21.4 第1课时二次函数在面积最值中的应用-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步教案(沪科版)安徽专版

21.4 二次函数的应用 第1课时 二次函数在面积最值中的应用 课题 二次函数在面积最值中的应用 课型 新授课 教学内容 教材36页的内容 教学目标 1.能根据具体几何问题中的数量关系，列出二次函数解析式，并能应用二次函数的相关性质解决面积问题. 2.经历运用二次函数的性质解决实际问题的过程，体会“数形结合”的思想. 3.通过建立实际问题与二次函数的联系，提高学生数学建模的能力. 4.通过用二次函数解决实际生活中的问题，体会函数知识的应用价值，感受数学与人类生活的密切联系. 教学重难点 教学重点：应用二次函数解决几何图形中有关的最值问题. 教学难点：从实际问题中建立二次函数模型并求出最值. 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 【回顾复习】 问题：还记得如何求二次函数的最值吗？ 教师带领学生回顾如何求二次函数的最值. 2.类比探究，学习新知 【合作探究】 问题：你能画一个周长为60 cm的矩形吗？ 思考1：这些矩形的面积一定相等吗？ 预设答案：不一定 思考2：当周长为60 cm时，你能画出一个面积最大的矩形吗？ 借助二次函数图象求出最大值. S矩形=x²＋30x，求S的最大值. 当x=15时，S最大=15²3015=225， 所以，矩形的最大面积为225 cm². 【归纳】 利用二次函数求几何图形面积的最值问题的一般步骤： ①设图形的一边长为自变量，所求面积为因变量； ②利用题目中的已知条件和学过的有关数学公式建立二次函数模型，并指明自变量的范围； ③利用二次函数的性质求最值. 3.学以致用，应用新知 【例】某水产养殖户用长40 m的围网，在水库中围一块矩形的水面，投放鱼苗. 要使围成的水面面积最大，则它的边长应是多少米？最大面积是多少平方米？ 分析：首先要找出围成的水面面积与边长之间的关系. 解：设围成的矩形水面的一边长为x m，那么，矩形水面的另一边长应为(20x) m.若它的面积是S m2，则有 S=x(20x) 将这个函数表达式配方，得： S= (x10)²+100 (0＜x＜20). 这个函数的图象是一条开口向下抛物线中的一段， 如图，它的顶点坐标是(10，100). 所以，当x=10时，函数取得最大值，即 S最大=100 m2. 此时，另一边长=2010=10 m. 答：当围成的矩形水面边长都为10 m时，它的面积最大为100 m2. 4.随堂训练，巩固新知 1.已知一个直角三角形两直角边之和为20 cm，则这个直角三角形的最大面积为（ ） A．25 cm2 B．50 cm2 C．100 cm2 D．不确定 解析：设直角三角形的一直角边长为x cm，那么，另一直角边长应为(20x) cm.若它的面积是S cm2，则有 S= x(20x) 将这个函数表达式配方，得： S= (x10)²+50 (0＜x＜20). 当x=10时，函数取得最大值，即 S最大=50(cm2). 故选B. 答案：B 2.在综合实践活动中，同学们借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用24 m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD，则矩形花园ABCD的最大面积为________. 解析：设矩形的一边长为x m，那么，另一边长应为(24x) m.若它的面积是S m2，则有 S= x(24x). 将这个函数表达式配方，得： S= (x12)²+144 (0＜x＜24). 当x=12时，函数取得最大值，即S最大=144(m2). 答案：144 m² 3．若把一根长为120 cm的铁丝分成两部分 ，每一部分均弯曲成一个正方形，它们的面积和最小是多少？ 解：设将铁丝分成长为x cm，(120－x ) cm的两段，并分别围成正方形，则正方形的边长分别为cm， cm． 设它们的面积和为y cm2，则 当x=60时，y的最小值为450． 答：它们的面积和最小为450 cm2． 5.课堂小结，自我完善 思维导图的形式呈现本节课的主要内容： 6.布置作业 课本第36页习题第1，2题. 引导学生回顾如何求二次函数的最值，进一步熟悉已学过的知识，为后面要讲解的内容作铺垫. 通过让学生自己画矩形，并比较矩形面积的大小，激发学生的学习兴趣及动手操作能力. 通过例题的探究让学生进一步熟悉如何利用二次函数解决实际问题，并强调实际问题中要考虑自变量的取值范围. 通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，熟练掌握如何利用二次函数相关知识解决实际问题，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯. 通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识. 加深认识，深化提高. 板书设计 利用二次函数求几何图形面积的最值问题的一般步骤： ①设图形的一边长为自变量，所求面积为因变量； ②利用题目中的已知条件和学过的有关数学公式建立二次函数模型，并指明自变量的范围； ③利用二次函数的性质求最值. 框架图式总结，更容易形成知识网络. 教后反思 在课堂教学过程中，注重以学生的自主探究为主，从提出问题到解决问题，说明知识来源于生活，而又服务于生活，体现了理论联系实际的教学原则. 通过本节学习，学生不但从实际问题中理解数学知识，体会数学的乐趣，而且从能力上、思想上都达到一个新的境界.不足之处是学生在做题过程中，寻找自变量的取值范围时考虑不到边，需要教师适当地引导.还有在寻找变量与函数关系的环节会觉得有点困难.因此，今后要适当加强这两方面的引导. 反思教学过程和教师表现，进一步提升操作流程和自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $$