24.7 弧长与扇形面积-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步课件(沪科版)安徽专版

第24章 圆 24.7 弧长与扇形面积 学习目标 学习重难点 重点 难点 1.理解弧长、扇形面积以及圆锥的侧面积和全面积的计算公式的推导； 2.能正确的选择公式进行计算，能将实际问题转化为数学模型，并加以解决. 能推导并掌握弧长、扇形面积以及圆锥的侧面积的计算. 能应用公式解决相关问题. 回顾复习 还记得圆的周长C、圆的面积S与圆的半径R有什么关系吗？ 在许多情况下，我们还需要计算圆的一部分弧长和面积，如何计算呢？ 圆的周长 C = 2πR 圆的面积 S = πR² o R 这里的π=3.14159…，是个无理数，叫做圆周率. 创设情境 O ● 我们把两条半径与所夹弧围成的图形叫做扇形. 半径 半径 弧 扇形 扇形是圆的一部分 A B O A B 定义 如图， 的长度，以及半径OA，OB与 所围橘色部分的面积如何计算呢？ 下列阴影部分图形是扇形吗？ O O O O O O 做一做 新知引入 1°的圆心角所对的弧长是多少？ o R 圆的周长 C = 2πR 360° 1°的圆心角所对的弧长= 将圆周分成360等份 = 新知引入 n°的圆心角所对的弧长是多少？ o R 1°的圆心角所对的弧长= = n°的圆心角所对的弧长C1 = n° A B 1°的圆心角所对弧长的n倍 新知引入 知识点1 弧长公式 o R n° A B 在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长为 C1= (1)180，n在弧长计算公式中表示倍分关系，没有单位. 注意 (2)弧长单位和半径单位一致. 能否类比弧长公式推导出扇形面积公式？圆的面积可以看作多少度的圆心角所对扇形的面积？ O ● 圆的面积 S = πR² R 360° 新知引入 圆的面积 S = πR² R 360° 1°的圆心角所对的扇形面积是多少？ 1°的圆心角所对的扇形面积= O ● 将圆的面积分成360等份 新知引入 O ● R n°的圆心角所对的扇形面积是多少呢？ n° 1°的圆心角所对的扇形面积= 1°的圆心角所对的扇形面积的n倍 n°的圆心角所对的扇形面积= 知识点2 扇形面积公式 新知引入 A B 在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的扇形面积为 360，n在扇形面积公式中表示倍分关系，没有单位. 注意 S扇形= O ● R n° 拓展延伸 O ● 比较扇形面积公式与弧长公式，找出它们之间的关系？ C1= S扇形= A B R n° S扇形= C1 = 扇形面积公式 扇形的弧长 半径 扇形也有叫“曲边三角形”的，其面积公式S=类似于三角形面积公式，把弧长看作底，把半径R看作高就行了. 例题示范 【例1】一滑轮装置如图，滑轮的半径R=10 cm，当重物上升15.7 cm时，问滑轮的一条半径OA绕轴心O按逆时针方向旋转的角度？(假设绳索与滑轮之间没有滑动，π取3.14) O A 提示 重物上升的高度 半径OA绕轴心O旋转时点A所画的弧长 = O A 解：设半径OA绕轴心O逆时针方向旋转的度数为n°，则 =15.7. 解方程，得 n ≈ 90. 答：滑轮按逆时针方向旋转的角度约为90°. 例题示范 【例2】古希腊埃拉托塞尼曾给出一个估算地球周长(或子午圈长)的简单方法.如图，点S和点A分别表示埃及的赛伊尼和亚历山大两地，亚历山大在赛伊尼的北方，两地的经度大致相同，两地的实际距离为5 000希腊里(1希腊里≈158.5 m).当太阳光线在赛伊尼直射时，同一时刻在亚历山大测量太阳光线偏离直射方向的角为α，实际测得α是7.2°，由此估算出了地球的周长，你能进行计算吗？ A S O α 提示 找出 与地球周长的关系 A S O α 解：因为太阳光线可看作平行的，所以圆心角∠AOS=α=7.2°. 设地球的周长(即⊙O的周长)为C，则 ， ∴C=50 =50×5 000 =250 000(希腊里) ≈ 39625(km). 答：地球的周长约为39 625 km. 旧知回顾 如图，底面半径为r、母线(上下底面圆周上对应两点的连线)为l的圆柱，它的侧面展开图是什么？ O r l 平面 曲面 长方形 2πr 底面圆周长 l 这个侧面展开图的面积计算公式是什么呢？ 2πrl 能否类比这种方法求圆锥的侧面积？ 新知引入 观察圆锥，你能说出它是由哪些面围成的几何体吗？ 底面 侧面 圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体. 底面是一个圆， 侧面是一个曲面. 新知引入 圆锥中常见的元素有哪些？ 母线 连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线. 连接圆锥顶点和底面圆心的线段叫做圆锥的高. 高 半径 o 圆锥的母线有无数条. 如图，底面半径为r、母线为l的圆锥，它的侧面展开图又是什么？这个侧面展开图的面积计算公式是什么？ l r 平面 o 曲面 扇形 如何将曲面变成平面呢？ 求出扇形的面积即可. S扇形= 扇形的弧长 扇形面积公式 扇形的半径 O A B 知识点3 圆锥的侧面积 新知引入 =底面圆周长 l r o 扇形 圆锥的侧面积 扇形的面积 = 2πr = 弧长 扇形的半径 = 新知引入 l r o 扇形 圆锥的侧面积 = 2πr 如何计算圆锥的全面积呢？ 圆锥的全面积 = 侧面积+底面积 = + r是底面圆的半径， l是圆锥的母线长. 例题示范 【例3】如图，圆锥形的烟囱帽，它的底面直径为80 cm，母线为50 cm.在一块大铁皮上剪裁时，如何画出这个烟囱帽的侧面展开图？求出该侧面展开图的面积. 解：烟囱帽的侧面展开图是扇形， 如图，设该扇形的面积为S. 在铁皮上画一个扇形，除需知道扇形半径l外，还需知道扇形圆心角α.由刚学过的弧长计算方法，可得 h l r O α 随堂练习 已知：扇形AOB的半径是12 cm，∠AOB=120°，求 的长度和扇形AOB的面积. 解：∵ 扇形AOB的半径是12 cm，∠AOB=120°， ∴ 的长为： =8π(cm)， 扇形AOB的面积为： =48π(cm2). 练习1 练习2 已知：扇形的圆心角为150°，弧长为20π，求扇形的面积. 解：设扇形的半径为R， 则由弧长公式得： =20π， 解得： R=24， 即扇形的面积为：×20π×24=240π. 练习3 O A B D C 如图，圆柱形排水管的截面半径OC=0.6 m，水面高DC=0.3 m， 求截面中有水部分的面积. O A B D C 解：连接OA，OB，由题知OC⊥AB. ∵ OC=0.6 m，DC=0.3 m，∴ OD=0.3 m. ∴ 在Rt△ADO中，cos ∠AOD= = ， ∴ ∠AOD=60°，则∠BOD=60°， ∴ AD=AO·sin 60°= 0.6× = (m). ∴ AB=2AD= (m). ∴ S扇形AOB= =0.12π(m2)， S△AOB= ×0.3× = (m2)， ∴ 截面中有水部分的面积为 (0.12π－) m2. 练习4 已知一个圆锥的底面半径为12 cm，母线长为20 cm，则 这个圆锥的侧面积为_________，全面积为__________. 240π cm2 384π cm2 若圆锥的底面半径r=4 cm，高线h=3 cm，则它的侧面 展开图中扇形的圆心角是 度. 提示：先利用勾股定理求出圆锥的母线长，再求出圆锥的侧面展开图中扇形的弧长（底面圆的周长），然后利用弧长公式求出展开图中扇形的圆心角. 288 练习5 童心玩具厂欲生产一种圣诞老人的帽子，其圆锥形帽身的母线长为15 cm，底面半径为5 cm，生产这种帽身10 000个，你能帮玩具厂算一算至少需多少平方厘米的材料吗(不计接缝用料和余料，π取3.14)？ 解：根据题意，圆锥形帽身的母线长为15 cm，底面半径为5 cm，则其侧面积为 π515=235.5(cm2) 因此，生产这种帽身10 000个至少需材料 235.510 000=2 355 000(cm2). 归纳小结 扇形面积公式： 弧长公式： 弧长与扇形 、 圆锥的面积 在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长为 . C1= 在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的扇形面积为 . S扇形= = 圆锥的全面积公式： 圆锥的侧面积公式： 绿卡图书—走向成功的通行证 $$