精品解析：广东北江中学2024-2025学年下学期励新学部第三次模拟测试数学科试卷

广东北江中学2024－2025学年第二学期 励新学部第三次模拟测试数学科试卷 本试卷共6页，23小题，满分120分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的准考证号姓名、考场号和座位号填写在答题卡上，用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号、将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效． 4．考试必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 小于的无理数是（ ） A. B. C. D. 2. 二十四节气是上古农耕文明的产物，它是上古先民顺应农时，通过观察天体运行，认知一岁中时令、气候、物候等变化规律所形成的知识体系，下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是( ) A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，点在第二象限或第四象限，则、的关系是( ) A. B. C. D. 5. 一组数据、、、、、、，众数为3，那么这组数据的中位数是( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 7. 传统建筑中的窗格设计精巧、样式繁多，如图是采用六边形窗格，其轮廓是正六边形，则这个正六边形的一个内角为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是第14届国际数学教育大会（ICME－14）会标，广泛传播了数学元素：勾股定理、偶数和奇数、八进制和二进制等．“ICME－14”下方四个中国传统卦写的十进制的数 2020，表示大会召开的年份，此外，“”的二进制代码是：．由于COVID－19的大流行，ICME－14不得不推迟，新标志右下角的四个三元组代表二进制，则代表的十进制是（ ） A. 2021 B. 2022 C. 2023 D. 2024 9. 唐代李皋发明的“桨轮船”，靠人力踩动桨轮轴，使桨叶拨水推动船体前进，是近代明轮航行模式的先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长，桨轮船的轮子半径为，则轮子的浸水深度为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，点在线段上，与轴交于、两点，当与该一次函数的图象相切时，的长度是（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 2 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分 11. 因式分解：____________． 12. 如图，已知在中，，，直线经过直角顶点，直线与边相交于点，且．若，则________． 13. 把命题“互为相反数的两个数，它们的绝对值相等”改写成“如果……，那么……”的形式是____________________． 14. 如图，矩形的周长为，对角线和相交于点，点为中点，连接，则的值为________． 15. 如图，是边长为的等边三角形，点是外的一点，，．若，连接，则线段的长为___________. 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分 16. 计算： 17. “北风起，腊鸭香”，南雄板鸭已有千年历史，是广东人的年味密码．小美和小丽去某特产店购买了甲、乙两种不同包装的南雄板鸭产品，小美购买了袋甲产品和袋乙产品，共花费了元；小丽购买了袋甲产品和袋乙产品，共花费了元．这家特产店甲乙两种南雄板鸭产品的零售价分别是多少？ 18. 如图，在平面直角坐标系中，点、、、，通过平移得到． （1）若点与点相对应，请画出平移后的； （2）若点在坐标轴上，且满足，直接写出点的坐标． 19. 中华文化源远流长，文学方面，《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”．某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如下尚不完整的统计图． 请根据以上信息，解决下列问题： （1）本次调查所得数据的众数是________部，中位数是________部； （2）扇形统计图中“部”所在扇形的圆心角为________度； （3）请将条形统计图补充完整； （4）没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，请用列表或画树状图的方法求他们恰好选中同一名著的概率． 20. 某地下车库的入口如图所示，其中两点之间的距离为米，米，请判断米高的汽车能否通过该入口？并说明理由．（参考数据：） 21. 综合与实践 【问题情境】“漏壶”也称为“漏刻”，是一种古代计时器，在社会实践活动中，某同学根据“漏壶”的原理制作了如图①所示的液体漏壶，漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体． 【实验观察】（1）下表是实验记录的圆柱体容器液面高度y（厘米）与时间x（小时）的数据： 时间x（小时） 1 2 3 4 5 圆柱体容器液面高度y（厘米） 6 10 14 18 22 在图②所示的直角坐标系中描出上表的各点，用光滑的线连接； 【探索发现】（2）请你根据表中的数据及图象，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定y与x之间的函数表达式； 【结论应用】（3）如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当圆柱体容器液面高度达到20厘米时是几点？ 22. 如图1，抛物线经过点、，交y轴于点，点P是抛物线上一动点． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）当点P的坐标为时，求四边形的面积； （3）当时，求点P的坐标； （4）过点A、O、C的圆交抛物线于点E、F，如图2．连接，判断的形状，并说明理由． 23. （1）如图1，在中，，点是斜边上的一个动点点不与点重合，连接，线段绕点顺时针旋转，连接、，猜想：与之间的位置关系_________，数量关系____________． （2）如图2，在中，，点是斜边上的一个动点不与点重合，连接，线段绕点顺时针旋转，并延长使得，连接，猜想与的数量关系，并证明． （3）如图3，在（2）的条件下，点是点关于对称点，连接、、，构造得到筝形．若，设，筝形的面积是，求与的函数关系式，并求出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东北江中学2024－2025学年第二学期 励新学部第三次模拟测试数学科试卷 本试卷共6页，23小题，满分120分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的准考证号姓名、考场号和座位号填写在答题卡上，用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号、将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效． 4．考试必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 小于的无理数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数大小比较，根据，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵是有理数， ∴小于的无理数是 故选：A． 2. 二十四节气是上古农耕文明的产物，它是上古先民顺应农时，通过观察天体运行，认知一岁中时令、气候、物候等变化规律所形成的知识体系，下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，B，C选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：D． 3. 下列计算正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，积的乘方、同底数幂的除法，幂的乘方与同底数幂的乘法，根据以上运算法则进行计算即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 4. 在平面直角坐标系中，点在第二象限或第四象限，则、的关系是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了象限内的点的坐标符号特点，熟练掌握坐标系中各象限内的点的坐标符号特点是解决此类问题的关键． 先由点P在第二、四象限，确定ab的符号，即可求解． 【详解】解：∵点在第二象限或第四象限，则异号， ∴， 故选：D． 5. 一组数据、、、、、、，众数为3，那么这组数据的中位数是( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据中位数的定义直接解答即可．本题考查了中位数，掌握中位数的定义是解题的关键；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数． 【详解】解：把这些数从小到大排列为，，，，，，中位数为 故选：B． 6. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程根的判别式，根据根的情况确定参数的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴，且 解得：且 ∴的取值范围是且， 故选：D． 7. 传统建筑中的窗格设计精巧、样式繁多，如图是采用六边形窗格，其轮廓是正六边形，则这个正六边形的一个内角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角和公式，掌握多边形的内角和公式：是解决本题的关键．首先根据多边形内角和公式可求得正六边形的内角和，据此即可求得每个内角的度数． 【详解】解：正六边形的内角和为：， 正六边形的每个内角的度数为：， 故选：B． 8. 如图，是第14届国际数学教育大会（ICME－14）会标，广泛传播了数学元素：勾股定理、偶数和奇数、八进制和二进制等．“ICME－14”下方四个中国传统卦写的十进制的数 2020，表示大会召开的年份，此外，“”的二进制代码是：．由于COVID－19的大流行，ICME－14不得不推迟，新标志右下角的四个三元组代表二进制，则代表的十进制是（ ） A. 2021 B. 2022 C. 2023 D. 2024 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二进制数转换为十进制数，含乘方的有理数的混合运算，解题的关键是掌握二进制转换为十进制方法．观察两个二进制代码可得只有最后一个数不同，即可求解． 【详解】解：“”的二进制代码是：． 二进制，代表的十进制是 故选：A． 9. 唐代李皋发明的“桨轮船”，靠人力踩动桨轮轴，使桨叶拨水推动船体前进，是近代明轮航行模式的先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长，桨轮船的轮子半径为，则轮子的浸水深度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是掌握垂径定理的应用． 利用垂径定理，勾股定理求出即可由求解． 【详解】解：由题意得：，， ∴， ∴ ∴ 故选：A． 10. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，点在线段上，与轴交于、两点，当与该一次函数的图象相切时，的长度是（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的几何应用，切线的性质，勾股定理，由一次函数解析式可得，，即得，设与直线相切于点，连接，可得，， 由可得，进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：当时，；当时，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 如图，设与直线相切于点，连接， ∴，， 设， ∵， ∴， 即， 解得， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分 11. 因式分解：____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解．用提取公因式法和公式法相结合进行因式分解． 【详解】解： ． 故答案为：． 12. 如图，已知在中，，，直线经过直角顶点，直线与边相交于点，且．若，则________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形中两个锐角互余，平行线的性质，过点作，根据平行线的性质得出，结合，即可求解． 【详解】解：如图，过点作 ∴， ∵， ∴ ∴ 又∵，， ∴ ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 13. 把命题“互为相反数的两个数，它们的绝对值相等”改写成“如果……，那么……”的形式是____________________． 【答案】如果两个数互为相反数，那么它们的绝对值相等 【解析】 【分析】本题考查了把命题改写为“如果……，那么……”的性质，分清楚命题中的条件结论是解题的关键．前面作为条件，后面作为结论进行改写即可． 【详解】解：把命题“互为相反数的两个数，它们的绝对值相等”改写成“如果……，那么……”的形式是“如果两个数互为相反数，那么它们的绝对值相等”， 故答案为：如果两个数互为相反数，那么它们的绝对值相等． 14. 如图，矩形的周长为，对角线和相交于点，点为中点，连接，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，中位线的性质，根据题意可得，是的中位线，进而可得，根据矩形的周长为，则，进而即可求解． 【详解】解：∵矩形的周长为， ∴， ∵对角线和相交于点，点为中点， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 15. 如图，是边长为的等边三角形，点是外的一点，，．若，连接，则线段的长为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】以点为圆心，为半径画圆，过点作，过点作，根据等边三角形的性质可知，，根据圆周角定理可知，根据直角三角形的性质可知，利用勾股定理求出，，根据可证，根据全等三角形的性质可得，从而可求的长度． 【详解】解：如下图所示，以点为圆心，为半径画圆，过点作，过点作， 是边长为的等边三角形， ，， ， 在中， ， ，， ， ， 在和中，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质．解决本题的关键是根据图形的性质找到边、角之间的关系． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据有理数的乘方，零指数幂，负整数指数幂，化简绝对值进行计算即可求解． 【详解】解： 17. “北风起，腊鸭香”，南雄板鸭已有千年历史，是广东人的年味密码．小美和小丽去某特产店购买了甲、乙两种不同包装的南雄板鸭产品，小美购买了袋甲产品和袋乙产品，共花费了元；小丽购买了袋甲产品和袋乙产品，共花费了元．这家特产店甲乙两种南雄板鸭产品的零售价分别是多少？ 【答案】甲产品的零售价为元/袋，乙产品的零售价为 元/袋 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设甲产品的零售价为元/袋，乙产品的零售价为 元/袋，根据题意列出方程组，解方程组，即可求解． 【详解】解：设甲产品的零售价为元/袋，乙产品的零售价为 元/袋，根据题意得， 解得： 答：甲产品的零售价为元/袋，乙产品的零售价为 元/袋 18. 如图，在平面直角坐标系中，点、、、，通过平移得到． （1）若点与点相对应，请画出平移后的； （2）若点在坐标轴上，且满足，直接写出点的坐标． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2）或或或 【解析】 【分析】本题考查了平移作图，求一次函数与坐标轴的交点，三角形的面积，掌握以上知识是解题的关键； （1）根据平移的性质画出图形，即可求解； （2）待定系数法得出解析式为，设与轴交于点，得出，分点在轴上两种情况讨论，根据三角形的面积公式建立方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设解析式为，代入， 得， 解得：， ∴解析式为， 设与轴交于点， 当时，，则， ∵， ∴， 当在轴上时，设， ∵， ∴， ∴， 解得：或， ∴或， 当在轴上时，如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别为， 设，当在点下方时， ∴， ∴， 解得：， ∴， 当在直线的左侧时， ∴， ∴， 解得：， ∴， 当在点上方时，不存在， 综上所述，或或或 19. 中华文化源远流长，文学方面，《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”．某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如下尚不完整的统计图． 请根据以上信息，解决下列问题： （1）本次调查所得数据的众数是________部，中位数是________部； （2）扇形统计图中“部”所在扇形的圆心角为________度； （3）请将条形统计图补充完整； （4）没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，请用列表或画树状图的方法求他们恰好选中同一名著的概率． 【答案】（1）1，2； （2）°； （3）补全统计图如图所示． （4） 【解析】 【分析】（1）先根据调查的总人数，求得2部对应的人数，进而得到本次调查所得数据的众数以及中位数； （2）根据扇形圆心角的度数=部分占总体的百分比×360°，即可得到“4部”所在扇形的圆心角； （3）根据2部对应的人数，即可将条形统计图补充完整； （4）根据列表所得的结果，可判断他们选中同一名著的概率． 【详解】解：（1）调查的总人数为：10÷25%=40， ∴2部对应的人数为40-2-14-10-8=6， ∴本次调查所得数据的众数是1部， ∵2+14+10=26＞21，2+14＜20， ∴中位数为2部． 故答案为：1，2 （2）扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为： 故答案为：72°. （3）2部对应的人数为：40-2-14-10-8=6人 （4）将《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》分别记作A，B，C，D， 画树状图可得： 由图可知，共有16种等可能的结果，其中选中同一名著的有4种，． 故答案为：． 【点睛】此题考查了树状图法与列表法求概率，以及条形统计图与扇形统计图的知识．解题时注意：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ． 20. 某地下车库的入口如图所示，其中两点之间的距离为米，米，请判断米高的汽车能否通过该入口？并说明理由．（参考数据：） 【答案】 能，理由： 如图，延长交于点，过点作于点， 在Rt中，， 在中，， 米高的汽车能通过该入口． 【解析】 【分析】本题考查了解直三角形的实际应用，解题关键是通过作垂直构造直角三角形求解． 先利用正切求得，再利用余弦求得与比较大小，然后作出判断即可． 【详解】略 21. 综合与实践 【问题情境】“漏壶”也称为“漏刻”，是一种古代计时器，在社会实践活动中，某同学根据“漏壶”的原理制作了如图①所示的液体漏壶，漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体． 【实验观察】（1）下表是实验记录的圆柱体容器液面高度y（厘米）与时间x（小时）的数据： 时间x（小时） 1 2 3 4 5 圆柱体容器液面高度y（厘米） 6 10 14 18 22 在图②所示的直角坐标系中描出上表的各点，用光滑的线连接； 【探索发现】（2）请你根据表中的数据及图象，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定y与x之间的函数表达式； 【结论应用】（3）如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当圆柱体容器液面高度达到20厘米时是几点？ 【答案】 （1）画出函数图象，如下： （2）； （3）圆柱体容器液面高度达到20厘米时是上午 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求一次函数的解析式、一次函数的实际应用问题： （1）将各点在坐标系中直接描出，再用光滑的线连接即可； （2）利用待定系数法解答，即可求解； （3）令，求出x的值，即可求解． 【详解】解：（1）略 （2）由图可知该图象是一次函数，设该函数的表达式为． 点、在该图象上 ，解得， 与之间的函数表达式为． （3）当时，即， 解得：， 则 ∴圆柱体容器液面高度达到20厘米时是上午． 22. 如图1，抛物线经过点、，交y轴于点，点P是抛物线上一动点． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）当点P的坐标为时，求四边形的面积； （3）当时，求点P的坐标； （4）过点A、O、C的圆交抛物线于点E、F，如图2．连接，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2）16 （3）或 （4） 是等边三角形，理由如下： ∵三点共圆，且， ∴为过三点的圆的直径， 如图所示，取中点R，连接， ∵， ∴， ∴； 设与抛物线交于， 联立得， ∴， 解得， 在中，当时， 当时， ∴， ∴， ， ， ∴， ∴是等边三角形． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点P作于T，根据列式求解即可； （3）取，连接，易证明，则线段与抛物线的交点即为所求；求出直线的解析式为，联立，解得或（舍去），则；如图所示，取，连接，同理可得，则直线与抛物线的交点即为所求；同理可得；则符合题意的点P的坐标为或； （4）由90度的圆周角所对的弦是直径得到为过三点的圆的直径，如图所示，取中点R，连接，则，；设与抛物线交于，联立得，解得，则， 由勾股定理可得，则是等边三角形． 【小问1详解】 解：将点代入， 得 解得 ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解:如图所示，过点P作于T， ∵，，， ∴ ， ∴， ∴ ； 【小问3详解】 解：如图所示，取，连接， ∵、，， ∴， ∴， ∴线段与抛物线的交点即为所求； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立，解得或（舍去）， ∴； 如图所示，取，连接， 同理可得， ∴直线与抛物线的交点即为所求； 同理可知直线的解析式为， 联立，解得或（舍去）， ∴； 综上所述，符合题意的点P的坐标为或； 【小问4详解】 略 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理，圆的相关知识，解题的关键在于正确作出辅助线并利用数形结合的思想求解． 23. （1）如图1，在中，，点是斜边上的一个动点点不与点重合，连接，线段绕点顺时针旋转，连接、，猜想：与之间的位置关系_________，数量关系____________． （2）如图2，在中，，点是斜边上的一个动点不与点重合，连接，线段绕点顺时针旋转，并延长使得，连接，猜想与的数量关系，并证明． （3）如图3，在（2）的条件下，点是点关于对称点，连接、、，构造得到筝形．若，设，筝形的面积是，求与的函数关系式，并求出的最小值． 【答案】（1），； （2），证明如下： ∵， ∴， ∵在中，，则， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴； （3），最小值 【解析】 【分析】本题考查全等三角形判定及性质，相似三角形判定及性质，解直角三角形，二次函数最值等，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据题意证明，再利用性质得到，，继而得到本题答案； （2）先证明，再利用相似性质得，即可； （3）利用勾股定理得到，解直角三角形，继而得到，，根据筝形的特征可得，得出函数关系式，并利用二次函数顶点式即可得到最大值． 【详解】解：（1）猜想：与之间的位置关系，数量关系. ∵在中，， ∴ 线段绕点顺时针旋转， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即， 故答案为：，； （2）略 （3）∵在中，， ∴ 设，筝形的面积是， ∴， 由（2）可得， ∴， °， ， ， ； 在中，， ∵， ， ∴， ∴， ∴，， ∵四边形是筝形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴与的函数表达式：，的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $