24.5 三角形的内切圆-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步课件(沪科版)安徽专版

第24章 圆 24.5 三角形的内切圆 学习目标 学习重难点 重点 难点 1.理解三角形的内切圆、三角形的内心、圆的外切三角形的概念； 2.掌握三角形内切圆的作法，进一步理解三角形内心和外心所具有的性质. 理解三角形的内切圆、三角形的内心、圆的外切三角形的概念. 掌握三角形内切圆的作法，进一步理解三角形内心和外心所具有的性质. 创设情境 如图，有一块三角形的材料，木工师傅想从中剪下一个面积最大的圆，如何裁剪呢？ 你能帮忙设计吗？ 这节课我们一起来研究这个问题! 请你动手画一画，当圆与三角形有怎样的位置关系时，剪下的圆面积最大？ 下面是木工师傅设计的几种方案，请你帮忙看一看，哪一种设计的圆面积最大？ A B C O A B C O A B C O A B C O ⊙O与三边都不相切 ⊙O只与一边相切 ⊙O与两边相切 ⊙O与三边都相切 圆面积最大 A B C O ⊙O与三边都相切 圆面积最大 猜想 要使剪下的圆面积最大，这个圆应与三角形的三边都相切. 新知引入 知识点1 三角形内切圆的作法 作圆的关键是什么？ 确定圆心和半径． 怎样确定圆心的位置？ 作两条角平分线，其交点就是圆心的位置． 圆心的位置确定后，怎样确定圆的半径？ 过圆心作三角形一边的垂线，垂线段的长 就是圆的半径． 圆心到三条边的距离相等 角平分线上的点到角的两边的距离相等 相切时圆心到三角形三边的距离等于半径 已知△ABC，求作一个圆，使它与△ABC的三条边都相切． I E F ∟ D 　　作法： 　　1.作△ABC的∠B 、∠C平分线BE，CF，设它们交于点I. 　　2.过点I作ID⊥BC于点D. 　　3.以I为圆心、ID为半径作⊙I. 则⊙I即为所作． 三角形的内切圆 知识点2 三角形的内切圆与内心 新知引入 与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形. 三角形的内切圆 I 三角形的内心到三角形的三边距离相等. D ∟ F ∟ E ∟ 三角形的内切圆 圆的外切三角形 三角形的内心 类 别 三角形的内切圆 三角形的外接圆 ⊙O的名称 △ABC的名称 圆心O的名称 圆心O的确定 内心与外心的性质 △ABC的内切圆 △ABC的外接圆 ⊙O的外切三角形 ⊙O的内接三角形 △ABC的内心 △ABC的外心 作两角的角平分线 作两边的垂直平分线 内心O到三角形三边的距离相等 外心O到三个顶点的距离相等 A B C O A B C O 外心不一定在三角形内部，内心一定在三角形内部. 例题示范 A C I B 提示 过三角形内心与顶点的连线平分三角形的内角. 【例】如图，在△ABC中， ∠B=43°， ∠C=61°，点I是△ABC的内心，求∠BIC的度数. A C I B 解：连接1B，IC. 因为点I是△ABC的内心，所以IB，IC分别是∠B、∠C的平分线 在△IBC中，有 ∠BIC=180°– (∠IBC+∠ICB) =180°– (∠B+∠C) =180°– (43°+61°) =128°. ∠BIC=180°– (180°–∠A) =90°+ ∠A 例题示范 【例】如图，在△ABC中， ∠B=43°， ∠C=61°，点I是△ABC的内心，求∠BIC的度数. A C I B 【变式训练】 (1)若∠A=60°，则∠BIC= . (2)若∠BIC =100°，则∠A= . 120° 20° ∠BIC=90°+ ∠A 随堂练习 在△ABC中，AB=AC=4 cm，以点A为圆心、2 cm为半径的圆与BC相切，求∠BAC的度数. 解：如图，设切点为D，连接AD. ∵ BC与⊙A相切， ∴ AD⊥BC， 又∵ AB=AC=4 cm ， AD=2 cm， ∴ 在Rt△ ADB中，AB=2AD，∠B=∠C， ∴ ∠B=∠C=30°， ∴ ∠BAC=180°–30°–30°=120°. A B C D 练习1 练习2 在△ABC中，∠A=80°，点I是内心，求∠BIC的度数. A C I B 解：∵ I是△ABC的内心， ∴ ∠ABI=∠IBC= ∠ABC ， ∠ACI=∠ICB= ∠ACB ， ∵ ∠A=80°， ∴ ∠ABC+∠ACB=180°–∠A=100°， ∴ (∠ABC+∠ACB)=50°， 即∠IBC+ ∠ICB=50°， ∴ ∠BIC=180°–(∠IBC+ ∠ICB)=130°. 练习3 如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，求这个三角形的内切圆半径. A B C 解：如图，设△ABC的内切圆半径是r， 切点是D、E、F，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF， 则OD⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB， OD=OE=OF=r， ∵ ∠ACB=90°，BC=3，AC=4， ∴ BA= =5， 根据三角形面积公式得： S△ABC=S△OAC+S△OBC+S△OAB ∴ AC×BC = AC×r+BC×r+AB×r， 即:3×4=3r+4r+5r， ∴r=1，∴内切圆半径为1. A B C O D E F 归纳小结 三角形的内切圆： 三角形的内切圆 三角形内心的性质： 与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形. 三角形的内心到三角形的三边距离相等. 过三角形内心与顶点的连线平分三角形的内角. 1 2 绿卡图书—走向成功的通行证 $$