21.6 综合与实践-获取最大利润-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步教案(沪科版)安徽专版

该教案聚焦二次函数在最大利润问题中的应用，通过回顾二次函数图象、性质及表达式等旧知，搭建学习支架，自然衔接新知，帮助学生建立知识脉络。 以商场定价等生活情境为载体，引导学生通过数据描点、建立函数模型解决问题，培养模型意识与推理能力，思维导图梳理知识体系，提升学生用数学解决实际问题的能力，为教师提供清晰教学流程与实用案例。

21.6 综合与实践 获取最大利润 课题 获取最大利润 课型 新授课 教学内容 教材52-54页的内容 教学目标 1.能够分析和表示实际问题中变量之间的函数关系，并运用函数的知识求出实际问题的最大(或最小)值，培养学生解决问题的能力. 2.能应用已学的知识，经过自主探索和合作交流尝试解决问题. 3.经历探究函数最大(最小)值问题的过程，体会数形结合的思想方法. 4. 在经历和体验数学知识发现的过程中，提高思维品质，在勇于创新的过程中树立学好数学的自信心. 教学重难点 教学重点：二次函数在最优化问题中的应用. 教学难点：从现实问题中建立二次函数模型. 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 【回顾思考】 内容1：回顾一下二次函数的图象及其相关性质分别是什么？ 内容2：说一说二次函数的顶点式和交点式的表达式分别是怎样的？ 内容3：二次函数的顶点、对称轴的计算方法和计算公式分别是怎样的？ 关于二次函数，你们还能想到哪些呢？ 2.类比探究，学习新知 【思考】 在日常生活中存在着许许多多与数学知识有关的实际问题，商品买卖过程中，作为商家追求利润最大化是永恒的追求.如果你是商场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？ 大家先明确两个概念：固定成本和可变成本. 一个制造商制造一种产品，它的成本通常分为固定成本和可变成本.对于固定成本和可变成本的认识，我们可以根据如下图示对其进一步认识和理解. 【想一想】 例如，生产某种收音机的成本(单位：元)可以近似地表示为C=120t+1000，① 其中C表示生产t台收音机的总成本，当t=0时， C =120×0+1000=1000. 1 000元是固定成本，由此可知①式中120t表示可变成本. 制造商出售产品得到的年总收入等于出售产品的年销售量t和产品的销售单价x的乘积，设R表示年总收入，则 R=tx. 制造商的年利润是出售产品的年总收入和生产这些产品的总成本之间的差额，设为P表示年利润，则 P=R – C=tx–(120t+1 000). 【思考】 问题① 当一个工厂在决定是否要生产某种产品时，往往向市场分析专家咨询该产品的销路，一种产品的销售量通常与销售单价有关，当单价上涨时，销售量就下降. 假设某市场分析专家提供了下列数据： 设生产t件产品的成本是：C=50t+1 000. (1)在下图中描出上述表中各组数据对应的点. (2)描出的这些点在同一条直线上吗？ 预设：通过实际操作划线，发现这些点正好在同一条直线上. 追问：你能求出表示这条直线的表达式吗？ 预设：因为表格中明确给出了4组这条线上的点的坐标，所以任意选其中两点带入t=kx+b中求解计算即可. 设t和x之间的函数表达式为：t=kx+b. 则有解这个方程组，得 所以t和x之间的函数表达式为：t=–20x+6 000. (3)问当销售单价x和年销售量t各位多少时，年利润P最大？ 预设：根据等量关系“年利润=单价×销售量–成本”求解. 由“年利润=单价×销售量–成本”得 P=x·(–20x+6000)–[50(–20x+6000)+1000] = –20x2 + 7000x–301000. 再根据二次函数的性质，可得当x= – 时，即x=175，t=2500时，P最大= =311500(元). 问题② 设生产t件某种电子产品的成本(单位：元)可以近似地表示为C=1000t+2000000. 制造商为了获得最大利润，进行了市场调查，取得了该种电子产品销售单价x和年销售量t之间的一组数据： (1)在下图中描出上述表中各组数据对应的点. 观察图象，显然这些点都在某条直线的附近，所以可以近似看作这些点在某同一条直线上. 根据求直线表达式的方法，把表格中的两个点带入一次函数的表达式中求出k、b的值即可得到直线的表达式. 设x和t之间的函数表达式为：x=kt+b. 则有 解这个方程组，得 所以t和x之间的函数表达式为：x=–0.2t+4000. (2)请你帮助制造商分析，当年销售量t和销售单价x各为多少时，年利润P最大？ 预设：根据等量关系“年利润=单价×销售量–成本”求解. 由“年利润=单价×销售量–成本”得 P=(–0.2t+4000)·t–(1000t+2000000) = –0.2t2+3000t–2000000. 再根据二次函数的性质，可得当t= –时，即t=7500，x=2500时，年利润P最大. 【归纳】 3.学以致用，应用新知 【例1】进价为80元的某衬衣定价100元时，每月可卖出2000件，价格每上涨1元，销售量便减少5件，那么每月售出衬衣的总件数y(件)与衬衣售价x(元)之间的函数关系式为，每月利润w(元)与衬衣售价x(元)之间的函数关系式为.(以上关系式只列式不化简) 答案：y=2000–5(x–100) y=[2000–5(x–100)](x–80) 【例2】某商店试销一种新商品，新商品的进价为30元/件，经过一段时间试销，发现每月的销售量会因售价的调整而不同.令每月销售量为y件，售价为x元/件，每月的总利润为Q元. (1)当售价在40~50元时，每月销售量都为60件，则此时每月的总利润最多是多少元？ (2)当售价在50~70元时，每月销售量与售价的关系如图所示，则当该商品售价x是多少元时，该商店每月获利最大，最大利润是多少元？ (3)若4月该商品销售后的总利润为1218元，则该商品售价与当月的销售量各是多少？ 解：(1)由题意得，当40≤x≤50时，Q=60(x–30)=60x–1800. 因为y=60＞0，且Q随x的增大而增大， 所以x最大=50时，Q最大=1200. 答：此时每月的总利润最多是1200元. (2)当50≤x≤70时，可设y与x的函数关系式为y=kx–b. 因为图象过(50，60)和(70，20)， 所以解得 所以y= –2x+160(50≤x≤70). 所以Q=(x–30)y= –2(x–55)2+1250(50≤x≤70). 所以图象开口向下，因此当x=55时，Q最大=1250. 所以当50≤x≤70时，售价为55元时，获利最大为1250元. (3)∵当40≤x≤50时，Q最大=1200＜1218；当50≤x≤70时，Q最大=1250＞1218. ∴售价x应该在50~70元之间. ∴令–(x–55)2+1250=1218.解得x1=51，x2=59. 当x1=51时，y1= –2x+160= –2×51+160=58(件)； 当x2=59时，y2= –2x+160= –2×59+160=42(件). 若4月份该商品销售后的总利润为1218元，则该商品售价为51元或59元，当月的销售量分别为58件或42件. 4.随堂训练，巩固新知 1.某汽车经销商销售汽车所获利润y(元)与销售量x(辆)之间的关系满足y＝－x2＋10 000x＋250 000，则当0＜x≤4 500时，最大利润是( ) A．2 500元 B．25 000 000元 C．2 250元 D．24 997 500元 答案：B 2.某产品进货单价为90元，按100元一件售出时，能售500件．如果这种商品每涨价1元，其销售额就减少10件，为了获得最大利润，其单价应定为______元． 答案： 120 3.某商场试销一种成本为60元/件的T恤，规定试销期间单价不低于成本单价，又获利不得高于40%.经试销发现，销售量y(件)与销售单价x(元/件)符合一次函数y＝kx＋b，且x＝70时，y＝50；x＝80时，y＝40. (1)求一次函数y＝kx＋b的表达式； (2)若该商场获得利润为w元，试写出利润w与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少时，商场可获得最大利润，最大利润是多少？ 解：(1)由题意得解得 ∴所求一次函数表达式为y＝－x＋120　 (2)依题意有，60≤x≤84，w＝(x－60)(－x＋120)＝－x2＋180x－7200＝－(x－90)2＋900， ∵抛物线的开口向下，当x＜90时，w随x的增大而增大，而60≤x≤84，∴x＝84时，w最大＝(84－60)×(120－84)＝864.答：当销售价定为84元/件时，商场可获得最大利润，最大利润是864元. 4.某汽车租赁公司拥有20辆汽车．据统计，当每辆车的日租金为400元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆；公司平均每日的各项支出共4 800元．设公司每日租出x辆车时，日收益为y元．(日收益＝日租金收入－平均每日各项支出) (1)公司每日租出x辆车时，每辆车的日租金为_______元；(用含x的代数式表示) (2)每日租出多少辆车时，租赁公司日收益最大？最大是多少？ (3)当每日租出多少辆车时，租赁公司日收益不盈也不亏？ 解：(1) (1400－50x) (2)由题意得y＝x(－50x＋1400)－4800＝－50(x－14)2＋5000(0≤x≤20)． 当x＝14时，在0≤x≤20范围内，y有最大值5000. ∴每日租出14辆时，租赁公司日收益最大，最大收益为5000元. (3)要使租赁公司日收益不盈也不亏，即y＝0，∴－50(x－14)2＋5000＝0，解得x1＝24(不合题意，舍去)，x2＝4. 即当每日租出4辆时，租赁公司日收益不盈也不亏. 5.课堂小结，自我完善 思维导图的形式呈现本节课的主要内容： 6.布置作业 课本第58页复习题第11题. 通过回顾前面的知识，既是对前边所学知识进行一个整体回顾，也是为接下来学习新课作铺垫. 通过讨论培养学生合作交流的能力，并通过探究问题的形式让学生考虑如何运用函数的相关知识建立数学模型解决实际生活中的问题，同时培养学生运用数学知识解决实际问题的能力. 通过归纳让学生熟悉、巩固建立二次函数模型解决求最大利润的实际问题的一般步骤.同时培养归纳概括能力. 通过例题讲解，巩固本节课所学知识. 通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯. 回顾知识点形成知识体系，养成回顾梳理知识的习惯. 通过课后作业，教师能及时了解学生对本节课知识的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整. 板书设计 一般情况下，运用顶点坐标可以求最值 获取最大利润 顶点坐标在范围内 若自变量x的取值 用顶点坐标求最值 在一定范围内时 顶点坐标不在范围内，结合增减性求最值 框架图式总结更容易形成知识网络. 教后反思 在课堂上通过对一系列问题的解决与交流,让学生通过二次函数掌握解决面积最大、利润最大等这一类题的方法,学会用建模的思想去解决和函数有关的应用问题. 在例题的处理中适当地降低了难度,让学生的思维有一个拓展的空间,在训练的过程中,通过学生的独立思考与小组合作探究相结合,使学生的分析能力、表达能力及思维能力都得到训练和提高,同时也注重对解题方法与解题模式的归纳与总结,并适当地渗透转化、化归、数形结合等数学思想方法. 反思教学过程和教师表现，进一步提升操作流程和自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $$