3.1.1 椭圆及其标准方程（课后练习）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册（暑假高一升高二衔接）

课后训—椭圆的方程- 日期：2025. 时长：50-60分钟/次 【题组一 方程表示椭圆】 1．已知方程表示椭圆，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】河北省沧州市部分校联考2024-2025学年高二上学期1月期末数学试题 【分析】利用方程表示椭圆的特征，列式求出的范围. 【详解】方程表示椭圆，则，解得或， 所以实数的取值范围是. 故选：D 2．（多选）已知曲线，则（    ） A．当时，是圆 B．当时，是焦距为4的椭圆 C．当是焦点在轴上的椭圆时， D．当是焦点在轴上的椭圆时， 【答案】AB 【来源】福建省龙岩市名校2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题 【分析】根据条件，利用圆、椭圆的标准方程及椭圆的性质，对各个选项逐一分析判断即可得出结果. 【详解】对于选项A，当时，曲线为，此时曲线表示圆，所以选项A正确； 对于选项B，当时，曲线为，此时曲线为椭圆且椭圆的焦距为，所以选项B正确； 对于选项C，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，所以选项C错误； 对于选项D，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，所以选项D错误， 故选：AB. 【题组二 求椭圆方程】 （待定系数法） 3．求满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)，，焦点在y轴上； (2)，． (3)经过点，两点； 【答案】(1) (2)或 (3) 【来源】内蒙古自治区科尔沁左翼中旗实验高级中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷 【分析】（1）根据求出，结合焦点位置即可求解椭圆标准方程. （2）根据求出，按照焦点位置分类求解即可. （3）由题意确定焦点位置及，即可得解. 【详解】（1）因为，，所以， 因为椭圆焦点在y轴上，所以其标准方程为：； （2）因为，，所以， 因为椭圆焦点位置不确定，所以其标准方程为：或； （3）由题意得P、Q分别是椭圆长轴和短轴上的端点，且椭圆的焦点在x轴上， 所以， 所以椭圆的标准方程为． （4）已知椭圆过点和点，则此椭圆的标准方程是（ ） A． B．或 C． D．以上都不对 【答案】A 【来源】宁夏青铜峡市第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（A） 【分析】根据给定条件设出椭圆方程，将给定点的坐标代入，列出方程组求解即得. 【详解】设椭圆方程为：，因椭圆过点和点， 于是得 ，解得， 所以所求椭圆方程为. 故选：A （由几何关系得基本量） 4．求下列椭圆的方程 （1）已知是椭圆上的动点，，且，则 . 【答案】5 【来源】甘肃省金昌市金川高级中学2025届高三下学期高考冲刺（一）数学试卷 【详解】根据椭圆的定义确定点的轨迹，进而得到椭圆参数，再由椭圆参数关系求参数值. 【分析】因为， 所以点的轨迹是以为焦点的椭圆. 易知，即， 所以. 故答案为：5 （2）已知椭圆的短轴长是长轴长的倍，且上的点到右焦点的最大距离为5．求的方程． 【答案】 【来源】考点1 圆锥曲线 题型1 曲线方程 考法1 求曲线方程 【分析】根据题目得，再结合关系即可得到方程组，解出即可. 【详解】由题意知，，故，即①， 上的点到右焦点的最大距离为②， 由①②得（负值舍去），故，所以的方程为． （3）已知椭圆经过点，且椭圆的离心率． (1)求椭圆的方程； 【答案】(1) 【来源】专项练—解析几何8 【分析】（1）由离心率得，再根据椭圆上的点得，联立方程求得，，即可得解. 【详解】（1）由，得，即，即①． 由椭圆过点知，②．联立①②式， 解得，．故椭圆的方程是． （特殊设法） 5．（1）过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程是 ． 【答案】（1） 【来源】北京市第三十五中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试卷 【分析】根据题意，求出椭圆的标准方程，分析可得其焦点坐标，即可得要求的椭圆的焦点坐标，设其左右焦点为、，由椭圆的定义可得，由椭圆的几何性质可得的值，代入椭圆的标准方程即可得答案． 【详解】根据题意，椭圆的标准方程为， 其焦点坐标为， 则所求的椭圆的焦点坐标为，设其左右焦点为、， 又由椭圆经过点， 则有， 则， 又由，则， 则要求椭圆的方程为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查椭圆的几何性质，涉及椭圆的标准方程，注意先将已知椭圆的方程变为标准方程. （2）求与椭圆的焦点相同，且经过点的椭圆的标准方程. （3）求与椭圆离心率相同，且经过点的椭圆的标准方程. 【答案】（2）；（3）或 【来源】江西省宜春市上高二中2024-2025学年高二上学期11月月考数学试题 【分析】（1）根据给定的椭圆方程设出所求椭圆的方程，将已知点的坐标代入求解即得. （2）求出已知椭圆的离心率，进而求得所求椭圆长短半轴长的关系，按焦点的位置分类设出椭圆方程求解. 【详解】（1）椭圆焦点为，设所求椭圆的标准方程为且， 由点在椭圆上，得，整理得， 而，解得，所以所求椭圆的标准方程为. （2）椭圆离心率， 令所求椭圆的长短半轴长分别为，则，， 当所求椭圆的焦点在轴上时，设椭圆方程为， 于是，解得，方程为； 当所求椭圆的焦点在轴上时，设椭圆方程为， 于是，解得，方程为， 所以所求椭圆的标准方程为或. 【题组三 椭圆的轨迹方程】 6．（1）如图，设A，B的坐标分别为，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为求点M的轨迹方程． 【答案】 【来源】解析几何—回归教材 【分析】设，根据题目中等量关系列式求解即可. 【详解】设点M的坐标为，因为点A的坐标是， 所以直线AM的斜率＝ ， 同理，直线BM的斜率＝ ． 由已知有·＝ ， 化简得点M的轨迹方程为 故答案为： （2）已知点P到定点的距离和它到定直线的距离之比为，记点P的轨迹为曲线C．求曲线C的方程; 【答案】(1) (2) 【来源】安徽省临泉田家炳实验中学2024-2025学年高二上学期1月期末测试数学试卷 【分析】（1）根据条件建立等量关系，化简可得结果. （2）根据条件结合韦达定理可得，求出面积表达式可得结果. 【详解】（1）设，则点P到直线的距离为， 由题意得，，即， 整理化简得，所以曲线C的方程为. （相关点法） 7．在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足.当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹方程（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合）为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】海南省海南华侨中学2024-2025学年高二下学期第二次考试数学试题 【分析】设点、，则，由中点坐标公式可得，由已知条件可得出，将代入等式，化简可得出轨迹的方程； 【详解】设点、，则， 由中点的坐标公式可得，所以，， 因为点在圆上，则，则，整理可得. 因此，轨迹的方程为. 故选：A. 8．如图，轴，垂足为，点在的延长线上，且，当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线，求曲线的方程． 【答案】；. 【来源】四川省乐山第一中学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷 【分析】（1）设椭圆方程为代入点求解即可； （2）利用相关点法计算求轨迹方程即可； 【详解】（1）设椭圆方程为， 则有，解得， 所以所求椭圆方程为. （2）设， 由题意可知， 又P点在圆上， 所以，化简得， 所以曲线的方程为. （定义法） 9．已知点P是：上的动点，点，的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】吉林省长春市东北师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题 【分析】根据，结合椭圆的定义可求出结果. 【详解】解：：的圆心C为，半径， 点，，又的垂直平分线交于点M， ， 的轨迹是以为焦点，长轴长为3的椭圆， ，， ，，， 点M的轨迹方程是 故选： 10．已知动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆的圆心轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】四川省成都市2025届高三第三次诊断性检测数学试题 【分析】分析出，确定圆心M的轨迹为椭圆，求出，得到轨迹方程. 【详解】设圆圆心且与圆切于点P，圆圆心与圆切于点Q， 由题意得：，，其中， 所以， 由椭圆定义可知：动圆圆心C的轨迹为以为焦点的椭圆，设， 则，解得：， 故动圆圆心C的轨迹方程为. 故选：A 试卷第1页，共3页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课后训—椭圆的方程- 日期：2025. 时长：50-60分钟/次 【题组一 方程表示椭圆】 1．已知方程表示椭圆，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（多选）已知曲线，则（    ） A．当时，是圆 B．当时，是焦距为4的椭圆 C．当是焦点在轴上的椭圆时， D．当是焦点在轴上的椭圆时， 【题组二 求椭圆方程】 （待定系数法） 3．求满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)，，焦点在y轴上； (2)，． (3)经过点，两点； (4)过点和点 4．求下列椭圆的方程 （1）点是椭圆上的动点，，且. （2）椭圆的短轴长是长轴长的倍，且上的点到右焦点的最大距离为5． （3）椭圆经过点，且椭圆的离心率． （特殊设法） 5． 求下列椭圆方程 （1）过点且与椭圆有相同焦点的椭圆 ． （2）与椭圆的焦点相同，且经过点的椭圆 （3）与椭圆离心率相同，且经过点的椭圆. 【题组三 椭圆的轨迹方程】 6．（1）如图，设A，B的坐标分别为，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为求点M的轨迹方程． （2）已知点P到定点的距离和它到定直线的距离之比为，记点P的轨迹为曲线C．求曲线C的方程; 7．在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足.当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹方程（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合）为 8．如图，轴，垂足为，点在的延长线上，且，当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线，求曲线的方程． （定义法） 9．已知点P是：上的动点，点，的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 10．已知动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆的圆心轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$