21.2 第1课时二次函数y=ax²的图象和性质-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步教案(沪科版)安徽专版

21.2 二次函数的图象和性质 第1课时 二次函数y=ax²的图象和性质 课题 二次函数y=ax²的图象和性质 课型 新授课 教学内容 教材第5-10页的内容 教学目标 1.会用描点法画出二次函数y＝ax2的图象，并能根据图象理解相关性质. 2.由一次函数的探究方式得到研究特殊的二次函数图象及其性质的探究方式，并利用数形结合思想探究函数之间的联系和区别. 3.经历探索二次函数y＝ax2的图象和性质的过程，体会数形结合的思想与方法. 4.理解数形结合的数学方法，体会数学中的特殊与一般的辩证关系，体会数学的内在美. 教学重难点 教学重点：二次函数y＝ax2的图象的画法，根据函数的图象分析其性质. 教学难点：描点法准确画出二次函数的图象. 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 【回顾】 1.回忆二次函数的定义. 定义：一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数. 2. 我们学过的一次函数的图象是什么形状？ 答案：一条直线. 3. 如何画一个函数的图象呢？ 步骤：列表、描点、连线. 2.类比探究，学习新知 【思考】 画出二次函数 y=x² 的图象. 引导学生一起说一说画一次函数图象的步骤： 列表、描点、连线. 同样，我们画二次函数的图象是不是也按照这样的步骤画呢？一起试一下吧！ (1)列表. (2)描点. (3)连线(相邻两点间能用线段连接吗？). 二次函数的图象，用平滑曲线顺次连接各点，形成了一条曲线. 【观察】 观察二次函数 y=x² 的图象.你能发现什么？说一说. (1)图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ 预设：观察图形很容易看出此图是轴对称图形，它的对称轴是y轴. (2)图象有最低点吗？如果有，最低点的坐标是什么？ 预设：曲线是向上无限延伸的，有最低的位置，所以图象有最低点，且最低点就是坐标原点(0，0). (3)当x＜0时，随着x的增大，函数y如何变化？ 预设：观察图象可知，在y轴的左边，随着x的增大，函数y减小，即当x＜0时，随着x的增大，函数y减小. 追问：当x＞0时呢？ 预设：观察图象可知，在y轴的右边，随着x的增大，函数y增大，即当x＞0时，随着x的增大，函数y也增大. 【总结】 函数y=x² 的图象是一条关于y轴对称的曲线，我们把这条曲线叫做抛物线；函数y=x²的图象可以简称为抛物线y=x²；抛物线y=x²的开口向上；抛物线y=x²的对称轴是y轴(直线x=0)；对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，顶点的坐标是(0，0). 函数y=x² 图象的顶点也是这个图象的最低点. 【探究】 在同一平面直角坐标系中，画出函数y=x²，y=2x²的图象. 同样需要按照列表、描点、连线三个步骤画. (1)列表. (2)描点. (3)连线. 1. 观察二次函数y=x²和y=2x²的图象，分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标；再指出图象有最高点还是有最低点？图象何时上升、下降？ 答案：观察图象很容易知道： 开口都是向上的； 对称轴都是y轴； 它们的顶点坐标是(0，0)，且它们都有最低点；都是当x＞0时上升，当x＜0时下降. 2. 你能根据函数y=x²、y=x²和y=2x²的图象的共同特点，总结出二次函数y=ax²(a＞0)的性质吗？ 提示：可以从取值范围、图象的形状、增减性、最值等方面考虑. 总结如下表： 二次函数y=ax²(a>0) 图形的形状 图象的特点 函数的性质 向x轴左右方向无限延伸 自变量x的取值范围是全体实数 是轴对称图形，对称轴是y轴 x和-x对应相同的函数y 在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的 当x<0时，随着x的增大，函数y减小； 当x>0时，随着x的增大，函数y也增大 顶点就是原点(0,0)，顶点是图象的最低点.开口向上，图象向上无限延伸 当x=0时，函数取得最小值，，且y没有最大值，即y≥0 3. 在同一平面直角坐标系中，画出函数y=–x²、y=–x²、y=–2x²的图象，分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标；再指出图象有最高点还是有最低点？图象何时上升、下降？ (建议学生按照列表、描点、连线三步骤画图.) 答案：观察图象，很容易得到这三条抛物线都是开口向下，对称轴是y轴，它们的顶点坐标是(0，0)，且它们都有最高点；都是当x＞0时下降，当x＜0时上升. 4.根据函数y=–x²，y=–x²和y=–2x²的图象特点，仿照上面的表格，总结出二次函数y=ax²(a＜0)的性质. 提示：可以从取值范围、图象的形状、增减性、最值等方面考虑. 总结如下表： 二次函数y=ax²(a<0) 图象的形状 图象的特点 函数的性质 向x轴左右方向无限延伸 自变量x的取值范围是全体实数 是轴对称图形，对称轴是y轴 x和-x对应相同的函数y 在y轴左侧是上升的，在y轴右侧是下降的 当x>0时，随着x的增大，函数y减小； 当x<0时，随着x的增大，函数y也增大 顶点就是原点(0,0),顶点是图象的最高点.开口向下，图象向下无限延伸 当x=0时，函数取得最大值，，且y没有最小值，即 5.分别比较函数y=x²与y=–x²，y=x²与y=–x²，y=2x²与y=–2x²的图象，指出它们之间相同与不同之处. 根据学生的回答情况，教师进行纠正、总结如下表： 函数 相同点 (1) 都是轴对称图形，且对称轴是y轴； (2) 顶点坐标都是(0,0) 不同点 开口向上 开口向下 在y轴左侧，函数值y随x的增大而减小； 在y轴右侧，函数值y随x的增大而增大 在y轴左侧，函数值y随x的增大而增大； 在y轴右侧，函数值y随x的增大而减小 x=0时， x=0时， 追问：（1）当a＞0时，函数y=ax²的图象与a＜0时有什么不同？ （2）|a|的大小对函数y=ax²的图象的开口大小有什么影响？ 提示：可以从开口方向、顶点坐标、对称性、增减性、最值等方面考虑. 总结如下表： a>0 a<0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 顶点坐标 顶点坐标是(0,0) 顶点坐标是(0,0) 对称轴 y轴 y轴 增减性 在y轴左侧，函数值y随x的增大而减小； 在y轴右侧，函数值y随x的增大而增大 在y轴左侧，函数值y随x的增大而增大； 在y轴右侧，函数值y随x的增大而减小 最值 x=0时， x=0时， |a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大 3.学以致用，应用新知 【例1】已知下列二次函数： ①y= –x²；②y=x²；③y=15x²；④y= –4 x²；⑤ y=4x². (1)其中开口向上的是_________(填序号)； (2)其中开口向下且开口最大的是_________(填序号)； (3)有最高点的是_________(填序号). 分析：根据二次函数y=ax²的图象的特点和性质判断即可. 答案：(1)②③⑤ (2)① (3)①④ 【例2】已知一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2，其中a≠0，b＜0，则下面选项中，图象可能正确的是( ) 分析：因为b＜0，所以直线y=ax+b与y轴的交点在y轴的负半轴，因此B，D错误；选项A，C中，抛物线y=ax2都是开口向下，得到a＜0，所以直线y=ax+b是下降的. 因此选项C正确. 【例3】抛物线y＝ax2（a＜0）一定经过（ ） A.第一、二象限 B.第三、四象限 C.第一、三象限 D.第二、四象限 答案：B 【例4】已知点A（－3，y1），B（－1，y2），C（2，y3）在抛物线y＝x2上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ） A.y1＜y2＜y3 B.y1＞y2＞y3 C.y1＜y3＜y2 D.y2＜y3＜y1 答案：D 4.随堂训练，巩固新知 1.按要求完成下列各题. (1)在同一坐标系中画出函数y=x²，y=–x²，y=3x²，y=–3x²的图象； (2)观察上述图象，并说出图象的顶点坐标、开口方向、对称轴； (3)说出各图象中的最高点或最高点坐标； (4)说明各函数图象在对称轴两侧部分，函数y随x增大而变化的情况. 解：(1)画图如下图： (2)顶点坐标都是(0，0)； y=x²和y=3x²开口向上，y=–x²和y=–3x²开口向下； 对称轴都是y轴. (3)y=x²和y=3x²开口向上，所以都有最低点为(0，0)；y=–x²和y=–3x²开口向下，所以都有最高点为(0，0). (4)y=x²和y=3x²，在对称轴的左侧，函数y随x增大而减小；在对称轴的右侧，函数y随x增大而增大. y=–x²和y=–3x²，在对称轴的左侧，函数y随x增大而增大；在对称轴的右侧，函数y随x增大而减小. 2.在下列抛物线中，开口最大、最小的各是哪一个？ y=–x²、y=–x²、y=x²、y=(2+)x². 分析：根据“|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大”进行判断即可. 解：二次项系数的绝对值分别为、、、2+， 它们从小到大排列：＜＜＜2+， 所以开口最大的是y=–x² ，开口最小的是y=(2+)x². 3.已知函数y＝(m+3)是关于x的二次函数. （1）求m的值； （2）当m为何值时，该函数图象的开口向下？ （3）当m为何值时，该函数有最小值？ （4）试说明函数的增减性. 解：（1）∵函数y＝(m+3)是关于x的二次函数， ∴，解得：， ∴当m＝－4或m＝1时，原函数为二次函数. （2）∵函数图象的开口向下， ∴m+3＜0， ∴m＜－3， ∴当m＝－4时，该函数图象的开口向下. （3）∵该函数有最小值， ∴m+3＞0， ∴m＞－3， ∴当m＝1时，该函数有最小值. （4）①当m＝－4时，此函数为y＝－x2，当x＞0时，y随x的增大而减小，当x＜0时，y随x的增大而增大； ②当m＝1时，此函数为y＝4x2，当x＞0时，y随x的增大而增大，当x＜0时，y随x的增大而减小. 4. 如图，直线AB过x轴上一点A（2，0），且与抛物线y＝ax2相交于B，C两点，B点坐标为（1，1）. （1）求直线AB的解析式及抛物线y＝ax2的解析式； （2）求点C的坐标； （3）求△COB的面积. 解：（1）设直线的函数表达式为y＝kx+b， ∵A（2，0），B（1，1）都在直线y＝kx+b上， ∴，解得：， ∴直线AB的解析式为y＝－x+2. ∵点B（1，1）在y＝ax2的图象上， ∴a＝1， ∴二次函数的解析式为y＝x2. （3）由得：或， ∵点C在第二象限， ∴点C的坐标为（－2，4）， ∴S△COB＝S△AOC－S△OAB＝×2×4－×2×1＝3， 即△COB的面积为3. 5.课堂小结，自我完善 （1）二次函数的图象叫做抛物线； （2）抛物线的开口向上； （3）抛物线是轴对称图形，对称轴是y轴（直线x=0）； （4）对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，顶点坐标为（0，0）； （5）从图象上看，抛物线的顶点也是图象的最低点，即当x=0时，对应的函数值y=0是所有函数值中最小的值（这时可记作y最小值=0） （6）当x＜0时，随着x值的增大，y的值减小；当x＞0时，随着x值的增大，y的值增大. 6.布置作业 课本第10页的练习. 通过回顾已经学习过的函数相关知识，对要学习的新知识有一个明确的方向，通过类比进行延伸，符合学生的认知规律. 通过实际画图、观察、探究图象的特征，得到相应的结论，让学生体会数形结合思想，通过图象可以读出数学意义，对图形语言、文字语言、符号语言的转化更加熟练. 把几个不同的函数图象画在同一平面直角坐标系中，通过观察、类比得出其性质，再次感受数形结合在研究函数中的作用. 借助前边探究a＞0的情形，进一步体会数形结合的数学思想，从特殊到一般研究方法的理解，再次强化类比学习方法的重要性. 综合前边的分析和探究，对比总结a＞0和a＜0的两类函数的相同点和不同点，并进一步对比总结出函数y=ax2的图象的特点和性质. 通过典例讲解，进一步了解二次函数y=ax²的图象和性质. 通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯. 小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯，提高学生的学习能力. 回顾知识点形成知识体系，养成回顾梳理知识的习惯. 加深认识，深化提高. 板书设计 框架图式总结，更容易形成知识网络. 教后反思 ①授课流程反思 在创设情境环节中，教师应给予充分的时间让学生交流、讨论、作图，学生通过自己作图得到函数图象；在探究新知环节中，在学生总结自己的想法和结论后，教师及时做好总结和归纳，学生接受较快，效果明显． ②讲授效果反思 教师引导学生分析二次函数的图象从以下几点进行考虑：(1)开口方向；(2)对称轴；(3)顶点坐标；(4)函数增减性． ③师生互动反思 在教学过程中，学生充分发挥主动性，每个学生都能积极主动参与，成为课堂的主人． 反思教学过程和教师表现，进一步提升操作流程和自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $$