22.1 第3课时比例的性质与黄金分割比-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步教案(沪科版)安徽专版

该初中数学教案聚焦“比例的性质”，涵盖基本性质、合比性质、等比性质及黄金分割。以比例尺情境（地图上三角形周长问题）导入，联系生活实际，通过问题驱动引出新知，搭建前后知识学习支架。 亮点在于情境导入激发探究欲（体现数学眼光），探究环节用“设k法”推导等比性质（培养推理能力，数学思维），结合黄金分割实例（建筑、艺术）渗透文化价值。思维导图小结构建知识网络，配套例题、练习及教后反思，助力学生提升应用意识与推理能力，为教师提供完整教学方案。

22.1 比例线段 第3课时 比例的性质 课题 比例的性质 课型 新授课 教学内容 教材第66-69页的内容 教学目标 1.了解比例的基本性质、合比性质、等比性质； 2.会运用比例的性质进行简单的比例变形，并能解决有关问题，培养学生的灵活运用能力； 3.知道黄金分割的定义，会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点； 4.在解决问题的过程中感知知识的实际应用，进一步体会数学与实际生活的紧密联系． 教学重难点 教学重点：比例的基本性质定理、合比性质、等比性质. 教学难点：比例的性质进行简单的比例变形，并能解决有关问题. 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 【思考】 问题：在地图或工程纸上，都标有比例尺，比例尺是图上长度与实际长度的比．现在一张比例尺为1∶5000的图纸上，量得一个△ABC的三边如图所示．你能算出这个图纸所反映的实际△A'B'C'的周长吗？ 2.类比探究，学习新知 【探究】 问题：如果四个数a，b， c，d成比例，即 (b，d≠0)，那么成立吗？ 预设答案： 注意：反过来也成立． 【归纳】 比例的基本性质：如果，那么 (b，d≠0)． 反之也成立，即如果，那么 (b，d≠0)． 【思考】 由还可得到哪些比例式？ 预设答案： 等价于． 注意：均用到了等式的性质． 【探究】 问题：如果，利用等式的性质还可以得到其他比例的性质吗？ 预设答案： 【归纳】 合比性质：如果，那么 (b，d≠0)． 追问：如果在等式两边同时减去1，又得到什么呢？ 预设答案： 分比性质： 【探究】 如果，且， 那么成立吗？ 预设答案： 设，得代入等式左边，则. 注意：上述方法是设k法，在成比例线段的有关问题中应用很广泛. 【归纳】 等比性质：如果，且， 那么. 注意：等比性质成立的条件. 提问：现在你能解决前面提出的问题吗？ 问题：在地图或工程纸上，都标有比例尺，现在一张比例尺为1∶5000的图纸上，量得一个△ABC的三边如图所示．这个图纸所反映的实际△A'B'C'的周长是多少？ 解：根据题意，得 即 又∵ ∴ 答：实际△A'B'C'的周长是600 m. 3.学以致用，应用新知 【例1】已知：如图，在△ABC中，.　 求证：(1) ；(2) . 提示：利用合比性质证明即可. 证明：(1) ∵，∴. ∴. (2) ∵，∴. ∴.∴. ∴. 【例2】如图，已知线段AB长度为a，点P是AB上一点，且使AB∶AP=AP∶PB．求线段AP的长和的值． 　 解：设AP=x，那么PB=ax． 根据题意，得 a∶x=x∶(ax)， 即 x2+axa2=0.解方程，得. 因为线段长度不能为负值，所以取. 即.于是. 【归纳】 AB∶AP=AP∶PB 把一条线段分成两部分，使其中较长线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，分割点叫做这条线段的黄金分割点，比值叫做黄金数． 4.随堂训练，巩固新知 1.在比例尺为1：10 000 000 的地图上，量得甲、乙两地的距离是30 cm，求两地的实际距离． 解：30×10 000 000＝300 000 000(cm)=3 000(km) 答：两地的实际距离是3 000 km. 2. (1)已知，那么=____, =____. (2)如果，那么. 答案：(1) . (2) . 3. 已知点C是线段AB的黄金分割点，BC=AC+2，求线段AC的长.  解：设AC=x，那么BC=x+2，AB=2x+2 ． 根据题意，得AB∶BC=BC∶AC，即(2x+2)∶(x+2) = (x+2)∶x， 化简得x22x4=0.解方程，得. 因为线段长度不能为负值，所以取. 所以线段AC的长为. 5.课堂小结，自我完善 思维导图的形式呈现本节课的主要内容： 6.布置作业 课本P69练习1，2，3，6题. 通过实际情境引入本节课要学习的内容，体会数学与实际生活之间的紧密联系，激发学生的探索欲. 通过交流探讨推导出比例的基本性质，并强调反过来也成立．培养学生利用已学知识解决问题的能力. 类比比例的基本性质的过程推导出相应的比例式，进一步巩固比例的基本性质及推导原理. 利用等式的性质推导出合比性质，为后面在几何中解决有关比例线段问题作准备. 通过追问让学生推导出分比性质. 通过“设k法”推导出等比性质，学会解决问题的方法. 前后呼应，利用已学知识解决前面提出的问题，培养学生的应用意识. 通过例题的训练，让学生进一步熟悉合比性质，体会如何利用比例的性质解决有关比例线段的问题，增强应用意识. 通过例2的探究，了解黄金分割的定义. 通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯. 通过小结给出本节课的知识结构，让学生进一步熟悉本节课所学的知识. 通过课后作业，教师能及时了解学生对本节课知识的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整. 板书设计 框架图式总结，更容易形成知识网络. 教后反思 本节课学习的黄金分割是一个新的概念,学生缺少这方面知识的积累,因此教学中在内容选择上,充分利用网络资源,选用大量图文作为背景,通过建筑、艺术、生活中的实例了解黄金分割，体现数学丰富的文化价值 同时,在应用中进一步理解线段的比、成比例线段等相关内容,在实际操作、思考、交流等过程中增强学生的实践意识. 反思教学过程和教师表现，进一步提升操作流程和自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $$