21.4 第2课时利用二次函数解决建筑模型问题-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步教案(沪科版)安徽专版

该教案聚焦利用二次函数模型解决抛物线形建筑问题，以校门抛物线建筑实例导入，通过追问二次函数最值激活旧知，搭建“旧知回顾-实际问题-模型构建”的学习支架，衔接前后知识脉络。 特色在于创设情境化问题链（如拱桥、悬索桥），拆解建模步骤（建系、列表达式、求解），培养模型意识与推理能力。通过窗户设计实例强化几何直观，助力学生掌握建模方法，为教师提供清晰教学路径，提升课堂效率。

21.4 二次函数的应用 第2课时 利用二次函数模型解决抛物线形建筑问题 课题 利用二次函数模型解决抛物线形建筑问题 课型 新授课 教学内容 教材37-38页的内容 教学目标 1.熟练掌握二次函数模型的相关基础知识. 2.初步体会利用建模的思想解决实际问题的过程. 3.能够初步掌握建立函数模型解决实际问题的基本步骤. 教学重难点 教学重点：建立函数模型解决实际问题，体会建模的数学思想. 教学难点：函数模型解决实际问题. 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 【观察思考】 问题：某大学的校门是抛物线形的水泥建筑物(如图所示),大门的宽度为8米,两侧距地面4米高处各挂有一个挂校名横匾用的铁环,两铁环的水平距离为6米,请你确定校门的高度是多少? 追问：还记得如何求二次函数的最值吗？ 接下来一起探讨二次函数在抛物线形建筑问题中的应用. 2.类比探究，学习新知 【思考】 问题1：如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽4 m，若水面下降2 m，则水面宽度增加____ _m. 解析：以抛物线的顶点为坐标原点，以抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系. 设这条抛物线表示的二次函数为y＝ax2， 由抛物线经过点(2，-2)，可得-2＝a×22，解得a＝， 所以这条抛物线对应的函数表达式为 . 当水面下降2 m时，抛物线的纵坐标为-4， 则当y＝- 4时，得 ，解得x＝， 则此时的水面宽度为m， 所以水面下降2 m，水面宽度增加 (-4) m. 答案：(-4) 【总结】 1.通过上述例题的分析，我们可以看出： 读题是解决实际问题的重要环节，一定要把实际问题所要表述的内容搞清楚，这需要逐字逐句地把问题看懂，这是建立数学模型的前提. 2.解决抛物线形的建筑问题的关键： 合理建立平面直角坐标系，设出适当的二次函数表达式，利用待定系数法求出表达式，再由二次函数的性质解决问题. 问题2：一辆宽为2 m的货车(如图(1))，要通过一条抛物线形隧道(如图(2)).为确保车辆安全通行，规定货车车顶左右两侧离隧道内壁的垂直高度至少为0.5 m.已知隧道的跨度AB为8 m，拱高为4 m. (1)若隧道为单车道，货车高为3.2 m，该货车能否安全通行？为什么？ (2)若隧道为双车道，且两车道之间有0.4 m的隔离带，通过计算说明该货车能够通行的最大安全限高. 分析：以AB所在直线为x轴，线段AB中垂线为y轴建立坐标系，利用待定系数法求出其函数表达式，再求出x＝1时y的值，从而做出判断. 解：(1)货车能安全通行.理由如下： 设抛物线对应的函数表达式为y＝ax2+4， 将B(4，0)代入，得16a+4＝0，解得a＝-， ∴抛物线对应的函数表达式为. 由x＝1，可得y＝3.75. ∵3.75-0.5＝3.25＞3.2，∴货车能够安全通行. (2)∵两车道之间有0.4 m的隔离带，∴由，可得y＝2.79. ∵2.79-0.5=2.29(m), ∴货车能够通行的最大安全限高为2.29 m. 【总结】 1.在解决问题时应选择适当的函数模型； 2.在解题时，能够直接弄清函数形式的可直接利用所给的函数关系求解，若并不能直接确定函数关系的，则应按照题目指明的相等关系建立函数模型，再进行求解. 3.学以致用，应用新知 【例1】如图,悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索,其形状可近似地看作抛物线,水平桥面与主悬钢索之间用垂直钢索连接.已知两端主塔之间水平距离为900 m,两主塔塔顶距桥面的高度为81.5 m,主悬钢索最低点离桥面的高度为0.5 m. 分析：(1)若以桥面所在直线为x轴,抛物线的对称轴为y轴,建立平面直角坐标系,如图,求这条抛物线对应的函数表达式; (2)计算距离桥两端主塔分别为100 m,50 m处垂直钢索的长. 解:(1)根据题意,得抛物线的顶点坐标为(0，0.5),对称轴为y轴,设抛物线对应的函数表达式为y = ax2+0.5. 抛物线经过点(450，81.5),代入上式,得81.5 = a· 4502+0.5. 解方程,得. 答:所求抛物线对应的函数表达式为 (2)当x = 450-100=350(m)时,得y=×3502+0.5=49.5(m). 当x = 450-50=400(m)时,得y=×4002+0.5 =64.5 (m). 答:距离桥两端主塔分别为100 m,50 m处垂直钢索的长分别为49.5 m,64.5 m. 【例2】如图,有一个抛物线的拱形立交桥,这个桥拱的最大高度为16 m,跨度为40 m,现把它放在如图所示的直角坐标系里,若要在离跨度中心点M 5 m处垂直竖一根铁柱支撑这个拱顶,铁柱应取多长? 解：由题意知抛物线的顶点坐标为(20,16), ∴可设抛物线的表达式为y=a(x-20)2+16. ∵点B(40,0)在抛物线上, ∴a(40-20)2+16=0,∴a=- ,∴y=- (x-20)2+16. ∵竖立铁柱脚的点为(15,0)或(25,0), ∴当x=15时,y=- (15-20)2+16=15; 当x=25时,y=- (25-20)2+16=15. ∴铁柱应取15 m. 【例3】从房屋的窗户的形状如图所示，它的上半部分是四个小扇形组成的半圆，下半部分是由三个相同的小矩形组成，制作窗框的材料总长为15 m，设半圆的半径为x m，窗户的截面面积为S m2. (1)求S与x之间的函数表达式，并求出x的取值范围； (2)画出(1)中所求函数的图象； (3)当x的长度为多少时，S有最大的值？最大的值是多少？(精确到0.01) 【思考】观察图形思考小矩形的宽与半圆的半径有什么关系？如何利用二次函数结合矩形面积公式列出函数表达式？ 解：(1)设矩形的宽为y m， ∵材料的总长为15m，∴4y+7x+π x＝15， ∴y＝(15-7x-πx)， 从而S＝2x• (15-7x-πx)+＝-3.5x2+7.5x， 即S＝-3.5x2+7.5x. (2)由(1)知S＝-3.5x2+7.5x＝-0.5x(7x-1.5)＝， 则函数图象与x轴的两个交点坐标是(0，0)，(1.5，0)，顶点坐标是 ，开口向下，其大致图象如图所示. (3)如图所示，当x＝ ≈1.07时，S最大值＝ ≈4.02. 答：当x约为1.07 m时，S有最大值，此时S的最大值约为4.02 m2. 4.随堂训练，巩固新知 1.某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管OA喷出，OA长为1.5 m.水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点B到O的距离为3 m.如图（2），建立平面直角坐标系，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间近似满足函数表达式y＝ax2+x+c(a≠0)，则水流喷出的最大高度为(　　) A.1m B.m C.2m D.m 答案：C 2.如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20 m，如果水位上升3 m达到警戒水位时，水面CD的宽是10 m.如果水位以0.25 m/h的速度上涨，那么达到警戒水位后，再过　　h水位达到桥拱最高点O. 答案：4 3．廊桥是我国古老的文化遗产，下图是某座抛物线形的廊桥示意图.已知水面AB宽40米，抛物线最高点C到水面AB的距离为10米，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，求这两盏灯的水平距离EF.(结果保留根号) 解：如图，以AB所在直线为x轴、线段AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系. 由题意知，A(-20，0)，B(20，0)，C(0，10). 设过点A，B，C的抛物线对应的函数表达式为y＝a(x+20)(x-20)(a＜0). 把点C(0，10)的坐标代入， 得10＝a(0+20)(0-20)，解得a＝- ， 则该抛物线对应的函数表达式为y＝-(x+20)(x-20)＝-x2+10. 把y＝8代入，得- x2+10＝8，解得x1＝4，x2＝-4. 所以两盏警示灯之间的水平距离为 EF＝|x1-x2|＝|4-(-4)|＝8 (m). 5.课堂小结，自我完善 1.本节课的重点是了解数学建模的基本步骤，体会数学建模的基本思想. 2.建立函数模型解决实际问题的步骤: (1)认知读题、审清题意. (2)设有关符号表示题目中的有关量. (3)若已知题目中的函数关系，则直接利用函数的观点解题；若未知题目的函数关系，则根据题目中的等量关系用相关的符号来建立函数关系，并用函数的观点解答问题. 6.布置作业 课本第38页习题第1,2题. 从熟悉的生活场景出发引出实际问题与二次函数的联系，进一步熟悉已学过的知识，为后面要讲解的内容作铺垫. 通过例题的探究让学生进一步熟悉如何利用二次函数解决实际问题，并强调实际问题中要考虑自变量的取值范围. 通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，熟练掌握如何利用二次函数相关知识解决实际问题，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯. 通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识. 加深认识，深化提高. 板书设计 利用二次函数解决桥梁等建筑问题 受实际问题中条件所限，要注意变量的取值范围 一般情况下，利用顶点坐标可以求函数的最值 理解题意 二次函数的应用 写出函数表达式 步骤 结合图象或性质求解 检验结果的合理性 框架图式总结，更容易形成知识网络. 教后反思 通过本节课的学习,学生做到了以下三个方面：首先,掌握利用二次函数知识解决最值问题；其次,会综合运用二次函数和其他数学知识解决有关距离、建立函数模型等问题；最后,发展应用数学知识解决问题的能力,体会数学与生活的密切联系和数学的应用价值. 反思教学过程和教师表现，进一步提升操作流程和自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $$