21.2 第6课时二次函数表达式的确定-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步教案(沪科版)安徽专版

该初中数学教案聚焦“二次函数表达式的确定”，通过类比一次函数待定系数法（设、代、解、还原步骤）导入，引导学生从旧知迁移，探究二次函数一般式、交点式、顶点式的求解方法，搭建知识支架。 资料以分层例题（三点求一般式、交点求交点式、顶点求顶点式）和思维导图总结知识体系为特色，培养数学思维的推理意识（类比迁移）、数学眼光的抽象能力（条件与形式匹配），提升运算能力，助力学生构建知识网络，教师使用可高效落实重点、突破难点。

21.2 二次函数 第6课时 二次函数表达式的确定 课题 二次函数表达式的确定 课型 新授课 教学内容 教材21-23页的内容 教学目标 1.经历对用待定系数法求二次函数表达式的探究，掌握待定系数法求表达式的方法. 2.能灵活地根据条件恰当选取解析式形式，体会二次函数表达式之间的转化. 3.经历探究过程，培养学生数学运算的核心素养，并养成良好的运算习惯. 4.在学习过程中，感受学习数学知识的价值，提高对数学学习的兴趣. 教学重难点 教学重点：待定系数法求二次函数表达式. 教学难点：灵活地根据条件恰当地选取表达式. 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 【思考】 问题：一次函数的表达式是怎样求得的？ 预设：由两点（两点的连线不与坐标轴平行）的坐标可以确定一次函数，即可以求出这个一次函数的表达式(待定系数法). 待定系数法的步骤：设、代、解、还原. 一次函数的表达式是 (k≠0)，要求出表达式，就是要求出k，b的值，需要列出二元一次方程组求出k，b，那么需要知道图象上两个点的坐标. 追问：二次函数的表达式如何确定呢？ 2.类比探究，学习新知 【思考】 如何求二次函数 的表达式？ 问题指引： ①二次函数 的表达式中有几个待定系数？ ②转化成什么样的方程组？ ③需要图象上的几个点才能求出来？ 预设：二次函数的表达式是，要求出a，b，c的值，3个未知数，因此需要转化成三元一次方程组，需要图象上三个点的坐标，列出三元一次方程组. 3.学以致用，应用新知 【例1】已知一个二次函数的图象经过(–1，10)，(1，4)，(2，7)三点，求这个二次函数的表达式？ 根据一次函数表达式的计算过程试一试. 解：设所求二次函数的表达式为y=ax2+bx+c. 由已知函数图象经过(–1，10)，(1，4)，(2，7)三点，得 解这个方程组，得 把a，b，c分别代入，得到所求的二次函数表达式为y=2x2–3x+5. 【归纳】 一般式法求二次函数表达式的方法： 这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法.其步骤是： ①设函数表达式为y=ax2+bx+c； ②代入后得到一个三元一次方程组； ③解方程组得到a，b，c的值； ④写出函数表达式. 【例2】有一个二次函数，当x=0时，y= –1；当x = –2时，y=0；当x =时，y=0，求这个二次函数的表达式. 提示：用一般式法能计算吗？ 解：设所求二次函数的表达式为y=ax2+bx+c.根据题意，得 解这个方程组，得 所以所求二次函数的表达式为y=x2 +x –1. 追问：还有其他的求解方法吗？ 观察抛物线所过三个点，其中（，0），（，0）两点纵坐标为0，说明这是抛物线与x轴的两个交点，不妨设交点式： . 解：∵(–2，0)和(，0)是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点， ∴可设这个二次函数的表达式是y=a(x–x1)(x–x2)(x1，x2为抛物线与x轴交点的横坐标). 因此可得y=a(x+2)(x – ). (此时表达式中只含有一个未知数a，只要再有一点坐标，代入即可求出这个二次函数的表达式.) 把点(0，–1)代入，得–1=a(0+2)(0 – ). 解这个一元一次方程，得a=1. 所以所求二次函数的表达式是y=1·(x+2)(x – )， 即y=x2 +x –1. 【归纳】 交点式法求二次函数表达式的方法： 这种知道抛物线与x轴的交点求表达式的方法叫做交点式法.其步骤是： ①设函数表达式是y=a(x–x1)(x–x2) (x1，x2为抛物线与x轴交点的横坐标)； ②先把两交点的横坐标x1，x2代入到表达式后，得到的表达式中只含有一个未知数a； ③将另一个坐标代入②中得到的表达式，并解这个方程求出a值； ④写出函数表达式. 【例3】如果知道二次函数的顶点坐标为A(1，–1)，且过B(2，1) ，请求出表达式. 分析：题目中只给了两个点的坐标，肯定不能直接用一般式法和交点式法，继续观察两个点的坐标，其中一个点是抛物线的顶点坐标，因此想到形如 的表达式.代入顶点坐标后，解析式中只含有一个未知数a了，再把另一个点的坐标代入即可. 解：设这个二次函数的表达式是y=a(x + h)2+k. 把顶点(1，–1)代入y=a(x + h)2+k中，得y=a(x –1)2–1. 再把点(2，1) 代入上式，得1=a(2 –1)2–1. 解这个一元一次方程，得a=2. 所以所求二次函数的表达式是y=2·(x –1)2–1，即y=2x2–4x+1. 【归纳】 顶点式法求二次函数表达式的方法 这种知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点式法.其步骤是： ①设函数表达式是y=a(x+h)2+k； ②先代入顶点坐标后，得到的表达式中只含有一个未知数a； ③将另一个坐标代入②中得到的表达式，并解这个方程求出a值； ④写出函数表达式. 【例4】抛物线y=x2–4x+8与直线y=x+1交于B，C两点. (1)在同一直角坐标系中画出直线和抛物线； (2)记抛物线的顶点为A，求△ABC的面积. 解：(1)图象如下图(左). (2)观察图象（如上图右），计算△ABC的面积的方法不唯一，如：. 由y=x2–4x+8=(x–4)2，得点A坐标为(4，0). 解方程组 得点B坐标为(2，2)，点C坐标为(7，4.5). 所以 =7.5. 所以△ABC的面积是7.5. 4.随堂训练，巩固新知 1.求经过 ， ， 三点的抛物线的表达式. 解：设二次函数表达式为 ，代入 ， ， ，列方程组为 解这个方程组，得 ∴所求抛物线的表达式为 . 2.二次函数的图象如图，则它的表达式正确的是（ ） A． B． C． D． 解法一：设抛物线表达式为 ，其中 ，由图象可知 ， ； ∴表达式为 . 又∵抛物线过点（2，0），∴ ，∴ ，∴二次函数为 .故选D. 解法二：由图可知，二次函数的顶点坐标是（1，2），并且过点（2，0），那么设二次函数的表达式为 ，用待定系数法，求得 ，求得表达式为 ，一般式为 ，故选D. 解法三：由图可知，由图可知，二次函数与x轴交点坐标是（2，0）和（0，0），又过（1，2）点，因此设表达式为 ，求得 . 表达式为 ，故选D. 5.课堂小结，自我完善 思维导图的形式呈现本节课的主要内容： (1)一般形式 :y=ax²+bx+c (a,b,c为常数,a ≠0) (2)顶点式 : (a ≠0)，顶点为（h,k） (3)交点式: (a ≠0), 与x轴两交点为(,0),(,0) 6.布置作业 课本第23页习题第1,2,3题. 回顾旧知，类比一次函数表达式的求法引出二次函数表达式的求解，也是为后边的探究过程做铺垫. 学生通过对类比一次函数表达式的解法，探究出求二次函数的表达式的方法，培养其自主学习的能力. 通过例题讲解，探究二次函数表达式的求解方法——一般式法，让学生类比一次函数的求解过程思考并计算. 在探究过程中让学生感受类比、转化的数学思想. 通过例2的讲解，探究二次函数表达式的求解方法——交点式法.一般式法可以直接计算得到，继续引导学生观察3个坐标的特点，从而让学生自主思考、探究得出交点式法. 通过例3的讲解，探究二次函数解析式的求解方法——顶点式法. 培养学生灵活应用所学知识解决问题的能力. 通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯. 回顾知识点形成知识体系，养成回顾梳理知识的习惯. 加深认识，深化提高. 板书设计 框架图式总结，更容易形成知识网络. 教后反思 本节课的重点是要学生掌握用待定系数法确定二次函数表达式的步骤和方法，并能根据条件灵活应用二次函数的三种形式:一般式、顶点式、交点式，以便在用待定系数法求解二次函数表达式时减少未知数的个数，简化运算过程.本节课设计注重发展了学生的数形结合的思想方法及综合分析解决问题的能力及应用意识的培养，为后继学习打下基础． 反思教学过程和教师表现，进一步提升操作流程和自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $$