专题06 实数及计算十一类题型（压轴题专项训练）数学七年级上册浙教版2024

专题06 实数及计算十一类题型 典例详解 类型一、平方根与平方根的应用 类型二、实数的分类 类型三、实数与数轴 类型四、无理数的大小估算 类型五、非负数的性质 类型六、立方根与立方根的应用 类型七、程序设计与实数计算 类型八、无理数的整数部分与小数部分 类型九、实数的混合运算 类型十、实数运算相关的规律探究问题 类型十一、新定义下的实数计算 压轴专练 类型一、平方根与平方根的应用 平方根和算术平方根的概念及其性质： （1）概念：如果，那么是的平方根，记作：；其中叫做的算术平方根。 （2）性质：①当≥0时，≥0；当＜０时，无意义； ②＝；③。 （3）开平方：求一个数的平方根的运算，叫做开平方，期中叫做被开方数。 例1．（20-21八年级上·广东河源·阶段练习）若是m的一个平方根，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】利用平方根的定义求出的值，确定出的值，即可求出平方根． 【详解】根据题意得：， 则的平方根为． 故答案为： 【点睛】本题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键． 变式1-1．（24-25七年级下·天津河东·期末）如果是2025的两个平方根，那么 ． 【答案】2025 【分析】本题考查平方根的性质，熟练掌握一个正数的两个平方根互为相反数是解题的关键．根据一个正数的两个平方根互为相反数，得到，，整体代入法进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：2025． 变式1-2．（21-22七年级下·吉林四平·期中）已知的平方根是，的算术平方根是4． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)a＝5，b＝4； (2)． 【分析】（1）根据平方根，算术平方根的定义，求解即可； （2）根据平方根定义，求解即可． 【详解】（1）解：∵的平方根是，的算术平方根是4． ∴，，解得a＝5，b＝4． （2）解：当a＝5，b＝4时，ab+5＝25 ，而25的平方根为， 即ab+5的平方根是． 【点睛】此题主要考查平方根和算术平方根，解题的关键是熟知平方根，算术平方根的定义． 变式1-3．（24-25七年级下·湖北黄石·期中）已知的平方根为，的算术平方根为． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方根，算术平方根，根据题意正确列式是解题的关键． （1）由题得，求出，继而得到，求出； （2）由得到，再根据平方根的定义即可得到答案． 【详解】（1）解： 的平方根为， ， ； 的算术平方根为， ， ； （2）解： ， ， 的平方根为 变式1-4．（24-25七年级下·江西南昌·期中）为宣传南昌旅游资源，促进旅游业发展，南昌某中学课外活动小组制作了精美的景点卡片，并为每一张卡片制作了一个特色的包装封皮．A小组成员制作正方形卡片，B小组成员制作长方形封皮．请你通过计算，判断卡片能否直接装进长方形封皮中． 课题 景点卡片及封皮制作 图示、数据及计算 图示                  相关数据及说明 正方形卡片的面积为，长方形封皮的长与宽的比为，面积为． 计算结果 …… (1)长方形封皮的长和宽分别是多少？ (2)正方形卡片能否装进长方形封皮内？请说明理由． 【答案】(1)长方形封皮的长为，宽为 (2)正方形卡片能够直接装进长方形封皮中，理由见解析 【分析】本题主要考查了算术平方根和平方根的应用，熟知求算术平方根和平方根的方法是解题的关键． （1）设长方形的宽为，则长为，再根据长方形面积计算公式建立方程求解即可； （2）根据正方形面积计算公式求出正方形的边长，再与长方形的宽比较即可得到答案． 【详解】（1）解：设长方形的宽为，则长为， 依题意，得， 整理，得， 解得或（舍去）， ∴， 答：长方形封皮的长为，宽为． （2）解；正方形卡片能够直接装进长方形封皮中，理由如下： ∵正方形卡片的面积为， ∴正方形卡片的边长为． ∵， ∴正方形卡片能够直接装进长方形封皮中． 类型二、实数的分类 实数分类 a 按定义分 b 按大小分: 实数 实数 例2．（24-25八年级下·山东聊城·阶段练习）在，，，，，，2.010010001…中，有理数有（   ）个 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数，熟练掌握无理数、有理数的定义是解题的关键． 先化简，再根据有理数的定义判断即可． 【详解】解：∵，， ∴在，，，，，，2.010010001…中， 有理数有：，，，，，共5个， 故选：B． 变式2-1．（24-25七年级下·河北沧州·阶段练习）下面是王老师在数学课堂上给同学们出的一道数学题，要求对以下实数进行分类填空：，0，0.3（3无限循环），，18，，，1.21（21无限循环），3.14159，1.21，，，0.8080080008…， （1）有理数集合：_____； （2）无理数集合：_____； （3）非负整数集合：_____； 王老师评讲的时候说，每一个无限循环的小数都属于有理数，而且都可以化为分数． 比如：0.3（3无限循环）=，那么将1.21（21无限循环）化为分数，则1.21（21无限循环）=_____（填分数） 【答案】（1）0，0.3（3无限循环），，18，，1.21（21无限循环），3.14159，1.21，；（2），，，0.8080080008…，；（3）0，18，； 【分析】本题主要考查了实数，解决本题的关键是熟记实数的分类； （1）根据有理数的定义，即可解答； （2）根据无理数的定义，即可解答； （3）非负整数集合包括0和正整数，即可解答． 【详解】解：有理数集合：，无限循环，，，，无限循环，，，； 无理数集合：，，，，； 非负整数集合：，，； 设（21无限循环），则（21无限循环）， （21无限循环）（21无限循环）， ， S； 故1.21（21无限循环） 变式2-2．（24-25七年级下·河南焦作·期中）把下列各实数的序号填在相应的大括号内． ①，②，③，④（相邻两个1之间依次增加一个1），⑤，⑥，⑦，⑧． 整数：{                        …}； 非负实数：{                        …}； 无理数：{                        …}． 【答案】①，⑧；①，③，④，⑤，⑦，⑧；②，④，⑤ 【分析】本题主要考查了实数的分类，无理数的概念等知识点，解题的关键是熟练掌握实数的分类及无理数的概念． 根据整数、非负实数和无理数的概念进行分类即可． 【详解】解：整数：{①，⑧…}； 非负实数：{①，③，④，⑤，⑦，⑧…}； 无理数：{②，④，⑤…}． 变式2-3．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）有下列各数： ①；②；③；④0；⑤；⑥；⑦0.313113113…（每两个3之间依次多一个1）． (1)属于整数的有______．（填序号） (2)属于负分数的有______．（填序号） (3)属于无理数的有______．（填序号） 【答案】(1)④⑥ (2)②⑤ (3)③⑦ 【分析】本题考查了求算术平方根、求绝对值、实数的分类，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先化简，，再根据整数的定义即可得解； （2）根据负分数的定义即可得解 （3）根据无理数的定义即可得解． 【详解】（1）解：，， 属于整数的有④⑥； （2）解：属于负分数的有②⑤； （3）解：属于无理数的有③⑦． 类型三、实数与数轴 实数与数轴上点的关系： 1.每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来， 2.数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数， 3.实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个实数。 例3．（23-24七年级下·云南临沧·期末）如图，在数轴上，与之间的整数一共有（   ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【答案】B 【分析】此题考查了无理数的估算能力，运用算术平方根的知识进行估算、求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴与之间的整数是， 即与之间的整数一共有6个， 故选：B． 变式3-1．（24-25七年级下·山西大同·期末）如图所示，数轴上表示3、的对应点分别为C、B，点C是的中点，则点A表示的数是（    ） A．－ B．6－ C．－3 D．＋3 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴，数轴上两点间的距离，正确理解数轴上两点间的距离是解题的关键． 设A表示的数是a，根据点C是的中点，得，求解即可． 【详解】解：设A表示的数是a， ∵点C是的中点， ∴ 解得：， 故选：B． 变式3-2．（24-25七年级下·陕西榆林·期末）如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若，则数轴上点所表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根，实数与数轴，数轴上两点之间的距离，由题意得出，再利用数轴上两点之间的距离公式计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键． 【详解】解：∵正方形的面积为， ∴， ∴， ∵点表示的数为， ∴数轴上点所表示的数为， 故选：． 变式3-3．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）如图，面积为10的正方形的顶点在数轴上，点表示的数为1，若点在数轴上（点在点的右侧），，则点所表示的数为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查算术平方根的应用，实数与数轴，解题的关键是根据正方形的面积求出．先根据正方形的面积求出正方形的边长，即可求出，根据点A表示的数为1，且点M在点A的右侧，即可求出M点所表示的数． 【详解】解：∵正方形的面积为10， ∴， ∵， ∴， ∵点A表示的数为1，且点M在点A的右侧， ∴M点所表示的数为． 故答案为：． 类型四、无理数的大小估算 例4．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）已知（其中、为最接近的正整数），则的值为（   ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】C 【分析】本题主要考查估算无理数的大小，代数式求值，根据计算m、n的值是解决本题的关键． 估算无理数的大小，求得m、n的值即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，、为最接近的正整数， ∴，， ∴ 故选：C． 变式4-1．（24-25七年级下·湖北宜昌·期末）实数与数轴上的点一一对应．如图，A，B，C，D是数轴上的四个点，这四个点中最适合表示的是（   ）． A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查估算无理数的大小，数轴表示数，掌握算术平方根的定义以及数轴表示数的方法是正确解答的关键，根据算术平方根的定义估算无理数的大小，再由点A、B、C、D在数轴上的位置进行判断即可． 【详解】解：， ， ， 又， ， 由点A、B、C、D在数轴上的位置可知，点C最适合表示， 故选：C． 变式4-2．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）比较大小： ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查实数大小比较，利用平方法比较实数大小即可，熟练掌握平方法比较实数的大小是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 变式4-3．（24-25七年级下·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习） ． 【答案】 【分析】本题主要考查了无理数估算、取绝对值等知识点，掌握无理数估算成为解题的关键． 先估计的大小，然后确定的正负，最后取绝对值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 类型五、非负数的性质 非负数的基础性质 1. 非负数的 “最小值是 0” 所有非负数里，最小的数是 0，没有比 0 更小的非负数。 例：0 是最小的非负数，2、5、这些正数都比 0 大。 2. 非负数 + 非负数 = 非负数 两个或多个非负数相加，结果还是非负数（不会变成负数）。 若相加的非负数里有 0，结果可能是 0 或正数：比如0 + 3 = 3（正数）、0 + 0 = 0； 若相加的全是正数（非负数里的 “正数部分”），结果一定是正数。 3. 非负数 × 非负数 = 非负数 两个或多个非负数相乘，结果还是非负数（不会变成负数）。 若相乘的非负数里有 0，结果一定是 0； 若相乘的全是正数，结果一定是正数。 二、最常用的 “核心性质”（解题必用） 如果几个非负数的和等于 0，那么这几个非负数 “全都是 0”.（原理：非负数最小是 0，要让它们加起来为 0，每个都不能比 0 大，只能全是 0） 关键：先知道哪些数是 “常见非负数”七年级常考的非负数有 3 类，记牢它们： 绝对值：比如|a|（任何数的绝对值都是非负数，比如|2|=2、|-3|=3、|0|=0）； 平方数：比如a2（任何数的平方都是非负数，比如22=4、(-3)2=9、02=0）； 算术平方根：比如 . 例5．（2025·湖北·模拟预测）已知、均为实数且与互为相反数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了非负数的性质，相反数的性质，熟练掌握算术平方根的非负性是解题的关键． 根据相反数的性质得，再根据算术平方根的非负性和非负数的性质得出，，从而可求出a 、b的值，进而可求解． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴ ∴，， 解得：，． ∴． 故选：B． 变式5-1．（24-25七年级下·吉林·期中）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了非负数的性质，直接利用非负数的性质得出，，的值，进而得出答案，掌握非负数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，，， ∴， 故选：． 变式5-2．（24-25七年级下·天津·阶段练习）已知，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，绝对值的非负性，求平方根，先根据非负数的性质求出，，再代入所求代数式，最后根据平方根的定义计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴的平方根为． 变式5-3．（24-25七年级下·江西宜春·期末）已知． (1)求a的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是算术平方根的非负性、平方根的概念，掌握被开方数是非负数是解题的关键． （1）根据算术平方根的非负性列出不等式，解不等式求出a， （2）求出b，根据平方根的概念计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， 解得： ，， . （2）解：∵， ∴， ∴， ∵的平方根是， ∴的平方根是． 类型六、立方根与立方根的应用 1立方根的定义：如果一个数x的立方等于，这个数叫做的立方根（也叫做三次方根），即如果，那么叫做的立方根。求一个数的立方根的运算，叫做开立方。 2一个数的立方根，记作，读作：“三次根号”，其中叫被开方数，3叫根指数，不能省略，若省略表示平方。 3 一个正数有一个正的立方根；0有一个立方根，是它本身；一个负数有一个负的立方根；任何数都有唯一的立方根。 4利用开立方和立方互为逆运算关系，求一个数的立方根，就可以利用这种互逆关系，检验其正确性，求负数的立方根，可以先求出这个负数的绝对值的立方根，再取其相反数，即。 例6．（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）的立方根与的平方根之和是（    ） A．0 B．6 C．0或－6 D．0或6 【答案】C 【分析】此题考查求一个数的立方根，平方根，化简算术平方根，先求出的立方根，的平方根，再计算加法即可． 【详解】解：的立方根是，的平方根是 ∴的立方根与的平方根之和为或， 故选：C． 变式6-1．（24-25七年级下·湖北襄阳·期中）已知球体的体积，若一个球的体积，则它的半径 ． 【答案】6 【分析】本题考查了立方根的应用，熟记立方根的定义是解题的关键； 根据球体的体积代入公式，再根据立方根计算即可得解． 【详解】解：∵球体的体积公式为，球的体积， ∴， ∴ 故答案为：6． 变式6-2．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）（1）化简：． （2）已知的平方根为，求的立方根． 【答案】（1）；（2）3 【分析】（1）先根据立方根和算术平方根的性质化简，再计算即可； （2）先根据平方根的意义求出，再根据立方根的定义计算即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）∵的平方根为， ∴， ∴， ∴， ∴的立方根为． 类型七、程序设计与实数计算 例7．（24-25七年级下·湖北恩施·阶段练习）小明是一个电脑爱好者，设计了一个程序如图，当输入x的值是有理数64时，输出的y的值是（    ）． A．8 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数的判断和求一个数的算术平方根和立方根，正确按照流程图顺序计算是解题的关键．根据算术平方根和立方根的定义按照流程图顺序计算即可． 【详解】解：64的算术平方根是8，是有理数， 故将8取立方根为2，是有理数， 将2取算术平方根得，是无理数， 故选：D． 变式7-1．（23-24七年级下·甘肃武威·期中）根据图中的程序，当输入为时，输出的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了与流程图有关的实数计算，立方根，算术平方根，无理数，先把输入，计算出的值，若结果为无理数则输出结果，若结果为有理数，继续把的值输入进行计算，如此反复直至的结果为无理数即可得到答案，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：当输入为时， ，是有理数， 当输入为时， ，是有理数， 当输入为时， ，是无理数， ∴输出的值是， 故选：． 变式7-2．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）在如图所示的运算程序中，输入的值是时，输出的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了程序运算，算术平方根、立方根及有理数和无理数，按照运算程序逐步运算即可得到答案，看懂运算程序是解题的关键． 【详解】解：当时，算术平方根为，是有理数，再取立方根，是有理数，倒回再取的算术平方根为，是无理数， ∴输出的值为， 故选：． 变式7-3．（24-25七年级上·浙江杭州·开学考试）有一个数值转换器原理如图． (1)当时，y是多少？ (2)输入的x能是任何实数吗？为什么？ (3)是否存在这样的x的值，输入计算后始终在进行循环计算而输不出y的值？如果存在，请写出所有x的值；如果不存在，请说明理由； (4)若输出的y是，试判断输入的x值是否唯一？若不唯一，请写出其中的两个． 【答案】(1) (2)输入的x不能是任何实数，理由见解析 (3)或时始终在进行循环计算而输不出y的值 (4)若输出的y是，则输入的x值不唯一；如：、． 【分析】本题主要考查了算术平方根、代数式求值、无理数等知识点，掌握无理数的定义成为解题的关键． （1）把代入程序中计算即可确定出y的值； （2）根据算术平方根的有意义的条件即可解答； （3）根据程序确定出x的值即可； （4）举反例即可解答； 【详解】（1）解：当时，， ，4不是无理数不能输出 ，2不是无理数不能输出 是无理数，输出． 所以输出y是． （2）解：输入的x不能是任何实数，理由如下： 当x是正数时，x与的乘积为负数，负数没有算术平方根，所以输入的x不能是任何实数． （3）解：存在x的值输入计算后始终在进行循环计算而输不出y的值； ∵0和1的算术平方根是0和1 ∴当或，即或时始终在进行循环计算而输不出y的值． （4）解：若输出的y是，则输入的x值不唯一；如：，，3再次输出为；，，，3再次输出为；所以输入x值不唯一． 类型八、无理数的整数部分与小数部分 例8．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知小数部分是m， 小数部分是n，且，则 ． 【答案】2或0 【分析】本题考查了无理数的有关运算； 根据的取值范围得出，，再根据平方根的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴的小数部分是，的小数部分是， ∴，， ∴， ∴， ∴或0， 故答案为：2或0． 变式8-1．（21-22七年级下·河南驻马店·阶段练习）已知＝3，3a﹣b+1的平方根是±4，c是的整数部分，求a+b+2c的平方根． 【答案】±5 【分析】分别根据算术平方根、平方根的意义，无理数的估算求出a、b、c的值，即可求出a+b+2c的值，根据平方根的意义即可求解． 【详解】解：∵＝3， ∴2a﹣1＝9， 解得：a＝5， ∵3a﹣b+1的平方根是±4， ∴15﹣b+1＝16， 解得：b＝0， ∵， ∴10＜＜11， ∴c＝10， ∴a+b+2c＝5+0+2×10＝25， ∴a+b+2c的平方根为＝±5． 【点睛】本题考查了算术平方根、平方根的意义，无理数的估算，熟知算术平方根、平方根的意义是解题关键． 变式8-2．（24-25七年级下·天津静海·阶段练习）已知的平方根是和，的算术平方根是，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，，； (2)． 【分析】本题考查了算术平方根、平方根的定义、无理数估算，属于基础题型，熟练掌握这三者是关键． （1）根据平方根和算术平方根的定义即可求出、，估算出的范围即可求出； （2）将、、的值代入所求式子计算，再根据平方根的定义解答． 【详解】（1）解：∵的平方根是和，的算术平方根是， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵是的整数部分， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴的平方根为． 类型九、实数的混合运算 例9．（24-25七年级下·广东江门·阶段练习）计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算、有理数的乘方、化简绝对值、立方根、算术平方根，熟练掌握算术平方根和立方根的定义是解题的关键．先计算理数的乘方、化简绝对值、立方根、算术平方根，再计算加减． 【详解】解： ． 变式9-1．（24-25七年级下·吉林·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先根据立方根、算术平方根、绝对值的意义化简，再算加减法即可． 【详解】解： ． 变式9-2．（24-25七年级下·辽宁盘锦·阶段练习）计算 (1)； (2)． 【答案】(1)2 (2)9 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，包括乘方，算术平方根，绝对值，立方根等，解题的关键是熟练掌握各运算法则． （1）先计算算术平方根、绝对值和乘方，再计算乘法，最后计算加减法即可； （2）先计算算术平方根和立方根，再计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 类型十、实数运算相关的规律探究问题 例10．（24-25八年级下·河北保定·期中）如图，这是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第10行从左向右数第7个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根，观察数据排列规律，确定出前（）行的数据的个数是解题的关键． 观察不难发现，被开方数是从1开始的连续自然数，每一行的数据的个数是从2开始的连续偶数，求出行的数据的个数，再加上得到所求数的被开方数，然后写出算术平方根即可。 【详解】前行的数据的个数为， 所以，第10行从左到右数第7个数的被开方数是， 所以，第10行从左向右数第7个数是． 故选B． 变式10-1．（24-25七年级下·贵州黔东南·阶段练习）阅读下列解题过程，解答问题． ； ； ； … (1) ， ； (2)观察上面的解题过程，求（为自然数）； (3)计算： ． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了数字的规律探索，算术平方根，熟练掌握运算法则，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据题意结合算术平方根的运算法则计算即可得解； （2）根据题干所给例子得出结论即可； （3）根据（2）中得出的规律计算即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：，； （2）解：由题意可得：（为自然数）； （3）解：． 类型十一、新定义下的实数计算 例10．（25-26八年级上·全国·随堂练习）对实数，定义运算，已知，则的值为（   ） A．4 B． C． D．5或 【答案】C 【分析】此题考查实数运算，根据新定义分别列式计算求出m的值，再判断即可得到答案 【详解】由题意可分两种情况讨论： ①当时，有， 解得，不符合， 此种情况不符合题意； ②当时，有，解得． ，舍去，即． 故选：C． 变式11-1．（22-23七年级下·广西柳州·阶段练习）定义新运算“”的运算法则为：，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算． 先计算出的值，再计算的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 变式11-2．（24-25七年级下·重庆渝中·期末）若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“完美实数”．若是“完美实数”，则 ；若与都是“完美实数”，则的平方根为 ． 【答案】 或 0或 【分析】本题考查了平方根，算术平方根，立方根的计算，掌握其计算方法是关键． 根据算术平方根，立方根的计算方法求解即可． 【详解】解：一个实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“完美实数”， ∵的算术平方根是，的立方根是， ∴这个实数可以是， ∴当时，， 当时，， ∴或； 若与都是“完美实数”， ∴或或或， 解得，或或或， ∴对应的或或或， ∴对应的平方根为或或或， 综上所述，的平方根为或； 故答案为：①或；② 或． 变式11-3．（23-24七年级上·广东梅州·阶段练习）类似于有理数的乘方，我们把不为0的相同的数连续相除叫作除方，如把记作，把记作．一般地，把记作． (1)计算：__________；__________；__________； (2)有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算．请尝试将有理数的除方运算转化为乘方运算，归纳如下：若是非0有理数，则__________； (3)计算：． 【答案】(1)，1，4 (2) (3)152 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则以及新运算成为解题的关键． （1）根据题中的新定义计算即可解答； （2）根据有理数除法运算法则即可解答； （3）利用（2）得出的规律计算即可． 【详解】（1）解：；；． 故答案为：，1，4． （2）解： ． 故答案为：． （3）解： ． 1．（24-25七年级下·安徽六安·期末）如图，若数轴上点表示的数为无理数，则该无理数可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴与无理数，绝对值，无理数的估算，根据数轴可得点在和之间，再进行无理数的估算即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、是有理数，不符合题意； 、是有理数，不符合题意； 、由，不符合题意； 、∵， ∴，符合题意； 故选：． 2．（24-25七年级下·北京朝阳·期末）实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，若，且b是无理数，则b的值可以是（    ） A． B． C．－ D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴、无理数的估算等知识点，掌握无理数的估算方法成为解题的关键． 由数轴可得，再估算出，，，再结合题意即可解答． 【详解】解：由数轴可得，， ∴ ∵，，， ∴，，， ∴b的值可以是． 故选：B． 3．（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）如图，正方形的面积为7，顶点A在数轴上表示的数为，若点E在数轴上（点E在点A的左侧），且，则点E所表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根，实数与数轴，先求出正方形的边长，进而根据两点间的距离求出点E所表示的数即可． 【详解】解：∵正方形的面积为7， ∴， ∵顶点A在数轴上表示的数为， ∴点E所表示的数为； 故答案为：． 4．（24-25七年级下·云南昆明·期中）已知，都为实数，若，则 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了非负数的性质、算术平方根、有理数乘方等知识点，掌握几个非负数的和为，则这几个非负数都为是解题的关键． 根据非负数的性质得到关于、的等式，求得、的值，然后代入代数式求解即可． 【详解】解：∵， ∴，，即，， ． 故答案为：． 5．（24-25七年级下·山东济宁·期中）为宣传某地旅游资源，促进旅游业发展，某中学课外活动小组制作了精美的景点卡片，并为每一张卡片制作了一个特色的包装封皮．A小组成员制作正方形卡片，B小组成员制作长方形封皮． 课题 某景点卡片及封皮制作 图示 相关数据及说明 正方形卡片的面积为，长方形封皮的长与宽的比为2∶1，面积为． 结果 判断 请通过计算，判断卡片能否直接装进长方形封皮中． 【答案】正方形卡片能够直接装进长方形封皮中 【分析】此题考查了平方根的应用．设长为，则宽为．根据面积为列方程，利用平方根的意义解方程，比较后即可得到结论． 【详解】解：设长为，则宽为．根据题意，得 ， 或（负值舍去）． ∵正方形卡片的面积为， ∴正方形卡片的边长为． ∵， ∴正方形卡片能够直接装进长方形封皮中． 6．（24-25八年级上·湖南岳阳·期末）已知实数，，满足：，求： (1)，，的值． (2)的平方根． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查偶次幂、绝对值及算术平方根的非负性、平方根，熟练掌握偶次幂、绝对值及算术平方根的非负性是解题的关键； （1）根据题意易得，，，然后进行求解即可； （2）根据（1）可得的值，然后根据平方根可进行求解． 【详解】（1）解：∵，且，，， ∴，，， 解得：； （2）解：由（1）得：， ∴， ∴9的平方根为， 即的平方根为． 7．（24-25七年级下·广东江门·阶段练习）观察下表，并解答下列问题． … 0.000001 0.001 1 1000 1000000 … … 0.01 1 100 … (1)表格中______，______； (2)若，，则______（用含有的代数式表示）； (3)已知，，. ①_____，______； ②用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为3000立方米，则需要多大面积的铁皮？（参考数据：，，） 【答案】(1)0.1；10 (2) (3)①6.694； 0.3107②需要大约1248平方米的铁皮 【分析】本题主要考查立方根的估算与运用，理解表格信息，找出规律是解立方根估算的关键，掌握体积的计算公式，立方根的估算方法是解实际问题的关键． （1）直接计算即可； （2）根据表格信息中小数点的移动情况分析即可求解； （3）①结合表格信息，对算式进行变形分析即可； ②设正方体的棱长为a米，由体积公式，立方根的估算得到棱长，再根据表面积的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：根据被开方数的小数点每向右移动3位，相应的立方根的小数点就向右移动1位可得： ；； 故答案为：0.1；10； （2）解：∵，， ∴， 故答案为：； （3）解：①； ； 故：6.694；0.3107； ②设正方体的棱长为a米，则， ∴， ∴（平方米）， 答：需要大约1248平方米的铁皮． 8．（24-25七年级下·北京·期中）如图是一个数值转换器（） (1)当输入的x为时，输出的y值是______； (2)若输入实数x后，始终输不出y值，则所有满足要求的x的值为______； (3)若输出的y是，求x的负整数值． 【答案】(1)； (2)1，2，3； (3)或． 【分析】本题主要考查了算术平方根与实数的概念，熟练掌握其算术平方根与实数定义是解题的关键． （1）由题意利用框图中的算法，直接计算求值即可； （2）根据0和1的算术平方根是它本身，确定的值，进而求得的值即可； （3）由是逆推的值，进而求得的值即可． 【详解】（1）解：当时，，，，是无理数， ∴ 当输入的为时，输出的值是； 故答案为：； （2）∵ 0和1的算术平方根是它本身， ∴， 解得， ， 解得或， ∴ 所有满足要求的的值为1，2，3； 故答案为：1，2，3； （3）若第1次运算是， ∴， ∴， 解得或， ∵ 为负整数， ∴ 输入的值为； 若第2次运算是， ∴，， ∴， 解得或， ∵ 为负整数， ∴ 输入的值为， ∴， ∴的负整数值均为或． 9．（22-23七年级上·广东潮州·期中）我们来看下面的两个例子： ，， 和都是的算术平方根，而的算术平方根只有一个， 所以． ， 和都是的算术平方根， 而的算术平方根只有一个，所以 （填空） （1）猜想：一般地，当时，与之间的大小关系是怎样的？ （2）运用以上结论，计算：的值． 【答案】（1）；（2）120 【分析】此题主要考查了实数运算以及算术平方根，正确由特殊值分析式子变化规律是解题关键． （1）直接利用算术平方根的定义得出答案； （2）直接利用得出答案． 【详解】解：， 和都是的算术平方根， 而的算术平方根只有一个，所以； （1）根据题意，当时， 则； （2）． 10．（23-24七年级下·河南商丘·期中）已知的算术平方根是5，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【分析】根据算术平方根及平方根确定，，再由估算算术平方根的整数部分确定，将其代入代数式，然后计算平方根即可． 【详解】解：的算术平方根是5， ， 解得：． ∵的平方根是， ， 解得：． 是的整数部分，而， ， ， 的平方根为． 【点睛】此题题目主要考查算术平方根及平方根，估算算术平方根的整数部分，求代数式的平方根，熟练掌握这些基本运算是解题关键． 11．（21-22七年级下·甘肃陇南·阶段练习）阅读下面的文字，解答问题：大家都知道是无理数，而且，即，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：①∵，即，∴的整数部分为，小数部分为．②∵，即，∴的整数部分为，小数部分为． 请解答： 如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； 【答案】1 【分析】根据题中的例子求出a，b，再代入计算即可． 【详解】∵，即， ∴的整数部分为3，小数部分为，即 ∵，即， ∴的整数部分为4，即b=4． ∴， 即的值是1． 【点睛】本题考查与算术平方根的整数部分有关的计算，掌握确定无理数的估算方法是解题的关键． 12．（24-25七年级下·广西崇左·阶段练习）已知的两个平方根分别是和，的立方根是2． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】此题考查平方根，立方根，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）根据平方根定义，立方根定义列得，，即可求出，，的值； （2）先求出的值，再利用平方根定义求出答案即可． 【详解】（1）解：依题意得， 解得         故 ∴， 解得 由题意， 解得； （2）∵， ，6的平方根为 ， 所以的平方根为． 13．（24-25七年级下·贵州黔西·期末）已知、是数轴上的两个实数，且满足． (1)求和的值． (2)如图，面积为5的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为．以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点（点在点的左侧）求点所表示的数． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查的是非负数的性质，算术平方根的应用，实数与数轴； （1）根据非负数的性质求解，即可； （2）求解正方形的边长为，结合点表示的数是2，从而可得答案. 【详解】（1）解：， ，， ，． （2）解：正方形的面积为5， ， 以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点（点在点的左侧）， ， 点表示的数是2， 点所表示的数为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 实数及计算十一类题型 典例详解 类型一、平方根与平方根的应用 类型二、实数的分类 类型三、实数与数轴 类型四、无理数的大小估算 类型五、非负数的性质 类型六、立方根与立方根的应用 类型七、程序设计与实数计算 类型八、无理数的整数部分与小数部分 类型九、实数的混合运算 类型十、实数运算相关的规律探究问题 类型十一、新定义下的实数计算 压轴专练 类型一、平方根与平方根的应用 平方根和算术平方根的概念及其性质： （1）概念：如果，那么是的平方根，记作：；其中叫做的算术平方根。 （2）性质：①当≥0时，≥0；当＜０时，无意义； ②＝；③。 （3）开平方：求一个数的平方根的运算，叫做开平方，期中叫做被开方数。 例1．（20-21八年级上·广东河源·阶段练习）若是m的一个平方根，则的平方根是 ． 变式1-1．（24-25七年级下·天津河东·期末）如果是2025的两个平方根，那么 ． 变式1-2．（21-22七年级下·吉林四平·期中）已知的平方根是，的算术平方根是4． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 变式1-3．（24-25七年级下·湖北黄石·期中）已知的平方根为，的算术平方根为． (1)求的值； (2)求的平方根． 变式1-4．（24-25七年级下·江西南昌·期中）为宣传南昌旅游资源，促进旅游业发展，南昌某中学课外活动小组制作了精美的景点卡片，并为每一张卡片制作了一个特色的包装封皮．A小组成员制作正方形卡片，B小组成员制作长方形封皮．请你通过计算，判断卡片能否直接装进长方形封皮中． 课题 景点卡片及封皮制作 图示、数据及计算 图示                  相关数据及说明 正方形卡片的面积为，长方形封皮的长与宽的比为，面积为． 计算结果 …… (1)长方形封皮的长和宽分别是多少？ (2)正方形卡片能否装进长方形封皮内？请说明理由． 类型二、实数的分类 实数分类 a 按定义分 b 按大小分: 实数 实数 例2．（24-25八年级下·山东聊城·阶段练习）在，，，，，，2.010010001…中，有理数有（   ）个 A． B． C． D． 变式2-1．（24-25七年级下·河北沧州·阶段练习）下面是王老师在数学课堂上给同学们出的一道数学题，要求对以下实数进行分类填空：，0，0.3（3无限循环），，18，，，1.21（21无限循环），3.14159，1.21，，，0.8080080008…， （1）有理数集合：_____； （2）无理数集合：_____； （3）非负整数集合：_____； 王老师评讲的时候说，每一个无限循环的小数都属于有理数，而且都可以化为分数． 比如：0.3（3无限循环）=，那么将1.21（21无限循环）化为分数，则1.21（21无限循环）=_____（填分数） 变式2-2．（24-25七年级下·河南焦作·期中）把下列各实数的序号填在相应的大括号内． ①，②，③，④（相邻两个1之间依次增加一个1），⑤，⑥，⑦，⑧． 整数：{                        …}； 非负实数：{                        …}； 无理数：{                        …}． 变式2-3．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）有下列各数： ①；②；③；④0；⑤；⑥；⑦0.313113113…（每两个3之间依次多一个1）． (1)属于整数的有______．（填序号） (2)属于负分数的有______．（填序号） (3)属于无理数的有______．（填序号） 类型三、实数与数轴 实数与数轴上点的关系： 1.每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来， 2.数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数， 3.实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个实数。 例3．（23-24七年级下·云南临沧·期末）如图，在数轴上，与之间的整数一共有（   ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 变式3-1．（24-25七年级下·山西大同·期末）如图所示，数轴上表示3、的对应点分别为C、B，点C是的中点，则点A表示的数是（    ） A．－ B．6－ C．－3 D．＋3 变式3-2．（24-25七年级下·陕西榆林·期末）如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若，则数轴上点所表示的数为（    ） A． B． C． D． 变式3-3．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）如图，面积为10的正方形的顶点在数轴上，点表示的数为1，若点在数轴上（点在点的右侧），，则点所表示的数为 ． 类型四、无理数的大小估算 例4．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）已知（其中、为最接近的正整数），则的值为（   ） A．13 B．14 C．15 D．16 变式4-1．（24-25七年级下·湖北宜昌·期末）实数与数轴上的点一一对应．如图，A，B，C，D是数轴上的四个点，这四个点中最适合表示的是（   ）． A．点 B．点 C．点 D．点 变式4-2．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）比较大小： ．（填“”“”或“”） 变式4-3．（24-25七年级下·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习） ． 类型五、非负数的性质 非负数的基础性质 1. 非负数的 “最小值是 0” 所有非负数里，最小的数是 0，没有比 0 更小的非负数。 例：0 是最小的非负数，2、5、这些正数都比 0 大。 2. 非负数 + 非负数 = 非负数 两个或多个非负数相加，结果还是非负数（不会变成负数）。 若相加的非负数里有 0，结果可能是 0 或正数：比如0 + 3 = 3（正数）、0 + 0 = 0； 若相加的全是正数（非负数里的 “正数部分”），结果一定是正数。 3. 非负数 × 非负数 = 非负数 两个或多个非负数相乘，结果还是非负数（不会变成负数）。 若相乘的非负数里有 0，结果一定是 0； 若相乘的全是正数，结果一定是正数。 二、最常用的 “核心性质”（解题必用） 如果几个非负数的和等于 0，那么这几个非负数 “全都是 0”.（原理：非负数最小是 0，要让它们加起来为 0，每个都不能比 0 大，只能全是 0） 关键：先知道哪些数是 “常见非负数”七年级常考的非负数有 3 类，记牢它们： 绝对值：比如|a|（任何数的绝对值都是非负数，比如|2|=2、|-3|=3、|0|=0）； 平方数：比如a2（任何数的平方都是非负数，比如22=4、(-3)2=9、02=0）； 算术平方根：比如 . 例5．（2025·湖北·模拟预测）已知、均为实数且与互为相反数，则（   ） A． B． C． D． 变式5-1．（24-25七年级下·吉林·期中）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 变式5-2．（24-25七年级下·天津·阶段练习）已知，求的平方根． 变式5-3．（24-25七年级下·江西宜春·期末）已知． (1)求a的值； (2)求的平方根． 类型六、立方根与立方根的应用 1立方根的定义：如果一个数x的立方等于，这个数叫做的立方根（也叫做三次方根），即如果，那么叫做的立方根。求一个数的立方根的运算，叫做开立方。 2一个数的立方根，记作，读作：“三次根号”，其中叫被开方数，3叫根指数，不能省略，若省略表示平方。 3 一个正数有一个正的立方根；0有一个立方根，是它本身；一个负数有一个负的立方根；任何数都有唯一的立方根。 4利用开立方和立方互为逆运算关系，求一个数的立方根，就可以利用这种互逆关系，检验其正确性，求负数的立方根，可以先求出这个负数的绝对值的立方根，再取其相反数，即。 例6．（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）的立方根与的平方根之和是（    ） A．0 B．6 C．0或－6 D．0或6 变式6-1．（24-25七年级下·湖北襄阳·期中）已知球体的体积，若一个球的体积，则它的半径 ． 变式6-2．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）（1）化简：． （2）已知的平方根为，求的立方根． 类型七、程序设计与实数计算 例7．（24-25七年级下·湖北恩施·阶段练习）小明是一个电脑爱好者，设计了一个程序如图，当输入x的值是有理数64时，输出的y的值是（    ）． A．8 B． C．2 D． 变式7-1．（23-24七年级下·甘肃武威·期中）根据图中的程序，当输入为时，输出的值是（　　） A． B． C． D． 变式7-2．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）在如图所示的运算程序中，输入的值是时，输出的值是（   ） A． B． C． D． 变式7-3．（24-25七年级上·浙江杭州·开学考试）有一个数值转换器原理如图． (1)当时，y是多少？ (2)输入的x能是任何实数吗？为什么？ (3)是否存在这样的x的值，输入计算后始终在进行循环计算而输不出y的值？如果存在，请写出所有x的值；如果不存在，请说明理由； (4)若输出的y是，试判断输入的x值是否唯一？若不唯一，请写出其中的两个． 类型八、无理数的整数部分与小数部分 例8．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知小数部分是m， 小数部分是n，且，则 ． 变式8-1．（21-22七年级下·河南驻马店·阶段练习）已知＝3，3a﹣b+1的平方根是±4，c是的整数部分，求a+b+2c的平方根． 变式8-2．（24-25七年级下·天津静海·阶段练习）已知的平方根是和，的算术平方根是，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 类型九、实数的混合运算 例9．（24-25七年级下·广东江门·阶段练习）计算： 变式9-1．（24-25七年级下·吉林·阶段练习）计算：． 变式9-2．（24-25七年级下·辽宁盘锦·阶段练习）计算 (1)； (2)． 类型十、实数运算相关的规律探究问题 例10．（24-25八年级下·河北保定·期中）如图，这是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第10行从左向右数第7个数是（   ） A． B． C． D． 变式10-1．（24-25七年级下·贵州黔东南·阶段练习）阅读下列解题过程，解答问题． ； ； ； … (1) ， ； (2)观察上面的解题过程，求（为自然数）； (3)计算： ． 类型十一、新定义下的实数计算 例10．（25-26八年级上·全国·随堂练习）对实数，定义运算，已知，则的值为（   ） A．4 B． C． D．5或 变式11-1．（22-23七年级下·广西柳州·阶段练习）定义新运算“”的运算法则为：，则 ． 变式11-2．（24-25七年级下·重庆渝中·期末）若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“完美实数”．若是“完美实数”，则 ；若与都是“完美实数”，则的平方根为 ． 变式11-3．（23-24七年级上·广东梅州·阶段练习）类似于有理数的乘方，我们把不为0的相同的数连续相除叫作除方，如把记作，把记作．一般地，把记作． (1)计算：__________；__________；__________； (2)有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算．请尝试将有理数的除方运算转化为乘方运算，归纳如下：若是非0有理数，则__________； (3)计算：． 1．（24-25七年级下·安徽六安·期末）如图，若数轴上点表示的数为无理数，则该无理数可能是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·北京朝阳·期末）实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，若，且b是无理数，则b的值可以是（    ） A． B． C．－ D． 3．（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）如图，正方形的面积为7，顶点A在数轴上表示的数为，若点E在数轴上（点E在点A的左侧），且，则点E所表示的数为 ． 4．（24-25七年级下·云南昆明·期中）已知，都为实数，若，则 ． 5．（24-25七年级下·山东济宁·期中）为宣传某地旅游资源，促进旅游业发展，某中学课外活动小组制作了精美的景点卡片，并为每一张卡片制作了一个特色的包装封皮．A小组成员制作正方形卡片，B小组成员制作长方形封皮． 课题 某景点卡片及封皮制作 图示 相关数据及说明 正方形卡片的面积为，长方形封皮的长与宽的比为2∶1，面积为． 结果 判断 请通过计算，判断卡片能否直接装进长方形封皮中． 6．（24-25八年级上·湖南岳阳·期末）已知实数，，满足：，求： (1)，，的值． (2)的平方根． 7．（24-25七年级下·广东江门·阶段练习）观察下表，并解答下列问题． … 0.000001 0.001 1 1000 1000000 … … 0.01 1 100 … (1)表格中______，______； (2)若，，则______（用含有的代数式表示）； (3)已知，，. ①_____，______； ②用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为3000立方米，则需要多大面积的铁皮？（参考数据：，，） 8．（24-25七年级下·北京·期中）如图是一个数值转换器（） (1)当输入的x为时，输出的y值是______； (2)若输入实数x后，始终输不出y值，则所有满足要求的x的值为______； (3)若输出的y是，求x的负整数值． 9．（22-23七年级上·广东潮州·期中）我们来看下面的两个例子： ，， 和都是的算术平方根，而的算术平方根只有一个， 所以． ， 和都是的算术平方根， 而的算术平方根只有一个，所以 （填空） （1）猜想：一般地，当时，与之间的大小关系是怎样的？ （2）运用以上结论，计算：的值． 10．（23-24七年级下·河南商丘·期中）已知的算术平方根是5，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根． 11．（21-22七年级下·甘肃陇南·阶段练习）阅读下面的文字，解答问题：大家都知道是无理数，而且，即，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：①∵，即，∴的整数部分为，小数部分为．②∵，即，∴的整数部分为，小数部分为． 请解答： 如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； 12．（24-25七年级下·广西崇左·阶段练习）已知的两个平方根分别是和，的立方根是2． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 13．（24-25七年级下·贵州黔西·期末）已知、是数轴上的两个实数，且满足． (1)求和的值． (2)如图，面积为5的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为．以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点（点在点的左侧）求点所表示的数． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$