5.3一元一次方程的应用 教学设计 -2025-2026学年北师大版数学七年级上册

教学设计 案例名称 一元一次方程的应用 提供者 - 教材分析 （1）本节课的主要教学内容是一元一次方程在行程问题中的应用，包括追及问题和相遇问题。 （2）本节课主要介绍了如何利用方程模型解决实际的行程问题，如追及问题和相遇问题。通过具体例子，学生可以学习如何分析和理解题目中的数量关系，进而建立相应的方程求解。 （3）通过学习本节课，学生不仅能够掌握追及和相遇问题的基本解法，还能提高分析问题、解决问题的能力。此外，学生还能增强模型意识和应用意识，学会在实际生活中灵活运用方程模型解决类似问题。这些技能和思维方法将为学生今后深入学习数学打下坚实的基础。 教学目标 （1）会用数学的眼光观察现实世界：通过分析实际问题中的数量关系，理解行程问题的数学模型，培养从现实情境中抽象出数学问题的能力。 （2）会用数学的思维思考现实世界：借助 “线段图” 分析追及和相遇问题中的等量关系，发展逻辑推理和问题解决能力，体会方程在解决实际问题中的作用。 （3）会用数学的语言表达现实世界：通过列方程解决行程问题，提升数学符号语言的表达能力，增强运用数学模型解决实际问题的意识。 教学重难点 （1）通过 “线段图” 分析行程问题中的数量关系，建立方程模型解决实际问题，培养学生从实际问题中抽象出数学模型的素养。 （2）理解 “追及问题” 中时间、速度与路程的复杂关系，尤其是起点不同时的等量关系，提升学生分析问题和逻辑推理的能力。 教学方法 讲授法、探究法、练习法 教学环境及资源准备 （1）多媒体投影仪和电脑，用于展示线段图和例题解析，增强视觉效果，帮助学生更好地理解行程问题中的数量关系和等量关系。 （2）《一元一次方程的实际应用案例集》辅助教材，包含丰富的实际问题案例和详细解题步骤，供学生课后复习和巩固所学知识，加深对方程模型解决实际问题的理解。 （3）互动式白板和标记笔，用于课堂上的即时演算和学生参与，鼓励学生主动上台展示自己的解题思路，促进师生之间的互动交流。 教学过程 一、创设情境 情境导入 活动内容: 学生以小品的形式表演一位同学早晨忘带作业，他刚出门不久，父母就发现他忘带作业，于是赶快加速赶往学校给他送作业，最终在去学校的路上追上了他。（通过小品的生动演绎，激发了学生的课堂参与感和兴趣） 教师提问：在刚刚的情境中，你们发现了哪些数学问题？（生：可以计算出父母追上孩子的时间、距离等）。 二、探究归纳 探究新课 追及问题 活动内容: 教材实例分析: 例 1: 小明早晨要在 7:50 以前赶到距家 1 000 米的学校上学，一天，小明以 80 米 / 分的速度出发。5 分钟后，小明的爸爸发现他忘了带语文书，于是，爸爸立即以 180 米 / 分的速度去追小明，并且在途中追上了他。 (1) 爸爸追上小明用了多长时间？ (2) 追上小明时，距离学校还有多远？ 教师引导: 请大家根据题目条件，画出线段图来表示小明和爸爸的行进路径。 找出等量关系: 小明所用时间 = 5 分钟 + 爸爸所用时间；小明走过的路程 = 爸爸走过的路程。（教师板书） 板书解题过程: 解：(1) 设爸爸追上小明用了 x 分钟， 据题意得 80×5 + 80x = 180x. 解得 x = 4. 答：爸爸追上小明用了 4 分钟. (2) 180×4 = 720 (米), 1 000 - 720 = 280 (米). 答：追上小明时，距离学校还有 280 米. 作出小结: 同向而行 ① 甲先走，乙后走；v 甲 < v 乙. 等量关系: 甲的路程 = 乙的路程；甲的时间 = 乙的时间 + 时间差. 变换条件，研究起点不同的追及问题。 例 2: 甲、乙两站间的路程为 450 千米，一列慢车从乙站开出，每小时行驶 65 千米，一列快车从甲站开出，每小时行驶 85 千米。设两车同时开出，同向而行，则快车几小时后追上慢车？ 通过个别学生分析已知条件，引导大家正确画出线段图: 找出等量关系: 快车所用时间 = 慢车所用时间；快车行驶路程 = 慢车行驶路程 + 相距路程。 板书规范写出解题过程: 解: 设快车 x 小时追上慢车， 据题意得 85x = 450 + 65x. 解得 x = 22.5. 答：快车 22.5 小时追上慢车. 作出小结: 同向而行 ② 甲、乙同时走；v 甲 < v 乙. 等量关系: 甲的时间 = 乙的时间；乙的路程 = 甲的路程 + 相距路程. 相遇问题 活动内容: 知识拓展，与学生共同探讨相遇问题, 借助 “线段图” 归纳出其中的关系. 例 3: 甲、乙两人相距 280 米，相向而行，甲每秒跑 8 米，乙每秒跑 6 米，那么甲出发几秒与乙相遇？ 实际活动效果: 学生独立思考，正确画出线段图。 找出等量关系: 甲所用时间 = 乙所用时间；甲路程 + 乙路程 = 甲、乙相距路程。 板书规范写出解题过程: 解: 设 t 秒后甲、乙相遇， 据题意得 8t + 6t = 280. 解得 t = 20. 答：甲出发 20 秒与乙相遇. 作出小结: 相向而行 等量关系: 甲所用时间 = 乙所用时间；甲的路程 + 乙的路程 = 总路程. 相遇和追及的综合问题 活动内容: 将前两类题综合起来，形成一道综合题目. 例 4: 某学校七年级学生列队以每小时 6 千米的速度去甲地。王明从队尾以每小时 10 千米的速度赶到队伍的排头后又以同样的速度返回排尾，一共用了 7.5 分钟，求队伍的长. 教师引导分析: 思路：把综合问题分解成两个简单问题，使难度降低. 例如：一列队伍，一个人从队尾追到排头，接着返回队尾的题目. 分解: ①追上排头 —— 追及问题； ②返回队尾 —— 相遇问题. 找出等量关系: 追及问题: 队尾追排头；相遇问题: 排头回队尾. 板书规范写出解题过程: 解: 7.5 分钟 = 0.125 小时. 设王明追上排头用了 x 小时，则返回用了 (0.125 - x) 小时， 据题意得 10x - 6x = 10 (0.125 - x) + 6 (0.125 - x). 解得 x = 0.1. 此时，10 × 0.1 - 6 × 0.1 = 0.4 (千米) = 400 (米). 答：队伍长为 400 米. 运用巩固 活动内容: 练习 1: 李兵每秒跑 6 米，张明每秒跑 7 米，两人从同一地点出发，李兵先跑 4 秒，张明几秒钟追上李兵？ 学生独立完成，教师巡视指导。 请学生展示解题过程，其他同学进行评价。 练习 2: 甲骑摩托车，乙骑自行车同时从相距 150 千米的两地相向而行，经过 5 小时相遇，已知甲每小时行驶的路程是乙每小时行驶的路程的 3 倍少 6 千米，求乙骑自行车的速度。 学生合作讨论，画出线段图。 请学生代表汇报解题思路，教师点评并总结。 三、交流反思 活动内容: 学生归纳总结本节课所学知识: 会利用线段图分析行程问题。 掌握各种行程问题中的规律及等量关系。 同向追及问题: ① 同时不同地 —— 甲路程 + 路程差 = 乙路程；甲时间 = 乙时间。 ② 同地不同时 —— 甲时间 + 时间差 = 乙时间；甲路程 = 乙路程。 相向的相遇问题: 甲路程 + 乙路程 = 总路程；甲时间 = 乙时间。 教师提问：在解决追及和相遇问题时，你认为最关键的是什么？（生：关键是找到等量关系, 并正确画出线段图。） 检测反馈 李华和张玲同时从相距 700 米的两地相对走来，李华每分钟走 60 米，张玲每分钟走 80 米。几分钟后两人相遇？ 一个自行车队进行训练，训练时所有队员都以 35 千米 / 小时的速度前进。突然，1 号队员以 45 千米 / 小时的速度独自行进，行进 10 千米后调转车头，仍以 45 千米 / 小时的速度往回骑，直到与其他队员会合，1 号队员从离队开始到与队员重新会合，经过了多长时间？ 布置作业 教材习题 5.3 T8 作业布置 （1）根据所学相遇问题和追及问题的解题思路，选取一个生活中的实例，自行设计一个行程问题，并使用线段图表示出数量关系，列出方程解答。 （2）完成教材习题 5.3T8，并尝试用两种不同的方法解决问题，比较两种方法的优缺点。 学科网（北京）股份有限公司 $$