23.2 第4课时坡度与解直角三角形-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步教案(沪科版)安徽专版

课题

解直角三角形与一次函数k的几何意义

课型

新授课

教学内容

教材第130页的内容

教学目标

1.进一步巩固解直角三角形的应用.

2.了解直线的向上方向与x轴正方向夹角的正切值与直线一次项系数k之间的关系.

3.能用解直角三角形的知识灵活解决与直线相关的问题.

4.在解决问题的过程中感知知识的实际应用，培养学生的应用意识．

教学重难点

教学重点：直线的向上方向与x轴正方向夹角的正切值与直线一次项系数k之间的关系.

教学难点：解直角三角形的知识灵活解决与直线相关的问题.

教  学  过  程

备  注

1.创设情境，引入课题

【知识回顾】在Rt△ABC中，∠C=90°．则有sin A=____，cos A=____，tan A=____.

答案：   

【思考】如图，在平面直角坐标系中，如果直线y=k x+b上有任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，这条直线向上方向与x轴正方向所夹的锐角为α.

你能用P1，P2的坐标表示∠α的正切值吗？

回顾旧知，既是对旧知识的巩固，也是为新知的学习奠定基础.

预设：.

你认可这个结论吗？

我们一起探究一下吧！

2.类比探究，学习新知

【合作探究】

【例】已知，在直线y=k x+b上有任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，这条直线向上方向与x轴正方向所夹的锐角为α.

求证：

分析：要想计算∠α的正切值，要在直角三角形中，且知道它的对边与斜边的值；不能直接计算，需要把∠α进行转化.

过点P1，P2作x轴的垂线，垂足分别为Q1，Q2，再过点P1作x轴的平行线P1R交P2Q2于点R，得∠P2P1R=α.

P1R=x2–x1，P2R=y2–y1，即可计算tan α.

最后证明P1，P2的坐标与直线的比例系数k之间的关系.

证明：如图，由α是锐角，可知直线y=k x+b是上升的，即函数y=k x+b的值随x值的增大而增大.设x1＜x2，则y1＜y2.

过点P1，P2作x轴的垂线，垂足分别为Q1，Q2，再过点P1作x轴的平行线P1R交P2Q2于点R，得∠P2P1R=α.

通过分析、讲解典型例题，让学生学习、熟悉如何用解直角三角形知识解决有关直线的坐标、比例系数、直线与x轴夹角(锐角)的问题，提高学生解决问题的能力.