24.2.2 垂径分弦-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步教案(沪科版)安徽专版

课题

24.2.2垂径定理

课型

新授课

教学内容

教材第14-17页的内容

教学目标

1.探索圆的对称性，进而得到垂径定理及其推论；

2.能利用垂径定理及其推论解决相关证明、计算及实际问题；

3.经历探索垂径定理及其推论的过程，发展推理能力，让学生领会数学的严谨性，培养学生实事求是的科学态度；

4.进一步体会和理解研究几何图形的各种方法；培养学生独立探索，相互合作交流的精神，并体验发现的乐趣.

教学重难点

教学重点：垂径定理及其逆定理的应用.

教学难点：对垂径定理的探索和证明，并能应用垂径定理进行简单计算或证明.

教  学  过  程

备  注

1.创设情境，引入课题

【回顾】

什么是轴对称图形？

预设答案：如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形.

教师活动：教师提出问题，引导学生回顾轴对称图形的概念，然后教师可让学生举例说明，我们学过哪些轴对称图形呢？比如：线段、角、等腰三角形、等腰梯形、矩形、菱形、正方形……都是轴对称图形.此时，教师可追问：圆是轴对称图形吗？

回顾轴对称图形，并提出新问题，为本节课的学习作铺垫.

2.类比探究，学习新知

【合作探究】

问题1：在纸上任意画一个⊙O，以⊙O的一条直径为折痕，把⊙O折叠，你发现了什么？

预设答案：①圆是轴对称图形，②任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.

教师活动：教师提出提问，并让学生拿出事先准备好的圆形纸片，动手操作，观察，学生充分交流后，教师汇总补充，最后PPT动态展示.

在此基础上追问：你能证明上面的结论吗？

【证明】

教师活动：教师引导学生发现，要证明圆是轴对称图形，只需要证明圆上任意一点关于直径所在的直线(对称轴)的对称点也在圆上即可.然后让学生先独立思考证明思路，再小组内交流探讨，形成统一的证明过程，教师选代表回答，并补充完善.

如图，设CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O上点C，D以外的任意一点.证明点A关于直线CD的对称点仍在⊙O上.

证明：过点A作AA'CD，交⊙O于点A'，垂足为M，连接OA，OA'.

在△OAA'中，∵OAOA'，

  ∴△OAA'是等腰三角形.

  又∵AA'CD，

  ∴AM=MA'，即CD是AA'的垂直平分线.

让学生通过动手实践来感受圆的轴对称性.通过回忆轴对称图形的性质，引导学生来证明圆是轴对称图.

通过证明引导学生思考，使学生充分经历操作、观察、猜想、验证等合情推理的过程，初步培养学生分析问题、解决问题的能力.

教师可在圆上任取若干个点进行说明，进一步验证前面得到的结论.

【探究】

问题2：如图，在折叠⊙O后，用针在半圆上刺一个小孔，得两个重合的点A，B，把折叠的圆摊平，那么折痕CD是直径，点A，B是关于直线CD的一对对应点，连接AB，得弦AB，这时直径CD与弦AB有怎样的位置关系？

猜想：CDAB.

教师活动：教师引导学生提出猜想，然后让学生仿照前面证明的思路尝试去验证自己的猜想.事实上，只要连接OA，OB.容易得出△AOB是等腰三角形

，再结合AEEB，由等腰三角形三线合一即可得到：

CDAB.

问题3：直径CD把劣弧分成与两部分，把优弧分成与两部分，这时与、与各有怎样的关系？

再次观察折叠圆的过程，让学生在理解圆的对称性的基础上进一步发现相等的线段、弧，尝试总结出垂径定理.