24.5 三角形的内切圆-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步教案(沪科版)安徽专版

24.5 三角形的内切圆 课题 24.5三角形的内切圆 课型 新授课 教学内容 教材第42-43页的内容 教学目标 1.理解三角形的内切圆、三角形的内心、圆的外切三角形的概念； 2.通过作图操作，经历三角形内切圆的产生过程，掌握三角形内切圆的作法，培养学生的作图能力； 3.类比三角形内切圆与三角形外接圆，进一步理解三角形内心和外心所具有的性质； 4.通过利用三角形内切圆相关的知识思考和解决问题，培养学生解决实际问题的能力和应用数学的意识. 教学重难点 教学重点：三角形内切圆的作法及三角形内心的概念. 教学难点：三角形内心的性质. 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 【观察思考】 问题：如图，有一块三角形的材料，木工师傅想从中剪下一个面积最大的圆，如何裁剪呢？ 追问：你能帮忙设计吗？ 这节课我们一起来研究这个问题. 2.类比探究，学习新知 【合作探究】 请你动手画一画，当圆与三角形有怎样的位置关系时，剪下的圆面积最大？ 小组合作： 1.独立思考，画出图形； 2.两人一组，交流思路. 下面是木工师傅设计的几种方案，请你帮忙看一看，哪一种设计的圆面积最大？ (1) (2) (3) (4) 分析：图(1)的⊙O与三边都不相切，图(2)的⊙O只与一边相切，图(3)的⊙O与两边相切，图(4)的⊙O与三边都相切. 图(1)(2)(3)中的圆面积都不是最大的，由此猜想：要使剪下的圆面积最大，这个圆应与三角形的三边都相切，如图(4). 【探究】 如何作一个圆，使它与三角形的各边都相切？ 思考： (1)作圆的关键是什么？ 预设答案：确定圆心和半径． (2)怎样确定圆心的位置？ 预设答案：作两条角平分线，其交点就是圆心的位置． (3)圆心的位置确定后，怎样确定圆的半径？ 预设答案：过圆心作三角形一边的垂线，垂线段的长就是圆的半径． 【操作】 已知△ABC，求作一个圆，使它与△ABC的三条边都相切． 作法 1.作△ABC的∠B 、∠C平分线BE，CF，设它们交于点I. 2.过点I作ID⊥BC于点D. 3.以I为圆心、ID为半径作⊙I. 则⊙I即为所作． 注意：任意三角形有且只有一个内切圆，因为三角形的三条角平分线交点只有一个，这一点到各边的距离也是确定且只有一个定长. 【归纳】 能否类比三角形的外接圆写出三角形的内切圆的相关概念？ 三角形的内切圆 与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形. 三角形的内心到三角形的三边距离相等. 【延伸】 类比三角形内切圆与三角形外接圆 注意：外心不一定在三角形内部，内心一定在三角形内部. 3.学以致用，应用新知 【典型例题】 【例】如图，在△ABC中，∠B=43°，∠C=61°，点I是△ABC的内心，求∠BIC的度数. 提示：过三角形内心与顶点的连线平分三角形的内角. 解：连接IB，IC. 因为点I是△ABC的内心，所以IB，IC分别是∠B、∠C的平分线 在△IBC中，有 ∠BIC=180°– (∠IBC+∠ICB) =180°–(∠B+∠C) =180°–(43°+61°) =128°. 拓展：∠BIC=180°–(∠B+∠C) =180°–(180°–∠A) =90°+∠A. 【变式训练】 (1)若∠A=60°，则∠BIC= ； (2)若∠BIC =100°，则∠A= . 答案：(1)120°；(2)20°. 4.随堂训练，巩固新知 【随堂练习】 1.在△ABC中，AB=AC=4 cm，以点A为圆心、2 cm为半径的圆与BC相切，求∠BAC的度数. 2.在△ABC中，∠A=80°，点I是内心，求∠BIC的度数. 3.在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，求这个三角形的内切圆半径. 答案： 1.解：如图，设切点为D，连接AD. ∵ BC与⊙A相切，∴ AD⊥BC. 又∵ AB=AC=4 cm ， AD=2 cm， ∴ 在Rt△ ADB中，AB=2AD，∠B=∠C， ∴ ∠B=∠C=30°， ∴ ∠BAC=180°–30°–30°=120°. 2. 解：∵ I是△ABC的内心， ∴ ∠ABI=∠IBC=∠ABC ， ∠ACI=∠ICB=∠ACB . ∵ ∠A=80°， ∴ ∠ABC+∠ACB=180°–∠A=100°， ∴ (∠ABC+∠ACB)=50°， 即∠IBC+ ∠ICB=50°， ∴ ∠BIC=180°–(∠IBC+ ∠ICB)=130°. 3. 解：如图，设△ABC的内切圆半径是r， 切点是D、E、F，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF， 则OD⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB， OD=OE=OF=r. ∵ ∠ACB=90°，BC=3，AC=4， ∴ BA==5， 根据三角形面积公式得： S△ABC=S△OAC+S△OBC+S△OAB ∴ AC×BC = AC×r+BC×r+AB×r， 即:3×4=3r+4r+5r， ∴r=1， ∴内切圆半径为1. 5.课堂小结，自我完善 思维导图的形式呈现本节课的主要内容： 6.布置作业 教科书第44页练习第4题，习题24.5第1、2、3题. 通过实际情境引入，让学生感受到数学和实际生活的紧密联系，提高学习兴趣. 通过画图、分析，培养学生的作图能力和分析能力. 通过观察、合理猜测得出结论，将实际问题转化为数学问题，进一步体会数学与实际生活的紧密联系. 通过逐个提问引导学生分析并解决问题，激发学生的学习兴趣，增强学习数学的信心. 通过动手操作，培养学生的作图能力以及简单说理的能力. 类比三角形的外接圆与圆的内接三角形的有关概念，加深对“外”与“内”、“接”与“切”的区别. 以表格的形式描述三角形内切圆与三角形外接圆的关系，及时复习新知识，建立新旧知识之间的联系，让学生体会类比的数学思想与意识. 让学生在应用过程中进一步加深对三角形内切圆及内心的认识和理解，培养学生的应用意识和推理能力.同时在解题过程中渗透数形结合的数学思想. 通过拓展推导出常用关系式，培养学生对所学内容进行反思总结的能力. 并通过变式训练进行巩固提升. 通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯. 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率. 加深认识，深化提高. 板书设计 课题：24.5三角形的内切圆 1.三角形的内切圆 与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2.三角形内心的性质 ① 三角形的内心到三角形的三边距离相等. ② 过三角形内心与顶点的连线平分三角形的内角. 提纲挈领，重点突出. 教后反思 教学过程中，需要向学生强调三角形的内切圆圆心的性质与特点，针对难以理解的概念性问题，可以在练习中让学生自己探索解题方法，引导学生发现规律，使学生成为课堂真正的主人. 教后反思，累积经验. 学科网（北京）股份有限公司 $$