21.2 第3课时二次函数y=a（x+h）²的图象与性质-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步教案(沪科版)安徽专版

该教案聚焦二次函数y=a(x+h)²的图象和性质，通过回顾y=ax²+k与y=ax²的上下平移关系，提出左右平移问题，搭建新旧知识支架，引导学生类比探究新知。 特色在于类比探究与直观操作结合，通过描点画图、表格对比y=x²与y=(x±1)²的顶点、对称轴及平移规律，培养几何直观与推理意识，用数学语言清晰表达联系，助力学生主动构建知识，提升教师教学效率。

21.2 二次函数 第3课时 二次函数y=a(x+h)²的图象和性质 课题 二次函数 y=a(x+h)²的图象和性质 课型 新授课 教学内容 教材14-16页的内容 教学目标 1.会用描点法画出二次函数y=a(x+h)2的图象，概括出图象的特点. 2.掌握形如y=a(x+h)2的二次函数的性质并会简单应用. 3.理解二次函数y=a(x+h)2与y＝ax2之间的联系. 4.让学生通过对比发现不同形式二次函数图象的特点，学会由具体到抽象，由特殊到一般地探索事物规律的方法. 教学重难点 教学重点：y=a(x+h)2的二次函数的性质并会简单应用. 教学难点：二次函数y=a(x+h)2与y＝ax2之间的联系. 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 【回顾】 问题1：回忆一下二次函数y＝ax2＋k (a≠0)的图象和性质： y=ax²+k(a≠0) a>0 a<0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 顶点坐标 顶点坐标是(0,k) 顶点坐标是(0,k) 对称轴 y轴 y轴 增减性 在y轴左侧，函数值y随x的增大而减小； 在y轴右侧，函数值y随x的增大而增大 在y轴左侧，函数值y随x的增大而增大； 在y轴右侧，函数值y随x的增大而减小 最值 x=0时， x=0时， 问题2：二次函数y=ax2+k与y=ax²(a≠0)的图象和性质有什么异同？ 函数 y=ax² y=ax²+k 相同点 (1) 形状相同； (2) 开口大小和开口方向相同； (3) 增减性相同 不同点 （位置） 当k>0时，抛物线y=ax²+k由抛物线y=ax²沿y轴方向向上移动k个单位得到； 当k<0时，抛物线y=ax²+k由抛物线y=ax²沿y轴方向向下移动|k|个单位得到 顶点坐标(最值)不同 如果函数y=ax²的图象向左(或向右)平移又会怎样呢？ 2.类比探究，学习新知 【思考】 在同一平面直角坐标系中，怎样画出函数y=x2，y=(x–1) 2和y=(x+1) 2的函数图象？ 先按照画图的三步骤“列表、描点、连线”画出图象. (1)列表(画二次函数图象，选点一般对称选). (2)描点、连线. 观察y=x2，y=(x–1) 2和y=(x+1) 2三个函数的图象，回答下列问题： (1)这三个函数图象的开口方向如何？顶点坐标、对称轴分别是什么？ 答案：三条抛物线的开口都是向上； 三条抛物线的对称轴： 抛物线y=x2的对称轴是 y 轴，抛物线y=(x–1) 2的对称轴是直线x=1，抛物线y =(x+1) 2的对称轴是直线x= –1； 三条抛物线的顶点坐标： 抛物线y=x2的顶点坐标是(0，0)，抛物线y=(x–1) 2的顶点坐标是(1，0)，抛物线y =(x+1) 2的顶点坐标是(–1，0). (2)对于同一个y值，这三个函数对应的x值之间有什么关系？这三个函数的图象在位置上有什么关系？ 观察图象，我们很容易看出对应同一个y值，y=x2对应的x值比y=(x–1)2对应的x值小1，同时比y=(x＋1)2对应的x值大1. 纵坐标相等，横坐标“－1”或“＋1”，根据图象在坐标系中的平移规律可知，对应的图象应该是向右平移一个单位或向左平移一个单位. (3)当x分别取何值时，这三个函数取得最小值？最小值分别是多少？ 提示：题目中要求的是最小值，求最小值也就是需要先找到图象上的最低点. 三条抛物线都是开口向上，所以最低点就是它们对应的顶点坐标，分别为(0，0)，(1，0)，(–1，0).因此得到它们的最小值都是0. 让学生试着画出y=–x2，y=– (x–1) 2和y=– (x+1) 2三个函数的图象，并说一说它们有什么特征？(按照前边a＞0的思路思考即可) 请你说一说函数y=a(x+h) 2的图象和性质. y=a(x+h)²(a≠0) a>0 a<0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 顶点坐标 顶点坐标是(-h,0) 顶点坐标是（-h，0） 对称轴 直线x=-h 直线x=-h 增减性 当x<-h,函数值y随x的增大而减小； 当x>-h,函数值y随x的增大而增大 当x<-h,函数值y随x的增大而增大； 当x>-h,函数值y随x的增大而减小 最值 x=-h时， x=-h时， 请你说一说函数y=ax2的图象与函数y=a(x+h)²的图象的相同点与不同点. 函数 y=ax² y=a(x+h)² 相同点 (1) 形状相同； (2) 开口大小和开口方向相同； (3) 增减性相同； (4) 最大(小)值一样 不同点 （位置） 当h>0时，抛物线y=a(x+h)²由抛物线y=ax²沿x轴方向向左移动h个单位得到； 当h<0时，抛物线y=a(x+h)²由抛物线y=ax²沿x轴方向向右移动|h|个单位得到 顶点坐标不同 3.学以致用，应用新知 【例1】在同一直角坐标系中，画出函数2和2的图象，并说明通过怎样的平移，可以由抛物线2得到抛物线2. 解：列表(为了后边画图对称，可以适当多取一些值)； 描点、连线. 对图象中的点分析，可以得到：纵坐标相等，横坐标 “+2”，根据图象在坐标系中的平移规律可知，抛物线2是由抛物线2向右平移2个单位得到的. 观察图象，很容易得出由抛物线2向右平移2个单位可得到抛物线2. 【例2】在一次函数y=kx+b(k≠0)中，y随x的增大而减小，则二次函数y=k(x-1)2的图象大致是( ) 答案：B 【例3】把抛物线y=-(x-5)2平移得到抛物线y=-x2,下列平移方法正确的是( ) A. 沿x轴向左平移5个单位长度 B. 沿x轴向右平移5个单位长度 C. 沿y轴向上平移5个单位长度 D. 沿y轴向下平移5个单位长度 答案：B 【例4】抛物线y=的对称轴是直线　___　,顶点坐标是　____,当x<时，y随x的增大而　　 ，当x>时，y随x的增大而　 　.  答案：x = ;(,0);减小；增大 【例5】抛物线y=–(x+2)2 的开口方向是________，顶点坐标是_　____，对称轴是________. 当x___　__时，函数y随x的增大而增大；当x________时，函数y随x的增大而减小. 抛物线y=–(x+2)2可由抛物线y=–x2向_____平移_____个单位得到. 答案：向下 (–2，0) 直线x= –2 ＜–2 ＞–2 左 2 4.随堂训练，巩固新知 1.顶点坐标为(-6,0),开口向下,形状与函数y=x2的图象相同的抛物线所对应的函数是（ ） A.y=(x-6)2 B.y=(x+6)2 C.y=(x-6)2 D.y=(x+6)2 答案：D 2.已知抛物线y=-(x+2)2上两点A(，),B(，).若>>-2，则下列说法正确的是（ ） A. 0<< B. 0<< C<<0 D. <<0 答案：D 3.已知抛物线y=a的对称轴是直线x=2，抛物线与y轴的交点是(0,8)，求a，m的值. 解:∵抛物线y=a的对称轴是直线x=2, ∴m=-2，∴抛物线的表达式为y=a(x-2)2. ∵抛物线与y轴的交点是(0，8)， ∴8=a(0-2)2，解得a=2. 4.已知一条抛物线的开口方向和形状大小与抛物线y=-8x2都相同,并且它的顶点与抛物线y=2的顶点相同. (1)求这条抛物线的表达式； (2)求将(1)中的抛物线向左平移5个单位后得到的抛物线的表达式； (3)若(2)中所得的抛物线的顶点不动,将抛物线的开口反向,求反向后的抛物线的表达式. 答案：(1)y=-8. (2)y=-8. (3)y=8. 5.在同一平面直角坐标系中，画出函数y=–x2，y=–(x+2)2和y =– (x – 2)2的图象. 解：列表： 描点、连线. 5.课堂小结，自我完善 （1）函数y=a(x+h)²的图象和性质： y=a(x+h)²(a≠0) a>0 a<0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 顶点坐标 顶点坐标是(-h,0) 顶点坐标是（-h，0） 对称轴 直线x=-h 直线x=-h 增减性 当x<-h,函数值y随x的增大而减小； 当x>-h,函数值y随x的增大而增大 当x<-h,函数值y随x的增大而增大； 当x>-h,函数值y随x的增大而减小 最值 x=-h时， x=-h时， （2）函数y=ax²的图象与函数y=ax²+k的图象异同： 函数 y=ax² y=a(x+h)² 相同点 (1) 形状相同； (2) 开口大小和开口方向相同； (3) 增减性相同； (4) 最大(小)值一样 不同点 （位置） 当h>0时，抛物线y=a(x+h)²由抛物线y=ax²沿x轴方向向左移动h个单位得到； 当h<0时，抛物线y=a(x+h)²由抛物线y=ax²沿x轴方向向右移动|h|个单位得到 顶点坐标不同 6.布置作业 课本第16页习题第2,3,5题. 通过回顾前面的知识，帮助学生建立起新旧知识之间的联系，为接下来学习新课作铺垫. 通过画图，培养学生的动手能力，变被动接受为主动探究，激发学生的学习兴趣和求知欲望.加深对二次函数y=a(x+h)²的图象和性质的理解. 归纳梳理二次函数y=a(x+h)²的图象和性质，并对比函数y=ax2，分析它们的图象和性质的异同，培养学生的观察能力以及语言组织能力. 通过例题讲解，巩固本节课所学知识. 通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯. 回顾知识点形成知识体系，养成回顾梳理知识的习惯. 加深认识，深化提 高. 板书设计 1.二次函数y=a(x+h)2的图象和性质 y=a(x+h)²(a≠0) a>0 a<0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 顶点坐标 顶点坐标是(-h,0) 顶点坐标是（-h，0） 对称轴 直线x=-h 直线x=-h 增减性 当x<-h,函数值y随x的增大而减小； 当x>-h,函数值y随x的增大而增大 当x<-h,函数值y随x的增大而增大； 当x>-h,函数值y随x的增大而减小 最值 x=-h时， x=-h时， 与抛物线²的关系 抛物线²可由抛物线²沿轴方向平移个单位得到（＞0，向左平移＜0，向右平移） 表格式总结，更容易将知识对比记忆. 教后反思 通过本节课的学习要求大家理解并掌握函数y=ax²(a≠0)和函数y=a(x+h)²(a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，把y=ax²的图象沿x轴向左(当h>0时)或向右(当h<0时)平移∣h∣个单位就得到y=a(x+h)²的图象;能够理解a，h对函数图象的影响，初步体会二次函数关系式与图象之间的联系，渗透数形结合的思想，为今后的学习打下良好的基础.本节课的处理是在教师的引导下，学生进行观察、归纳、总结，充分体现以学生为主、教师为辅的教学思想这样有助于提高学生分析问题和解决问题的能力. 反思教学过程和教师表现，进一步提升操作流程和自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $$