直线与椭圆的位置关系讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

直线与椭圆的位置关系 知识储备 直线与椭圆的位置关系 直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系的判断方法：联立 消去y得到一个关于x的一元二次方程．直线与椭圆的位置关系、对应一元二次方程解的个数及Δ的取值的关系如表所示． 直线与椭圆 解的个数 Δ的取值 两个不同的公共点 两解 Δ>0 一个公共点 一解 Δ＝0 没有公共点 无解 Δ<0 题型一：直线与椭圆的位置关系 1．已知椭圆C：的焦距为，离心率为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线与椭圆C有交点，求m的取值范围. 2．若动直线始终与椭圆有公共点，则的取值范围是 . 3．已知直线：，椭圆：，则“”是“与相切”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4．已知椭圆，直线，则椭圆上的点到直线距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 题型二：椭圆的弦长 焦点弦 5．已知斜率为1的直线过椭圆的上焦点交椭圆于两点，则 ． 6．过点作倾斜角为的直线l与椭圆交于A、B两点，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．设为实数，已知方程表示椭圆. (1)求的取值范围； (2)若，过椭圆的焦点作长轴的垂线，交椭圆于两点，求的长. 8．椭圆，其右焦点为，若直线过点与交于，则最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 9．已知分别为椭圆的左，右焦点，为C上一点，内切圆的半径为 ． 题型三：椭圆的中点弦 10．椭圆中，以点为中点的弦所在直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 11．已知椭圆：，过点的直线与椭圆相交于A，B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为 ． 12．平行四边形内接于椭圆 ，椭圆的离心率为，直线的斜率为1，则直线的斜率为（ ） A． B． C． D．-1 13．直线过椭圆内一点，若点为弦的中点，设为直线的斜率，为直线的斜率，则的值为（ ） A． B． C． D． 14．椭圆与直线相交的弦被M点平分，则M点的坐标为（    ） A． B． C． D． 第 2 页 共 8 页 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 直线与椭圆的位置关系 知识储备 直线与椭圆的位置关系 直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系的判断方法：联立 消去y得到一个关于x的一元二次方程．直线与椭圆的位置关系、对应一元二次方程解的个数及Δ的取值的关系如表所示． 直线与椭圆 解的个数 Δ的取值 两个不同的公共点 两解 Δ>0 一个公共点 一解 Δ＝0 没有公共点 无解 Δ<0 题型一：直线与椭圆的位置关系 1．已知椭圆C：的焦距为，离心率为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线与椭圆C有交点，求m的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由焦距、离心率得、，结合椭圆参数关系即可得方程； （2）联立直线与椭圆方程，利用求参数范围. 【详解】（1）由题意，则，又，则，则， 所以C的标准方程为. （2）联立与，有，整理得， 由题意，，则，则. 2．若动直线始终与椭圆有公共点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】首先得动直线所过的定点，进一步由已知列不等式，求解即可. 【详解】动直线即过定点， 若动直线始终与椭圆有公共点， 则，解得，且， 所以的取值范围是. 故答案为：. 3．已知直线：，椭圆：，则“”是“与相切”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】利用“数形结合”的思想结合“一元二次方程根有一解求解的判别式等于零”求解即可. 【详解】当时，直线：，直线与椭圆相切，当“与相切”时， 联立有，令有， 所以是直线与椭圆相切的充要条件. 故选:C. 4．已知椭圆，直线，则椭圆上的点到直线距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用椭圆的参数方程，设出点的坐标，再利用点到直线的距离公式，表示距离，借助三角函数求得距离的最大值. 【详解】设椭圆上的点，则椭圆上的到直线的距离为， ，其中， 当时，椭圆上的点到直线的距离取最大值. 故选：C 题型二：椭圆的弦长 焦点弦 5．已知斜率为1的直线过椭圆的上焦点交椭圆于两点，则 ． 【答案】 【分析】求得离心率，利用弦长公式可求解. 【详解】，离心率，通径，直线的倾斜角． ． 6．过点作倾斜角为的直线l与椭圆交于A、B两点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】法一：由椭圆的性质，结合直线的参数方程求解即可．法二：由直线与椭圆相交，利用纵坐标与倾斜角来计算长度，也可得到线段之积与纵坐标关系，然后利用韦达定理求解. 【详解】 法一：设直线的参数方程为，其中t为参数， 代入椭圆方程可得：， 则， 则 故选：A. 法二：设直线方程为，与椭圆联立方程组，消去得： ，整理得：， 设交点则有 则 故选：A. 7．设为实数，已知方程表示椭圆. (1)求的取值范围； (2)若，过椭圆的焦点作长轴的垂线，交椭圆于两点，求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆方程的特征直接构造不等式组即可求得结果； （2）由椭圆方程可得焦点坐标，将焦点横坐标代入椭圆方程可求得纵坐标，由此可得结果. 【详解】（1）表示椭圆，，解得：或， 即实数的取值范围为. （2）当时，椭圆方程为：，焦点坐标为， 将代入椭圆方程可得：，即，. 8．椭圆，其右焦点为，若直线过点与交于，则最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】由题意当为通径时，即垂直轴时，其长度最小，由此即可得解． 【详解】要使最小，即为和焦点在的轴垂直的直线截得的线段长． 右焦点为，直线为，联立此直线和椭圆解得交点的纵坐标为， 故最小值为1． 故选：B． 9．已知分别为椭圆的左，右焦点，为C上一点，内切圆的半径为 ． 【答案】 【分析】将点代入得出方程，画出图形，直角三角形中用等面积法求出内切圆半径即可. 【详解】将代入中，， 即，，则椭圆方程为， 如图所示，    易得， 则，，， 因为(为三角形周长，为内切圆半径). 又，代入得，解得. 故答案为： . 题型三：椭圆的中点弦 10．椭圆中，以点为中点的弦所在直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设弦的两个端点分别为、，利用点差法可求得直线的斜率. 【详解】设弦的两个端点分别为、，则， 以上两式两边分别做差得：， 整理得：， 因为为、的中点， 由中点坐标公式得：， 所以，即， 故选：C 11．已知椭圆：，过点的直线与椭圆相交于A，B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为 ． 【答案】 【分析】已知相交弦的中点，用点差法求出斜率，即可求解. 【详解】在椭圆内，过点的直线与椭圆必 相交于A，B两点，设， 且弦AB被点P平分，故直线AB的斜率存在， 两式相减得， ， 直线AB的方程为. 故答案为: 【点睛】本题考查相交弦的中点问题，利用点差法得到中点坐标与相交弦的斜率关系，属于基础题. 12．平行四边形内接于椭圆 ，椭圆的离心率为，直线的斜率为1，则直线的斜率为（ ） A． B． C． D．-1 【答案】A 【分析】利用对称关系转化为中点弦问题即可求解. 【详解】 ， 设 设为中点，由于为中点，所以,所以, 因为在椭圆上， 所以两式相减得, 所以，即. 故选:A. 13．直线过椭圆内一点，若点为弦的中点，设为直线的斜率，为直线的斜率，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点与的坐标，进而可表示与，再结合两点在椭圆上，可得的值. 【详解】设点与， 则，， 所以，， 又点与在椭圆上， 所以，， 作差可得， 即， 所以， 故选：A. 14．椭圆与直线相交的弦被M点平分，则M点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将直线方程与椭圆方程联立，运用韦达定理即可求出中点坐标. 【详解】联立方程 ，得 ， ， 中点M的坐标为 ； 故选：D. 第 2 页 共 8 页 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $$