23.2 第3课时方位角与解直角三角形-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步教案(沪科版)安徽专版

课题

坡度

课型

新授课

教学内容

教材第128-129页的内容

教学目标

1.加强对坡度、坡角、坡面概念的理解和认识，了解坡度与坡面陡峭程度间的关系.

2.能把一些较复杂的图形转化为解直角三角形的问题.

3.能解决堤坝等关于斜坡的实际问题，提高解决实际问题的能力.

4.在解决问题的过程中感知知识的实际应用，进一步体会数学与实际生活的紧密联系．

教学重难点

教学重点：坡度、坡角、坡面概念的理解和认识，坡度与坡面陡峭程度间的关系.

教学难点：解决堤坝等关于斜坡的实际问题，提高解决实际问题的能力.

教  学  过  程

备  注

1.创设情境，引入课题

【知识回顾】

问题1：什么叫做坡度？

预设：如图，正切经常用来描述坡面的坡度．坡面的铅直高度h和水平长度l的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i，即

坡面与水平面的夹角叫做坡角(或称倾斜角)，记作α，于是有

知识回顾，既是对旧知的巩固，也为新知的学习做铺垫.

注意：坡度(i=tan α)越大，坡角α越大，坡面就越陡．

【做一做】

如图所示，在△ABC中.

(1)若 h = 2 cm，l = 5 cm，则斜坡AB的坡度 i =____；

(2)若斜坡AB的坡度i = 1∶1.5，h = 2 m，则 l =____；

(3)若斜坡AB的坡度i = 1∶2.5，l = 5 m，则 h =____.

答案：（1）1∶2.5  （2）3 m    （3）2 m

【知识回顾】

问题2：利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是什么？

(1)将实际问题抽象为数学问题；(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题);

(2)根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；

(3)得到数学问题的答案；

(4)得到实际问题的答案.

【做一做】

如图所示，水库的横断面是梯形ABCD，迎水坡AB的坡度i=1∶2，坝高h=20 m，则迎水坡的水平宽度=_____，

tan α=______ .

答案：40m 

借助小练习进一步巩固坡度相关知识点.

回顾利用解直角三角形解决实际问题的一般步骤，为本节解决坡度问题做铺垫.

借助小练习进一步巩固对应的知识点.

2.类比探究，学习新知

【例1】如图，铁路路基的横断面是四边形ABCD，AD∥BC，路基顶宽BC=9.8 m，路基高BE=5.8 m，斜坡AB的坡度i=1∶1.6，斜坡CD的坡度i'=1∶ 2.5，求铁路路基下底宽AD的值(精确到0.1 m)与斜坡的坡角α和β(精确到1°)的值.

分析：题目中给出了两个坡度值，目前对应的只有一个直角三角形，需要再建立一个直角三角形；

要计算AD，又有AD=AE+EF+FD，EF=BC=9.8 m，只要再分别求出AE和FD即可；

还要计算坡角α和β，其中坡度与坡角之间的关系是tan α=i=1∶1.6，tan β=i'=1∶2.5.

解：过点C作CF⊥AD于点F，得

CF=BE，EF=BC，∠A=α，∠D=β.

∵BE=5.8 m， = ， = ，

∴AE=1.6×5.8=9.28(m)，DF=2.5×5.8=14.5(m).

∴AD=AE+EF+DF=9.28+9.8+14.5≈33.6(m).

由tan α=i==0.625，tan β=i'==0.4，得

α=32°，tan β=22°(可以借助计算器计算).

答：铁路路基下底宽为33.6 m，斜坡的坡角分别为32°和22°.

通过分析典型例题，让学生学习、熟悉如何用解直角三角形知识解决有关坡度、坡角的实际问题，提高学生解决问题的能力.