21.3 二次函数与一元二次方程-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步教案(沪科版)安徽专版

21.3 二次函数与一元二次方程 课题 二次函数与一元二次方程 课型 新授课 教学内容 教材30-35页的内容 教学目标 1.理解二次函数图象与x轴交点的横坐标与一元二次方程的根之间的联系. 2.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，渗透数形结合的思想方法. 3.通过共同探究的方式，培养学生的合作交流意识，以及观察问题和解决问题的能力. 4.在探索二次函数与一元二次方程的关系的过程中，让学生感受数学知识之间的内在联系，认识到事物之间的联系与转化. 教学重难点 教学重点：二次函数图象与x轴交点与一元二次方程的根的关系. 教学难点：二次函数与一元二次方程之间的关系. 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 【回顾】 一次函数ykxb 的图象如图所示，则关于x的一元一次方程 kxb0 的解为？ 根据上图，用同样的解题方法，快速求解下面的两个一元一次不等式： 一元一次不等式kxb＞0 的解集为x > - ； 一元一次不等式kxb＜0 的解集为x < - ． 类比一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系，那二次函数与一元二次方程有什么关系呢？这节课我们一起探究！ 2.类比探究，学习新知 【观察】 （1）观察下图，说一说二次函数y=x2+3x+2的图象与x轴有几个交点？ 预设：很明显有两个交点，而且此时这两个点的函数值y等于0. 追问：交点的横坐标与一元二次方程x2+3x+2=0的根有什么关系？ 解方程x2+3x+2=0得到方程的两个根分别为x1= –1，x2= –2.对比二次函数y=x2+3x+2的图象与x轴的两个交点(–2，0)，(–1，0)，很容易得到一元二次方程x2+3x+2=0的两个根等于二次函数y=x2+3x+2的图象与x轴交点的横坐标. 也就是，对于一元二次方程ax2+bx+c=0，当Δ=b2–4ac＞0时有两个不相等的实数根，这两个实数根分别是对应二次函数y=ax2+bx+c的函数值等于0时自变量x的值，即二次函数的图象与x轴交点的横坐标.即： （2） 如果函数值y等于–，又会怎样呢？ 首先，在图象上画出直线y= –，此时这条直线与二次函数的图象有一个交点(–，–)；再求解其对应的一元二次方程x2+3x+2= –，得到方程的解是x1= x2= –. 结合上边的分析及其图象，我们得到： （3）如果函数值y等于–2，又会怎样呢？ 同样，先在图象上画出直线y= –2，此时这条直线与二次函数的图象无交点；再求解其对应的一元二次方程x2+3x+2= –2，此方程无解. 结合上边的分析及其图象，我们得到： 分析到这里，你能结合一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系总结一下二次函数与一元二次方程的关系吗？ 总结如下： 【做一做】 画出下列二次函数的图象，能否写出相应的一元二次方程的根？ （1）yx2x2 （2）yx26x9 （3）yx2x1 答案：如图. (1)2，1； (2)3； (3)没有实数根. 思考1：如何利用二次函数求一元二次方程的近似解. 例：求一元二次方程x2+2x-1=0的根的近似值（精确到 0.1） 分析：一元二次方程x²+2x-1=0的根就是抛物线y=x²+2x-1与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法. 解：画出函数 y=x²+2x-1 的图象（如图），由图象可知，方程有两个实数根，一个在-3与-2之间，另一个在0与1之间. 先求位于-3到-2之间的根，由图象可估计这个根是-2.5或-2.4，利用计算器进行探索，见下表： x … －2.5 －2.4 … y … 0.25 －0.04 … 观察上表可以发现，当x分别取-2.5和-2.4时，对应的y由负变正，可见在-2.5和-2.4之间肯定有一个x使y=0，即有y=x2-2x-1的一个根，题目只要求精确到0.1，这时取x=-2.5和x=-2.4都符合要求.但当x=-2.4时更为接近0.故x1≈-2.4. 同理可得另一近似值为x2≈0.4. 思考2：如何利用函数图象解一元二次不等式呢？ 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次不等式的关系: 3.学以致用，应用新知 【例1】已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，求k的取值范围． 解：当k＝3时，函数y＝2x＋1是一次函数． ∵一次函数y＝2x＋1与x轴有一个交点， ∴k＝3; 当k≠3时，y＝(k－3)x2＋2x＋1是二次函数． ∵二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点， ∴Δ＝b2－4ac≥0. ∵b2－4ac＝22－4(k－3)＝－4k＋16， ∴－4k＋16≥0. ∴k≤4且k≠3. 综上所述，k的取值范围是k≤4. 【例2】已知：抛物线y＝x2＋ax＋a－2. (1)求证：不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴都有两个不同的交点; (2)设这个二次函数的图象与x轴相交于A(x1，0)，B(x2，0)，且x1,x2的平方和为3，求a的值． 解：(1)证明：∵Δ＝a2－4(a－2)＝(a－2)2＋4＞0， ∴不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴都有两个不同的交点. (2)解：∵x1＋x2＝－a，x1·x2＝a－2， ∴x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝a2－2a＋4＝3， ∴a＝1. 【例3】函数y=ax2+bx+c的图象如图，那么: 方程ax2+bx+c=2的根是 __________; 不等式ax2+bx+c>2的解集是_________; 不等式ax2+bx+c<2的解集是________. 答案：x1=-2， x2=4 x<-2或x>4 -2<x<4 4.随堂训练，巩固新知 1.二次函数yx22x1的图象与x轴的交点个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 答案：B 2.不与x轴相交的抛物线是（ ） A. y2x23 B. y2x23 C. yx23x D. y2(x1)23 答案：D 3．抛物线yax2bxc与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0），则方程ax2bxc0的解为____________． 答案： x11，x23 4. 二次函数yax2bxc的图象如下图所示，则ax2bxc0的解为______， ax2bxc＞0的解为_______． 答案： x1－1，x23；x＜1或x＞3 5.课堂小结，自我完善 思维导图的形式呈现本节课的主要内容： 6.布置作业 课本第33页习题第1，2，3题，第34页2，5题. 通过回顾一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系，为后面用类比的方法继续探索二次函数与一元二次方程的关系作铺垫，引出数形结合的思想方法. 以问题串的形式引导学生观察并思考回答问题，层层递进的形式探究二次函数与一元二次方程的关系. 培养学生自主思考的习惯，增强学生的归纳概括能力和表达能力，并激发好奇心和求知欲． 趁热打铁，通过小练习巩固上面所学的内容，加深对新知识的理解及应用，培养学生观察图象的能力，增强理性认识，体验数形结合思想的重要性. 通过例题进一步培养学生观察、分析问题、解决问题的能力，并通过动画演示体会数形结合的思想方法. 通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯. 回顾知识点形成知识体系，养成回顾梳理知识的习惯. 加深认识，深化提高. 板书设计 1.二次函数与一元二次方程 二次函数的图象与x轴交点个数⇔一元二次方程的根 没有公共点⇔无解 一个公共点⇔有两个相等的实数根 两个公共点⇔有两个不相等的实数根 2.二次函数与一元二次不等式 图象在x轴上方的点的横坐标⇔ax2＋bx＋c > 0的解 图象在x轴上方的点的横坐标⇔ax2＋bx＋c < 0的解 教后反思 ①授课流程反思 在探究新知的环节中，教师做好问题的求解和“数形结合”的对比演示，使学生能够理解“数”与“形”之间的关系;课堂训练环节中，教师给子学生自主解答问题的时间，教师做好点评. ②讲授效果反思 教师引导学生注意以下几点:(1)抛物线与坐标轴交点的求法， 即把已知坐标代入: (2)抛物线与x轴交点个数可通过计算b²-4ac进行判断. ③师生互动反思 教学过程中，以学生为主体，通过学生自主探索和合作交流，真正理解和掌握二次函数与一元二次方程之间的关系. 反思教学过程和教师表现，进一步提升操作流程和自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $$