21.2 第5课时二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步教案(沪科版)安徽专版

21.2 二次函数 第5课时 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 课题 二次函数 y=ax²+bx+c的图象和性质 课型 新授课 教学内容 教材18-21页的内容 教学目标 1.会用配方法或公式法将一般式y＝ax2+bx+c化成顶点式y＝a(x+h)2+k,从而确定开口方向、对称轴及顶点坐标；会画二次函数一般式y＝ax2+bx+c的图象. 2.让学生经历探索二次函数y＝ax2+bx+c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程，理解二次函数y＝ax2+bx+c的性质. 3.能根据二次函数y＝ax2+bx+c的图象确定表达式中的字母系数. 教学重难点 教学重点：用配方法或公式法将一般式y＝ax2+bx+c化成顶点式y＝a(x+h)2+k,从而确定开口方向、对称轴及顶点坐标；二次函数y＝ax2+bx+c的性质. 教学难点：二次函数y＝ax2+bx+c的性质以及它的对称轴和顶点坐标. 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 【回顾】 问题1：你能说出函数y＝-4(x-2)2+1的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？ 答案：开口向下，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为(2，1). 问题2：函数y＝-4(x-2)2+1的图象与函数y＝-4x2的图象有什么关系? 答案：函数y＝-4(x-2)2+1的图象可以看成是将函数y＝-4x2的图象向右平移2个单位再向上平移1个单位得到的. 问题3：函数y＝-4(x-2)2+1具有哪些性质? 答案：当x＜2时，函数值y随x的增大而增大； 当x＞2时，函数值y随x的增大而减小； 当x＝2时，函数取得最大值，最大值y＝1. 2.类比探究，学习新知 【思考】 问题1：怎样画 的图象较简单？ 用一般式通过列表、描点、连线的方式画图较麻烦，而将一般式化为顶点式再画图相对较简单. 问题2：将一般式y＝ax2+bx+c化为顶点式y＝a(x+h)2+k，需要用配方法，配方法的步骤你还记得吗？ “一提”“二配”“三化” 例1 画出二次函数y＝-2(x+2)2+1的图象. 【解】列表： 描点、连线，如图. 例2：画出函数的图象，并说明这个函数具有哪些性质？ 【解】如图. 【思考】以上所讲的，都是给出一个具体的二次函数，来研究它的图象与性质.那么，对于任意一个二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)，如何确定它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标?你能把结果写出来吗? y＝ax2+bx+c＝a(x2+ x)+c ＝a[x2+ x+( )2-( )2]+c ＝a[x2+ x+()2]+c- ＝a(x+)2+ . 当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下. 对称轴是直线x＝-，顶点坐标是(-，). 【注意】用配方法将一般式转化为顶点式的步骤是一提、二配、三整理.“提”就是提取二次项系数,使二次项系数变为1,注意不能像配方法解方程一样,两边同除以二次项系数;“配”就是配上一次项系数一半的平方,注意这里的一次项系数是在第一步提取了二次项系数后的一次项系数;“整理”就是将式子整理成y=a(x+h)2+k的形式(即顶点式). 问题3：二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象与a，b，c，b²-4ac的关系： 字母系数符合的条件 图象的特征 a＞0 开口__向上_ a＜0 开口 向下 b＝0 对称轴为__y___轴 a，b同号 对称轴在y轴的__左__侧 a，b异号 对称轴在y轴的__右__侧 c＝0 经过原点 c>0 与y轴交于 正 半轴 c<0 与y轴交于__负___半轴 3.学以致用，应用新知 【例1】根据顶点坐标公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标. 答案：(1)对称轴为直线x＝3；顶点坐标：(3,-5). (2)对称轴为直线x＝8；顶点坐标：(8,1). (3)对称轴为直线x＝1.25；顶点坐标： (4)对称轴为直线x＝0.5；顶点坐标： 【例2】如图是二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，对称轴是直线x＝-1，有下列判断： ①b-2a＝0； ②4a-2b+c<0； ③a-b+c＝ -9a； ④若(-3，y1),(，y2)是抛物线上两点，则y1>y2. 其中正确的是( ) A.①②③　　 B.①③④ C.①②④ 　D.②③④ 答案：B 【例3】已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论： ①abc＞0； ②2a-b＜0； ③4a-2b+c＜0； ④(a+c)2＜b2. 其中正确的个数是(　　) A.1　　　B.2　　　　C.3　　　D.4 答案：D 【例4】用配方法把函数y=-3x2+6x+1化成y=a(x+h)2+k的形式,并写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标. 答案： y=-3x2+6x+1=-3(x2-2x)+1=-3(x-1)2+4. 开口方向向下,对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,4). 4.随堂训练，巩固新知 1.若点A(2,y1),B(-3,y2),C(-1,y3)均在抛物线y=x2-4x-m的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是 (　　) A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3 C.y2>y3>y1 D.y3>y1>y2 答案：C 2.已知二次函数y=ax2+4x+a-1的最小值为2,求a的值. 解：∵二次函数y=ax2+4x+a-1有最小值2, ∴a>0, y最小值==2, 整理,得a2-3a-4=0, 解得a=-1或4. ∵a>0, ∴a=4. 3.二次函数y=-x2+2kx+1(k<0)的图象可能是 (　　) 答案：A 4.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列结论中,正确的是(　　) A.ab>0,c>0 B.ab>0,c<0 C.ab<0,c>0 D.ab<0,c<0 答案：C 5.课堂小结，自我完善 （1）函数y=ax²+bx+c的图象和性质： （2）配方法求得的表达式： y＝ax2+bx+c＝a(x2+ x)+c ＝a[x2+ x+( )2-( )2]+c ＝a[x2+ x+()2]+c- ＝a(x+)2+ . 6.布置作业 课本第20页习题第2,3,4,5题. 通过回顾前面的知识，帮助学生建立起新旧知识之间的联系，为接下来学习新课作铺垫. 通过画图，培养学生的动手能力，变被动接受为主动探究，激发学生的学习兴趣和求知欲望.加深对二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质的理解. 通过特殊到一般，总结出求二次函数图象y=ax²+bx+c图象顶点坐标的一般方法：配方法、公式法. 通过例题讲解，巩固本节课所学知识. 通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯. 回顾知识点形成知识体系，养成回顾梳理知识的习惯. 加深认识，深化提高. 板书设计 y＝ax2+bx+c＝a(x+)2+ . 当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下. 对称轴是直线x＝-，顶点坐标是(-，). 框架图式总结，更容易形成知识网络. 教后反思 本节课研究二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质,关键是通过配方法将y=ax2+bx+c化成y=a(x+h)2+k的形式.教学时,可以结合复习一元二次方程的知识,认识两者的相同与不同之处.注意让学生根据图象或利用配方法确定抛物线的对称轴和顶点坐标. 反思教学过程和教师表现，进一步提升操作流程和自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $$