海南省海口实验中学2024-2025学年高二下学期第一次阶段考试数学试题

海口实验中学 2024-2025学年第二学期第 1次阶段 考试高二年级数学科试卷（答案） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将 答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.已知 ( ) e sinxf x x  ，则  0f  （ ） A 0 B 2 C 1 D． 2 2．在   6 2 0 ax a x       的展开式中，常数项为 75，则 a （ ） A．1 B． 2 C． 3 D． 5 3．某班准备从甲、乙、丙、丁 4位同学中挑选 3人，分别担任 2025年元旦晚会的主持人、 记分员和秩序员，每个职务最多一人担任且每个职务必须有一人担任，已知甲同学不能担任 主持人，则不同的安排方法有（ ）种. A．18 B．24 C．27 D．64 4．若 1x  是函数      3 2 21 1 3 3 x a xf ax a x      的极值点，则 a的值为（ ） A． 2 B．3 C． 2 或 3 D． 3 或 2 5．已知函数 ( )y xf x 的图象如下图所示（其中 ( )f x 是函数 ( )f x 的导函数），下面四个图 象中 ( )y f x 的图象大致是（ ） A． B． C． D． 6．已知函数    ln 2f x ax x   在区间  2,3 上单调递增，则 a的最小值为（ ） A．1 B．2 C． 14 D． 1 5 7．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角 形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（ ） A．在第 10行中第 5个数最大 B．第 2023行中第 1011个数和第 1012个数相等 C． 2 2 2 23 4 5 20C C C C 120     D．第 6行的第 7个数、第 7行的第 7个数及第 8行的第 7个数之和等于 9行的第 8个 数 8.已知函数   1exf x  ，   1 lng x x  ，若    f m g n ，则m n 的最大值是（ ） A. 1 B. 0 C. ln2 1 2   D. 2ln2 3 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分． 9．已知 2( )nx x  的展开式中第 4项与第 5项的二项式系数相等，则（ ） A． 9n  B．所有项的系数和为 1 C．没有常数项 D． 5x 的系数为 14 10．某学校高二年级数学课外活动小组中有男生 5人，女生 3人，则下列说法正确的是（ ） A．从中选 2人，1人做正组长，1人做副组长，共有 64种不同的选法 B．从中选 2人参加数学竞赛，其中男、女生各 1人，共有 15种不同的选法 C．将这 8名学生排成一排，3位女生排在一起的方法共有 4320种 D．8名学生排成一排，已知 5名男生已排好，现将 3名女生插入队伍中，则共有 336 种排法. 11. 对于函数 ln( ) xf x x  ，下列说法正确的是（ ） A. 2(4) (π ) (9)f f f  B. ( )f x 在 2ex  处取得极大值 2 e C. ( )f x 有两个零点 D. 若 2 2( )f x kx x   在 (0, ) 上恒 成立，则 ek  三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。 12．函数 2 1 ln 2 y x x  的单调递减区间为 . 13.若 2 n x x      的展开式的二项式系数和为 32，则展开式中 3x 的系数为 ． 14．已知函数   2(ln ) 1xf x x   ，设 1a b  ，则  f a 和 ( )f b 的大小关系为 ；  f ab 和  f b a 的大小关系为 ． 四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）已知数列 na 的前 n项和为 nnSn  232 ，  * 1 1 n n n b n a a   N ，且数列 nb 的 前 n项和为 nT . (1)求数列 na 的通项公式； (2)求证： 1 1 4 3n T  . 16．（15分）如图，长方体 1 1 1 1ABCD A BC D 中， 1 2 4AB BB BC  ， ，点M 在线段 1 1BC 上， 且 1 1B M  . (1)求证: AM 平面 1BDA ; (2)求平面 1BDA 和平面 1 1C DA 夹角的余弦值. 17．（15分）已知函数   lnf x x x ． (1)求曲线  f x 在点   1, 1f 处的切线方程； (2)已知函数     2 2f xg x x x   ，求  g x 的单调区间； (3)若对于任意 1 ,2e e x      ，都有   ef x ax  （ e为自然对数的底数），求实数 a的取值范 围． 18. （17分）已知椭圆C：   2 2 2 2 1 0 x y a b a b     的右顶点为  2 2,0A ，离心率为 1 2 ． （1）求椭圆C的方程； （2）设椭圆的左焦点和左顶点分别为 F 和 1A，过点 F 的直线与 C交于 M，N两点，直线 1MA 与 2NA 交于点 P，证明：点 P在定直线上． 19．（17 分）已知函数 Raxaexf x  ,2)( . （1）讨论函数 )(xf 的单调性； （2）当 1a 时，求证： 01 8 21)( 2  xxxf . 海口实验中学 2024-2025学年第二学期第 1次阶段 考试高二年级数学科试卷（答案） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将 答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.已知 ( ) e sinxf x x  ，则  0f  （ ） A．0 B．2 C．1 D． 2 【答案】B 【详解】因为 ( ) e sinxf x x  ，所以   e cosxf x x   ，故   00 e cos 0 2f     . 故选：B 2．在   6 2 0 ax a x       的展开式中，常数项为 75，则 a （ ） A．1 B． 2 C． 3 D． 5 【答案】D 【详解】常数项为 2 2 4 2 6 2C 15 75 ax a x        ，解得 5a  . 故选：D. 3．某班准备从甲、乙、丙、丁 4位同学中挑选 3人，分别担任 2025年元旦晚会的主持人、 记分员和秩序员，每个职务最多一人担任且每个职务必须有一人担任，已知甲同学不能担任 主持人，则不同的安排方法有（ ）种. A．18 B．24 C．27 D．64 【答案】A 【详解】若甲被选出，从其它 3位同学选 2位有 23C 3 种， 将甲安排为记分员或秩序员有 1 2C 2 种，另 2人作全排有 2 2A 2 种， 所以共有3 2 2 12   种； 若甲不被选出，只需将选出的 3人作全排列有 33A 6 种， 综上，共有12 6 18  种. 故选：A 4．若 1x  是函数      3 2 21 1 3 3 x a xf ax a x      的极值点，则 a的值为（ ） A． 2 B．3 C． 2 或 3 D． 3 或 2 【答案】B 【解析】      2 22 1 3f x x a x a a       ， 由题意可知        21 0 1 1 2 1 3 0 3f f a a a a            或 2a   ， 当 3a  时，     2 8 9 9 1f x x x x x       ， 令   0f x  ，解得 9x   或 1x  ，函数  f x 在  , 9  和  1, 上单调递增， 令   0f x  ，解得 9 1x   ，函数  f x 在  9,1 上单调递减， 所以 1x  是函数  f x 的极值点符合题意； 当 2a   时，   2 22 1 ( 1) 0f x x x x      ， 所以函数  f x 是R 上的单调递增函数，没有极值，不符合题意，舍去， 综上所述， 3a  .故选：B. 5．已知函数 ( )y xf x 的图象如下图所示（其中 ( )f x 是函数 ( )f x 的导函数），下面四个图 象中 ( )y f x 的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由图可得，当 0x  时，  0,1x 时， ( ) 0f x  ，  f x 为减函数，  1,x  时， ( ) 0f x  ，  f x 为增函数； 当 0x  时，  1,0x  时， ( ) 0f x  ，  f x 为减函数，  , 1x   时， ( ) 0f x  ，  f x 为增函数； 结合选项可知 C符合题意. 故选 C 6．已知函数    ln 2f x ax x   在区间  2,3 上单调递增，则 a的最小值为（ ） A．1 B．2 C． 14 D． 1 5 【答案】C 【分析】由题意可知   1 0 2 f x a x      在区间  2,3 上恒成立，进而分离参数得 1 2 a x   ， 从而由函数    1 , 2,3 2 g x x x    的单调性即可求解. 【详解】由题意可得   1 0 2 f x a x      在区间  2,3 上恒成立， 所以 1 2 a x   ， 设函数    1 , 2,3 2 g x x x    ，易得  g x 在  2,3 上单调递减， 故   12 4 a g  ，即 a的最小值为 1 4 . 故选：C. 7．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角 形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（ ） A．在第 10行中第 5个数最大 B．第 2023行中第 1011个数和第 1012个数相等 C． 2 2 2 23 4 5 20C C C C 120     D．第 6行的第 7个数、第 7行的第 7个数及第 8行的第 7个数之和等于 9行的第 8个 数 【答案】D 【详解】对于 A，因“杨辉三角”的第 10行中第 5个数是 410C ，又 4 5 10 10C C ，故 A错误； 对于 B，因“杨辉三角”的第 2023行中第 1011个数和第 1012个数分别为 10102023C 和 1011 2023C ， 因1010 1011 2023  ，故 1010 10112023 2023C C ，故 B错误； 对于 C，因 3 2 2 2 2 2 2 23 3 4 5 20 4 20 3 4 5C +C C C CCC C C         3 2 2 3 2 3 5 5 20 20 20 21 21 20 19C C C C C C 1330 6            ， 则 2 2 2 2 3 4 5 20 1330 1 1329C C C C       ，故 C错误； 对于 D，因 6 6 66 7 8C C C 1 7 28 36,      而 7 2 9 9C C 36  ，故 D正确. 故选：D. 8.已知函数   1exf x  ，   1 lng x x  ，若    f m g n ，则m n 的最大值是（ ） A. 1 B. 0 C. ln2 1 2   D. 2ln2 3 【解析】B设     0f m g n k   ，则有 1em k  ，解之得 ln 1m k  ， 1 lnn k  ，解之得 1=ekn  ，则有 1=ln 1 ekm n k    令 1( )= ln 1 e ( 0)xh x x x   ，则 e e( )= ( 0) e xxh x x x   令 ( ) e e , ( 0)xt x x x   ，则 ( ) (1 )e 0xt x x     恒成立， 则 0x  时， ( ) e e xt x x  单调递减，又 (1) 0t  ， 则 0 1x  时， ( ) 0t x  ， ( ) 0h x  ， ( )h x 单调递增， 1x  时， ( ) 0t x  ， ( ) 0h x  ， ( )h x 单调递减， 则 max( ) (1) 0h x h  ，则 1ln 1 e kk   的最大值为 0. 故m n 的最大值是 0. 故选 ： B. 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分． 9．已知 2( )nx x  的展开式中第 4项与第 5项的二项式系数相等，则（ ） A． 9n  B．所有项的系数和为 1 C．没有常数项 D． 5x 的系数为 14 【答案】BCD 【详解】因为第 4项与第 5项的二项式系数相等，所以 3 4C Cn n ，解得 7n  ，故 A错误; 令 1x  ，可得展开式中所有项的系数和为 72 1 1 1       ，故 B正确; 在 72( )x x  中，第 1r  项 7 7 7 2 71 7 7 1C 2 ( ) ( ) C 2 ( 1)r r r r r r rr rT x x x                ， 取 2 7 0r   ，即 7 N 2 r   ，所以不存在常数项，故 C正确; 取 2 7 5r   ，即 6r  ，所以 6 1 6 5 57 7C 2 ( 1) 14T x x     ，所以 5x 的系数为 14，故 D正确. 故选：BCD 10．某学校高二年级数学课外活动小组中有男生 5人，女生 3人，则下列说法正确的是（ ） A．从中选 2人，1人做正组长，1人做副组长，共有 64种不同的选法 B．从中选 2人参加数学竞赛，其中男、女生各 1人，共有 15种不同的选法 C．将这 8名学生排成一排，3位女生排在一起的方法共有 4320种 D．8名学生排成一排，已知 5名男生已排好，现将 3名女生插入队伍中，则共有 336 种排法. 【答案】BCD 【详解】选项 A：从 8个人中选 2人，1人做正组长，1人做副组长选法共有 28A 56 种，故 A错误； 选项 B：从 8个人中选 2人参加数学竞赛，其中男、女生各 1人选法共有 1 15 3A A 15 种，故 B正确； 选项 C：选排 3位女生有 33A 种情况，再把 3位女生看成 1个人与 5个男生一起排列有 6 6A 种 情况， 共有 3 6 3 6A A 4320 种情况，故 C正确； 选项 D：8名学生排成一排，已知 5名男生已排好， 先排第一个女生可以排 5个男生中间的 4个空或 2头，有 6种情况， 再排第二个女生可以排到排好的 6个人中间的 5个空或 2头，有 7种情况， 最后排第三个女生可以排到排好的 7个人中间的 6个空或 2头，有 8种情况， 共有6 7 8 336   种情况，故 D正确， 故选：BCD 11. 对于函数 ln( ) xf x x  ，下列说法正确的是（ ） A. 2(4) (π ) (9)f f f  B. ( )f x 在 2ex  处取得极大值 2 e C. ( )f x 有两个零点 D. 若 2 2( )f x kx x   在 (0, ) 上恒 成立，则 ek  【答案】ABD 【解析】 【分析】求导，由 ( )f x 的单调性可得 2(π ) (9)f f ；构造函数 ln( ) , 0xg x x x   ，利用 ( )g x 单调性可求得 2(4) (π )f f ，即可判断 A；根据极值的概念求解可判断 B；求出 ( )f x 的零点 可判断 C；由 2 2( )f x kx x   在 (0, ) 上恒成立，得 2 2(ln 1)xk x   在 (0, ) 上恒成立， 设 2 2(ln 1)( ) xh x x   ，求出 ( )h x 的最大值可判断 D． 【详解】 ln( ) xf x x  ， 0x  ， 2 ln( ) 2 xf x x x   ，令 ( ) 0f x  ，解得 2ex  ， 当 20 ex  时， ( ) 0f x  ， ( )f x 单调递增；当 2ex  时， ( ) 0f x  ， ( )f x 单调递减， 2(π ) (9)f f  ； 2 2 π π ln 4 ln π 2ln π(4) , (π ) 2 f f   ， 构造函数 ln( ) , 0xg x x x   ，则 2 1 ln( ) xg x x   ， 当0 ex  时， ( ) 0g x  ， ( )g x 单调递增；当 ex 时， ( ) 0g x  ， ( )g x 单调递减， (4) (π)g g  ，即 ln 4 ln π 4 π  ，则 ln 4 2ln π 2 π  ，即 2(4) (π )f f ， 所以 2(4) (π ) (9)f f f  ，故 A正确； 当 20 ex  时， ( ) 0f x  ， ( )f x 单调递增；当 2ex  时， ( ) 0f x  ， ( )f x 单调递减， 函数 ( )f x 在 2ex  时取得极大值 2 2(e ) e f  ，故 B正确； ln( ) xf x x  ， 0x  ，令 ( ) 0f x  ，则 ln 0x  ，解得 1x  ，则 ( )f x 只有一个零点，故 C错误； 2 2( )f x kx x   在 (0, ) 上恒成立，故 2 2(ln 1)xk x   在 (0, ) 上恒成立， 设 2 2(ln 1)( ) xh x x   ，定义域为 (0, ) ， 则 3 4ln 2( ) xh x x    ，令 ( ) 0h x  ，解得 1 e x ， 10, , ( ) 0, ( ) e x h x h x        单调递增； ( , ), ( ) 0,e ( )x h x h x   单调递减， max 1( ) e e h x h        ，故 ek  ，故 D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。 12．函数 2 1 ln 2 y x x  的单调递减区间为 . 【答案】  0,1 【解析】   21 1 ( 1)( 1)x x xf x x x x x        ， 0x  ， 由 ( ) 0f x  ，即 ( 1)( 1) 0x x   ，解得 1 1x   ， 0, 0 1x x    ，即函数的单调减区间为  0,1 ， 故答案为：  0,1 13.若 2 n x x      的展开式的二项式系数和为 32，则展开式中 3x 的系数为 ． 【答案】 10 【分析】根据二项式系数和得到 n的值，再根据二项式展开式的通项公式可得到结果. 【详解】因为 2 nx x      的展开式的二项式系数和为 32， 所以 2 32n  ，即 5n  ， 二项式 52x x      展开式的通项公式为  5 5 25 5 2C 2 C r rr r r rx x x             ， 令5 2 3 r ，则 1r  ，所以 3x 的系数为  1 152 C 10    ， 故答案为： 10 . 14．已知函数   2(ln ) 1xf x x   ，设 1a b  ，则  f a 和 ( )f b 的大小关系为 ；  f ab 和  f b a 的大小关系为 ． 【答案】    f a f b    f a f b b a  【解析】由函数   2(ln ) 1xf x x   ，可得   2 2 (ln 1) 0xf x x     ， 所以  f x 在  0,  内单调递减，因为 1a b  ，所以    f a f b ； 设函数     2(ln ) 1g x xf x x   ，可得   2lnxg x x   ， 当  1,x  时，   0g x  ，所以  g x 在  1, 内单调递增， 因为 1a b  ，所以    g a g b ，即    af a bf b ，所以    f a f b b a  ． 故答案为：    f a f b ；    f a f b b a  ． 四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）已知数列 na 的前 n项和为 nnSn  232 ，  * 1 1 n n n b n a a   N ，且数列 nb 的 前 n项和为 nT . (1)求数列 na 的通项公式； (2)求证： 1 1 4 3n T  . 【解析】（1）当 2n  时，     22 1 3 1 13 3 2 2 2n n n n nn na S S n          . 因为 1n  时， 1 1 1a S  ，满足上式， 所以数列 na 的通项公式为 3 2na n  ； （2）    1 1 1 1 1 1 3 2 3 1 3 3 2 3 1n n n b a a n n n n           ， 所以 1 2 3n nT b b b b     1 1 1 1 1 1 1 11 3 4 4 7 7 10 3 2 3 1n n                                   L 1 11 3 3 1 3 1        n n n . 因为 0 3 1 n n   ，所以 1 3 1 3 3 n n n n    ， 所以 3 1 nT . 16．（15分）如图，长方体 1 1 1 1ABCD A BC D 中， 1 2 4AB BB BC  ， ，点M 在线段 1 1BC 上， 且 1 1B M  . (1)求证: AM 平面 1BDA ; (2)求平面 1BDA 和平面 1 1C DA 夹角的余弦值. 【解析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，          10,0,0 , 2,0,0 , 0,4,0 , 0,0,2 , 2,1,2A B D A M ，............2分 设平面 1BDA 的法向量为  , ,m x y z  ，  2,1,2AM   ，    12,4,0 , 0,4, 2BD AD      ， 则有   1 2 4 0 2,1,2 4 2 0 m BD x y m m AD y z                ，..............4分 显然 AM m  ，因此 AM  平面 1BDA ；..................7分 （2）平面 1 1CDA的法向量为  1 1 1, ,n x y z  ，    1 12,0, 2 , 0,4, 2C D AD       ， 则有  1 1 1 1 1 1 2 2 0 2,1,2 4 2 0 n C D x z n n AD y z                 ，....................12分 设平面 1BDA 和平面 1 1CDA 夹角为， 则有  22 2 2 2 2 4 1 4 1cos cos , 92 1 2 2 1 2 m n m n m n                       ..................15分 17．（15分）已知函数   lnf x x x ． (1)求曲线  f x 在点   1, 1f 处的切线方程； (2)已知函数     2 2f xg x x x   ，求  g x 的单调区间； (3)若对于任意 1 ,2e e x      ，都有   ef x ax  （ e为自然对数的底数），求实数 a的取值范 围． 【详解】（1）由   lnf x x x 得，   ln 1f x x  ，  1 1f   ，  1 0f  ， 所以  f x 在点   1, 1f 处的切线方程为 1y x  ．..............................4分 （2）   2 2lng x x x   ， 0x  ，       2 3 3 3 2 21 4 4 x xxg x x x x x       ，令 ( ) 0g x  ，解得 2x  ， 因为  0, 2x 时， ( ) 0g x  ，所以  g x 在  0,2 上单调递减， 因为  2,x   时， ( ) 0g x  ，所以  g x 在  2,  上单调递增， 所以  g x 的单调减区间为  0,2 ，单调增区间为  2,  ．.............................8分 （3）由题可知， 1 ,2e e x      ， 所以 eln e lnx x ax x a x      ，设 e( ) lnh x x x   ， 1 ,2e e x      ， 则 2 2 1 e e( ) xh x x x x     ，令 ( ) 0h x  ，解得 ex ， 当 1 ,e e x      时， ( ) 0h x  ，所以 ( )h x 在 1 ,e e       单调递减， 当  e,2ex 时， ( ) 0h x  ，所以 ( )h x 在  e,2e 单调递增， 又 21 3( ) 1 e (2e) ln 2 e 2 h h      ，即 2( ) e 1h x   ， 所以 2e 1a   ．..............................15分 18. （17分）已知椭圆C：   2 2 2 2 1 0 x y a b a b     的右顶点为  2 2,0A ，离心率为 1 2 ． （1）求椭圆C的方程； （2）设椭圆的左焦点和左顶点分别为 F 和 1A，过点 F 的直线与 C交于 M，N两点，直线 1MA 与 2NA 交于点 P，证明：点 P在定直线上． 【答案】（1） 2 2 1 4 3 x y   （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由椭圆几何性质可求 a b c、 、 的值； （2）联立直线与椭圆方程，设  1 1,M x y ，  2 2,N x y ，消元，列出韦达定理，即可得到 直线 1AM 、 2A N的方程，设直线与的交点坐标为  0 0,P x y ，求出 0x ，即可得解. 【小问 1详解】 依题意可得： 1 2 ce a   ． 又  2 2,0A ，则 2a  ，所以 1c  ，所以 2 12 1 3b    ， 所以椭圆C的标准方程为 2 2 1 4 3 x y   . 【小问 2详解】 由（1）得 ( 1,0)F  ，当直线斜率存在时，设直线 l的方程为 ( 1)( 0)y k x k   ， 由   2 2 1 4 3 1 x y y k x        ，可得  2 2 2 23 4 8 4 12 0k x k x k     ， 设  1 1,M x y ，  2 2,N x y ，显然 0  ， 所以 2 1 2 2 2 8 62 3 4 3 4 kx x k k         ， 2 1 2 2 2 4 12 151 3 4 3 4 kx x k k       ， 故  1 2 1 2 5 4 2 x x x x    ． 由题意可得 1( 2,0)A  ， 2 (2,0)A ，则直线 1AM 的方程为  1 1 2 2 yy x x    ， 直线 2A N 的方程为  2 2 2 2 yy x x    ． 设直线 1AM 与 2A N 的交点坐标为  0 0,P x y ， 则    1 20 0 1 2 2 2 2 2 y yx x x x      ， 故             2 1 1 20 1 2 1 2 0 1 2 2 1 1 2 1 2 2 2 12 2 2 2 2 2 1 2 2 y x k x xx x x x x x y x k x x x x x x                     1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 5 4 2 2 3 4 12 5 9 3 12 34 2 2 2 x x x x x x x xx x x x                     ， 解得 0 4x   ，故直线 1AM 与 2A N 的交点在直线 4x   上． 当直线斜率不存在时，直线 l方程为： 1x   ， 此时， 3 3( 1, ), ( 1, ) 2 2 M N   ， 1 2 3 1( 2), ( 2), 2 2 A M y x A N y x     的方程为： 的方程为： - ( 4,3P  ） P 4x  点 在直线 上. 综上所述，点 P在定直线 4x   上. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲 线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为  1 1,x y ，  2 2,x y ； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 x（或 y）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为 1 2 1 2,x x x x 的形式； （5）代入韦达定理求解. 19．（17 分）已知函数 Raxaexf x  ,2)( . （1）讨论函数 )(xf 的单调性； （2）当 1a 时，求证： 01 8 21)( 2  xxxf . 【答案】（1）解 ∵ ， 当 时， 恒成立， � � 单调递减. 当 a>0时，当 ， ， 时， � � 单调递减； 当 时， � � 单调递增. ∴函数 � � 的单调性为：当 时， � � 在 R 上单调递减； 当 a>0时， � � 在 上单调递减，在 上单调递增. （2）证明 当 a=1时， . 设 ， 则 ， 令 ， 则 ，所以 ℎ � 在 R 上单调递增， 又∵ ， ， ∴存在唯一零点 ，且 ，① 时， ℎ � < 0，即 �' � < 0， � � 单调递减， 时， ℎ � > 0，即 �' � > 0， � � 单调递增， 故 � � 在 处取得极小值，也是最小值. ，将①式代入， 则 ， ∵二次函数 在 0,1 上单调递减， ∴在 x=1时，y有最小值 ， ∴ ，∴ .