23.1 第1课时正切-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步教案(沪科版)安徽专版

课题

正切

课型

新授课

教学内容

教材第112-114页的内容

教学目标

1. 经历探索直角三角形中某锐角确定后其对边与邻边的比值也随之确定的过程，理解正切的意义．

2. 能够用正切值表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，并能够用正切进行简单计算．

3. 体验数形之间的联系，进一步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题，提高解决实际问题的能力．

4. 引导学生体验数学活动，探索与发现新知识，理解三角函数与现实生活的联系．

教学重难点

教学重点：正切的意义，用正切值表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等．

教学难点：从现实情境中理解正切的意义.

教  学  过  程

备  注

1.创设情境，引入课题

【情景引入】

实际情境：汽车免不了爬坡，爬坡能力是衡量汽车性能的重要指标之一．汽车的爬坡能力是指汽车在满载时所能爬越的最大坡度．

提问：怎样描述坡面的坡度(倾斜程度)呢？

通过熟悉的实际情境引入，引出本节课要学的新知识，让学生体会数学与实际生活的联系，提高学习兴趣，同时激发学生的求知欲和探索欲.

2.类比探究，学习新知

   在下面几组图中，均有两个直角三角形，直角边AC与A1C1表示水平面，斜边AB与A1B1分别表示两个不同的坡面．

问题1：坡面AB和A1B1哪个更陡？你是怎样判断的？

预设答案：

坡面A1B1比坡面AB更陡．

从图中很容易看出∠A＜∠A1，所以坡面A1B1比坡面AB更陡．

追问：还有其他的判断方法吗？

因为AC= A1C1，所以只要比较BC和B1C1的长度即可，BC＜B1C1，所以坡面A1B1比坡面AB更陡．

问题2：类似地，在下图中，坡面AB和A1B1哪个更陡？你又是怎样判断的？

预设答案：

坡面A1B1比坡面AB更陡．

因为BC= B1C1，所以只要比较AC和A1C1的长度即可，因为A1C1＜AC，所以坡面A1B1比坡面AB更陡．

问题3：再来看下图中，坡面AB和A1B1哪个更陡？

以提问的形式让学生分组探究交流，问题从易到难，通过问题1和问题2启发学生得出相关结论，再解决问题3. 提高学生分析问题和解决问题的能力.

提示：水平宽度和垂直高度都不一样.

能否从前面的问题中得到一些启示？

【探究】

小结：坡面的垂直高度和水平宽度的比值越大，猜想坡面就会越陡．

【交流】来看下图中，坡面AB和A1B1哪个更陡？

分析： ,.

∵0.2＜0.375，∴坡面A1B1更陡．

【探究】

如图，在锐角A的一边任取一点B，过点B作另一边的垂线BC，垂足为C，得到Rt△ABC；再任取一点B1，过点B1作另一边的垂线B1C1，垂足为C1，得到另一个Rt△A B1C1……这样，我们可以得到无数个直角三角形，在这些直角三角形中，锐角A的对边与邻边之比……有怎样的关系？

在问题1和问题2的基础上启发学生思考并解决问题3，为后面引出正切作铺垫.