23.1 第1课时正切-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步教案(沪科版)安徽专版

23.1 锐角的三角函数 第1课时 正 切 课题 正切 课型 新授课 教学内容 教材第112-114页的内容 教学目标 1. 经历探索直角三角形中某锐角确定后其对边与邻边的比值也随之确定的过程，理解正切的意义． 2. 能够用正切值表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，并能够用正切进行简单计算． 3. 体验数形之间的联系，进一步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题，提高解决实际问题的能力． 4. 引导学生体验数学活动，探索与发现新知识，理解三角函数与现实生活的联系． 教学重难点 教学重点：正切的意义，用正切值表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等． 教学难点：从现实情境中理解正切的意义. 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 【情景引入】 实际情境：汽车免不了爬坡，爬坡能力是衡量汽车性能的重要指标之一．汽车的爬坡能力是指汽车在满载时所能爬越的最大坡度． 提问：怎样描述坡面的坡度(倾斜程度)呢？ 2.类比探究，学习新知 在下面几组图中，均有两个直角三角形，直角边AC与A1C1表示水平面，斜边AB与A1B1分别表示两个不同的坡面． 问题1：坡面AB和A1B1哪个更陡？你是怎样判断的？ 预设答案： 坡面A1B1比坡面AB更陡． 从图中很容易看出∠A＜∠A1，所以坡面A1B1比坡面AB更陡． 追问：还有其他的判断方法吗？ 因为AC= A1C1，所以只要比较BC和B1C1的长度即可，BC＜B1C1，所以坡面A1B1比坡面AB更陡． 问题2：类似地，在下图中，坡面AB和A1B1哪个更陡？你又是怎样判断的？ 预设答案： 坡面A1B1比坡面AB更陡． 因为BC= B1C1，所以只要比较AC和A1C1的长度即可，因为A1C1＜AC，所以坡面A1B1比坡面AB更陡． 问题3：再来看下图中，坡面AB和A1B1哪个更陡？ 提示：水平宽度和垂直高度都不一样. 能否从前面的问题中得到一些启示？ 【探究】 小结：坡面的垂直高度和水平宽度的比值越大，猜想坡面就会越陡． 【交流】来看下图中，坡面AB和A1B1哪个更陡？ 分析： ,. ∵0.2＜0.375，∴坡面A1B1更陡． 【探究】 如图，在锐角A的一边任取一点B，过点B作另一边的垂线BC，垂足为C，得到Rt△ABC；再任取一点B1，过点B1作另一边的垂线B1C1，垂足为C1，得到另一个Rt△A B1C1……这样，我们可以得到无数个直角三角形，在这些直角三角形中，锐角A的对边与邻边之比……有怎样的关系？ 提示：试着测出这些对边与邻边的长度，并计算出比值． 测量并计算得出：=…. 提问：你能证明这个结论吗？ 【证明】 已知：如图，在Rt△ABC、 Rt△AB1C1和Rt△AB2C2中，∠ACB=∠AC1B1=∠AC2B2=90°． 求证：. 证明：∵∠ACB=∠AC1B1= 90°，∠A=∠A， ∴Rt△ABC∽Rt△AB1C1．∴，即. 同理可得，.∴. 小结：当锐角A的大小确定后，无论直角三角形的大小怎样变化，∠A的对边与邻边的比值总是固定值． 【归纳】 如图，在Rt△ABC中，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切(tangent)，记作tan A，即 注意： ①tan A是一个完整的符号，tan A不表示“tan”乘以“∠A”； ②它表示∠A的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”，但当用三个字母表示角时，角的符号“∠”不能省略，如tan∠ABC； ③tan A没有单位，它表示一个比值，锐角A的对边和邻边的比； ④初中阶段仅研究直角三角形中，∠A是锐角的正切；将来遇到锐角的正切问题，也必须放在直角三角形中去研究. 【交流】现在你会描述坡面的坡度了吗？ 如图，正切经常用来描述坡面的坡度．坡面的铅直高度h和水平长度l的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i，即 (坡度通常写成h∶l的形式) ． 坡面与水平面的夹角叫做坡角(或称倾斜角)，记作α，于是有 小结：坡度(i=tan α)越大，坡角α越大，坡面就越陡． 3.学以致用，应用新知 【例】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4， BC=3，求tan A和tan B． 分析： 根据正切的定义计算： 解：， 4.随堂训练，巩固新知 1. 如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6， AB=10 ，求tan B的值. 解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°， BC=6， AB=10 ， 2. 如图所示，梯形护坡石坝的斜坡AB的坡度i＝1∶3，坝高BC＝2米，则斜坡AB的长是(　　) A. B. C. D.6米 解析：∵∠ACB＝90°，i＝1∶3， ∵BC＝2米，∴AC＝3BC＝3×2＝6(米)． . 答案：B. 3. 如图所示，A，B，C三点在正方形网格线的交点处，网格中，小正方形的边长均为1，若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC'B'，则tan B'的值为_______.  答案：. 小结：锐角的正切问题，必须放在直角三角形中． 5.课堂小结，自我完善 思维导图的形式呈现本节课的主要内容： 6.布置作业 课本P114练习第1,2,3题. 通过熟悉的实际情境引入，引出本节课要学的新知识，让学生体会数学与实际生活的联系，提高学习兴趣，同时激发学生的求知欲和探索欲. 以提问的形式让学生分组探究交流，问题从易到难，通过问题1和问题2启发学生得出相关结论，再解决问题3. 提高学生分析问题和解决问题的能力. 在问题1和问题2的基础上启发学生思考并解决问题3，为后面引出正切作铺垫. 经历探究、测量、猜想、证明的过程，体会数形结合的思想，进一步提高学生利用数学思想分析问题和解决问题的能力. 通过归纳明确正切的定义及注意事项. 通过归纳明确坡度、坡角的定义，进一步体会数学与实际生活的联系. 通过例题的训练，让学生进一步熟悉在直角三角形中如何求锐角的正切，提高学生对所学知识的应用意识. 通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯. 通过小结给出本节课的知识结构，让学生进一步熟悉本节课所学的知识. 通过课后作业，教师能及时了解学生对本节课知识的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整. 板书设计 1.正切：在Rt△ABC中，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切(tangent)，记作tan A，即 提醒学生注意tan A是一个完整的符号； 引导学生主动探究tan B. 2.坡度：正切经常用来描述坡面的坡度．坡面的铅直高度h和水平长度l的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i，即 (坡度通常写成h∶l的形式) ． 坡面与水平面的夹角叫做坡角(或称倾斜角)，记作α，于是有 注意：坡度(i=tan α)越大，坡角α越大，坡面就越陡． 提纲挈领， 重点突出. 教后反思 三角函数不同于已学过的一次函数、反比例函数、二次函数,它的概念、形式和应用方式都不同,因此在最初学习如何应用时较为“别扭”,学生还处于模仿阶段,既要重视对题目的理解、形成一定的解题思路,也要重视书写格式. 反思教学过程和教师表现，进一步提升操作流程和自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $$