，且满足，则的形状是 ． 【答案】等腰三角形 【分析】首先把变形为，由题意得出，，得出，即可得出结论． 【详解】∵， ∴， 因式分解得：， ∵是△ABC的三边， ∴， ∴， ∴， ∴△ABC是等腰三角形； 故答案为：等腰三角形． 【点睛】本题考查了因式分解的应用、等腰三角形的判定；熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 【变式5-2】（24-25八年级下·四川达州·阶段练习）已知a，b，c为的三条边的长． (1)当时，试判断的形状； (2)判断的值的符号，并说明理由． 【答案】(1)是等腰三角形 (2)的值的符号是“”，理由见解析 【分析】本题考查了多项式的因式分解和三角形的三边关系，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键； （1）先将等式变形为，进而左边分解因式为，结合a，b，c为的三条边的长即可作出判断； （2）根据三角形的三边关系可得，再将原式分解因式后即可进行判断. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵a，b，c为的三条边的长， ∴， ∴，即， ∴是等腰三角形； （2）解：的值的符号是“”，理由如下： ∵a，b，c为的三条边的长， ∴， ∴ . 【变式5-3】（24-25八年级上·山东淄博·期末）已知的三边，，满足，则的形状为（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的应用，等腰三角形的定义，解题的关键是能够对题目提供的式子进行因式分解．先证明，进而得出，即可判断的形状． 【详解】解：∵的三边，，， ∴， ∵， ∴， ， a、b、c是的三边， ， ， 的形状为等腰三角形， 故选：C． 【题型6 利用因式分解解决几何图形问题】 【例6】（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张可拼成如图2的大正方形． (1)图2大正方形的面积既可以表示为 ，又可以表示为 ，所以可得等式 ． (2)请利用A型，B型，C型若干张拼出一个面积为的长方形，并在图3的方框中画出示意图．研究拼图发现可将因式分解为 ． 【答案】(1)， ， (2)作图见解析， 【分析】本题考查几何背景下的整式的乘法与因式分解，掌握数形结合的思想是解题的关键． （1）图2可看作是边长为的正方形，也可以看作4个部分组成，可分别表示出面积，再根据二者面积相等，即可作答； （2）拼成的大长方形需要2张A种纸片，1张B种纸片，3张C种纸片，据此即可作图，再由面积关系即可解答． 【详解】（1）解：图2大正方形的面积既可以表示为，又可以表示为，所以可得等式． 故答案为： ， ， ． （2）解：如图， 由图可知，拼成的大长方形的长为，宽为，即， ∴可将因式分解为． 故答案为： 【变式6-1】（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为，则另一边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是熟记平方差、完全平分公式．由于边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），那么根据正方形的面积剩余部分的面积可以求出，而长方形一边长为，利用长方形的面积公式即可求出另一边长． 【详解】解：依题意得剩余部分为： ， ∵拼成的长方形一边长为， ∴另一边长为： 若拼成的长方形一边长为，则另一边长为：， 故答案为：． 【变式6-2】（2025·浙江宁波·一模）如图，4张如图1的长为a，宽为b（a＞b）长方形纸片，按图2的方式放置，阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2，若S2＝2S1，则a，b满足（　　） A．a＝ B．a＝2b C．a＝b D．a＝3b 【答案】B 【分析】从图形可知空白部分的面积为S2是中间边长为（a﹣b）的正方形面积与上下两个直角边为（a+b）和b的直角三角形的面积，再与左右两个直角边为a和b的直角三角形面积的总和，阴影部分的面积为S1是大正方形面积与空白部分面积之差，再由S2＝2S1，便可得解． 【详解】由图形可知， S2=（a-b）2+b（a+b）+ab=a2+2b2， S1=（a+b）2-S2=2ab-b2， ∵S2＝2S1， ∴a2+2b2＝2（2ab﹣b2）， ∴a2﹣4ab+4b2＝0， 即（a﹣2b）2＝0， ∴a＝2b， 故选B． 【点睛】本题主要考查了求阴影部分面积和因式分解，关键是正确列出阴影部分与空白部分的面积和正确进行因式分解． 【变式6-3】（24-25七年级下·安徽安庆·阶段练习）如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x、y表示四个大小相同的长方形两边长，观察图案及以下关系式：；；；其中正确的关系式的个数有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据长方形的长和宽，结合图形进行判断，即可得出选项． 【详解】①x-y等于小正方形的边长，即x-y=n，正确； ②∵xy为小长方形的面积， ∴， 故本项正确； ③x2-y2=（x+y）（x-y）=mn，故本项正确； ④x2+y2=（x+y）2-2xy=m2-2×=，故本项错误． 则正确的有3个． 故选C． 【点睛】本题考查了整式的混合运算以及因式分解的应用，主要考查学生的计算能力和观察图形的能力． 【题型7 利用因式分解解决新定义问题】 【例7】（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）定义：若一个整数能表示成（a，b是正整数）的形式，则称这个数为“对称数” 例如：因为，所以13是“对称数”； 再如：因为，所以也是“对称数”． (1)填空： ①请直接写出一个小于10的“对称数”，这个“对称数”是______； ②判断45是否为“对称数”______（请填写“是”或“否”）； (2)已知（x是整数，k是常数，且），要使M为“对称数”，求出k值； (3)如果数m，n都是“对称数”，试说明也是“对称数”． 【答案】(1)①2或5或8②是 (2)或 (3)见解析 【分析】本题考查因式分解的应用，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）①根据新定义，写出一个对称数即可；②，即可得出结论； （2）结合完全平方公式，将转化为的形式，进行求解即可； （3）设，求出，并进行转化，判断即可． 【详解】（1）解：①； 故这个“对称数”可以是2或5或8； ②∵， ∴45是“对称数”； 故答案为：是； （2）， ∵M为“对称数”， ∴为一个完全平方数， ∵， ∴或． （3）设， 则： ； ∴也是“对称数”． 【变式7-1】（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）定义：任意两个数，按规则运算得到一个新数，称所得的新数为的“和积数”． (1)若，求的“和积数”； (2)若，求的“和积数”； (3)已知，且的“和积数”，求（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)的值为或 (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算、因式分解的应用、利用完全平方公式进行计算、求代数式的值，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据“和积数”的定义进行计算即可； （2）利用完全平方公式的变形求出或，再由，代入数值进行计算即可； （3）把的右边利用提公因式法分解因式，再根据，对应相等即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：， 的“和积数”为； （2）解：由题意得：， ， ， 或， 当时，， 当时，， 综上所述，的值为或； （3）解：由题意得：， ， ， ， ， ， ． 【变式7-2】（24-25八年级上·山东德州·期末）定义：任意两个数，，按规则运算得到一个新数，称所得的新数为，的“和积数”． (1)若，，则，的“和积数”_____； (2)若，，求，的“和积数”； (3)已知，且，的“和积数”，若，求的值（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)c的值为或 (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算、因式分解的应用、利用完全平方公式进行计算、求代数式的值，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据“和积数”的定义进行计算即可； （2）利用完全平方公式的变形求出或，再由，代入数值进行计算即可； （3）把的右边利用提公因式法分解因式，再根据，对应相等即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴的“和积数”c为； 故答案为：； （2）解：由题意得：， ∵，，， ∴， ∴或， 当时，， 当时，， 综上所述，c的值为或； （3）解：由题意得：， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式7-3】（24-25九年级下·山东临沂·期中）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第7个智慧优数是 ． 【答案】24 【分析】本题考查了因式分解的应用，根据，均为正整数，得出，，，，…，从而得出，，，，…，把平方差公式中的换成和相关的式子，得到新的式子，然后将，，，…一次代入计算即可，理解题意，熟练掌握平方差公式是解此题的关键． 【详解】解：，均为正整数， ，，，，…， ，，，，…， ， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，…， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，，，，，，，，，，…， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，，，，，，…， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，，，，…， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，，…， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，…， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，…， 把这些“智慧优数”从小到大排列为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，…， 第7个智慧优数是， 故答案为：． 【题型8 利用因式分解解决阅读理解类问题】 【例8】（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0． 利用上述阅读材料求解： (1)若是多项式的一个因式，求的值； (2)若和是多项式的两个因式，试求的值． (3)在（2）的条件下，把多项式因式分解． 【答案】(1) (2)的值为，的值为0 (3) 【分析】本题考查因式分解的创新应用、二元一次方程组的应用等知识，熟练掌握因式分解的原理是解题的关键． （1）将代入多项式并使多项式等于0，求解即可获得答案； （2）将和分别代入多项式并使多项式等于0，解二元一次方程组，即可获得答案； （3）将（2）中解得的的值代入多项式，然后进行因式分解即可． 【详解】（1）解：∵是多项式的一个因式， ∴当时，可有， 解得； （2）∵和是多项式的两个因式， ∴可有，整理可得， 解得，即的值为，的值为0； （3）由（2）可知，的值为，的值为0， ∴多项式为， ∴． 【变式8-1】（24-25七年级下·广西桂林·期中）阅读材料，回答问题． 对于多项式，如果我们把代入此多项式，发现多项式，这时可以断定多项式中有因式（注：把代入多项式能使多项式的值为，则多项式含有因式，于是我们可以把多项式写成：这种因式分解的方法叫试根法．） (1)式子中 ； ； (2)请你用“试根法”因式分解．（写过程） 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题考查了因式分解的应用，解二元一次方程组，多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据 ，得出有关，的方程组求出即可； （）把代入得其值为，则多项式含有因式，则分解为的形式，然后求出，即可． 【详解】（1）由， 得， ∴， 解得：， 故答案为：，； （2）把代入得其值为，则多项式含有因式， ∴多项式可分解为的形式， ∴用上述方法可求得：，， ∴． 【变式8-2】（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）阅读材料：若，求、的值． 解：， ， ， ，， ，． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知，求的值； (2)已知的三边长、、都是正整数，且满足，求的周长的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解方法的应用，解答此题的关键是要明确：用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分． （1）先将方程进行变形，通过完全平方公式化简为两个平方和的形式，即，再利用非负数的性质，两个平方和等于零，说明每一个平方项都等于零，即，，进而求出、的值，最后求的值； （2）先将方程进行变形，通过完全平方公式化简为两个平方和的形式，即，再利用非负数的性质，两个平方和等于零，说明每一个平方项都等于零，即，，进而求出、的值，最后根据三角形三边关系即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，求出边长的最大值，进而求出的周长的最大值． 【详解】（1）解：， ， ， ，， ，， ，， ； （2）， ， ， ，， ，， 的边长的范围为：， 即， 、、都是正整数， 的最大值为， 的周长的最大值为． 【变式8-3】（24-25八年级上·新疆昌吉·期末）阅读材料：根据代数式的特征进行如下变形后可将其因式分解． 例如： 【探究】请你仿照上面的方法，把代数式因式分解； 【拓展】（1）把代数式因式分解； （2）当时，求出的值． 【答案】【探究】； 【拓展】 ； 或． 【分析】本题主要考查了因式分解、因式分解法解一元二次方程．解决本题的关键是读懂阅读材料中的解题思路，利用材料中提供的思路解题． 【探究】读懂材料中的解题思路，根据材料中的解题思路先变形为完全平方公式，把多项式中的一部分利用完全平方公式分解因式，然后再利用平方差公式继续分解因式； 【拓展】仿照材料中的解题思路分解因式即可； 根据中分解因式的解果可知，把二元二次方程转化为两个二元一次方程，从而可求的值． 【详解】【探究】解： ； 【拓展】解： ； ， ， 或， 由可得：， 由可得：， 或． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$