第2章 简单的代数式（高效培优讲义）数学沪教版五四制2024六年级上册

第2章 简单的代数式 教学目标 1. 学习用字母表示数； 2. 了解代数式的概念及其书写规范； 3. 会求简单的代数式的值； 4. 知道一次式的有关概念； 5. 掌握一次式的同类项，一次式的加减及其应用。 教学重难点 1.重点 （1）代数式的概念，求简单的代数式的值； （2）一次式的有关概念辨析，会判断、合并一次式的同类项； （3）数与一次式相乘，一次式的加减及其应用。 2.难点 （1）一次式的有关概念辨析；本章化简、变形、求值等问题； （2）一次式加减的综合应用。 知识点1 用字母表示数 代数式与代数式的值 一、字母表示数 用字母表示数之后，有些数量之间的关系用含有字母的式子表示，看上去更加简明，更具有普遍意义了．举例：如果用a、b表示任意两个有理数，那么加法交换律可以用字母表示为：a＋b＝b＋a．乘法交换律可以用字母表示为：ab＝ba． 二、字母表示数的书写要求： 1.数与字母或字母与字母相乘时，乘号可以用“·“表示或者省略不写， 如5×m可以写成5·m或5m,a×b可以写成a·b或ab. 2.在省略乘号时，塑把数字写在字母的前面、如x×4写成4x,一般不写成x4.当数字是1时，如1×a写成a;当数字是-1时，如(-1)×a写成-a.当数字是带分数时，常写成假分数，如一般写成. 3.运算结果一般不出现除号，一般用分数表示. 三、代数式 1.代数式的定义：诸如：16n ，2a+3b ，34 ，，等式子，它们都是用运算符号把数和字母连接而成的，像这样的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式． 【规律方法】 带等号或不等号的式子不是代数式，如，，等都不是代数式． 2.列代数式： 在解决实际问题时，常常先把问题中与数量有关的词语用代数式表示出来，即列出代数式，使问题变得简洁，更具一般性． 四、代数式的值：一般地，用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值． 【即学即练】 1．下列式子中：①0；②；③；④；⑤；⑥；⑦．属于代数式的有（ ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 2．下列各式中，书写正确的是（   ） A． B． C． D． 3．乙数比甲数的倍大，若甲数为，则乙数为（    ） A． B． C． D． 4．若互为相反数，则 ． 知识点2 一次式 一、一次式 代数式5x-3y+4是5.x、-3y和4的和，我们把5x、-3y、4称作代数式5-3y+4的项. 5. x、-3y只含有一个字母，且字母的指数是1,叫作一次项.不含字母的项叫作常数项，一次项中的数字因数叫作项的数字系数，简称系数.例如，5.x的系数是5,-3y的系数是-3;代数式-x+2y的一次项是一x和2y,一次项的系数分别是一1和2. 要点：x和-x的系数分别是1、一1,而系数 “1”遇常省略不写. 像这样，由一次项与常数项组成，或仅含一次项的代数式叫作一次式. 例-2b、7-、6m+7m、 等都是一次式，但m²、 a-b²、6+3c-c2、-9等都不是一次式. 二、一次式的同类项 一次式5x+3x中的5.x、3x这两项所含字母相同，一次式16S-4S中的16S、-4S这两项所含字母也相同.在一次式中，字母相同的项叫作一次式的同类项，所有常数项都是同类项. 一次式中含字母的同类项可以合并，合并时只要把含字母的同类项的系数相加 一般地，把同类项合并成一项，称为合并同类项.合并一次式的同类项时，把含字母的同类项的系数相加所得的结果作为系数，字母不变；常数项直接相加. 三、一次式的加减 思考：如何计算（2.5x-2）+（3x+8）和（2.5x+8）-（1.5x-3）? 数的运算中的去括号方法在一次式中同样适用，即括号前面是“+”号， 去掉括号后，括号内各项都不变；括号前面是“一”号，去掉括号后，括号内各项都变号. 如下所示，根据去括号方法区我们可以分别求出（2.5x-2）+（3x+8）和（2.5x+8）-（1.5x-3）的结果 要点：几个一次式相加减，通常用括号把每个一次式括起来，再用加减号连接。 四、数与一次式相乘 一般地，数与一次式相乘，就是用这个数去乘一次式的每一项，再把所得的积相加.在含有字母的项与数相乘时，把这个数与项的系数相乘的积作为字母的系数，字母不变.运算时要注意这个数与项的系数相乘的积的符号. 要点：式子2×(5a-2)中问的乘号可以省略不写、简记为2(5a-2). 【即学即练】 1．代数式中，是一次式的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．一次式的系数是（    ） A． B． C． D． 3．指出下列一次式的同类项 (1)； (2)． 4．化简： 5．先化简，再求值：，其中． 题型01 判断代数式 【典例1】．在式子3，a，，，中，代数式有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【变式1】．已知下列各式：，，，，，其中属于代数式的共有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型02 代数式的书写规范 【典例1】．下列代数式书写正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】．下列各式中，符合代数式书写规则的是（    ） A． B． C． D． 题型03 代数式的意义 【典例1】．下列叙述代数式的意义中，错误的是（   ） A．表示x与3的差的一半 B．表示a与b的平方差 C．表示a的倒数与b的倒数的和 D．表示a与b的差的立方 【变式1】．关于代数式的意义，下列说法中不正确的是（   ） A．比a的平方少9的数 B．a的平方与9的差 C．a的平方减去9 D．a与9的差的平方 【变式2】．（代数式应用）一个两位数，十位上的数字是a，个位上的数字是6，表示这个两位数的式子是（    ） A． B． C． D． 题型04 代数式的值 【典例1】．若，，则的值为（    ） A．或8 B．2或8 C．2或 D．或 【变式1】．若，且，则的值是（    ） A．或8 B．或 C．2或 D．2或 【变式2】．若的值为1，则整式的值为（    ） A． B．3 C．0 D．9 题型05 一次式的概念及根据其求参数 【典例1】．下列各式中，是一次式的是（   ） A． B．6 C． D． 【变式1】．下列代数式是一次式的是（    ） A．8 B． C． D． 【变式2】．式子是关于x的一次式，则a、b的值可能为（    ） A．0，1 B．1，2 C．0，3 D．1，1 【变式3】．已知是关于x的一次式，则a，b的值分别是（    ） A．0，3 B．0，1 C．1，2 D．1，1 题型06 一次式的有关概念辨析 【典例1】．下列说法中错误的是（    ） A．常数项都是同类项 B．是一次式 C．是一次式 D．的系数是 【变式1】．下列说法中正确的是 （   ） A．在一次式中，常数项没有同类项 B．在一次式中，与是同类项 C．一次式与一次式的和一定是一次式 D．在一次式中，与 是同类项 题型07 合并同类项 【典例1】．下列式子中，合并同类项正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．下列各式中，合并同类项正确的是（    ） A． B． C． D． 题型08 去括号 【典例1】．去括号后的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．下列去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 题型09 一次式的加减 【典例1】．计算： 【变式1】．计算：． 【变式2】．化简： (1) (2) 【变式3】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型10根据一次式的加减求值 【典例1】．先化简，再求值：．其中，． 【变式1】．先化简，再求值：．其中，． 【变式2】．先化简，再求值：，其中． 题型11一次式的加减的代数应用 【典例1】．如果，那么 ． 【变式1】．已知，B比A少，C比A的2倍多，则 ； ． 【变式2】．一次式M与的和是，则M等于（    ） A． B． C． D． 【变式3】．已知都是一次式，且．先化简，再求出当，时的值． 题型12 遮住问题 【典例1】．王老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随 后用手掌捂住了一个一次式，如图所示．王老师捂住的一次式是 （     ）         A． B． C． D． 【变式1】．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个一次式，如图所示．老师捂住的一次式是 ． 题型13 一次式加减的图形应用 【典例1】．如图，学校要利用专款建一长方形的自行车停车场，一面靠墙，其他三面用护栏围起，其中长方形停车场的长为米，宽比长少米． (1)用a，b表示长方形停车场的宽； (2)求护栏的总长度． 【变式1】．如图，一个大长方形场地割出如图所示的“L”型阴影部分，请根据图中所给的数据，解决下列问题： (1)用含的代数式表示阴影部分的周长并化简； (2)若米，米时，要给阴影部分场地围上价格每米元的围栏功能区，请计算围栏的造价． 一、单选题 1．下列式子中：①0；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧．属于代数式的有（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 2．下列各式中，符合代数式书写规则的是（    ） A． B． C． D． 3．合并同类项：的结果是（    ） A． B． C． D． 4．下列各式中，去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 5．下列等式成立的是（    ）． A． B． C． D． 6．把两张形状大小完全相同的小长方形卡片(如图1)不重复地放在一个底面为长方形(长为，宽为)的盒子底部(如图2)，盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图2中两块阴影部分周长的和是（  ） A． B． C． D． 二、填空题 7．合并同类项： ． 8．判断下列各式是否正确，正确的在括号里打“正确”，错误的在括号 里打“错误”： （1）；( ) （2）；( ) （3）；( ) （4）．( ) 9．合并同类项： （1） （2） ； （3） ； （4） ． 10．若m、n互为相反数，则 11．如图，长方形是由正方形、和长方形①、②、③组成，若长方形①、②的周长之比为，则正方形、的面积之比为 ．    三、解答题 12．用代数式表示： (1)m的3倍与n的一半的和； (2)a与b两数差的平方减去它们和的平方． 13．指出一次式中的一次项，常数项及一次项的系数 14．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 15．（1）求与的和； （2）求减去的差． 16．某汽车企业第一季度销售x万辆新能源汽车，第二季度销售的新能源汽车比第一季度的倍少1万辆，第三季度销售的新能源汽车比第一季度的2倍多6万辆．用一次式表示； (1)该汽车企业第二季度和第三季度一共销售的新能源汽车数量； (2)第三季度比第二季度多销售的新能源汽车数量． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 简单的代数式 教学目标 1. 学习用字母表示数； 2. 了解代数式的概念及其书写规范； 3. 会求简单的代数式的值； 4. 知道一次式的有关概念； 5. 掌握一次式的同类项，一次式的加减及其应用。 教学重难点 1.重点 （1）代数式的概念，求简单的代数式的值； （2）一次式的有关概念辨析，会判断、合并一次式的同类项； （3）数与一次式相乘，一次式的加减及其应用。 2.难点 （1）一次式的有关概念辨析；本章化简、变形、求值等问题； （2）一次式加减的综合应用。 知识点1 用字母表示数 代数式与代数式的值 一、字母表示数 用字母表示数之后，有些数量之间的关系用含有字母的式子表示，看上去更加简明，更具有普遍意义了．举例：如果用a、b表示任意两个有理数，那么加法交换律可以用字母表示为：a＋b＝b＋a．乘法交换律可以用字母表示为：ab＝ba． 二、字母表示数的书写要求： 1.数与字母或字母与字母相乘时，乘号可以用“·“表示或者省略不写， 如5×m可以写成5·m或5m,a×b可以写成a·b或ab. 2.在省略乘号时，塑把数字写在字母的前面、如x×4写成4x,一般不写成x4.当数字是1时，如1×a写成a;当数字是-1时，如(-1)×a写成-a.当数字是带分数时，常写成假分数，如一般写成. 3.运算结果一般不出现除号，一般用分数表示. 三、代数式 1.代数式的定义：诸如：16n ，2a+3b ，34 ，，等式子，它们都是用运算符号把数和字母连接而成的，像这样的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式． 【规律方法】 带等号或不等号的式子不是代数式，如，，等都不是代数式． 2.列代数式： 在解决实际问题时，常常先把问题中与数量有关的词语用代数式表示出来，即列出代数式，使问题变得简洁，更具一般性． 四、代数式的值：一般地，用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值． 【即学即练】 1．下列式子中：①0；②；③；④；⑤；⑥；⑦．属于代数式的有（ ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】A 【分析】本题考查代数式的判断．代数式是由数、字母和运算符号（加、减、乘、除、乘方等）组成的式子，单独的数或字母也是代数式，据此求解即可． 【详解】解：由代数式的定义可得①②④⑤都是代数式，③⑥⑦不是代数式， 故选：A． 2．下列各式中，书写正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了代数式的书写要求，代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“•”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式．根据代数式的书写要求逐项判断． 【详解】解：由代数式的书写要求可知， A应该写成, B应该写成, C应该写成, 四个选项中只有D选项中的式子书写正确，符合题意， 故选：D． 3．乙数比甲数的倍大，若甲数为，则乙数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列代数式，根据题意列出代数式即可，理解题意是解题的关键． 【详解】解：由题意得，乙数为， 故选：． 4．若互为相反数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数的定义，代数式求值，由相反数的定义得，再代入代数式计算即可求值，掌握整体代入法是解题的关键． 【详解】解：∵互为相反数， ∴， ∴， 故答案为：． 知识点2 一次式 一、一次式 代数式5x-3y+4是5.x、-3y和4的和，我们把5x、-3y、4称作代数式5-3y+4的项. 5. x、-3y只含有一个字母，且字母的指数是1,叫作一次项.不含字母的项叫作常数项，一次项中的数字因数叫作项的数字系数，简称系数.例如，5.x的系数是5,-3y的系数是-3;代数式-x+2y的一次项是一x和2y,一次项的系数分别是一1和2. 要点：x和-x的系数分别是1、一1,而系数 “1”遇常省略不写. 像这样，由一次项与常数项组成，或仅含一次项的代数式叫作一次式. 例-2b、7-、6m+7m、 等都是一次式，但m²、 a-b²、6+3c-c2、-9等都不是一次式. 二、一次式的同类项 一次式5x+3x中的5.x、3x这两项所含字母相同，一次式16S-4S中的16S、-4S这两项所含字母也相同.在一次式中，字母相同的项叫作一次式的同类项，所有常数项都是同类项. 一次式中含字母的同类项可以合并，合并时只要把含字母的同类项的系数相加 一般地，把同类项合并成一项，称为合并同类项.合并一次式的同类项时，把含字母的同类项的系数相加所得的结果作为系数，字母不变；常数项直接相加. 三、一次式的加减 思考：如何计算（2.5x-2）+（3x+8）和（2.5x+8）-（1.5x-3）? 数的运算中的去括号方法在一次式中同样适用，即括号前面是“+”号， 去掉括号后，括号内各项都不变；括号前面是“一”号，去掉括号后，括号内各项都变号. 如下所示，根据去括号方法区我们可以分别求出（2.5x-2）+（3x+8）和（2.5x+8）-（1.5x-3）的结果 要点：几个一次式相加减，通常用括号把每个一次式括起来，再用加减号连接。 四、数与一次式相乘 一般地，数与一次式相乘，就是用这个数去乘一次式的每一项，再把所得的积相加.在含有字母的项与数相乘时，把这个数与项的系数相乘的积作为字母的系数，字母不变.运算时要注意这个数与项的系数相乘的积的符号. 要点：式子2×(5a-2)中问的乘号可以省略不写、简记为2(5a-2). 【即学即练】 1．代数式中，是一次式的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次式的定义，熟练掌握一次式是代数式中各变量的最高次数为1的整式是解题的关键．根据一次式的定义，即代数式中各变量的最高次数为1的整式，对每个代数式的次数进行逐一判断． 【详解】解： 是一次式，不是一次式，是一次式，不是一次式，是一次式，是一次式， 综上，一次式共有4个， 故选：B． 2．一次式的系数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次式的系数，熟练掌握一次式的相关概念是解题的关键．一次式中的数字因数叫做项的系数，根据一次式的系数的概念求解即可． 【详解】解：一次式的系数是， 故选：A． 3．指出下列一次式的同类项 (1)； (2)． 【答案】(1)和是同类项； (2)与是同类项，与是同类项，与是同类项． 【分析】本题考查了同类项的定义. 直接根据同类项的定义判断即可. 【详解】（1）解：根据同类项的定义可知：和是同类项； （2）解：根据同类项的定义可知：与是同类项，与是同类项，与是同类项． 4．化简： 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的加减混合运算．先计算括号内的，再去括号，然后合并同类项即可求解． 【详解】解： 5．先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【分析】本题考查了整式的加减及求值，先化简，再把代入，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 题型01 判断代数式 【典例1】．在式子3，a，，，中，代数式有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】本题考查了代数式的概念，熟练掌握代数式的相关概念是解题的关键： 用运算符号（、、、、乘方）将数与表示数的字母连接起来的式子叫做代数式，单独一个数或者一个字母也称代数式．注意：代数式中不含“、、、、、、”等符号．代数式包括整式和分式，整式又包括单项式和多项式． 根据代数式的概念逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：在式子3，a，，，中，代数式有3，a，，，共个， 故选：． 【变式1】．已知下列各式：，，，，，其中属于代数式的共有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了代数式，解题关键是熟练掌握代数式的定义．根据代数式的概念，“用运算符号把数字与字母连接而成的式子叫做代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式”即可求出． 【详解】解：式子，，，符合代数式的定义，是代数式； 式子，是等式，不是代数式； 式子，是不等式，不是代数式． 故代数式有3个． 故选：B． 题型02 代数式的书写规范 【典例1】．下列代数式书写正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了代数式的书写规范，熟记书写规则是解题的关键． 根据代数式的书写规则判断求解． 【详解】解：A：正确的书写格式是，故A不符合题意； B：正确的书写格式是，故B不符合题意； C：正确的书写格式是，故C不符合题意； D：符合题意； 故选：D． 【变式1】．下列各式中，符合代数式书写规则的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查代数式，熟练掌握代数式的书写原则是解题的关键．根据代数式的书写原则：数字在字母前，乘号省略；带分数要用假分数；除号要用分数；再结合所给的选项进行判断即可． 【详解】解：的正确写法是，故A不符合题意； 的正确写法是，故B不符合题意； 的写法是正确的，故C符合题意； 的正确写法，故D不符合题意； 故选：C． 题型03 代数式的意义 【典例1】．下列叙述代数式的意义中，错误的是（   ） A．表示x与3的差的一半 B．表示a与b的平方差 C．表示a的倒数与b的倒数的和 D．表示a与b的差的立方 【答案】D 【分析】本题主要考查代数式，根据各代数式的意义逐一判断即可． 【详解】解：A．表示x与3的差的一半，正确，不符合题意； B．表示a与b的平方差，正确，不符合题意； C．表示a的倒数与b的倒数的和，正确，不符合题意； D．表示a与b的立方差，原叙述错误，符合题意； 故选：D． 【变式1】．关于代数式的意义，下列说法中不正确的是（   ） A．比a的平方少9的数 B．a的平方与9的差 C．a的平方减去9 D．a与9的差的平方 【答案】D 【分析】本题考查了代数式的意义，对代数式意义的描述，实际上就是把代数式用语言叙述出来，叙述时要求既要表明运算的顺序，又要说出运算的最终结果．根据代数式的意义对各选项分析即可． 【详解】A．代数式表示比a的平方少9的数，说法正确，故本选项错误； B．代数式表示a的平方与9的差，说法正确，故本选项错误； C．代数式表示a的平方减去9，说法正确，故本选项错误； D．代数式表示a与3的平方差，说法错误，故本选项正确， 故选：D． 【变式2】．（代数式应用）一个两位数，十位上的数字是a，个位上的数字是6，表示这个两位数的式子是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列代数式，解决问题的关键是读懂题意，掌握两位数=十位数字个位数字． 根据：两位数=十位数字×10+个位数字，代入数值，解答即可． 【详解】解：； 故选：D． 题型04 代数式的值 【典例1】．若，，则的值为（    ） A．或8 B．2或8 C．2或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查绝对值的意义及有理数减法，熟练掌握运算法则是解题关键．根据绝对值的意义求出值，根据有理数减法法则计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴或， ∵， ∴当时，， 当时，， ∴的值为或8． 故选：A． 【变式1】．若，且，则的值是（    ） A．或8 B．或 C．2或 D．2或 【答案】C 【分析】本题考查绝对值意义及代数式求值，由得到，由确定同号，代值求解即可得到答案，熟记绝对值的意义是解决问题的关键． 【详解】解：， ， ， 同号，则或， 或， 故选：C． 【变式2】．若的值为1，则整式的值为（    ） A． B．3 C．0 D．9 【答案】B 【分析】本题主要考查了已知式子的值求代数式的值，根据题意可得出，将变形后整体代入求解即可． 【详解】解：根据题意得：， 则， ∴， 故选：B． 题型05 一次式的概念及根据其求参数 【典例1】．下列各式中，是一次式的是（   ） A． B．6 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多项式中相关的定义，解题的关键是：熟练掌握一次式的定义．根据一次式的定义，依次判断，即可求解， 【详解】解：A、字母的最高次数是1，是一次式，符合题意， B、字母的最高次数是0，不是一次式，不符合题意， C、字母的最高次数是2，不是一次式，不符合题意， D、字母的最高次数不是1，不是一次式，不符合题意， 故选：A． 【变式1】．下列代数式是一次式的是（    ） A．8 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式及多项式的次数，根据单项式的次数是字母指数的和，多项式的次数是多项式中次数最高的单项式的次数，可得答案． 【详解】解：A、8的次数是0，故A错误； B、次数是1，故B正确； C、次数是2，故C错误； D、是分式，次数是，故D错误； 故选：B． 【变式2】．式子是关于x的一次式，则a、b的值可能为（    ） A．0，1 B．1，2 C．0，3 D．1，1 【答案】B 【分析】本题考查了一次式的定义，解题的关键是掌握含未知数的项的最高次数为1的整式是一次式． 根据题意得出，求出a和b的值，再结合给出的选项即可得出答案 【详解】解：∵多项式是关于x的一次式， ∴， ∴， ∴a、b的值可能为1，2； 故选：B． 【变式3】．已知是关于x的一次式，则a，b的值分别是（    ） A．0，3 B．0，1 C．1，2 D．1，1 【答案】C 【分析】本题考查了一次式的定义，解题的关键是掌握含未知数的项最高次数为1的代数式是一次式． 根据一次式的定义得出，进行解题即可． 【详解】解：∵是关于x的一次式， ∴， 则， 故选：C． 题型06 一次式的有关概念辨析 【典例1】．下列说法中错误的是（    ） A．常数项都是同类项 B．是一次式 C．是一次式 D．的系数是 【答案】B 【分析】本题考查单项式、多项式定义，系数及次数，同类项定义．熟练掌握定义是解题的关键； 本题可根据同类项、单项式与多项式的次数、单项式系数的相关概念，逐一分析选项即可解答． 【详解】解：A．所有常数项都是同类项，因为它们都可以看作是不含字母，次数为0的单项式，故该选项说法正确，不符合题意； B． 是一个常数项，可看作（x为任意字母），它的次数是0，是零次单项式，不是一次式，故该选项说法错误，符合题意； C．在多项式中，每一项a、、、、、6的次数最高为1，所以它是一次式，故该选项说法正确，不符合题意； D．在单项式中，数字因数是，所以它的系数是，故该选项说法正确，不符合题意； 故选：B． 【变式1】．下列说法中正确的是 （   ） A．在一次式中，常数项没有同类项 B．在一次式中，与是同类项 C．一次式与一次式的和一定是一次式 D．在一次式中，与 是同类项 【答案】D 【分析】本题考查多项式加减，同类项，解题关键是熟练掌握所含字母相同，且相同字母指数也相同的项叫同类项． 根据同类项的定义与整式加法逐项判定即可． 【详解】解：A、在一次式中，常数项与常数项是同类项，故此选项不符合题意， B、在一次式中，与所含字母不同，不是同类项，故此选项不符合题意； C、一次式与一次式的和不一定是一次式，如与的和就不是一次式，故此选项不符合题意； D、在一次式中，与所含字母相同，相同字母x的指数也相同，是同类项，故此选项符合题意； 故选：D． 题型07 合并同类项 【典例1】．下列式子中，合并同类项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了合并同类项的知识，解题的关键是掌握合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和指数不变． 根据合并同类项法则，逐一分析每个选项． 【详解】A．：合并同类项时，系数相减但字母部分保留，正确结果应为，故A错误； B．：与不是同类项（字母不同），无法合并，故B错误； C．：同类项合并，系数相加，结果为，故C正确； D．：去括号后为，结果应为，故D错误． 故选：C． 【变式1】．下列各式中，合并同类项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查合并同类项，解题的关键是熟知合并同类项的方法．根据合并同类项的方法即可依次判断． 【详解】解：A．，故A错误； B．，不是同类项，不能合并，故B错误； C．，故C正确； D．，故D错误． 故选：C． 题型08 去括号 【典例1】．去括号后的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了去括号，根据去括号规律：括号前是“”号，去括号时连同它前面的“”号一起去掉，括号内各项都要变号可得答案． 【详解】解：， 故选：A 【变式1】．下列去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查去括号：去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是“”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“”，去括号后，括号里的各项都改变符号． 【详解】解：A、，原说法错误，故本选项不符合题意； B、，原说法错误，故本选项不符合题意； C、，原说法错误，故本选项不符合题意； D、，原说法正确，故本选项符合题意． 故选：D． 题型09 一次式的加减 【典例1】．计算： 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减，根据合并同类项法则进行计算即可求解，掌握合并同类项法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 【变式1】．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减，解题的关键是熟练掌握去括号法则、合并同类项法则等知识．根据整式的加减法，去括号，合并同类项即可解决问题． 【详解】解： 【变式2】．化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了根据整式的加减运算，注意括号前是负号，去括号后，括号内的各项均要变号．掌握整式的加减运算法则是解答本题的关键． （1）先去括号，再合并同类项即可化简； （2）先去括号，再合并同类项即可化简． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式3】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了合并同类项和去括号． （1）直接合并同类项即可； （2）根据去括号法则去括号即可； （3）先去括号，再合并同类项即可； （4）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ； （4）解： ． 题型10根据一次式的加减求值 【典例1】．先化简，再求值：．其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当，时，原式． 【变式1】．先化简，再求值：．其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当，时，原式． 【变式2】．先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【分析】本题考查了整式的加减及求值，先化简，再把代入，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 题型11一次式的加减的代数应用 【典例1】．如果，那么 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了整式的化简，先去括号，再移项合并同类项，得，进行作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 【变式1】．已知，B比A少，C比A的2倍多，则 ； ． 【答案】 / / 【分析】本题考查了整式的加减计算，正确列出代数式，灵活运用去括号、合并同类项是解题的关键． 根据题意，先列出代数式，后分别化简计算即可． 【详解】∵，B比A少， ∴ ； ∵C比A的2倍多， ∴ ． 故答案为：，． 【变式2】．一次式M与的和是，则M等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的加减运算，解答时合并同类项即可．根据已知条件可设此多项式为M建立等式解得即可． 【详解】解： 故选：C 【变式3】．已知都是一次式，且．先化简，再求出当，时的值． 【答案】， 【分析】该题主要考查了整式的化简求值，解题的关键是正确计算． 根据先化简，再代入，进行计算即可． 【详解】解：根据题意得： ， 当，时， ． 题型12 遮住问题 【典例1】．王老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随 后用手掌捂住了一个一次式，如图所示．王老师捂住的一次式是 （     ）         A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了整式的加减，解答此题的关键是要明确：整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项． 根据整式减法的运算方法，用减去，求出所捂的一次二项式即可． 【详解】解：∵所捂的一次二项式与的和是 ∴所捂的一次二项式 ， 故选：A． 【变式1】．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个一次式，如图所示．老师捂住的一次式是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，根据题意只需要计算出的结果即可得到答案． 【详解】解： ， ∴老师捂住的一次式是， 故答案为：． 题型13 一次式加减的图形应用 【典例1】．如图，学校要利用专款建一长方形的自行车停车场，一面靠墙，其他三面用护栏围起，其中长方形停车场的长为米，宽比长少米． (1)用a，b表示长方形停车场的宽； (2)求护栏的总长度． 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题主要考查了整式的加减法的应用， 对于（1），根据题意可知宽为，再根据整式的加减法法则计算即可； 对于（2），根据护栏的总长度是长加上2个宽，再根据整式的加减法法则计算． 【详解】（1）解：根据题意，得长方形停车场的宽为米； （2）护栏的总长度为米． 【变式1】．如图，一个大长方形场地割出如图所示的“L”型阴影部分，请根据图中所给的数据，解决下列问题： (1)用含的代数式表示阴影部分的周长并化简； (2)若米，米时，要给阴影部分场地围上价格每米元的围栏功能区，请计算围栏的造价． 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查了整式的加减，代数式求值，有理数的乘法的应用等知识．熟练掌握整式的加减，代数式求值，有理数的乘法的应用是解题的关键． （1）由题意可知，阴影部分的周长与长和宽分别为，的长方形的周长相同，则阴影部分的周长为，化简求解即可； （2）当米，米时，（米），根据造价为，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，阴影部分的周长与长和宽分别为，的长方形的周长相同， ∴阴影部分的周长为； （2）解：当米，米时，（米）， ∵（元）， ∴造价为元． 一、单选题 1．下列式子中：①0；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧．属于代数式的有（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】B 【分析】本题考查的是代数式的判断．代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．根据代数式的定义逐一判断即可． 【详解】解：①0是代数式； ②是代数式； ③不是代数式； ④是代数式； ⑤是代数式； ⑥是代数式； ⑦不是代数式； ⑧不是代数式． 代数式有5个， 故选：B． 2．下列各式中，符合代数式书写规则的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查代数式，熟练掌握代数式的书写原则是解题的关键．根据代数式的书写原则：数字在字母前，乘号省略；带分数要用假分数；除号要用分数；再结合所给的选项进行判断即可． 【详解】解：的正确写法是，故A不符合题意； 的正确写法是，故B不符合题意； 的写法是正确的，故C符合题意； 的正确写法，故D不符合题意； 故选：C． 3．合并同类项：的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了合并同类项，把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变，即可求解． 【详解】解：， 故选：C． 4．下列各式中，去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了去括号，理解并掌握去括号法则是解题关键．去括号的原则即遇正不变，遇负变号，据此逐项分析判断即可． 【详解】解：A. ，故本选项错误，不符合题意； B. ，故本选项错误，不符合题意； C. ，本选项正确，符合题意； D. ，故本选项错误，不符合题意． 故选：C． 5．下列等式成立的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了去括号法则，根据去括号法则正确计算后即可得到答案. 【详解】解：A. ，故选项不成立，不符合题意； B. ，故选项不成立，不符合题意； C. ，故选项不成立，不符合题意；     D. ，故选项成立，符合题意. 故选：D 6．把两张形状大小完全相同的小长方形卡片(如图1)不重复地放在一个底面为长方形(长为，宽为)的盒子底部(如图2)，盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图2中两块阴影部分周长的和是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出小长方形长和宽，根据题意列出关系式，去括号合并即可得到结果． 【详解】解：设小长方形的长和宽分别为acm和bcm 由题意可知，两个阴影部分分别是边长bcm和（y-a）cm，acm和（y-b）cm的两个长方形 则阴影部分周长为2[b+(y-a)+a+(y-b)]=4y 故选：D． 【点睛】本题考查了整式的加减运算，解答关键是设出字母表示两个长方形周长． 二、填空题 7．合并同类项： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项法则是解题的关键．根据合并同类项法则进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 8．判断下列各式是否正确，正确的在括号里打“正确”，错误的在括号 里打“错误”： （1）；( ) （2）；( ) （3）；( ) （4）．( ) 【答案】 错误 错误 错误 错误 【分析】本题考查了合并同类项，解题的关键是掌握同类项的定义：字母和字母指数相同的单项式是同类型；以及合并同类项法则：字母和字母指数不变，只把系数相加减． （1）根据同类项定义和合并同类项法则进行判断即可； （2）根据同类项定义和合并同类项法则进行判断即可； （3）根据同类项定义和合并同类项法则进行判断即可； （4）根据同类项定义和合并同类项法则进行判断即可． 【详解】解：（1）和不是同类项，不能合并，故（1）错误； 故答案为：错误； （2），故（2）错误； 故答案为：错误； （3）和不是同类型，不能合并，故（3）错误； 故答案为：错误； （4），故（4）错误； 故答案为：错误． 9．合并同类项： （1） （2） ； （3） ； （4） ． 【答案】 【分析】此题主要考查了合并同类项的方法，解答此题的关键是要明确合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变． （1）根据合并同类项的法则计算即可； （2）根据合并同类项的法则计算即可； （3）根据合并同类项的法则计算即可； （4）根据合并同类项的法则计算即可． 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）， 故答案为：（1）；（2）；（3）；（4）. 10．若m、n互为相反数，则 【答案】0 【分析】根据整式的运算法则即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：m+n=0， 原式=3m−3n−m+5n=2m+2n=2(m+n)=0. 故答案为0 【点睛】本题考查整式的加减运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型． 11．如图，长方形是由正方形、和长方形①、②、③组成，若长方形①、②的周长之比为，则正方形、的面积之比为 ．    【答案】 【分析】设正方形A的边长为，正方形B的边长为，根据图形分别得出长方形①、②、③的长和宽，再根据长方形①、②的周长之比，得到，即可求出正方形、的面积之比． 【详解】解：设正方形A的边长为，正方形B的边长为， 长方形②的宽为，长为；长方形③的长为，宽为，长方形①的长为，宽为， 长方形①、②的周长之比为， ，即， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了列代数式，整式的加减法，根据图形得出长方形①、②、③的长和宽是解题关键． 三、解答题 12．用代数式表示： (1)m的3倍与n的一半的和； (2)a与b两数差的平方减去它们和的平方． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查列代数式，正确的翻译句子，是解题的关键． （1）根据描述，列出代数式即可； （2）根据描述，列出代数式即可． 【详解】（1）解：m的3倍与n的一半的和，即：； （2）a与b两数差的平方减去它们和的平方，即：． 13．指出一次式中的一次项，常数项及一次项的系数 【答案】一次式中的一次项是和，常数项是，其中一次项的系数分别是1， 【分析】本题考查了多项式的相关概念．根据多项式的概念作答即可． 【详解】解：一次式中的一次项是和，常数项是，其中一次项的系数分别是1和． 14．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了去括号和合并同类项，解题的关键是掌握去括号法则和合并同类项字母和字母指数不变，只把系数相加减． （1）直接合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可； （3）先将括号内合并同类项，再进行计算即可； （4）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 15．（1）求与的和； （2）求减去的差． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了整式的加减应用，根据题意分别正确列式是解题的关键． （1）因为求与的和，所以列式，再合并同类项，即可作答． （2）因为求减去的差，所以列式，然后去括号合并同类项，即可作答． 【详解】解：（1）依题意， （2）依题意， 16．某汽车企业第一季度销售x万辆新能源汽车，第二季度销售的新能源汽车比第一季度的倍少1万辆，第三季度销售的新能源汽车比第一季度的2倍多6万辆．用一次式表示； (1)该汽车企业第二季度和第三季度一共销售的新能源汽车数量； (2)第三季度比第二季度多销售的新能源汽车数量． 【答案】(1)万辆 (2)万辆 【分析】本题考查了列代数式，整式的加减． （1）根据题意得出第二第三季度销售新能源汽车数量，在相加即可； （2）根据（1）中得出的第二第三季度销售新能源汽车数量，相减即可． 【详解】（1）解：第二季度销售的新能源汽车数量：万辆； 第三季度销售的新能源汽车数量万辆． ∴第二季度和第三垂度一共销售万辆； （2）解：第三季度比第二季度多销售万辆． 2 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $$