21.4 第3课时利用二次函数解决运动抛物型问题-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步教案(沪科版)安徽专版

21.4 二次函数的应用 第3课时 利用二次函数模型解决抛物线形运动问题 课题 利用二次函数模型解决抛物线形运动问题 课型 新授课 教学内容 教材38-42页的内容 教学目标 1.熟悉二次函数的图象和性质. 2.会根据二次函数模型解决抛物线形运动问题. 3.提高学生综合运用数学知识和方法解决问题的能力. 教学重难点 教学重点：利用二次函数模型解决抛物线形运动问题. 教学难点：应用二次函数建模. 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 【回顾】 函数y=ax²+bx+c的图象和性质： 2.类比探究，学习新知 【探究点1】二次函数与高度问题 某学校初三年级的一场篮球比赛中,如图,队员甲正在投篮,已知球出手时离地面高 m,与篮圈中心的水平距离为7 m,当球出手后水平距离为4 m时到达最大高度4 m,设篮球运行轨迹为抛物线,篮圈距地面3 m. (1)建立如图所示的平面直角坐标系,问此球能否准确投中? (2)此时,若对方队员乙在甲面前1 m处跳起盖帽拦截,已知乙的最大摸高为3.1 m,那么他能否获得成功? 解：(1)由条件可得到球出手点、最高点和篮圈的坐标分别为A,B(4,4),C(7,3),其中B是抛物线的顶点. 设二次函数表达式为y=a(x-h)2+k,将点A,B的坐标代入,可得y=-(x-4)2+4. 将点C的坐标代入表达式,得左边=右边,即点C在抛物线上,所以此球一定能投中. (2)将x=1代入表达式,得y=3. 因为3.1>3,所以盖帽能获得成功. 【探究点2】二次函数与刹车距离 　已知某型汽车在干燥的路面上,汽车停止行驶所需的刹车距离与刹车时的车速之间有下表所示的对应关系. (1)请你以汽车刹车时的车速v为自变量,刹车距离s为函数,在如图所示的坐标系中描点连线,画出函数的图象； (2)观察所画的函数的图象,你发现了什么? (3)若把这个函数的图象看成是一条抛物线,请根据表中所给的数据,选择三对,求出它的函数表达式； (4)用你留下的两对数据,验证所得到的结论是否正确. 解：（1）描点连线,画出函数的图象如下： (2)图象可看成是一条抛物线,这个函数可看作二次函数. (3)设所求函数表达式为s=av2+bv+c, 把v=48,s=22.5;v=64,s=36;v=96,s=72分别代入s=av2+bv+c, 得解得 ∴s=v2+v. (4)当v=80时,v2+v=802+80=52.5, ∵s=52.5,∴s=v2+v. 当v=112时,v2+v=1122+112=94.5, ∵s=94.5, ∴s=v2+v,经检验,所得结论是正确的. 【总结】解决抛物线形运动问题时，应注意以下两点： (1)首先要搞清问题中的变量和常量，以及它们之间的关系，以便代入函数表达式； (2)建立适当的直角坐标系，用二次函数表达式将问题中的变量和常量的关系表示出来，将相关点的坐标代入所设函数表达式，确定出二次函数表达式，并应用解决问题. 3.学以致用，应用新知 【例1】上抛物体在不计阻力的情况下满足表达式 其中h是物体上升的高度，v0是物体被上抛时竖直向上的初始速度，g是重力加速度(取g＝10m/s 2 )，t是物体抛出后经过的时间.在一次排球比赛中，排球从靠近地面处被垫起时竖直向上的初始速度为10m/s. (1)问排球上升的最大高度是多少？ (2)已知某运动员在2.5米的高度时，扣球效果最佳，如果她要打快攻，问该运动员在排球被垫起多长时间扣球最佳.(精确到0.1 s) 解：（1） 由上式可知，上升的最大高度为5米. （2）当h=2.5 m时，代入上式得，-5(t-1)²+5=2.5, 解得t=0.3. 答：该运动员在排球被垫起0.3 s扣球最佳. 【例 2】跳水运动员进行10米跳台训练时，身体(看成一点)在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O的抛物线(图中标出的数据为已知条件).在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面米，入水处距池边的距离为4米.运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误. (1)求这条抛物线对应的函数表达式. (2)在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是(1)中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为3.6米，请问此次跳水会不会出现失误？ 【分析】(1)根据题意可求起跳点、入水点的坐标及顶点的纵坐标，结合对称轴的位置可求出函数表达式； (2)距池边的水平距离为3.6米处的横坐标是，可求出纵坐标,再根据实际求出距水面的距离，与5进行比较，得出结论. 解：(1)在给定的平面直角坐标系中，设最高点为A，入水点为B，抛物线的表达式为y＝ax+bx+c. 由题意知，O，B两点坐标分别为(0，0)，(2，-10)，顶点纵坐标为. ∵抛物线的对称轴在y轴右侧，∴ >0，即a，b异号. 又抛物线开口向下，则a<0，b>0， ∴ 不合题意，舍去. ∴这条抛物线对应的函数表达式为y＝- x+ x. (2)此次跳水会出现失误. ∵当x＝3.6-2＝时，y＝ ， 此时，运动员距水面高为10- 故这次跳水会出现失误. 【例3】要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高，高度为3 m，水柱落地处离池中心3 m，水管应多长？ 分析：根据题意，以水管与地面交点为原点， 原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立直角坐标系. 解：如图，以水管与地面交点为原点， 原点与水柱落地处所在直线为x轴， 水管所在直线为y轴，建立直角坐标系. ∵点(1，3)是图中这段抛物线的顶点， ∴设这段抛物线对应的函数表达式是y=a(x1)23(0≤x≤3). 又∵这段抛物线经过点(3，0)，可得： 0=a(31)23；解得. ∴y=(x1)23(0≤x≤3). 当x=0时，y=2.25, 答：水管应2.25 m长. 【例4】如图，以40 m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系 h 20t5t 2. (1)球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？ (2)球的飞行高度能否达到 20 m? 若能，需要多少时间? (3)球的飞行高度能否达到 20.5 m?为什么？ (4)球从飞出到落地要用多少时间? 解：(1)当h15时，20t5t215，即t24t3=0. 解这个一元二次方程得，t1 1，t2 3. 当球飞行1s和3s时，它的高度为15 m . 还可以结合图象求解. (2)当h20时，20t5t220，即t24t4=0. 解这个一元二次方程得，t1t2 2. 当球飞行2s时，它的高度为20 m . 还可以结合图象求解. (3)当h20.5时，20t5t220.5，即t24t4.1=0. ∵Δ=( 4)2 4×4.1＜0 ，∴方程无实根. 所以球的飞行高度达不到20.5m . 还可以结合图象求解. (4)小球落地，即h0时，20t5t20，t24t=0. 解这个一元二次方程得，t1 0，t2 4. 所以当球飞行0s和4s时，它的高度为0 m ，即0s时，球从地面飞出，4s时球落回地面，即小球从飞出到落地要用4s. 4.随堂训练，巩固新知 1.从地面竖直向上先后抛出两个小球，小球的高度h(米)与运动时间t(秒)之间的函数关系式为h＝ (t-3)2+40，若后抛出的小球经过2.5秒比先抛出的小球高米，则两个小球抛出的间隔时间是(　　) A.1秒　 B.1.5秒　 　C.2秒　　 D.2.5秒 答案：B 2.飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y＝60t-t2.在飞机着陆滑行中，最后4 s滑行的距离是　　　　m. 答案：24 3．飞机着陆后滑行的距离S(单位：m)与滑行的时间t(单位：s)的函数表达式是S＝60t-1.5t2，飞机着陆后滑行　　　　米飞机才能停下来. 答案：600 4.如图，训练排球场的长度OD为15米，位于排球场中线处球网的高度AB为2.5米，一队员站在点O处发球，排球从点O的正上方2米的C点向正前方飞出.当排球运行至离点O的水平距离OE为5米时，到达最高点G.将排球看成一个点，它运动的轨迹是抛物线，建立如图所示的平面直角坐标系. (1)当排球上升的最大高度为3米时，求排球飞行的高度y(单位：米)与水平距离x(单位：米)的函数关系式.(不要求写自变量x的取值范围) (2)在(1)的条件下，对方距球网0.5米的点F处有一队员，他起跳后的最大高度为2.7米，问这次她是否可以拦网成功？请通过计算说明. (3)若队员发球既要过球网，又不出边界，问排球飞行的最大高度h的取值范围是多少？(排球压线属于没出界) 解：(1)由题意知顶点G(5，3)，设y＝a(x-5)2+3，把C(0，2)代入，得2＝a(0-5)2+3， 解得a＝-，∴y＝-(x-5)2+3. (2)由题意可知，OD＝15米， ∴OB＝7.5米，OF＝7.5+0.5＝8（米）. 当x＝8时，y＝-×(8-5)2+3＝2.64（米）＜2.7米， ∴这次她可以拦网成功. (3)设y＝a(x-5)2+h，将C(0，2)代入，得a(0-5)2+h＝2，解得a＝，∴y＝. 由解得h＞. 答：排球飞行的最大高度h的取值范围是h＞. 5.课堂小结，自我完善 1建立函数模型解决实际问题的步骤: (1)认知读题、审清题意. (2)设有关符号表示题目中的有关量. (3)若已知题目中的函数关系，则直接利用函数的观点解题；若未知题目的函数关系，则根据题目中的等量关系用相关的符号来建立函数关系，并用函数的观点解答问题. 6.布置作业 课本第41题第1，2，3题，第42页3，4，5题 通过回顾前面的知识，帮助学生建立起新旧知识之间的联系，为接下来学习新课作铺垫. 以与实际问题结合的形式引导学生观察并思考回答问题，探究二次函数在抛物线形运动中的应用. 通过例题的探究让学生进一步熟悉如何利用二次函数解决实际问题，并强调实际问题中要考虑自变量的取值范围. 通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，熟练掌握如何利用二次函数相关知识解决实际问题，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯. 通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识. 加深认识，深化提高. 板书设计 利用二次函数解决实际问题 框架图式总结，更容易形成知识网络. 教后反思 本节课重点是如何利用二次函数建立数学模型,并利用二次函数的有关性质来解决实际问题.在本节课的教学过程中有两个难点:(1)如何将情景中的已知条件转化为平面直角坐标系中有关点和线的问题.(2)如何根据实际情景建立最有利于问题解决的直角坐标系. 为了解决上述两个问题,我做了这样的处理:设置课前练习,分散难点;设置分组讨论,让学生在集体讨论中体会直角坐标系的建立;将题目问题细化,降低题目难度. 反思教学过程和教师表现，进一步提升操作流程和自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $$