21.2 第2课时二次函数y=ax²+k的图象和性质-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步教案(沪科版)安徽专版

21.2 二次函数 第2课时 二次函数y=ax²+k的图象和性质 课题 二次函数y=ax²+k的图象和性质 课型 新授课 教学内容 教材11-13页的内容 教学目标 1.会用描点法画出二次函数y=ax2+k的图象，概括出图象的特点. 2.掌握形如y=ax2+k的二次函数的性质，并会简单应用. 3.理解二次函数y＝ax2＋k与y＝ax2之间的联系. 4.让学生通过对比发现不同形式二次函数图象的特点，学会由具体到抽象，由特殊到一般地探索事物规律的方法. 教学重难点 教学重点：y=ax2+k的二次函数的性质并会简单应用. 教学难点：二次函数y＝ax2＋k与y＝ax2之间的联系. 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 【回顾】回忆一下二次函数y=ax²(a≠0)的图象和性质： a>0 a<0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 顶点坐标 顶点坐标是(0,0) 顶点坐标是(0,0) 对称轴 y轴 y轴 增减性 在y轴左侧，函数值y随x的增大而减小； 在y轴右侧，函数值y随x的增大而增大 在y轴左侧，函数值y随x的增大而增大； 在y轴右侧，函数值y随x的增大而减小 最值 x=0时， x=0时， |a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大 形如y＝ax2＋k的函数的图象和性质又会怎样呢？ 2.类比探究，学习新知 【思考】 在同一平面直角坐标系中，怎样画出函数y=2x2, y=2x2+1和y =2x2–1的函数图象？ 先按照画图的三步骤“列表、描点、连线”画出图象. (1) 列表(画二次函数图象，选点一般对称选). (2)描点、连线. 观察y=2x2, y=2x2+1和y =2x2–1三个函数的图象，回答下列问题： (1)这三个函数图象的开口方向如何？顶点坐标、对称轴分别是什么？ 答案：三条抛物线的开口都是向上，它们的对称轴都是y轴； 三条抛物线的顶点坐标： 抛物线y=2x2的顶点坐标是(0，0)，抛物线y=2x2+1的顶点坐标是(0，1)，抛物线y=2x2–1的顶点坐标是(0，–1). (2)对于同一个x，这三个函数对应的y之间有什么关系？这三个函数的图象在位置上有什么关系？ 观察图象，我们很容易看出对应同一个横坐标数值，y=2x2的函数值比y=2x2–1的函数值大1，同时比y=2x2＋1的函数值小1. 通过观察表格中的数值，我们可以得到：横坐标相等，纵坐标“+1”或“–1”，根据图形在坐标系中的平移规律可知，对应的图象应该是向上平移一个单位或向下平移一个单位. (3)当x分别取何值时，这三个函数取得最小值？最小值分别是多少？ 提示：题目中要求的是最小值，求最小值也就是需要先找到图象上的最低点. 三条抛物线都是开口向上，所以最低点就是它们对应的顶点坐标，分别为(0，0)，(0，1)，(0，–1).因此得到它们的最小值分别为0，1，–1. 让学生试着画出y=–2x2，y=–2x2+1和y=–2x2–1三个函数的图象，并说一说它们有什么特征？(按照前边a＞0的思路思考即可) 请你说一说函数y=ax2+k的图象和性质. y=ax²+k(a≠0) a>0 a<0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 顶点坐标 顶点坐标是(0,k) 顶点坐标是(0,k) 对称轴 y轴 y轴 增减性 在y轴左侧，函数值y随x的增大而减小； 在y轴右侧，函数值y随x的增大而增大 在y轴左侧，函数值y随x的增大而增大； 在y轴右侧，函数值y随x的增大而减小 最值 x=0时， x=0时， 通过前边的分析，请你说一说函数y=ax2的图象与函数y=ax2+k的图象的相同点与不同点. 函数 y=ax² y=ax²+k 相同点 (1) 形状相同； (2) 开口大小和开口方向相同; (3) 增减性相同 不同点 （位置） 当k>0时，抛物线y=ax²+k由抛物线y=ax²沿y轴方向向上移动k个单位得到； 当k<0时，抛物线y=ax²+k由抛物线y=ax²沿y轴方向向下移动|k|个单位得到 顶点坐标(最值)不同 3.学以致用，应用新知 【例1】在同一直角坐标系中，画出函数 y = – x2+1和 y = – x2–1的图象，并说明通过怎样的平移，可以由抛物线 y = – x2+1得到抛物线 y= – x2–1. 先按照画图的三步骤“列表、描点、连线”画出图象. 解：列表. 描点、连线. 观察表格中函数值的对应关系，如下图： 横坐标相等，纵坐标 “–2”，根据图形在坐标系中的平移规律可知，抛物线 y = – x2–1是由抛物线 y = – x2+1向下平移2个单位得到的. 由图象，很容易得到抛物线 y = – x2–1是由抛物线 y = – x2+1向下平移2个单位得到的. 【例2】填空. (1)抛物线y＝2x2＋3可以由抛物线y＝2x2向____平移____个单位得到． (2)抛物线y＝–x2+1向_____平移_____个单位后，会得到抛物线y= –x2． (3)抛物线y＝–2x2–5的开口方向是_____，对称轴是_____，顶点坐标是_____. 答案：(1)上 3 (2)下 1 (3)下 y轴 (0，–5) 【例3】写出下列各函数图象的开口方向、对称轴和顶点. (1)y = x2+3; (2)y = – 3x2 – 4. 解： (1)开口向上，对称轴为y轴，顶点为(0，3). (2)开口向下，对称轴为y轴，顶点为(0，– 4). 4.随堂训练，巩固新知 （1）对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（   ） A．开口向下 B．对称轴是直线x=-3 C．顶点坐标为（0，3） D．当x>0时，y随x的增大而减小 答案：B （2）二次函数的最小值是______. 答案：-2 （3）在平面直角坐标系中，把抛物线y＝﹣x2+1向上平移3个单位，再向左平移5个单位，则所得抛物线对应的函数表达式是__________． 答案： （4）在同一平面直角坐标系中画出函数和+1的图象，并根据图象回答下列问题： ①抛物线+1经过怎样的平移能得到抛物线？ ②函数+1，当x_______时，y随x的增大而减小；当x________时，函数有最大值，最大值是_______；其图象与y轴的交点坐标是______，与x轴的交点坐标是________. ③说出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. 解：函数和的图象如图所示. ①抛物线向下平移1个单位长度才能得到抛物线. ②函数+1，当时，y随x的增大而减小；当时，函数有最大值，最大值是1；其图象与y轴的交点坐标是（0，1），与x轴的交点坐标是（-1，0）和（1，0）. 故答案为>0；=0；1；（0，1）；（-1，0）和（1，0）. ③抛物线的开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是（0，-3）. 5.课堂小结，自我完善 （1）函数y=ax²+k的图象和性质： y=ax²+k(a≠0) a>0 a<0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 顶点坐标 顶点坐标是(0,k) 顶点坐标是(0,k) 对称轴 y轴 y轴 增减性 在y轴左侧，函数值y随x的增大而减小； 在y轴右侧，函数值y随x的增大而增大 在y轴左侧，函数值y随x的增大而增大； 在y轴右侧，函数值y随x的增大而减小 最值 x=0时， x=0时， （2）函数y=ax²的图象与函数y=ax²+k的图象异同： 函数 y=ax² y=ax²+k 相同点 (1) 形状相同； (2) 开口大小和开口方向相同； (3) 增减性相同 不同点 （位置） 当k>0时，抛物线y=ax²+k由抛物线y=ax²沿y轴方向向上移动k个单位得到； 当k<0时，抛物线y=ax²+k由抛物线y=ax²沿y轴方向向下移动|k|个单位得到 顶点坐标(最值)不同 6.布置作业 课本第13页习题第2，3题. 通过回顾前面的知识，帮助学生建立起新旧知识之间的联系，为接下来学习新课作铺垫. 通过画图，培养学生的动手能力，变被动接受为主动探究，激发学生的学习兴趣和求知欲望.加深对二次函数y=ax2k的图象和性质的理解. 归纳梳理二次函数y=ax2k的图象和性质，并对比函数y=ax2，分析它们的图象和性质的异同，培养学生的观察能力以及语言组织能力. 通过例题讲解，巩固本节课所学知识. 通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯. 回顾知识点形成知识体系，养成回顾梳理知识的习惯. 加深认识，深化提 高. 板书设计 框架图式总结，更容易形成知识网络. 教后反思 通过本节课的学习,学生做到了以下三个方面:首先,掌握函数y=ax2(a≠0)和函数y=ax2+k(a≠0)的图象形状相同,只是位置不同,把y=ax2的图象沿y轴向上(当k>0时)或向下(当k<0时)平移|k|个单位就得到y=ax2+k的图象;其次,能够理解a,k对函数图象的影响,初步体会二次函数关系式与图象之间的联系,渗透数形结合的思想,为今后的学习打下良好的基础;最后,形成严谨的学习态度和求简的数学精神. 反思教学过程和教师表现，进一步提升操作流程和自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $$