专题07 整式加减的应用八类题型（压轴题专项训练）数学七年级上册浙教版2024

专题07 整式加减的应用八类题型 典例详解 类型一、销售问题 类型二、方案选择问题 类型三、阶梯收费问题 类型四、图形问题 类型五、数字问题 类型六、日历问题 类型七、数式的规律 类型八、图形的规律问题 压轴专练 类型一、销售问题 例1．（2025六年级上·全国·专题练习）某商店有一种商品每件成本a元，按成本增加b元定出售价，销售件后，由于库存积压减价，按售价的八折出售，又销售件． (1)该商店销售件这种商品的总售价为多少元？ (2)销售件这种商品共盈利了多少元？ 变式1-1．（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）某服装厂生产一种西装和领带，西装每套定价400元，领带每条定价80元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案： ①买一套西装送一条领带； ②西装和领带都按定价的八五折付款． 现某客户要到该服装厂购买西装20套，领带x条（x＞20）． (1)若该客户按方案①购买，需付款多少元？（用含x的代数式表示）； 可列式为： 化简后得： ． 若该客户按方案②购买，需付款多少元（用含x的代数式表示）； 可列式为： 化简后得： ． (2)只能选择一种优惠方案，若，通过计算说明按哪种方案购买较为合算？ 变式1-2．（24-25七年级上·江西赣州·阶段练习）某校购买甲、乙两种读本，其中购买甲种读本本，购买乙种读本的数量比甲种读本少本．已知甲种读本的单价为元，乙种读本的单价元． (1)问购买这两种读本共花费多少元？ (2)问购买甲种读本比购买乙种读本多花费多少元？（用含的式子表示） 变式1-3．（24-25七年级上·云南昭通·期末）某小型工厂生产酸枣面和黄小米，每日这两种产品共生产1500袋，两种产品的成本和售价如下表，设该工厂每天生产酸枣面袋． 成本/（元/袋） 售价/（元/袋） 酸枣面 40 46 黄小米 13 15 (1)每天生产袋酸枣面的成本为_____元，黄小米的成本为_____元．（用含的代数式表示，结果需化为最简形式） (2)用含的整式表示每天获得的利润，并进行化简． (3)当时，（2）问中的利润为_____元． 类型二、方案选择问题 例2．（24-25七年级上·山西吕梁·期末）综合与实践 为进一步强化体育评价，培养学生养成良好的体育锻炼习惯和健康的生活方式，提升学生身体素质和综合素养．某中学要配足体育训练器材，准备向体育用品批发公司采购一批足球和跳绳．根据以下素材，解决问题． 素材一 素材二 已知每个足球定价140元，每根跳绳定价20元． 该体育用品批发公司给该中学提供以下两种优惠方案： 方案A：足球和跳绳都按定价的九折付款； 方案B：买一个足球送一根跳绳． 该中学计划购买足球60个，跳绳根 问题解决 任务一：当时，试通过计算说明按哪种方案购买比较划算． 任务二：请用含x的代数式分别表示出两种方案需付的费用． 任务三：若两种优惠方案可同时使用，当时，请你设计出一种最省钱的购买方案，并计算需付款多少元． 变式2-1．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）为了丰富阳光运动会，学校准备订购一批篮球和跳绳，经过市场调查后发现，两商店以同样的价格出售同种品牌的篮球和跳绳，已知篮球每个定价120元，跳绳每条定价20元．经洽谈： A商店优惠方案：买一个篮球送一条跳绳； B商店优惠方案：篮球和跳绳都按定价的付款． 已知要购买篮球60个，跳绳条． (1)若到A商店购买，一共需付款________元；若到B商店购买，一共需付款________元；（用含的代数式表示） (2)当时，请通过计算说明此时用哪个商店购买较为合算？ (3)当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？请写出你的购买方案，并计算需付款多少元？ 变式2-2．（24-25七年级上·山东济宁·期末）根据以下素材，尝试解决问题． 我是小小预算师 素材一 小明家购买了一套商品房，其建筑平面图如图所示（单位：米）． 素材二 购房时首付款为房价的30%，其余款项向银行申请贷款． 素材三 在地面装修前，小明对甲、乙两个公司进行了咨询，两个公司按要求分别给出了装修方案（两个方案中选用的材料品牌、规格、品质完全一致）．甲公司：客厅地面每平方米元，书房和卧室地面每平方米元，厨房和卫生间地面每平方米元；乙公司：全屋地面每平方米均为元，最后金额再打8折． 问题一 这套住房的建筑总面积是多少平方米？（用含a、b的式子表示） 问题二 若，，已知这套住房的售价为每平方米元，小明家购房时交了首付款，余款向银行申请了贷款，小明家购买这套住房向银行申请贷款的金额是多少元？ 问题三 在问题二的条件下，小明选择哪家装修公司更划算呢？请说明理由． 变式2-3．（24-25七年级上·山西临汾·期末）综合与实践 问题情境 劳动基地的蔬菜都成熟了，学校计划将蔬菜送给敬老院的老人，现有长为a厘米，宽为b厘米，高为c厘米的箱子若干，将蔬菜装满每个盒子后需利用打包带进行打包． 方案设计 如图，小红和小明各设计了一种打包方式（接头处的长度不计，本题所有问题只考虑打包带的长度，不考虑其他影响因素）． 问题解决 (1)用含a，b，c的式子表示这两种打包方式所用的打包带的长度：小红的方案中所用打包带的长度为________厘米；小明的方案中所用打包带的长度为________厘米． (2)当厘米，厘米，厘米时，小红和小明设计的这两种打包方式所用的打包带的长度分别是多少？ (3)当时，比较小红和小明设计的方案中，哪种所用的打包带的长度更短． 类型三、阶梯收费问题 例3．（24-25七年级上·湖南株洲·期中）为鼓励居民节约用电，某市电力公司采用分段计费方式计算电费：每月用电不超过180度时，按每度元计费：每月用电超过180度但不超过280度时，其中的180度仍按原标准收费，超过部分按每度元计费．收费标准如表： 用电量 不超过180度 超过180度但不超过280度的部分 超过280度的部分 收费标准（元/度） (1)若小明家10月用电量为160度，则他们家10月的电费是_____元． (2)若小明家11月用电量为230度，则他们家11月的电费是_____元． (3)若小明家12月用电量为度；请用含的代数式表示他们家12月应缴的电费． 变式3-1．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）为提倡节约用水，某地对每户按年累积用水实行阶梯收费．具体水价执行标准如下表：（水费一月一缴） 用水类别 供水价格（元） 阶梯水量（年度） 第一阶梯 3 （含）以下 第二阶梯 5 （不含）～（含） 第三阶梯 10 （不含）以上 根据表中的内容，解答下列问题： (1)今年小杰家1，2，3，4月份的用水量分别为，，，，则4月份应缴水费多少元？ (2)若小杰家5月的用水量为，试用含的代数式表示应缴水费． 变式3-2．（24-25七年级上·浙江金华·期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采取价格调控手段以达到节水的目的，下表是该市自来水收费价格的价目表． 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/米3 超出6立方米但不超出10立方米的部分 4元/米3 超出10立方米的部分 8元/米3 注：水费按月结算 (1)若某户居民2月份用水8立方米，则应交水费多少元？ (2)若某户居民2，3月份共用水15吨， ①当2月份用水4吨时，求该户居民2，3月份共交水费多少元？ ②若某户居民2月份用水a立方米，当时，该用户3月份应交水费多少元（用含a的整式表示，结果要化成最简形式）？ (3)若某户居民4，5月份共用水15立方米（5月份用水量多于4月份），设4月份用水x立方米，求该户居民4，5月份共交水费多少元（用含x的整式表示，结果要化成最简形式）． 变式3-3．（24-25七年级上·山东德州·期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段以达到节水的目的，如图所不是该市自来水收费价格见价目表． 价目表 注：水费按月结算 每月用水量 不超过的部分 超出但不超出的部分 超出的部分 单价 元 4元 8元 (1)填空：若某户居民2月份用水，则2月份应收水费_____元； (2)若该户居民4月份用水量（在6至之间），则应收水费包含两部分，一部分用水量为，水费12元；另外一部分用水量为_____，此部分应收水费_____元；则4月份总共应收水费_____元．（用含的整式表示并化简） (3)若该户居民5月份用水（），求该户居民5月份共交水费多少元？（用含的整式表示并化简） 类型四、图形问题 例4．（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）如图所示的是一扇窗户的示意图，上部是半圆形，下部是四个边长相等的小正方形． (1)计算窗户的面积及窗框的总长； (2)当时，窗户的面积及窗框的总长分别是多少？（取） 变式4-1．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）为鼓励居民节约用水，某市自来水公司实行阶梯式收费标准：第一阶梯每月用水量不超过15吨时（含15吨），按每吨4元收费；第二阶梯每月用水量超过15吨且不超过30吨时，超出部分按每吨5元收费；第三阶梯每月用水量超过30吨时，超出部分按每吨8元收费． (1)某用户9月用水量为20吨，应付水费_____元； (2)若该用户在某月用水量为x吨，请用含x的代数式表示该用户该月应付的水费． 变式4-2．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）某纪念馆要在两块紧挨在一起的长方形荒地上修建一个半圆形花圃，尺寸如图所示（单位：m）． (1)用含x的代数式表示阴影部分的面积； (2)当，π取时，阴影部分的面积约是多少?(精确到0.1) 变式4-3．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，一个边长为20米的正方形地面中，修建了两条宽度均为a米的小路，其余部分铺设草皮． (1)求草坪的面积．（阴影部分面积，需化简） (2)若小路需要铺设地砖，当，每平方米地砖为80元时，求所需地砖的总价格． 类型五、数字问题 例5．（24-25七年级上·福建莆田·期末）在小学，我们知道像12，27，36，45，108，…这样的自然数能被3整除．一般地，如果一个自然数所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除．事实上，我们可以证明这个结论的正确性． 以两位数为例，若一个两位数的十位、个位上的数字分别为，则通常记这个两位数为，于是显然，能被3整除，因此，若能被3整除，那么，就能被3整除，即能被3整除． 根据上述材料，解答下列问题： (1)下列各数中，能被3整除的有___________（填序号） ①25；②225；③1025． (2)用含、、的代数式表示三位数___________（其中是百位数，是十位数，是个位数）； (3)类比上述的过程，尝试说明：如果一个三位数的所有数位之和能被9整除，那么这个三位数就能被9整除． 变式5-1．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）（1）列式：设是一个三位数，则用含a，b，c的代数式表示为 ； 定义：如果一个三位数的三个数位上的数字是按从小到大排列的三个连续的正整数，则这个三位数叫作顺子数，如“123”“456”等都是顺子数．请你再举出一个顺子数： ； 推理：嘉嘉经过观察计算发现顺子数都可以被3整除．设是一个顺子数． （2）请用含a的代数式表示b和c； （3）通过整式的运算，证明上述发现的结论． 变式5-2．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）基于小学的学习经验，我们知道，如果一个整数的各个数位上的数字的和能被3整除，那么这个整数也能被3整除．例如：3285的各个数位上的数字的和能被3整除，所以3285能被3整除；463的各个数位上的数字的和不能被3整除，所以463不能被3整除． 类比迁移：已知一个三位数的百位数字为，十位数字为，个位数字为 (1)请用代数式表示这个三位数______； (2)若能被9整除，试说明这个三位数也能被9整除； (3)若将它的百位数字与个位数字对调，得到一个新的三位数．计算新三位数与原三位数之差的绝对值，该绝对值能被9整除吗？为什么？ 类型六、日历问题 例6．（23-24七年级上·广东佛山·期末）如图是某年9月的日历，用形如X型框，去框日历中的日期数每次同时框5个数． (1)设X框最中间的数为a，则这5个数之和为_____（用含a的代数式表示）； (2)这5个数的和能等于68吗？请说明理由． 变式6-1．（24-25七年级上·北京·期中）观察下列日历中“阶梯框”中的数字规律，回答问题． (1)若像这样在任意一个日历中用“阶梯框”圈出6个数，请根据规律补全“阶梯框”； (2)请通过列式说明日历中“阶梯框”中的数字之和一定是3的倍数； (3)在（1）的条件下， a 可能等于7或26吗？请说明理由． 变式6-2．（24-25七年级下·北京·期末）在日历图中有许多奥秘，如图是某月的日历，请仔细观察并思考下列问题： 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 （1）课上我们探究了“3×3”型框架问题，如图框住的九个数的和与正中间数的关系为 ； （2）我们还可以用如图所示的“X”字型框架任意框住日历中的5个数（如图中的阴影部分），探究“”字型框架中的五个数的和与正中间数的关系． 例如图中“”字型框架框住的五个数的和为： 2+4+10+16+18=50， 5+7+13+19+21=65； 设“”字型框架中正中间数为m，探究“”字型框架中的五个数的和与正中间数的关系，请利用所学知识说明理由； （3）如图所示的“”字型框架框住的五个数之和可以是120吗？如果可以，请写出正中间的数；如果不可以，请说明理由． 类型七、数式的规律 例7．（2025·云南昆明·三模）以下是一组按一定规律排列的多项式：，，，，，…，则第个多项式是（    ） A． B． C． D． 变式7-1．（2025·云南西双版纳·二模）按一定规律排列的代数式：，第个代数式是（   ） A． B． C． D． 类型八、图形的规律问题 例8．（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）将形状、大小完全相同的“·”按照一定规律摆成下列图形，第①幅图形中“·”的个数为5，第②幅图形中“·”的个数为10，第③幅图形中“·”的个数为17，第④幅图形中“·”的个数为26，……按照这种摆法，第n幅图形中“·”的个数为（   ） A． B． C． D． 变式8-1．（24-25七年级上·安徽宿州·阶段练习）如图是一组有规律的图案，第①个图案中有4个三角形，第②个图案中有7个三角形，第③个图案中有10个三角形，…，依此规律，第个图案中三角形的个数是（   ） A． B． C． D． 变式8-2．（24-25八年级下·四川广安·期末）如图，用规格相同的小棒摆成一组图案，图案①需要根小棒，图案②需要根小棒，图案③需要根小棒，按此规律摆下去，第个图案需要小棒的根数为（　　） A．36 B．46 C．52 D．66 变式8-3．（25-26七年级上·江苏泰州·开学考试）如图的图案由若干个相同的正方形组成，每个涂色部分的面积是5平方厘米，占所在正方形的，个正方形，像这样组成的图案面积是 平方厘米． 1．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）某地区实施阶梯电价制，居民生活用电（一户一表）价格方案如下： 档次 月用电量 电价（元/度） 第一档 月用电量度 第二档 200度月用电量400度 第三档 月用电量400度 例：若某用户2014年9月份的用电量为300度，则需缴电费为：（元）． (1)填空：如果小华家2014年9月份的用电量为100度，则需缴电费______元； (2)如果小华家2014年10月份的用电量为度（其中），则需缴电费多少元？（用含的代数式表示，并化简） (3)如果小华家2014年11、12两个月共用电600度，已知12月份的用电量比11月份多．设11月份的用电量为度，则小华家这两个月共需缴电费多少元？（结果可用含的代数式表示，并化简） 2．（24-25七年级上·河南南阳·期中）某水果超市最近新进了一批百香果，每斤8元，为了合理定价，在第一周试行机动价格，卖出时每斤以10元为标准，超出10元的部分记为正，不足10元的部分记为负，超市记录第一周百香果的售价情况和售出情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 每斤价格相对于标准价格（元） 售出斤数 20 35 10 30 15 5 50 (1)这一周超市售出的百香果单价最高的是星期几？最低单价比最高单价少多少元？ (2)求出这一周超市出售此种百香果的总利润是多少？ (3)超市为了促销这种百香果，决定从下周一起推出两种促销方式： 方式一：购买不超过5斤百香果，每斤13元，超出5斤的部分，每斤打8折； 方式二：每斤售价12元． ①顾客买斤百香果，则按照方式一购买需要______元，按照方式二购买需要______元．（请用含a的代数式表示，结果要求化简） ②如果某顾客决定买30斤百香果，通过计算说明应该选择上述两种促销方案中的哪种方式购买更省钱． 3．（23-24七年级上·湖南湘潭·期中）某学校计划购买一些乒乓球拍和乒乓球，某商场销售一种乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每副定价元，乒乓球每盒定价元．国庆节期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案，即 方案一：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球； 方案二：乒乓球拍和乒乓球都按定价的付款． 该学校要到该商场购买乒乓球拍副，乒乓球盒（为整数）． (1)若该学校按方案一购买，商场可赠送______盒乒乓球，学校还需花费______元购买乒乓球，则一共需付款_____元； (2)若该学校按方案二购买，需付款______元（用含的代数式表示）； (3)若，请聪明的你帮忙计算一下，此时选择哪种方案比较合算； 4．（24-25七年级下·江西赣州·期末）如图所示长方形，在边上有一点边上有一点． (1)根据图中尺寸大小，的长度为_________（用含的式子表示）； (2)根据图中尺寸大小，求阴影部分的面积（用含的式子表示）． 5．（24-25七年级上·广东佛山·期末）用4个完全相同的边长为的小长方形（如图1）和两个阴影部分的长方形拼成1个宽（）为6的大长方形（如图2）． (1)请用含的代数式表示：①的长；②阴影的面积； (2)说明阴影与阴影的周长的和与的关系． 6．（25-26八年级上·全国·随堂练习）两位数和两位数，它们各个数位上的数字都不为，将数任意一个数位上的数字作为一个新的两位数的十位数字，将数任意一个数位上的数字作为该新的两位数的个位数字，按照这种方式产生的所有新的两位数的和记为，例如：． (1)求的值； (2)若一个两位数，两位数（是整数），交换两位数的十位数字和个位数字得到新数，当与的个位数字的倍的和能被整除时，称这样的两个数和为“七巧数对”，求所有“七巧数对”中的最大值． 7．（24-25七年级上·广西梧州·期中）【综合与实践】如图①是某月份的日历，小乐在其中画出一个的方框（粗线框），框住九个数，然后通过计算探索其中位置如图②所示的四个数“”的值． (1)初步分析：计算图①中的结果为______． (2)数学思考：将的方框移动到图①中的其他位置，通过计算可以发现的值均为0．理由如下，请你将其补充完整． 解：设，则，，______． 所以（   ）=______． (3)同类探究：利用小乐的方法，借助图①中的日历继续探究，探索其中位置如图③所示的四个数“”的值．写出你的结论，并仿照（2）的方法说明结论成立的理由． 8．（25-26七年级上·浙江杭州·开学考试）中国工程师从蜂巢获得灵感，采用六边形布局建设基站，既能节省资源，又能实现信号无缝覆盖．这种布局中，基站数量随着层数增加呈现特定规律，如下所示： 序号 ① ② ③ …… 图形          …… 每层新增数 6 12 …… (1)根据信息中的规律，填空： 第一层总基站数：1个； 第二层总基站数：个； 第三层总基站数：个； 第四层新增基站数：______个，总基站数：______个； 第五层新增基站数：______个，总基站数：______个； 第n层新增基站数规律：______（用含n的式子表示）个； (2)如果第n层总基站数的规律符合关系式，那么该地区按照此规律建到第8层，总基站数是多少个？ 9．（24-25六年级下·上海·假期作业）观察下列各式：第一式：；第二式：；第三式：；第四式：；用含字母的式子表示第个式子 10．（23-24七年级上·广东河源·期中）（1）计算：①与； ②与； ③与； （2）根据以上计算结果猜想：，，分别等于什么？（直接写出结果） （3）利用上述结论，求的值． 11．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）若一个四位正整数P满足千位上的数字比百位上的数字大2，十位上的数字比个位上的数字大2，千位上的数字与十位上的数字不相等且各个数位上的数字都不为零，则称P为“双减数”．将“双减数P”的千位和百位数字组成的两位数与十位和个位数字组成的两位数的差记为． 例如：四位正整数，∵，且， ∴是“双减数”，此时． (1)判断“”是否是双减数？若是，请求出的值；若不是，请说明理由． (2)命题“对于任意双减数，都能被整除”是真命题还是假命题？说明你的理由． 12．（24-25七年级上·吉林·期末）如图，是由3种大小不同的5个正方形和一个长方形（阴影部分）拼成的大长方形，若，最小的正方形的边长为x． (1)_________，_________（用含x的式子表示）； (2)求长方形的周长（用含x的式子表示）； (3)若，请直接写出三角形的面积是_________． 13．（25-26七年级上·全国·课后作业）鞋号表明了鞋子的大小，我国1998年发布了新鞋号标准．新鞋号标准对应于20世纪60年代后期制定的旧鞋号标准，部分鞋号对照如下： 新鞋号 220 225 230 235 … 270 旧鞋号 34 35 36 37 … (1)求的值； (2)若新鞋号为，旧鞋号为，写出一个把旧鞋号转换为新鞋号的公式． 14．（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）现有一种新型网约车是一种全无人自动驾驶的网约车，已经在全国多个城市开放运营．某城市的新型网约车的计价规则如表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 2元/公里 0.5元/分钟 0.4元/公里 （注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算，时长费按行车的实际时间计算，远途费的收取方式为：行车里程15公里以内（含15公里）不收远途费，超过15公里的，超出部分每公里加收0.4元．） (1)若小东乘坐新型网约车，行车里程为20公里，行车时间为20分钟，则需付车费多少元？ (2)若小明乘坐新型网约车，行车里程为a公里，行车时间为b分钟，请分别计算当和当时，小明应付车费多少元？（用含a，b的式子表示，并化简） (3)小王和小张各自乘坐新型网约车，小王比小张的行车里程少3公里，行程结束后反而多付了6元，两人计费项目也相同（远途费为0时视为没有这个计费项目），那么这两辆新型网约车的行车时长相差多少分钟？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 整式加减的应用八类题型 典例详解 类型一、销售问题 类型二、方案选择问题 类型三、阶梯收费问题 类型四、图形问题 类型五、数字问题 类型六、日历问题 类型七、数式的规律 类型八、图形的规律问题 压轴专练 类型一、销售问题 例1．（2025六年级上·全国·专题练习）某商店有一种商品每件成本a元，按成本增加b元定出售价，销售件后，由于库存积压减价，按售价的八折出售，又销售件． (1)该商店销售件这种商品的总售价为多少元？ (2)销售件这种商品共盈利了多少元？ 【答案】(1)该商店销售件这种商品的总售价为（元）； (2)销售件这种商品共盈利（元）． 【分析】本题考查了列代数式，整式的加减的应用，解题关键是找准题中的数量关系． （1）根据题中的数量关系列出算式，并化简； （2）根据总售价减去成本列出算式，并化简． 【详解】（1）解：根据题意得：（元）， ∴该商店销售件这种商品的总售价为（元）； （2）根据题意得： （元）， ∴销售件这种商品共盈利（元）． 变式1-1．（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）某服装厂生产一种西装和领带，西装每套定价400元，领带每条定价80元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案： ①买一套西装送一条领带； ②西装和领带都按定价的八五折付款． 现某客户要到该服装厂购买西装20套，领带x条（x＞20）． (1)若该客户按方案①购买，需付款多少元？（用含x的代数式表示）； 可列式为： 化简后得： ． 若该客户按方案②购买，需付款多少元（用含x的代数式表示）； 可列式为： 化简后得： ． (2)只能选择一种优惠方案，若，通过计算说明按哪种方案购买较为合算？ 【答案】(1)，元；，元； (2)方案② 【分析】本题考查了整式加减的应用和代数式求值，解题的关键是认真分析题目并正确列出代数式． （1）根据两种方案①20套西装的价格加上超过20条部分的领带的价格就是应付款数；②西装的价格加上领带的价格和的，就是应付款数； （2）把代入代数式进行解答即可． 【详解】（1）解：方案①需付费为：元； 方案②需付费为：元； （2）解：当 时， 方案①需付款为： 元， 方案②需付款为：元， ， ∴选择方案②购买较为合算． 变式1-2．（24-25七年级上·江西赣州·阶段练习）某校购买甲、乙两种读本，其中购买甲种读本本，购买乙种读本的数量比甲种读本少本．已知甲种读本的单价为元，乙种读本的单价元． (1)问购买这两种读本共花费多少元？ (2)问购买甲种读本比购买乙种读本多花费多少元？（用含的式子表示） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列代数式，整式加减的应用．正确理解题意是解题的关键． （1）根据总价单价数量，分别求出购买甲、乙两种读本的费用，再根据整式的加减混合运算进行计算即可； （2）根据整式的加减混合运算进行计算即可． 【详解】（1）解：已知购买甲种读本本，甲种读本单价为元， 则购买甲种读本花费元． 因为购买乙种读本的数量比甲种读本少本，所以购买乙种读本本，乙种读本单价为元， 则购买乙种读本花费元． 那么购买两种读本共花费：（元）． （2）解：购买甲种读本花费元，购买乙种读本花费元， 则甲比乙多花费：（元）． 变式1-3．（24-25七年级上·云南昭通·期末）某小型工厂生产酸枣面和黄小米，每日这两种产品共生产1500袋，两种产品的成本和售价如下表，设该工厂每天生产酸枣面袋． 成本/（元/袋） 售价/（元/袋） 酸枣面 40 46 黄小米 13 15 (1)每天生产袋酸枣面的成本为_____元，黄小米的成本为_____元．（用含的代数式表示，结果需化为最简形式） (2)用含的整式表示每天获得的利润，并进行化简． (3)当时，（2）问中的利润为_____元． 【答案】(1)； (2)元 (3) 【分析】本题考查了列代数式及整式加减运算的知识，掌握题干数量关系并用代数式表示出来是解题关键． （1）酸枣面的成本为每袋成本乘以数量，两种产品共生产1500袋减去生产x袋酸枣面则为黄小米的数量，再乘以每袋成本即可表示黄小米的成本； （2）用生产的酸枣面、黄小米的袋数分别乘以每袋酸枣面、黄小米的利润即可得到每天生产的酸枣面、黄小米的利润，然后把两者相加即可得到每天获得的利润； （3）代入（2）中的代数式即可求解． 【详解】（1）解：每天生产x袋酸枣面的成本为元， 黄小米的成本为元， 故答案为：，； （2）解：由题意得每天获得的利润： 元； （3）解：把代入得：元， 故答案为：． 类型二、方案选择问题 例2．（24-25七年级上·山西吕梁·期末）综合与实践 为进一步强化体育评价，培养学生养成良好的体育锻炼习惯和健康的生活方式，提升学生身体素质和综合素养．某中学要配足体育训练器材，准备向体育用品批发公司采购一批足球和跳绳．根据以下素材，解决问题． 素材一 素材二 已知每个足球定价140元，每根跳绳定价20元． 该体育用品批发公司给该中学提供以下两种优惠方案： 方案A：足球和跳绳都按定价的九折付款； 方案B：买一个足球送一根跳绳． 该中学计划购买足球60个，跳绳根 问题解决 任务一：当时，试通过计算说明按哪种方案购买比较划算． 任务二：请用含x的代数式分别表示出两种方案需付的费用． 任务三：若两种优惠方案可同时使用，当时，请你设计出一种最省钱的购买方案，并计算需付款多少元． 【答案】任务一、按方案B购买较为划算，计算见解析； 任务二、方案A：元，方案B：元； 任务三、先按方案购买足球60个送60根跳绳，再按方案购买30根跳绳最省钱，需款8940元 【分析】本题考查了列代数式以及代数式求值，有理数混合运算的应用，理解题意，正确列出代数式是解题的关键． 任务一、根据方案A：足球和跳绳都按定价的折付款即可；方案B：买一个足球送一根跳绳先计算出买60个足球所需要的钱数再加上30根跳绳的钱数即可； 任务二、方案A足球和跳绳都打九折列代数式，方案B买60个足球赠60根跳绳，所以用买60个足球的钱数加上买剩余的跳绳的钱数列代数式即可； 任务三、先按方案B购买足球60个送根跳绳，再按方案A购买30根跳绳最省钱，然后计算费用即可． 【详解】解：任务一 方案A：（元）， 方案B：（元）， ∵， ∴按方案B购买较为划算； 任务二 方案A：（元）， 方案B：（元）； 任务三 先按B方案购买足球60个送60根跳绳，再按A方案购买30根跳绳最省钱．需付款（元）， 答：先按方案购买足球60个送60根跳绳，再按方案购买30根跳绳最省钱，需款8940元． 变式2-1．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）为了丰富阳光运动会，学校准备订购一批篮球和跳绳，经过市场调查后发现，两商店以同样的价格出售同种品牌的篮球和跳绳，已知篮球每个定价120元，跳绳每条定价20元．经洽谈： A商店优惠方案：买一个篮球送一条跳绳； B商店优惠方案：篮球和跳绳都按定价的付款． 已知要购买篮球60个，跳绳条． (1)若到A商店购买，一共需付款________元；若到B商店购买，一共需付款________元；（用含的代数式表示） (2)当时，请通过计算说明此时用哪个商店购买较为合算？ (3)当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？请写出你的购买方案，并计算需付款多少元？ 【答案】(1)； (2)购买150根跳绳时，A商店所需要的钱数为9000元，B商店所需要的钱数为9180元，A商店划算 (3)按A方案买60个篮球，剩下的90条跳绳按B方案购买，付款8820元 【分析】本题考查列代数式，代数式求值，根据题意，正确的列出代数式，是解题的关键． （1）由题意按方案购买可列式：，在按方案购买可列式：； （2）把代入（1）中的结果计算两种方案所需要的钱数即可； （3）先算全按同一种方案进行购买，计算出两种方案所需付款金额，再根据方案是买一个篮球送跳绳，方案是篮球和跳绳都按定价的付款，考虑可以按方案买60个篮球，剩下的90条跳绳按方案购买，计算出所需付款金额，进行比较即可． 【详解】（1）① A商店优惠方案：买一个篮球送一条跳绳； 购买篮球60个费用为元， 购买跳绳的费用：因为买一个篮球送一条跳绳，所以买60个篮球会送60条跳绳，而一共要购买跳绳条，那么需要额外购买的跳绳数量为条，又已知跳绳每条定价20元，所以购买跳绳的费用为元， 则到A商店购买一共需付款：购买篮球的费用+购买跳绳的费用， 即元； ②已知商店的优惠方案是：篮球和跳绳都按定价的付款， 购买60个篮球，购买篮球的实际费用为元， 购买跳绳的费用：跳绳每条定价20元，要购买条，那么跳绳的总价为元，按定价的付款，所以购买跳绳的实际费用为元， 则到B商店购买一共需付款：购买篮球的费用+购买跳绳的费用，即元， 故答案为：；． （2）由（1）可知， 当，A商店所需要的钱数为（元）， 当，B商店所需要的钱数为（元）， ∵， ∴A商店划算． 答：购买150根跳绳时，A商店所需要的钱数为9000元，B商店所需要的钱数为9180元A商店划算． （3）到A商店购买60个篮球配送60条跳绳，再到B商店购买条跳绳合计需付款： （元）； ∵， ∴省钱的购买方案是： 按A方案买60个篮球，剩下的90条跳绳按B方案购买，付款8820元． 变式2-2．（24-25七年级上·山东济宁·期末）根据以下素材，尝试解决问题． 我是小小预算师 素材一 小明家购买了一套商品房，其建筑平面图如图所示（单位：米）． 素材二 购房时首付款为房价的30%，其余款项向银行申请贷款． 素材三 在地面装修前，小明对甲、乙两个公司进行了咨询，两个公司按要求分别给出了装修方案（两个方案中选用的材料品牌、规格、品质完全一致）．甲公司：客厅地面每平方米元，书房和卧室地面每平方米元，厨房和卫生间地面每平方米元；乙公司：全屋地面每平方米均为元，最后金额再打8折． 问题一 这套住房的建筑总面积是多少平方米？（用含a、b的式子表示） 问题二 若，，已知这套住房的售价为每平方米元，小明家购房时交了首付款，余款向银行申请了贷款，小明家购买这套住房向银行申请贷款的金额是多少元？ 问题三 在问题二的条件下，小明选择哪家装修公司更划算呢？请说明理由． 【答案】问题一：这套住房的建筑总面积是平方米； 问题二：小明家购买这套住房向银行申请贷款的金额是元． 问题三：选择乙公司较合算．理由见解析 【分析】本题考查了列代数式、代数式求值，解题关键是明确题意，列出相应的代数式，求出相应的代数式的值． （1）分别用代数式表示各个部分的面积，再求总面积； （2）当，时，求出的值即可； （3）根据各个部分的面积和价格，计算总价后比较即可． 【详解】问题一 解：卫生间的长为米，宽为米，因此面积为（平方米）， 书房的长为3米，宽为3米，因此面积为（平方米）， 卧室1的长为5米，宽为米，因此面积为平方米， 卧室2的长为4米，宽为米，因此面积为平方米， 客厅的长为4米，宽为米，因此面积为平方米， 厨房的长为米，宽为米，因此面积为平方米， 所以这套住房的总面积为平方米， 答：这套住房的建筑总面积是平方米； 问题二 当，时， （元） 答：小明家购买这套住房向银行申请贷款的金额是元． 问题三 解：选择乙公司较合算．理由如下： 当，时，客厅面积为平方米，卧室面积为平方米，厨房的面积为平方米， 甲公司的费用：（元）， 乙公司的费用：（元）， ∵ ∴选择乙公司较合算． 变式2-3．（24-25七年级上·山西临汾·期末）综合与实践 问题情境 劳动基地的蔬菜都成熟了，学校计划将蔬菜送给敬老院的老人，现有长为a厘米，宽为b厘米，高为c厘米的箱子若干，将蔬菜装满每个盒子后需利用打包带进行打包． 方案设计 如图，小红和小明各设计了一种打包方式（接头处的长度不计，本题所有问题只考虑打包带的长度，不考虑其他影响因素）． 问题解决 (1)用含a，b，c的式子表示这两种打包方式所用的打包带的长度：小红的方案中所用打包带的长度为________厘米；小明的方案中所用打包带的长度为________厘米． (2)当厘米，厘米，厘米时，小红和小明设计的这两种打包方式所用的打包带的长度分别是多少？ (3)当时，比较小红和小明设计的方案中，哪种所用的打包带的长度更短． 【答案】(1)； (2)小红和小明设计的这两种打包方式所用的打包带的长度分别是440厘米，460厘米 (3)小红所用的打包带的长度更短 【分析】本题考查了列代数式、求代数式的值、整式的加减的应用． （1）根据题意列出代数式即可； （2）求出当厘米，厘米，厘米时，两种打包方式用的打包带，比较即可得解； （3）求出的值，判断即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：小红的方案中所用打包带的长度为厘米； 小明的方案中所用打包带的长度为厘米； （2）解：当厘米，厘米，厘米时， 小红的方案中所用打包带的长度为：厘米 小明的方案中所用打包带的长度为：厘米 答：小红和小明设计的这两种打包方式所用的打包带的长度分别是440厘米，460厘米； （3）解：小红所用的打包带的长度更短． ， ∵ ， ∴ ∴ ∴小红用的打包带的长度更短． 类型三、阶梯收费问题 例3．（24-25七年级上·湖南株洲·期中）为鼓励居民节约用电，某市电力公司采用分段计费方式计算电费：每月用电不超过180度时，按每度元计费：每月用电超过180度但不超过280度时，其中的180度仍按原标准收费，超过部分按每度元计费．收费标准如表： 用电量 不超过180度 超过180度但不超过280度的部分 超过280度的部分 收费标准（元/度） (1)若小明家10月用电量为160度，则他们家10月的电费是_____元． (2)若小明家11月用电量为230度，则他们家11月的电费是_____元． (3)若小明家12月用电量为度；请用含的代数式表示他们家12月应缴的电费． 【答案】(1)10月的电费是80元 (2)11月的电费是120元 (3)见详解 【分析】本题考查了列代数式，有理数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，再结合10月用电量为160度，进行列式计算，即可作答． （2）先理解题意，再结合11月用电量为230度，进行列式计算，即可作答． （3）理解题意，进行分类讨论，根据不同情况进行列式化简，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，（元） ∴10月的电费是80元； （2）解：依题意，（元） ∴11月的电费是120元； （3）解：依题意，当时，则电费是元； 当时， ∴， 则电费是元； 当时， ∴， 则电费是元． 变式3-1．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）为提倡节约用水，某地对每户按年累积用水实行阶梯收费．具体水价执行标准如下表：（水费一月一缴） 用水类别 供水价格（元） 阶梯水量（年度） 第一阶梯 3 （含）以下 第二阶梯 5 （不含）～（含） 第三阶梯 10 （不含）以上 根据表中的内容，解答下列问题： (1)今年小杰家1，2，3，4月份的用水量分别为，，，，则4月份应缴水费多少元？ (2)若小杰家5月的用水量为，试用含的代数式表示应缴水费． 【答案】(1)4月份应缴水费120元 (2)见解析 【分析】此题考查了整式加减的应用、有理数的混合运算，掌握其数量关系是解决此题的关键． （1）根据数量×单价计算可得答案； （2）分当，，时三种情况计算可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴4月份应缴水费元 （2）解：由（1）知，1至4月份已用水， ，， 当时，应缴水费元； 当时，应缴水费元； 当时，应缴水费元． 变式3-2．（24-25七年级上·浙江金华·期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采取价格调控手段以达到节水的目的，下表是该市自来水收费价格的价目表． 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/米3 超出6立方米但不超出10立方米的部分 4元/米3 超出10立方米的部分 8元/米3 注：水费按月结算 (1)若某户居民2月份用水8立方米，则应交水费多少元？ (2)若某户居民2，3月份共用水15吨， ①当2月份用水4吨时，求该户居民2，3月份共交水费多少元？ ②若某户居民2月份用水a立方米，当时，该用户3月份应交水费多少元（用含a的整式表示，结果要化成最简形式）？ (3)若某户居民4，5月份共用水15立方米（5月份用水量多于4月份），设4月份用水x立方米，求该户居民4，5月份共交水费多少元（用含x的整式表示，结果要化成最简形式）． 【答案】(1)20元 (2)①元；②元 (3)当时，总水费为元；② 当时，总水费为元；当时，总水费为元 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用、列代数式及整式加减的应用，理解题意，正确列式计算是解此题的关键． （1）根据题意列式计算即可得解； （2）①先求出三月份用水量，再列式计算即可得解；②先求出三月份用水量，再列式计算即可得解； （3）由题意知，4月份的用水量少于，再分三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：应交水费（元）； （2）解：① ∵某户居民2，3月份共用水15吨，2月份用水4吨， ∴月份用水（吨）， ∴该用户2，3月份应交水费（元）； ② ∵某户居民2，3月份共用水15吨，某户居民2月份用水a立方米， ∴月份用水吨， 当时，该用户3月份应交水费元； （3）解：由题意知，4月份的用水量少于， ①当时，月份用水量超过 总水费为元 ②当时，月份的用水量不少于，但不超过， 总水费为元 ③当时，月份的用水量超过，但不到， 总水费为元； 综上所述，当时，总水费为元；② 当时，总水费为元；当时，总水费为元． 变式3-3．（24-25七年级上·山东德州·期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段以达到节水的目的，如图所不是该市自来水收费价格见价目表． 价目表 注：水费按月结算 每月用水量 不超过的部分 超出但不超出的部分 超出的部分 单价 元 4元 8元 (1)填空：若某户居民2月份用水，则2月份应收水费_____元； (2)若该户居民4月份用水量（在6至之间），则应收水费包含两部分，一部分用水量为，水费12元；另外一部分用水量为_____，此部分应收水费_____元；则4月份总共应收水费_____元．（用含的整式表示并化简） (3)若该户居民5月份用水（），求该户居民5月份共交水费多少元？（用含的整式表示并化简） 【答案】(1)8 (2)，， (3)元 【分析】本题考查了列代数式，整式的加减运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，得（元），即可作答． （2）根据题干的信息，一部分用水量为，水费12元；另外一部分用水量为，此部分应收水费元；则4月份总共应收水费元，即可作答． （3）因为该户居民5月份用水（），所以列式进行化简，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，（元）， 故答案为：8； （2）解：∵该户居民4月份用水量（在6至之间），则应收水费包含两部分，一部分用水量为，水费12元； ∴另外一部分用水量为， ∴（元）， 即此部分应收水费元； ∴（元）， 则4月份总共应收水费元． 故答案为：，，； （3）解：依题意，元 答：该户居民5月份共交水费元． 类型四、图形问题 例4．（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）如图所示的是一扇窗户的示意图，上部是半圆形，下部是四个边长相等的小正方形． (1)计算窗户的面积及窗框的总长； (2)当时，窗户的面积及窗框的总长分别是多少？（取） 【答案】(1)窗户的面积为；窗框的总长为； (2)窗户的面积为；窗框的总长为． 【分析】本题考查了列代数式以及代数式求值，整式加减的应用，根据面积公式正确列式是解题关键． （1）根据图形，利用正方形的面积公式，圆的面积和周长公式列式即可； （2）将的值代入计算即可． 【详解】（1）解：窗户的面积为， 窗框的总长为； （2）解：当时， 窗户的面积为， 窗框的总长为． 变式4-1．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）为鼓励居民节约用水，某市自来水公司实行阶梯式收费标准：第一阶梯每月用水量不超过15吨时（含15吨），按每吨4元收费；第二阶梯每月用水量超过15吨且不超过30吨时，超出部分按每吨5元收费；第三阶梯每月用水量超过30吨时，超出部分按每吨8元收费． (1)某用户9月用水量为20吨，应付水费_____元； (2)若该用户在某月用水量为x吨，请用含x的代数式表示该用户该月应付的水费． 【答案】(1) (2)时，水费为元；时，水费为元；时，水费为元 【分析】本题考查整式的加减，解题的关键是理解题意分类讨论列代数式． （1）分两档求出费用即可． （2）分为，和三种情况列出代数式即可． 【详解】（1）解：元， 故答案为：； （2）当时，应付的水费为元； 当时，应付的水费为元； 当时，应付的水费为元． 变式4-2．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）某纪念馆要在两块紧挨在一起的长方形荒地上修建一个半圆形花圃，尺寸如图所示（单位：m）． (1)用含x的代数式表示阴影部分的面积； (2)当，π取时，阴影部分的面积约是多少?(精确到0.1) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列代数式、代数式求值、圆的面积公式等知识，正确地列出代数式是正确解答的前提． （1）根据阴影部分与其它部分面积之间的关系列出代数式即可； （2）代入数值计算即可． 【详解】（1）解：由图形中各个部分面积之间的关系，得 ． （2）当，取时， ． 变式4-3．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，一个边长为20米的正方形地面中，修建了两条宽度均为a米的小路，其余部分铺设草皮． (1)求草坪的面积．（阴影部分面积，需化简） (2)若小路需要铺设地砖，当，每平方米地砖为80元时，求所需地砖的总价格． 【答案】(1)平方米 (2)11520 【分析】本题考查了整式加减的应用、列代数式及求值、有理数的四则混合运算的应用，将两条小路平移至正方形的边上，使种植花草的面积等于一个正方形的面积是解决此题的关键． （1）根据图形，种植花草的面积相当于正方形的面积减去小路面积，进而求解即可； （2）先求得当时的小路的面积，再乘以每平方米的地砖费用即可求解． 【详解】（1）解：由题意，正方形的面积为（平方米）， 小路的面积为平方米， ∴草坪的面积为平方米； （2）解：当时，小路的面积为（平方米）， ∴（元）， 答：所需地砖的总价格为11520元． 类型五、数字问题 例5．（24-25七年级上·福建莆田·期末）在小学，我们知道像12，27，36，45，108，…这样的自然数能被3整除．一般地，如果一个自然数所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除．事实上，我们可以证明这个结论的正确性． 以两位数为例，若一个两位数的十位、个位上的数字分别为，则通常记这个两位数为，于是显然，能被3整除，因此，若能被3整除，那么，就能被3整除，即能被3整除． 根据上述材料，解答下列问题： (1)下列各数中，能被3整除的有___________（填序号） ①25；②225；③1025． (2)用含、、的代数式表示三位数___________（其中是百位数，是十位数，是个位数）； (3)类比上述的过程，尝试说明：如果一个三位数的所有数位之和能被9整除，那么这个三位数就能被9整除． 【答案】(1)② (2) (3)见解析 【分析】本题考查列代数式以及数的整除，整式加减的应用．熟练掌握相关知识点是解题的关键； （1）计算各数位上的数字之和，若能被3整除，则该数就能被3整除，据此逐个判断即可； （2）根据已知条件可得； （3），根据已知条件按照材料的方法即可证明． 【详解】（1），7不能被3整除， 25不能被3整除； ，9能被3整除， 225能被3整除； ，8不能被3整除， 1025不能被3整除； 故能被3整除的有225． （2）． （3）， 能被3整除， 若能被3整除，则能被3整除，即能被3整除， 如果一个三位数的所有数位之和能被9整除，那么这个三位数就能被9整除． 变式5-1．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）（1）列式：设是一个三位数，则用含a，b，c的代数式表示为 ； 定义：如果一个三位数的三个数位上的数字是按从小到大排列的三个连续的正整数，则这个三位数叫作顺子数，如“123”“456”等都是顺子数．请你再举出一个顺子数： ； 推理：嘉嘉经过观察计算发现顺子数都可以被3整除．设是一个顺子数． （2）请用含a的代数式表示b和c； （3）通过整式的运算，证明上述发现的结论． 【答案】（1）；789（答案不唯一）；（2），；（3）见解析 【分析】本题考查了新定义，整式的运算，读懂题意，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键． （1）根据多位数的表示方法列出含a，b，c的代数式即可；根据顺子数的定义，写出一个顺子数即可； （2）根据顺子数的定义，百位数为a，十位数为，个位数为可得到结果； （3）把顺子数表示为，整理为，证得结论． 【详解】（1）解：三位数可表示为：； 再举出一个顺子数：789（答案不唯一）； 故答案为；789（答案不唯一）； （2）由题意得，； （3）证明： ， ∵，a是正整数， ∴为正整数， ∴顺子数都可以被3整除． 变式5-2．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）基于小学的学习经验，我们知道，如果一个整数的各个数位上的数字的和能被3整除，那么这个整数也能被3整除．例如：3285的各个数位上的数字的和能被3整除，所以3285能被3整除；463的各个数位上的数字的和不能被3整除，所以463不能被3整除． 类比迁移：已知一个三位数的百位数字为，十位数字为，个位数字为 (1)请用代数式表示这个三位数______； (2)若能被9整除，试说明这个三位数也能被9整除； (3)若将它的百位数字与个位数字对调，得到一个新的三位数．计算新三位数与原三位数之差的绝对值，该绝对值能被9整除吗？为什么？ 【答案】(1) (2)见解析 (3)能，理由见解析 【分析】本题考查列代数式以及数的加减． （1）根据数字的表示方法表示即可； （2）将表示为，结合已知条件即可解决； （3）根据题意，得出新三位数与原三位数之差的绝对值，根据整式的加减化简，然后即可求解． 【详解】（1）解：设一个三位数的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c， 则该三位数是：， 故答案为：； （2）解：∵ ， 又∵能被9整除， ∴这个三位数也能被9整除． （3） ∴绝对值能被9整除． 类型六、日历问题 例6．（23-24七年级上·广东佛山·期末）如图是某年9月的日历，用形如X型框，去框日历中的日期数每次同时框5个数． (1)设X框最中间的数为a，则这5个数之和为_____（用含a的代数式表示）； (2)这5个数的和能等于68吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用及列代数式，能够根据X框最中间的数，表示出其余4个数是解决问题的关键． （1）根据X框最中间的数，表示出其余4个数，再列出5个数之和，计算后即可得出答案； （2）当时，a不是整数，即可得出这5个数的和不能等于68． 【详解】（1）解：∵X框最中间的数为a，则其余4个数分别为， ∴这5个数之和为：， 故答案为：； （2）解：不能，理由如下： 当时，， ∵a必须为整数， ∴这5个数的和不能等于68． 变式6-1．（24-25七年级上·北京·期中）观察下列日历中“阶梯框”中的数字规律，回答问题． (1)若像这样在任意一个日历中用“阶梯框”圈出6个数，请根据规律补全“阶梯框”； (2)请通过列式说明日历中“阶梯框”中的数字之和一定是3的倍数； (3)在（1）的条件下， a 可能等于7或26吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是3的倍数 (3)不可能，理由见解析 【分析】本题考查规律型：数字的变化类，倍数，整式得加减，掌握数字变化类的规律是解题的关键． （1）根据日历中“阶梯框”中的数字规律即可解答； （2）将6个数相加即可解答； （3）根据（1）中阶梯框中的数字规律可得，时， ，日期数字中不可能出现0；当时，，日期数字中不可能； 【详解】（1）解：如图所示： a （2） 所以日历中"阶梯框"中的数字之和一定是3的倍数； （3）不可能，根据（1）中阶梯框中的数字规律可得，当 时， ，日期数字中不可能出现0；当时，，时， ，日期数字中不可能出现0；当时，，日期数字中不可能出现32． 变式6-2．（24-25七年级下·北京·期末）在日历图中有许多奥秘，如图是某月的日历，请仔细观察并思考下列问题： 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 （1）课上我们探究了“3×3”型框架问题，如图框住的九个数的和与正中间数的关系为 ； （2）我们还可以用如图所示的“X”字型框架任意框住日历中的5个数（如图中的阴影部分），探究“”字型框架中的五个数的和与正中间数的关系． 例如图中“”字型框架框住的五个数的和为： 2+4+10+16+18=50， 5+7+13+19+21=65； 设“”字型框架中正中间数为m，探究“”字型框架中的五个数的和与正中间数的关系，请利用所学知识说明理由； （3）如图所示的“”字型框架框住的五个数之和可以是120吗？如果可以，请写出正中间的数；如果不可以，请说明理由． 【答案】（1）这九个数的和是正中间数的9倍（2）这五个数的和是正中间数的5倍，理由见详解（3）五个数之和不可以是120，理由见解析 【分析】本题主要考查了有理数加法计算，整式的加减计算，解题的关键是理解题意，列出代数式． （1）根据题意，表示出各数，列出代数式求解即可； （2）根据题意，表示出各数，列出代数式求解即可； （3）根据题意，求出正中间数，再求出最大的数进行判断即可． 【详解】解：（1）设正中间的数为， 则这9个数依次为， ∴这9个数的和为， 所以，这九个数的和与是正中间数的9倍； （2）这五个数的和是正中间数的5倍，理由如下： 设“X”字型框架中正中间数为m，则这5个数依次为， ∴这5个数的和为， 所以，这五个数的和是正中间数的5倍； （3）五个数之和不可以是120，理由如下： ∵， ∴最大的数为，不符合题意， 所以，五个数之和不可以是120． 类型七、数式的规律 例7．（2025·云南昆明·三模）以下是一组按一定规律排列的多项式：，，，，，…，则第个多项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查寻找规律问题，观察多项式，将每个多项式拆分为关于的项和常数项，分别分析各自的规律：符号规律：负、正交替出现，即；指数规律：的指数依次为1，2，3，4，5，…，即；从而确定规律，即可得到答案，根据已知多项式找准规律是解决问题的关键． 【详解】解： 第1个：， 第2个：， 第3个：， 第4个：， 第5个：， …， 第个：， 故选：B． 变式7-1．（2025·云南西双版纳·二模）按一定规律排列的代数式：，第个代数式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数字变化的规律，找到代数式的系数和指数规律是解题的关键．观察代数式的系数和指数，找到变化的规律即可解答． 【详解】解：第1个代数式是， 第2个代数式是， 第3个代数式是， 第4个代数式是， 第5个代数式是， …… 依此类推，第个代数式是． 故选：A． 类型八、图形的规律问题 例8．（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）将形状、大小完全相同的“·”按照一定规律摆成下列图形，第①幅图形中“·”的个数为5，第②幅图形中“·”的个数为10，第③幅图形中“·”的个数为17，第④幅图形中“·”的个数为26，……按照这种摆法，第n幅图形中“·”的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 本题主要考查了图形类的规律探索，数字类的规律探索，观察图形求解即可． 【详解】解：第①幅图中“·”的个数为， 第②幅图中“·”的个数为， 第③幅图中“·”的个数为， ……， 以此类推，第幅图中“·”的个数为， 故选：B 变式8-1．（24-25七年级上·安徽宿州·阶段练习）如图是一组有规律的图案，第①个图案中有4个三角形，第②个图案中有7个三角形，第③个图案中有10个三角形，…，依此规律，第个图案中三角形的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图形中规律问题，根据第一个图形中三角形个数为；第二个图形三角形个数为；第三个图形中三角形个数为；找出相应规律即可求解． 【详解】解：第一个图形中三角形个数为， 第二个图形三角形个数为， 第三个图形中三角形个数为， …， ∴第个图案中，三角形的个数为：． 故选D． 变式8-2．（24-25八年级下·四川广安·期末）如图，用规格相同的小棒摆成一组图案，图案①需要根小棒，图案②需要根小棒，图案③需要根小棒，按此规律摆下去，第个图案需要小棒的根数为（　　） A．36 B．46 C．52 D．66 【答案】C 【分析】根据图形的变化规律可知，第一个图案需要根小棒，从第二个图案开始都比前一个图案多根，可归纳出第个图案需要小棒根．本题主要考查图形的变化规律，根据图案的变化归纳出第个图案需要小棒根是解题的关键． 【详解】解：根据图形的变化规律可知， 第一个图案需要根小棒， 第二个图案需要根小棒， 第三个图案需要根小棒， ， 第个图案需要根小棒， 即第个图案需要根小棒， ∴第个图案需要小棒的根数为， 故选：C． 变式8-3．（25-26七年级上·江苏泰州·开学考试）如图的图案由若干个相同的正方形组成，每个涂色部分的面积是5平方厘米，占所在正方形的，个正方形，像这样组成的图案面积是 平方厘米． 【答案】 【分析】本题考查了图形类规律和列代数式的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题先求得正方形的面积，再根据图形规律即可求解； 【详解】解：平方厘米， 由于个正方形组成的图案中重叠部分共有个涂色， ∴个正方形，像这样组成的图案面积是：平方厘米， 故答案为：； 1．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）某地区实施阶梯电价制，居民生活用电（一户一表）价格方案如下： 档次 月用电量 电价（元/度） 第一档 月用电量度 第二档 200度月用电量400度 第三档 月用电量400度 例：若某用户2014年9月份的用电量为300度，则需缴电费为：（元）． (1)填空：如果小华家2014年9月份的用电量为100度，则需缴电费______元； (2)如果小华家2014年10月份的用电量为度（其中），则需缴电费多少元？（用含的代数式表示，并化简） (3)如果小华家2014年11、12两个月共用电600度，已知12月份的用电量比11月份多．设11月份的用电量为度，则小华家这两个月共需缴电费多少元？（结果可用含的代数式表示，并化简） 【答案】(1)50 (2)元 (3)元或310元 【分析】本题考查了列代数式及整式加减的应用，读懂图表信息是解题的关键． （1）根据题意选择第一阶梯电价列代数式求解即可； （2）根据题意选择第一阶梯和第二阶梯列代数式求解即可； （3）根据题意，先进行判断的取值范围，根据三种情况列代数式进行表示即可． 【详解】（1）解：（元） 故答案为：50； （2）解：根据题意得， 元， 答：用电量为度（其中），则需缴电费元； （3）解：∵12月份的用电量比11月份多， ∴，根据题意分以下几种情况： ①当时，共需缴费为 元； ②当时，共需缴费为 （元）； ③当时，共需缴费为 （元）； 综上，小华家这两个月共需缴电费元或310元． 2．（24-25七年级上·河南南阳·期中）某水果超市最近新进了一批百香果，每斤8元，为了合理定价，在第一周试行机动价格，卖出时每斤以10元为标准，超出10元的部分记为正，不足10元的部分记为负，超市记录第一周百香果的售价情况和售出情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 每斤价格相对于标准价格（元） 售出斤数 20 35 10 30 15 5 50 (1)这一周超市售出的百香果单价最高的是星期几？最低单价比最高单价少多少元？ (2)求出这一周超市出售此种百香果的总利润是多少？ (3)超市为了促销这种百香果，决定从下周一起推出两种促销方式： 方式一：购买不超过5斤百香果，每斤13元，超出5斤的部分，每斤打8折； 方式二：每斤售价12元． ①顾客买斤百香果，则按照方式一购买需要______元，按照方式二购买需要______元．（请用含a的代数式表示，结果要求化简） ②如果某顾客决定买30斤百香果，通过计算说明应该选择上述两种促销方案中的哪种方式购买更省钱． 【答案】(1)这一周超市售出的百香果单价最高的是星期六，最低单价比最高单价少9元 (2)这一周超市出售此种百香果盈利135元 (3)①，；选择方式一购买更省钱 【分析】本题考查了正负数的应用及列代数式，解答本题的关键是看懂图表，理解题意，应用数量关系式进行解答． （1）通过看图表的每斤价格相对于标准价格，可直接得结论； （2）计算总进价和总售价，比较即可； （3）计算两种购买方式，比较得结论． 【详解】（1）解：这一周超市售出的百香果单价最高的是星期六，最低的是星期日， （元）， 答：这一周超市售出的百香果单价最高的是星期六，最低单价比最高单价少9元； （2）解：（元）， （元）， （元）， 所以这一周超市出售此种百香果盈利135元； （3）解：①方式一：元； 方式二：（元）； 故答案为：，； ②方式一：（元）， 方式二：（元）， ∵， ∴选择方式一购买更省钱． 3．（23-24七年级上·湖南湘潭·期中）某学校计划购买一些乒乓球拍和乒乓球，某商场销售一种乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每副定价元，乒乓球每盒定价元．国庆节期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案，即 方案一：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球； 方案二：乒乓球拍和乒乓球都按定价的付款． 该学校要到该商场购买乒乓球拍副，乒乓球盒（为整数）． (1)若该学校按方案一购买，商场可赠送______盒乒乓球，学校还需花费______元购买乒乓球，则一共需付款_____元； (2)若该学校按方案二购买，需付款______元（用含的代数式表示）； (3)若，请聪明的你帮忙计算一下，此时选择哪种方案比较合算； 【答案】(1)，, (2) (3)按方案一购买较合算． 【分析】本题考查了列代数式、整式的加减及代数式求值问题； （1）方案一费用：副乒乓球拍子费用盒乒乓球费用； （2）方案二费用：副乒乓球拍子费用盒乒乓球费用，把相关数值代入求解即可； （2）把代入（1）（2）得到的式子进行计算，然后比较结果即可． 【详解】（1）该学校按方案一购买，商场可赠送盒乒乓球，学校还需花费元购买乒乓球， 则一共需付款（元） 故答案为：，，． （2）方案二费用：（元）； 故答案为：． （3）当时，方案一： 元， 方案二： 元， 所以，按方案一购买较合算． 4．（24-25七年级下·江西赣州·期末）如图所示长方形，在边上有一点边上有一点． (1)根据图中尺寸大小，的长度为_________（用含的式子表示）； (2)根据图中尺寸大小，求阴影部分的面积（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了列代数式， （1）直接根据,求出即可； （2）阴影部分的面积等于直角三角形面积减去小直角三角形的面积，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ 故答案为： （2） 即阴影部分的面积为： 5．（24-25七年级上·广东佛山·期末）用4个完全相同的边长为的小长方形（如图1）和两个阴影部分的长方形拼成1个宽（）为6的大长方形（如图2）． (1)请用含的代数式表示：①的长；②阴影的面积； (2)说明阴影与阴影的周长的和与的关系． 【答案】(1)①；② (2)阴影M与阴影N的周长的和与a、b无关 【分析】本题考查了列代数式，整式加减的应用，由拼图用含有a、b的代数式表示，，是正确解答的关键． （1）①由拼图可直接得到AD；②用代数式表示阴影M的长、宽，再根据长方形面积的计算方法即可得出答案； （2）由阴影M与阴影N的周长的和为，据此求解即可． 【详解】（1）解：①由拼图可知，， ②阴影M的长为a，宽为， 所以阴影M的面积为， （2）解：阴影M与阴影N的周长的和与a、b无关，理由： 如图， 阴影M与阴影N的周长的和为 ， 所以阴影M与阴影N的周长的和与a、b无关． 6．（25-26八年级上·全国·随堂练习）两位数和两位数，它们各个数位上的数字都不为，将数任意一个数位上的数字作为一个新的两位数的十位数字，将数任意一个数位上的数字作为该新的两位数的个位数字，按照这种方式产生的所有新的两位数的和记为，例如：． (1)求的值； (2)若一个两位数，两位数（是整数），交换两位数的十位数字和个位数字得到新数，当与的个位数字的倍的和能被整除时，称这样的两个数和为“七巧数对”，求所有“七巧数对”中的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减运算，定义新运算，不定方程，正确理解题目所给新定义是解题的关键． （1）根据新定义的法则，求出的值， （2）根据题意，求出与的个位数字，根据与的个位数字的倍的和能被整除，列出二元一次方程，求出，的正整数解，进而求出的最大值即可． 【详解】（1）解：由题意，得； （2）解：因为，， 所以的十位数字为，个位数字为，的十位数字为，个位数字为， 所以， 所以与的个位数字的倍的和为． 因为与的个位数字的倍的和能被整除， 且， 所以能被整除，所以设． 因为，是整数， 又因为要取最大值，所以的个位数要最大， 所以， ， 所以满足条件的值为，此时， 所以． 7．（24-25七年级上·广西梧州·期中）【综合与实践】如图①是某月份的日历，小乐在其中画出一个的方框（粗线框），框住九个数，然后通过计算探索其中位置如图②所示的四个数“”的值． (1)初步分析：计算图①中的结果为______． (2)数学思考：将的方框移动到图①中的其他位置，通过计算可以发现的值均为0．理由如下，请你将其补充完整． 解：设，则，，______． 所以（   ）=______． (3)同类探究：利用小乐的方法，借助图①中的日历继续探究，探索其中位置如图③所示的四个数“”的值．写出你的结论，并仿照（2）的方法说明结论成立的理由． 【答案】(1)0 (2)，，， (3)的值均为，理由见解析 【分析】（1）根据有理数的加减混合运算法则即可求出的结果； 根据日历的排序规律即可求出的值； （2）根据日历的排序规律：每一行相邻数字之间相差，每一列相邻数字之间相差，设，将、、都用含的代数式表示，然后代入，即可计算出结果并得出结论； （3）根据日历的排序规律可发现规律，在日历中用“型框”框住位置如图所示的四个数，设，将、、都用含的代数式表示，然后代入，即可计算出结果并得出结论． 本题主要考查了数字类规律探索，有理数的加减混合运算，列代数式，整式的加减运算等知识点，通过观察日历发现并总结出一般规律是解题的关键． 【详解】（1）解： 故答案为：0， （2）解：设，则，，， ， 故答案为：，，， （3）的值均为，理由如下： 在日历中用如图所示的四个数， 设，则，，， ， 的值均为． 8．（25-26七年级上·浙江杭州·开学考试）中国工程师从蜂巢获得灵感，采用六边形布局建设基站，既能节省资源，又能实现信号无缝覆盖．这种布局中，基站数量随着层数增加呈现特定规律，如下所示： 序号 ① ② ③ …… 图形          …… 每层新增数 6 12 …… (1)根据信息中的规律，填空： 第一层总基站数：1个； 第二层总基站数：个； 第三层总基站数：个； 第四层新增基站数：______个，总基站数：______个； 第五层新增基站数：______个，总基站数：______个； 第n层新增基站数规律：______（用含n的式子表示）个； (2)如果第n层总基站数的规律符合关系式，那么该地区按照此规律建到第8层，总基站数是多少个？ 【答案】(1)18，37；24，61； (2)169个． 【分析】本题考查图形规律探究，通过分析研究总结出规律是解题的关键． （1）通过分析，总结出第n层新增基站数规律：个； （2）把代入，计算即可． 【详解】（1）解：第二层新增基站数：个，总基站数：个； 第三层新增基站数：个，总基站数：个； 第四层新增基站数：个，总基站数：个； 第五层新增基站数：个，总基站数：个； …… 第n层新增基站数规律：个． 故答案为：18；37；24；61；． （2）解：当时， ． 答：总基站数是169个． 9．（24-25六年级下·上海·假期作业）观察下列各式：第一式：；第二式：；第三式：；第四式：；用含字母的式子表示第个式子 【答案】 【分析】本题主要考查了数字规律，掌握从特殊到一般的推理过程进行归纳规律成为解题的关键． 根据已有式子，推出规律即可解答． 【详解】解：第一式：； 第二式：； 第三式：； 第四式：； …… 第个式子是． 10．（23-24七年级上·广东河源·期中）（1）计算：①与； ②与； ③与； （2）根据以上计算结果猜想：，，分别等于什么？（直接写出结果） （3）利用上述结论，求的值． 【答案】（1）①225，225；②36，36；③144，144；（2），，；（3） 【分析】本题考查了有理数乘方的应用、用代数式表示规律，根据计算结果找到规律是解题的关键． （1）利用有理数的乘方运算法则计算即可； （2）结合（1）中的计算结果，用代数式表示规律即可； （3）根据（2）中的规律，再结合乘方的运算法则即可求解． 【详解】解：（1）①，； ②，； ③，； （2），，； （3） ． 11．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）若一个四位正整数P满足千位上的数字比百位上的数字大2，十位上的数字比个位上的数字大2，千位上的数字与十位上的数字不相等且各个数位上的数字都不为零，则称P为“双减数”．将“双减数P”的千位和百位数字组成的两位数与十位和个位数字组成的两位数的差记为． 例如：四位正整数，∵，且， ∴是“双减数”，此时． (1)判断“”是否是双减数？若是，请求出的值；若不是，请说明理由． (2)命题“对于任意双减数，都能被整除”是真命题还是假命题？说明你的理由． 【答案】(1)是双减数，此时的值为 (2)是真命题，理由见解析 【分析】本题主要考查了新定义，命题与定理，整除的性质，关键是正确应用新定义和整除的性质解题． （1）根据“双减数”的定义可得出是双减数，根据例题的计算方法即可得出结论； （2）设“双减数”千位数字为，十位数字为，则百位数字为，个位数字为，且，求出，即可得出结论． 【详解】（1）解：，， 是双减数，此时； （2）是真命题，理由如下： 设千位数字为，十位数字为，则百位数字为，个位数字为，且， 于是双减数为， 由题意，， 能被整除． 12．（24-25七年级上·吉林·期末）如图，是由3种大小不同的5个正方形和一个长方形（阴影部分）拼成的大长方形，若，最小的正方形的边长为x． (1)_________，_________（用含x的式子表示）； (2)求长方形的周长（用含x的式子表示）； (3)若，请直接写出三角形的面积是_________． 【答案】(1)， (2) (3)22 【分析】本题主要考查了列代数式，代数式求值，熟练掌握三角形面积公式和长方形周长公式，是解题的关键． （1）根据图形可得结合线段的和差、正方形的性质即可解答； （2）分别表示出和，然后再表示出周长， （3）根据三角形的面积公式，结合，即可求解． 【详解】（1）解：由图可知：， ； （2）解：长方形的宽为：， 长为：， 则长方形的周长为： ． （3）解：当时， ． 13．（25-26七年级上·全国·课后作业）鞋号表明了鞋子的大小，我国1998年发布了新鞋号标准．新鞋号标准对应于20世纪60年代后期制定的旧鞋号标准，部分鞋号对照如下： 新鞋号 220 225 230 235 … 270 旧鞋号 34 35 36 37 … (1)求的值； (2)若新鞋号为，旧鞋号为，写出一个把旧鞋号转换为新鞋号的公式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式及有理数的运算，发现规律是解题的关键． （1）根据表格数据观察得出规律求解，即可解题； （2）根据数据规律，写出、的关系式即可． 【详解】（1）解：根据表格数据观察可知，旧鞋号增加号，对应新鞋号增加号， ，， 即的值为； （2）解：由题意可知，， 即． 14．（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）现有一种新型网约车是一种全无人自动驾驶的网约车，已经在全国多个城市开放运营．某城市的新型网约车的计价规则如表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 2元/公里 0.5元/分钟 0.4元/公里 （注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算，时长费按行车的实际时间计算，远途费的收取方式为：行车里程15公里以内（含15公里）不收远途费，超过15公里的，超出部分每公里加收0.4元．） (1)若小东乘坐新型网约车，行车里程为20公里，行车时间为20分钟，则需付车费多少元？ (2)若小明乘坐新型网约车，行车里程为a公里，行车时间为b分钟，请分别计算当和当时，小明应付车费多少元？（用含a，b的式子表示，并化简） (3)小王和小张各自乘坐新型网约车，小王比小张的行车里程少3公里，行程结束后反而多付了6元，两人计费项目也相同（远途费为0时视为没有这个计费项目），那么这两辆新型网约车的行车时长相差多少分钟？ 【答案】(1)52元 (2)当时，小明付费元；当时，小明付费元 (3)分钟或分钟 【分析】本题主要考查了列代数式、代数式求值、整式的加减的应用等知识点，理解题意、列出代数式是解题的关键． （1）根据表中新型网约车的计价规则计算即可解答； （2）根据和当分情况讨论，分别用代数式表示出小明应付车费即可； （3）先根据行车里程数分情况讨论，再根据题意在每种情况下分别表示出小王和小张的行车时长，并算出相差的时长即可． 【详解】（1）解：根据计费规则，当行车里程为公里，行车时间为分钟时， 小东需付车费：（元）， 答：需付车费52元． （2）解：根据计费规则，当时，小明应付车费：元； 当时，小明应付车费：元． 综上，当时，小明付费元；当时，小明付费元． （3）解：设小张的行车里程为x公里，则小王的行车里程为公里， 小张付费y元，则小王付费元， 根据题意： 当行车里程公里以内时，小张行车时长：（分钟）， 小王行车时长：（分钟）， ∴行车时长差为：（分钟）； 当里程超过公里时，小张行车时长：（分钟）， 小王行车时长：（分钟）， 行车时长差为：（分钟）． 答：这两辆新型网约车的行车时长相差为分钟或分钟． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$