3.3.2抛物线的简单几何性质 讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

高二数学讲义 2025～2026学年上学期高二数学讲义 教材：人教A版高中数学选择性必修第一册 章节： 3.3.2抛物线的简单几何性质 part1 知识清单 知识点01：抛物线的简单几何性质 标准方程 （） （） （） （） 图形 范围 ， ， ， ， 对称轴 轴 轴 轴 轴 焦点坐标 准线方程 顶点坐标 离心率 通径长 知识点02：直线与抛物线的位置关系 设直线:,抛物线:（）,将直线方程与抛物线方程联立整理成关于的方程 (1)若,当时,直线与抛物线相交,有两个交点; 当时,直线与抛物线相切,有一个切点; 当时,直线与抛物线相离,没有公共点. (2)若,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.因此直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件. 知识点03：直线和抛物线 1、抛物线的通径(过焦点且垂直于轴的弦)长为. 2、抛物线的焦点弦 过抛物线（）的焦点的一条直线与它交于两点，，则 ①，；②；③. 说明：抛物线的焦半径公式如下：（为焦准距） （1）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则； （2）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则； （3）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则； （4）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则. Part2 教材重点例题与习题 1.已知抛物线关于轴对称，它的顶点在原点，并且经过点，求它的标准方程． 【答案】解：抛物线关于轴对称，它的顶点在原点，并且经过点， 可设它的标准方程为． 点在抛物线上， ，即， 因此，所求抛物线的标准方程是．  2.斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点，求线段的长． 【答案】解：抛物线的焦点，准线方程为 直线的方程为 联立方程可得 ， 由弦长公式可得．  3.经过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，经过点和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点，求证：直线平行于抛物线的对称轴． 【答案】解：抛物线的标准方程为：，则焦点， 设， 直线的方程为：， 准线方程为，可得， 设直线的方程为：， 联立化为， ，， ，直线平行于抛物线的对称轴．  4.如图，已知定点，轴于点，是线段上任意一点，轴于点，于点，与相交于点，求点的轨迹方程 【答案】解：设点，． 因为直线过定点，所以直线的方程为． 因为是线段上任意一点，轴于点，与相交于点， 所以，即，且． 又因为于点，所以， 因此直线的方程为． 又因为点在直线上，所以点的坐标满足方程， 即， 因此点的轨迹方程为．  5.求适合下列条件的抛物线的标准方程： 关于轴对称，并且经过点 关于轴对称，准线经过点 准线在轴的右侧，顶点到准线的距离是 焦点在轴负半轴上，经过横坐标为的点，且平行于准线． 【答案】解：由题意可设抛物线方程为：， 则，解得：． 抛物线方程为：． 由题意可设抛物线方程为：，其准线为， 则，解得：． 抛物线方程为：． 由题意可设抛物线方程为：， 则，解得：． 抛物线方程为：． 由题意可设抛物线方程为：， 由题意可知点的坐标为， 则，解得：负值舍去． 抛物线方程为：．  6.在同一坐标系中画出下列抛物线，观察它们开口的大小，并说明抛物线开口大小与方程中的系数的关系： ． 【答案】解：在同一坐标系中画出抛物线，，，， 这几个抛物线开口向右， 且的系数越大，开口越大．  7.过点作斜率为的直线，交抛物线于，两点，求． 【答案】解：设，， 直线方程为，代入抛物线方程得 ，， ．  8.垂直于轴的直线交抛物线于，两点，且，求直线的方程． 【答案】解：垂直于轴的直线交抛物线于、两点，且， 设，， 代入抛物线方程可得：，， 直线的方程为．  9.求适合下列条件的抛物线的标准方程： 焦点关于准线的对称点为 关于轴对称，与直线相交所得线段的长为 关于轴对称，以焦点和准线上的两点为顶点的三角形是边长为的等边三角形． 【答案】解：抛物线的焦点关于准线的对称点为， 则该抛物线焦点在轴上，且开口向上， 设抛物线的标准方程为，且， ，解得， 抛物线的标准方程为； 抛物线关于轴对称，与直线相交所得线段的长为， 则该抛物线焦点在轴上，且开口向下， 设抛物线的标准方程为，且， 抛物线图象经过点，即，解得， 抛物线的标准方程为； 抛物线关于轴对称，以焦点和准线上的两点为顶点的三角形是边长为的等边三角形． 则该抛物线焦点在轴上，且开口向左或向右， 设抛物线的标准方程为，且， ，解得， 抛物线的标准方程为或．  10.点在抛物线上，为焦点，直线与准线相交于点，求． 【答案】解：在抛物线上， ， 解得， ． 抛物线的焦点，准线方程为， ， 直线的方程为，即， 由题意 解得，即， ．  11.设抛物线上的点与焦点的距离为，点到轴的距离为，求抛物线的方程和点的坐标． 【答案】解：由题可得点在第一象限或者第二象限，则其横坐标为， 代入解析式得，纵坐标为， 根据抛物线定义可知，解得， 所以抛物线方程为，坐标为．  12.两条直线和分别与抛物线相交于不同于原点的，两点，为何值时，直线经过抛物线的焦点 【答案】解：两条直线和分别与抛物线相交于不同于原点的，两点，则，两点关于轴对称， 根据题意，得解得， 所以，解得， 当时，直线经过抛物线的焦点．  13.已知圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴、轴分别交于，两个动点，求点的轨迹方程． 【答案】解：设圆心坐标为，因为圆心在轴上，且圆与轴交于点和， 所以圆心为点和点的中点，则， 又因为圆经过点和点， 所以圆心到点和到点的距离相等， 故，即， 将代入得，， 故点的轨迹方程为．  Part3 综合练习 一、单选题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若抛物线上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为和，则抛物线的方程为(    ) A. B. C. 或 D. 或 2.已知抛物线的焦点为，为抛物线上一动点，，则的周长最小值为(    ) A. B. C. D. 3.已知抛物线：上的点到的焦点的距离为，点在直线上的射影为，点关于轴的对称点为，则四边形的周长为(    ) A. B. C. D. 4.已知抛物线：的焦点为，直线与抛物线交于，两点，若的中点的纵坐标为，则(    ) A. B. C. D. 5.如图所示，点是抛物线的焦点，点，分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是(    ) A. B. C. D. 6.已知双曲线：的右顶点到其一条渐近线的距离等于，抛物线：的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线上的动点到直线：和：的距离之和的最小值为(    ) A. B. C. D. 7.抛物线的焦点为，准线为，经过且斜率为的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点，，垂足为，则的面积是(    ) A. B. C. D. 8.已知直线与抛物线相切，则等于(    ) A. B. C. D. 9.已知直线与抛物线交于两点、，且两交点纵坐标之积为，则直线恒过定点   ． A. B. C. D. 10.过抛物线的焦点作倾斜角为的直线交抛物线于，两点，且，则的值为(    ) A. B. C. D. 11.在直角坐标系中，动点在抛物线上，点满足，则点的轨迹方程是(    ) A. B. C. D. 12.设为抛物线的焦点，，，为该抛物线上三点，，，三点坐标分别为 若 ，则 (    ) A.   B.   C.   D.   13.已知点为坐标原点，点为抛物线：的焦点，动直线与抛物线交于，两点，若，则(    ) A. B. C. D. 二、多选题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 14.已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于两点，，点在上的射影为，则(    ) A. 若，则 B. 以为直径的圆与准线相切 C. 设，则 D. 过与抛物线有且仅有一个公共点直线至多有条 三、填空题 15.若抛物线上一点到其准线的距离为，则抛物线的标准方程为          ． 16.某抛物线拱桥的跨度是米，中间拱高是米，在建桥时每隔米需用一支柱支撑，其中最长的支柱高是          米 17.设抛物线的焦点为，准线为，已知点在上，以为圆心的圆与轴的正半轴相切于点，若，则圆的方程为          ． 18.在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上一点作的垂线，垂足为，与相交于点若，且的面积为，则的值为           19.如图，过抛物线焦点的直线依次交抛物线与圆于点、、、，则的值是           20.已知抛物线的一条弦恰好以为中点，则弦所在直线方程是          ． 21.已知抛物线的方程是，直线交抛物线于，两点，为坐标原点，若，则直线必过定点          ． 22.过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦，，则           23.已知点是抛物线的焦点，点是抛物线上的点，若平面上存在一点，满足，则点的轨迹方程是          ． 四、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 24.求适合下列条件的曲线标准方程． 虚轴长为，离心率为的双曲线的标准方程； 过点的抛物线的标准方程． 25.河道上有一抛物线型拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面，拱圈内水面宽，一条船在水面以上部分高，船顶部宽． 试建立适当的直角坐标系，求拱桥所在的抛物线的标准方程； 近日水位暴涨了，为此，必须加重船载，降低船身，才能通过桥洞，试问：船身至少应该降低多少 精确到 26.如图，过顶点在原点、对称轴为轴的抛物线上的点作斜率分别为，的直线，分别交抛物线于，两点． 求抛物线的标准方程和准线方程； 若，证明：直线恒过定点． 27.已知抛物线：经过点． Ⅰ求抛物线的方程及其准线方程； Ⅱ设为原点，过抛物线的焦点作斜率不为的直线交抛物线于两点，，直线分别交直线，于点和点求证：以为直径的圆经过轴上的两个定点． 28.已知抛物线的焦点为，过且与轴垂直的直线交该抛物线于，两点，． 求抛物线的方程； 过点的直线交抛物线于，两点，若的面积为，求直线的斜率其中为坐标原点． 29.已知抛物线：过点过点作直线与抛物线交于不同的两点，，过点作轴的垂线分别与直线，交于点，，其中为原点． 求抛物线的方程，并求其焦点坐标和准线方程； 求证：为线段的中点． 30.已知抛物线：过点． Ⅰ求抛物线的方程，并求其准线方程； Ⅱ过焦点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，求弦长． 31.如图，已知椭圆：，抛物线：，点是椭圆与抛物线的交点．过点的直线交椭圆于点，交抛物线于点不同于． 若，求抛物线的焦点坐标； 若存在不过原点的直线使为线段的中点，求的最大值． Part4 综合练习答案及解析 1.【答案】  【解答】 解：抛物线上一点到抛物线对称轴的距离为， 设该点为，则的坐标为 到抛物线的焦点的距离为 由抛物线的定义，得 点是抛物线上的点， 由联立，解得，或， 则抛物线方程为或． 故选：． 2.【答案】  【解答】 解：如图， 抛物线：的焦点为，准线方程为． 过作准线的垂线，交抛物线于，则的周长最小． 最小值为． 故选：． 3.【答案】  【解答】 解：由抛物线的方程可知，，直线为抛物线的准线， 所以，四边形为直角梯形． 因为，所以根据抛物线的定义，得， 过点作轴于点，则， 在中，， 所以四边形的周长为， 故选B． 4.【答案】  【解答】 解：由抛物线：可知，，得到，， 设，，因为的中点的纵坐标为， 所以，则． 故选C． 5.【答案】  【解答】 解：抛物线的准线：，焦点， 由抛物线定义可得， 圆的圆心为，半径为， 的周长 ， 由抛物线及圆可得交点的横坐标为， ， ， 故选B． 6.【答案】  【解答】 解：双曲线：的渐近线方程为， 右顶点到其一条渐近线的距离等于， 可得，解得， 即有， 由题意可得，解得， 即有抛物线的方程为，设焦点为， 过点作于点， 作准线：于点， 连接，根据抛物线的定义得， 设到的距离为，到直线的距离为， ， 根据平面几何知识，可得当、、三点共线时，有最小值． 到直线：的距离为． 的最小值是， 由此可得所求距离和的最小值为． 故选B． 7.【答案】  解：由抛物线的定义可得， 的斜率等于， 的倾斜角等于， ， ，故为等边三角形． 又焦点，的方程为， 设，， 由得， ， ， 等边三角形的边长， 的面积是， 故选C． 8.【答案】  【解答】 解：由消去得， 由于直线与抛物线相切， 所以解得． 故选C． 9.【答案】  【解答】 解：设直线方程为，斜率为的直线不需要考虑，不可能与抛物线交于两点， 联立得， 所以， 所以， 所以， 所以直线恒过定点． 故选C． 10.【答案】  【解答】 解：抛物线的焦点坐标为， 直线倾斜角为， 直线的方程为： 设直线与抛物线的交点为、， ，， 联立方程组 消去并整理，得， 解得，， ，， ：：， 的值为． 故选：． 11.【答案】  【解答】 解：设， ， 即，解得 点在抛物线上， ，即，整理得， 故选B． 12.【答案】  【解答】 解：抛物线焦点坐标，准线方程：， ，，， ， ． 故选：． 13.【答案】  【解答】 解：由点为抛物线：的焦点，得抛物线的方程为， 与联立得， 设，，则， 因为，所以， 显然，所以． 故选B． 14.【答案】  【解答】 解：由题知，，抛物线的焦点，准线方程为． A.若，则，所以A正确 B.设直线的方程为， 代入抛物线的方程整理，得， ， 线段的中点坐标为， 以为直径的圆的圆心为，半径为， 圆心到抛物线的准线的距离， 以为直径的圆与准线相切，所以B正确 C.设，则， 当且仅当，，三点共线时等号成立，所以C正确 D.当直线过点且与轴平行时，直线与抛物线有且只有一个公共点， 过点且与抛物线相切的直线有两条，此时直线与抛物线有且只有一个公共点， 所以过点与抛物线有且只有一个公共点的直线有条，所以D错误． 故选ABC． 15.【答案】  【解答】解：物线上一点到其准线的距离为， ，即， 抛物线的标准方程为． 故答案为． 16.【答案】  【解答】 解：建立如图所示的直角坐标系， 设抛物线方程为， 过定点， 将代入，得． 抛物线方程为． 设最长的支柱为，点的坐标为，解得， 点的坐标为， ． 故答案为：． 17.【答案】  【解答】 解：由可得点的坐标为，准线的方程为， 由圆心在上，且圆与轴正半轴相切如图， 可得点的横坐标为，圆的半径为，， 又因为， 所以，所以， 所以点的纵坐标为， 所以圆的方程为． 故答案为． 18.【答案】  【解答】 解：如图所示，． 轴，，， ，． ，解得， 代入可取， ， 解得． 故答案为． 19.【答案】  【解答】 解：设、的坐标分别为，，依题意知焦点，则设直线方程为：， 联立消去，得， ， 又根据抛物线定义得，， ，， ． 故答案为  20.【答案】  【解答】 解：设，， 代入抛物线方程得，，，， 整理得， 中点为， ，， ， 则弦所在直线方程为，即为． 故答案为． 21.【答案】  【解答】 解：抛物线的标准方程为：， 设直线的方程为：，，， 把直线方程代入抛物线方程可得：， 所以，， 则 ， 所以 ，解得， 即直线方程为：， 所以直线过定点， 故答案为：． 22.【答案】  【解答】 解：由题可知抛物线的焦点为，准线方程为． 由题意两直线斜率一定存在，设，且，则 联立得 则， 则 同理可得， 所以， 故答案为． 23.【答案】  【解答】 解：设的坐标为， 抛物线中，，可得 ， ， 又 ， 可得，消去参数可得， 即点的轨迹方程为． 故答案为． 24.【答案】解：设双曲线的实轴长为，焦距为，虚轴长为， 则， 离心率，即， 又双曲线的虚轴长为，可得， 当双曲线焦点在轴时，所求双曲线的标准方程为； 当双曲线焦点在轴时，所求双曲线的标准方程为； 综上所述，所求双曲线的标准方程为或． 当抛物线的焦点在轴上时，可设所求抛物线的标准方程为， 将点的坐标代入抛物线的标准方程得，即， 此时，所求抛物线的标准方程为； 当抛物线的焦点在轴上时，可设所求抛物线的标准方程为， 将点的坐标代入抛物线的标准方程得，解得， 此时，所求抛物线的标准方程为， 综上所述，所求抛物线的标准方程为或．  25.【答案】解：设抛物线型拱桥与水面两交点分别为，， 以垂直平分线为轴，拱圈最高点为坐标原点，建立平面直角坐标系， 则，， 设拱桥所在的抛物线方程为，  因点在抛物线上，代入解得， 故拱桥所在的抛物线方程是  船沿中线行驶，顶部最宽处的横坐标为， 因，故当时，， 故水位暴涨后，船身至少应降低米． 因精确到，故船身应降低． 答：船身应降低，才能安全通过桥洞．  26.【答案】解：设抛物线的方程为，， 代入，可得， 抛物线的标准方程为，准线方程为； 证明：设，， 则直线方程， 直线方程， 联立直线方程与抛物线方程， 消去，得， ，同理 由得， 所以直线方程为， ， 由，整理得． 由且，得，， 故直线经过定点．  27.【答案】解：Ⅰ抛物线：经过点可得，即， 可得抛物线的方程为，准线方程为； Ⅱ证明：抛物线的焦点为， 设直线方程为，联立抛物线方程，可得， 设，，则有，， 可得，， 直线的方程为，即， 直线的方程为，即， 可得，， 可得的中点的横坐标为， 即有为直径的圆心为， 半径为 ， 可得圆的方程为， 化为， 由，可得或． 则以为直径的圆经过轴上的两个定点，．  28.【答案】解：由抛物线的定义得， 抛物线的方程为； 设直线的方程为，，， 直线与抛物线有两个交点， ， 直线方程可化为， 代入，得， 且恒成立， ，， ， 又点到直线的距离， ， 解得，即．  29.【答案】解：过点， ， 解得， 抛物线的方程为， 焦点坐标为，准线为； 证明：由题意可得，直线的斜率存在， 设过点的直线方程为，， ，， 直线为，直线为：， 由题意知，， 由，可得， ，，且， ， 为线段的中点．  30.【答案】解：Ⅰ根据抛物线：过点，可得，解得． 从而抛物线的方程为，准线方程为； Ⅱ抛物线焦点坐标为， 直线：． 设点，， 联立，得：，即． ， 则由韦达定理有：，． 则弦长 ．  31.【答案】解：当，则，则抛物线的焦点坐标， 当直线与轴垂直时，此时点与点或点重合，不满足题意， 由题意可设直线：，点， 将直线的方程代入椭圆：得 ， 为线段的中点， 点的纵坐标， 将直线的方程代入抛物线：得 ， ，可得， 因此， 由，可得， 即，得，当且仅当，时，等号成立， 的最大值为．  第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$