利用一元二次方程解决几何问题（教学设计）-2025-2026学年北师大版数学九年级上册

利用一元二次方程解决几何问题 教学设计 教学内容： （1）本节课的主要教学内容是如何利用一元二次方程解决几何问题。 （2）本节课主要介绍了如何找出实际问题中的等量关系，并将其转化为数学问题，进而通过列一元二次方程求解的方法。课程还通过具体例子展示了列方程解应用题的基本步骤，包括审题、设未知数、列方程、解方程以及得出结论。 （3）通过学习本节课，学生能够提高将实际问题转化为数学问题的能力，增强分析问题和解决问题的技巧。此外，通过具体的应用实例，学生可以更深入地理解数形结合的思想，体会到运用代数方法解题的优势，进而培养起对数学学习的兴趣和积极性。 教学目标： （1）会用数学的眼光观察现实世界：通过实际问题情境，学生能够识别几何问题中的数量关系，并运用一元二次方程进行建模。 （2）会用数学的思维思考现实世界：培养学生将几何问题转化为数学问题的能力，通过分析等量关系，合理设未知数并列出方程。 （3）会用数学的语言表达现实世界：学生能够准确表达一元二次方程的解，并解释其在实际问题中的意义，强化数学语言的运用能力。 教学重难点： （1）在实际问题中准确识别并建立等量关系，将几何问题转化为一元二次方程。 （2）根据等量关系合理设未知数，并正确列出一元二次方程，理解方程解的合理性及实际意义。 教学方法： 讲授法、探究法 教学过程： 一、情境导入，初步认识 教师活动： 复习并提问：上学期我们学习了解一元一次方程的应用题，现在谁能回忆一下解这类题目的基本步骤？（生：① 审题，② 设未知数，③ 列方程，④ 解方程，⑤ 答。） 引入新课：通过回顾一元一次方程的应用题解法，引出今天我们要探讨的主题 —— 如何利用 一元二次方程解决几何问题。特别强调在实际问题中寻找 等量关系的重要性。 二、思考探究，获取新知 问题引入 教师活动： 出示问题：假设有一张长 6 尺，宽 3 尺的长方形桌子，现用一块长方形台布铺在桌面上，如果台布的面积是桌面面积的两倍，而且四周垂下的长度相同，请大家试求这块台布的具体尺寸是多少？（精确到 0.1 尺） 引导分析： 设四周垂下的宽度为 x 尺时，可以知道台布的实际尺寸会是 (2x+6) 尺 ×（2x+3）尺。 依据题目条件，即台布面积等于桌面面积的两倍，来建立 数学模型。 板书展示关键步骤与公式： 台布面积计算公式：(6+2x)(3+2x) 桌面面积：6×3=18 平方尺 根据题意形成的一元二次方程：(6+2x)(3+2x)=36 解析方程的过程： 展开方程得到：12x² + 18x - 18 = 0 简化后得：2x² + 3x - 3 = 0 使用求根公式或因式分解法找出 x 的值；预估结果可能会有两个解，其中一个负值解需舍去。 得到：x₁ ≈ 0.84 尺 结论归纳：该台布的最终尺寸大约为 7.7 尺长和 4.7 尺宽。 学生活动： 在老师的指导下尝试独立列出一元二次方程，并按照所学方法求解。 讨论过程中可能遇到的问题如单位处理、判断解的合理性等。 三、运用新知，深化理解 例题解析 教师活动： 指导学生翻开教材第 52 页，阅读例 1 的内容，随后提问有关直角三角形两边之和及面积的问题。 提问具体问题：当直角三角形的两直角边相加为 7 单位长度且其面积为 6 时，斜边长度应该是多少？ 学生尝试解答此问题，而教师则巡视全班检查大家的理解情况。 板书答案：B. 5 单位长度 继续给出一个关于正方形铁皮裁剪后的剩余部分面积变化的情况，引导小组合作讨论解决方案。 描述问题细节：从一块正方形铁皮的一侧切掉一个宽度固定为 2cm 的长条状区域，剩余部分成为一个新的矩形，该矩形的总面积为 48 平方厘米。 学生分组探讨，老师适时介入指导。 板书答案：原始正方形铁皮的面积应为 64 平方厘米 学生活动： 学生分成几个小组讨论每个给定问题的答案。 各个小组推选代表上台演示他们的解题过程，教师对此进行点评。 练习巩固 教师活动： 提供第一个练习题案例：一幅矩形地毯在其周围装饰有宽度一致的花边，中央图案的尺寸为 6 米 ×3 米，整个地毯覆盖面积达到 40 平方米。求花边的宽度。 学生单独或成对尝试完成这道题。 教师板书解题流程： 假设花边宽度为 x 米，则地毯总长宽分别为 (6+2x) 米 和 (3+2x) 米 方程形式：(6+2x)(3+2x)=40 求解方程：x₁ = 1 米 最终结论：花边宽度为 1 米 第二个练习题涉及鸡场围栏设计： 题目描述：一座长方形农场靠着一面墙建造，另外三面使用竹篱笆围起来，总篱笆长度为 35 米。 分别求解以下三点要求： 若围成面积为 150 平方米时，确定鸡场的确切长宽。 假设围墙长度限制为 18 米，在上述条件下调整鸡场尺寸。 探讨能否围建成面积为 160 平方米的鸡场。 学生分组探索答案，教师提供必要的帮助。 板书详细解答过程： 当 BC = x 米，则 AB = (35-2x) 米 方程设置：x × (35-2x) = 150 解析：x₁ = 20 米，x₂ = 15 米 因为墙体长度为 18 米，所以 x = 20 不合逻辑，因此合法解为 x = 15 米 鸡场实际尺寸：长 15 米宽 10 米 对于第三点，设同样的方程但目标面积变大，计算 Δ < 0 无法实现目标面积 学生活动： 学生以小组形式讨论并尝试解答这些应用题。 由每组派出一名同学上台讲解他们的解题思路，其他同学聆听并给予反馈。 四、课堂总结与反思 教师活动： 回顾今天所讲授的主要知识点以及解题策略。 引领全班同学一起总结解题过程中需要注意的关键点，比如准确读题、合理设定变量、正确构建方程以及严谨验证答案的有效性。 请几位同学分享他们对于今天课程的感受以及学到的东西。 学生活动： 跟随教师的指引，回顾整个课堂教学内容。 开展自我反思，讨论个人在解题时遇到的难点或者收获的经验。 自愿发言的同学分享自己的学习体会，教师根据具体情况作出回应或进一步解释。 课后作业： （1）根据本节课所学内容，选择一个生活中的实际问题，尝试自己建立数学模型，并利用一元二次方程解决问题，写出解题过程。 （2）复习教材 “习题 2.9” 中第 2、3、4 题，挑选其中一道题进行深入分析，总结解题思路和方法，并尝试对题目进行变式，给出一个新的相关问题。 学科网（北京）股份有限公司 $$