3.3.1抛物线及其标准方程 讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦抛物线及其标准方程核心知识点，系统梳理抛物线定义（平面内定点与定直线距离相等的点的轨迹），详细对比四种标准方程（焦点位置、开口方向、准线方程）的特征与几何性质，构建从定义到方程再到应用的学习支架。 资料通过分层设计（基础例题到综合练习）助力教学，例题结合卫星接收天线等实际情境培养空间观念，综合题用定义转化距离问题提升推理能力。课中辅助教师突出重点，课后答案解析帮助学生查漏补缺，强化数学语言表达与逻辑思维。

高二数学讲义 2025～2026学年上学期高二数学讲义 教材：人教A版高中数学选择性必修第一册 章节：3.3.1抛物线及其标准方程 part1 知识清单 知识点01：抛物线的定义 1、抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线（其中定点不在定直线上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 2、抛物线的数学表达式：(为点到准线的距离). 知识点02：抛物线的标准方程 设，抛物线的标准方程、类型及其几何性质： 方程 （） （） （） （） 图形 焦点 准线 特别说明： 1、要注意弄清抛物线四种形式的标准方程的特征及其对应抛物线的形状(焦点位置、开口方向等).抛物线的标准方程中,有一个一次项和一个二次项,二次项的系数为1,一次项的系数为;若一次项的字母是,则焦点就在轴上,若其系数是正的,则焦点就在轴的正半轴上(开口向右),若系数是负的,焦点就在轴的负半轴上(开口向左);若一次项的字母是,则焦点就在轴上,若其系数是正的,则焦点就在轴的正半轴上(开口向上),若系数是负的,焦点就在轴的负半轴上(开口向下). 2、焦点的非零坐标是标准方程下一次项系数的 . 3、准线与坐标轴的交点和抛物线的焦点关于原点对称. 4、（1）通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于，通径是过焦点最短的弦. （2）抛物线（）上一点到焦点的距离，也称为抛物线的焦半径. Part2 教材重点例题与习题 1.抛物线上一点与焦点间的距离是，则点到准线的距离是          ，点的横坐标是           【答案】  【解答】 解：抛物线，设其在轴上焦点为． 由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的， ，所以， 故答案为：， ． 2.在抛物线上，与焦点的距离等于的点的坐标是          ． 【答案】  【解答】 解：抛物线的准线方程为，  抛物线上的点到焦点的距离等于，  根据抛物线的点到焦点的距离等于该点到准线的距离，  可得所求点的横坐标为，代入抛物线方程可得点的坐标为  故答案为． 3.已知抛物线的标准方程是，求它的焦点坐标和准线方程已知抛物线的焦点是，求它的标准方程． 【答案】解：解：因为抛物线的标准方程是， 所以抛物线的焦点在轴上，开口向右，，  ， 焦点为，准线方程：． 解：由题意可设抛物线的标准方程为，  焦点， ，解得，  抛物线的标准方程为  4.一种卫星接收天线如图所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，已知接收天线的口径直径为，深度为试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标．                                                                            【答案】解：如图，在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点即抛物线的顶点与原点重合，焦点在轴上．                     设抛物线的标准方程是由已知条件得，点的坐标是，代入方程，得， 即． 所以，所求抛物线的标准方程是，焦点坐标是．  5.根据下列条件写出抛物线的标准方程： 焦点是 准线方程是 焦点到准线的距离是． 【答案】解：焦点是，则，解得，故抛物线的方程为； 准线方程是，则，解得，故抛物线的方程为； 焦点到准线的距离是，可得抛物线的四种标准方程均满足，则， 故抛物线的方程为或，或．  6.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： ． 【答案】解：中，， 所以焦点坐标为，准线方程为；  中，， 所以焦点坐标为，准线方程为；  将化为标准方程，， 所以焦点坐标为，准线方程为；  将化为标准方程，， 所以焦点坐标为，准线方程为．  Part3 综合练习 一、单选题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.抛物线的焦点坐标为(    ) A. B. C. D. 2.若抛物线上横坐标为的点到焦点的距离等于，则焦点到准线的距离是(    ) A. B. C. D. 3.若抛物线上一点到其准线的距离为，则抛物线的标准方程为(    ) A. B. C. D. 4.抛物线上的一点到焦点的距离为，则点到轴的距离是(    ) A. B. C. D. 5.已知抛物线上一点到准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 6.已知为抛物线上的一个动点，为圆上的一个动点，则点到点的距离与点到轴的距离之和的最小值是  (    ) A. B. C. D. 二、多选题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 7.已知点在抛物线上，抛物线的焦点为，延长与抛物线相交于另一点，为坐标原点，则下列结论中正确的是(    ) A. 抛物线的准线方程为 B. 抛物线的焦点坐标为 C. 点的坐标为 D. 的面积为 8.已知曲线上任意一点到直线的距离比它到点的距离大，则下列结论正确的是(    ) A. 曲线的方程为 B. 若曲线上的一点到点的距离为，则点的纵坐标是 C. 已知曲线上的两点，到点的距离之和为，则线段的中点横坐标是 D. 已知，是曲线上的动点，则的最小值为 9.已知抛物线的准线为，直线，点在上，则点到直线与的距离之和可以为(    ) A. B. C. D. 三、填空题 10.若抛物线的准线方程为，则该抛物线的标准方程是          ． 11.若抛物线上一点到其准线的距离为，则抛物线的标准方程为          ． 12.已知抛物线，若第一象限的在抛物线上，焦点为，，，，求直线的斜率为          ． 13.已知为坐标原点，抛物线的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且若，则的准线方程为          ． 14.已知点，抛物线的焦点是，若抛物线上存在一点，使得最小，则最小值为          ；此时点的坐标为          ． 15.已知抛物线：的焦点，点是抛物线上一点，以为圆心的圆与直线交于、两点在的上方，若，则抛物线的方程为          ． 四、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.已知抛物线过点． 求抛物线的焦点坐标和准线方程 若抛物线上一点到焦点的距离为，求的坐标． 17.已知是抛物线的焦点坐标为，点是抛物线的动点，点在轴上的射影是，点． 求抛物线的方程； 求的最小值． 18.已知抛物线的焦点是，点是抛物线上的动点，点． 求的最小值，并求出取最小值时点的坐标； 求点到点的距离与到直线的距离之和的最小值． Part4 综合练习答案及解析 1.【答案】  【解答】 解：根据题意，抛物线的方程为，则其标准方程为， 其焦点在轴正半轴上，且， 则其焦点坐标为； 故选：． 2.【答案】  【解答】 解：由题意可得抛物线开口向右， 焦点坐标，准线方程， 由抛物线的定义可得抛物线上横坐标为的点到准线的距离等于， 即，解得， 故焦点到准线的距离为， 故选：． 3.【答案】  【解答】 解：抛物线上一点到其准线的距离为， ，解得， 抛物线的标准方程为． 故答案选：． 4.【答案】  【解答】 解：抛物线的焦点，准线， 设点， 根据抛物线的性质得，，解得， 则点到轴的距离是， 故选：． 5.【答案】  【解答】 解：抛物线的焦点， 由抛物线的定义可得：， 的最小值为点到：的距离， 的最小值为． 故选A． 6.【答案】  【解答】 解：如图所示，抛物线焦点，圆的圆心为，半径． 设在准线上的射影为， ， ， ， ， ， 当且仅当，，，共线且依序排列时取等号， 则点到点的距离与点到轴距离之和的最小值：， 故选D． 7.【答案】  【解答】 解：将代入抛物线方程可得， 因此抛物线方程为， 所以准线方程为，焦点坐标为，故A，B正确； 易知轴，所以，故C错误； 又因为，且，， 所以，故D正确． 故选ABD． 8.【答案】  【解答】 解：曲线上任意一点到直线的距离比它到点的距离大， 曲线上任意一点到直线的距离和它到点的距离相等， 曲线为以点为焦点，直线为准线的抛物线，其方程为，故A正确； 对于选项，若曲线上的一点到点的距离为，则点的横坐标为， 将代入抛物线的方程中，可得， 即点的纵坐标是，故B正确； 对于选项，曲线上的两点，到点的距离之和为， 所以点，的横坐标之和为， 线段的中点横坐标是，故C错误； 对于选项，过作垂直于直线于，过作垂直于直线于，如图所示： 由图可知，， 当且仅当为直线与抛物线的交点时，不等式可取等号，故D正确； 故选ABD． 9.【答案】  【解答】 解：设抛物线的焦点为，则点， 由抛物线的定义可知，点到准线的距离等于点到焦点的距离， 则所求距离之和为点到焦点与到直线的距离之和， 其最小值即为点到直线的距离． 选项中符合题意， 故选BCD． 10.【答案】  【解答】 解：由抛物线的准线方程为，可知抛物线是焦点在轴负半轴上的抛物线， 设其方程为， 则其准线方程为，得． 该抛物线的标准方程是． 故答案为：． 11.【答案】  【解答】解：物线上一点到其准线的距离为， ，即， 抛物线的标准方程为． 故答案为． 12.【答案】  【解答】 解：如图所示，设抛物线的准线为，作于点，于点，于点， 由抛物线的定义，可得，， ， 直线的斜率． 故答案为：． 13.【答案】  【解答】 解：与轴垂直，设点在第一象限， 点坐标为， 又， ∽，， 则， ，即，故， 则准线方程为， 故答案为． 14.【答案】   【解答】 解：设抛物线的准线为，则的方程为， 如图，过作于， 则由抛物线的定义得， 所以， 由图形得当、、三点共线时，最小， 又最小值为到准线的距离此时最小值为， 此时点的纵坐标为， 所以，即点的坐标为． 故答案为：． 15.【答案】  【解答】 解：如图所示，过点作，垂足为，交准线于， ， 由抛物线定义可得：， ，即， 点是抛物线上一点， ，即， ，得． 故答案为：． 16.【答案】解：由题意可知，解得， 因此抛物线的焦点坐标为，准线方程为． 由抛物线的定义，可知点到准线的距离为， 因此点的纵坐标为，由易知抛物线方程为， 将点的纵坐标代入抛物线方程得， 解得或，即或． 17.【答案】解：因为抛物线的焦点坐标为， 所以． 所以抛物线的方程为：．  抛物线焦点，准线， 如图，延长交准线于，由抛物线定义得， ，而， ，当且仅当，，三点共线时，取“”号，此时，位于线段上， 的最小值为． 18.【答案】解：将代入抛物线方程，得， ， 点在抛物线内部， 过点作垂直抛物线的准线：于点， 由抛物线的定义，知， 当，，三点共线时，的值最小，最小值为， 即的最小值为， 此时点的纵坐标为，代入，得， 点的坐标为； 设抛物线上点到准线：的距离为， 显然点在抛物线的外部， 由抛物线的定义， 得， 当，，三点共线在线段上时取等号， 又， 所求最小值为．  第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$