24.4.3 切线长定理-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步课件(沪科版)安徽专版

第24章 圆 24.4 直线与圆的位置关系 *24.4.3 切线长定理 学习目标 学习重难点 重点 难点 1.理解切线长的定义及切线长定理； 2.学会运用切线长定理进行计算与证明. 理解切线长的定义及切线长定理. 学会运用切线长定理进行计算与证明. 回顾复习 还记得上节课我们学习的过圆上一点作已知圆的切线吗？ ∟ o P l 作法： (1)连接OP； (2)过点P作直线l⊥OP， 则直线l即为所作. 如何过圆外一点作已知圆的切线呢？ 创设情境 O. P 如图，点P为⊙O外一点，如何过点P作直线与⊙O相切? B A 过圆外一点能够作圆的两条切线 作法： (1)连接OP. (2)以OP为直径作圆，设此圆 交⊙O于点A，B. (3)连接PA，PB. 则直线PA，PB即为所作. 直径所对的圆周角是直角 新知引入 知识点1 切线长 O. P B A 切线长 切线上一点到切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长. 切线长和切线有什么区别？ 切线是直线，不能度量. 切线长是圆外一点到切点之间的线段长，可以度量． 1 2 在透明纸上画出下图，设PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点. 沿直线OP将图形折叠，有什么发现？ PA=PB ∠APO=∠BPO 你能证明你的猜想吗？ 猜想： 证明：连接OA，OB ∵PA和PB是⊙O 的两条切线， ∴OA⊥AP，OB⊥BP. 又∵OA=OB，OP=OP， ∴Rt△AOP≌ Rt△BOP. ∴PA=PB, ∠APO=∠BPO. ∟ ∟ 在透明纸上画出下图，设PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点. 沿直线OP将图形折叠，有什么发现？ 试着完成这个证明 知识点2 切线长定理 新知引入 文字语言 符号语言 过圆外一点作圆的 切线，两条切线长 ，圆心与这一点的连线 两条切线的夹角. ∵PA，PB分别与☉O 相切于点A，B， ∴ PA = PB， ∠OPA=∠OPB. 两条 相等 切线长定理 平分 例题示范 已知：如图，四边形ABCD的边AB，BC，CD， DA和☉O分别相切于点E，F，G，H. 求证： AB+CD=DA+BC. A C E D F O B G H 提示 关键是运用切线长定理，将相等线段进行转化. 例5 证明：∵ AB，BC，CD， DA都与☉O 相切，E，F，G，H是切点， ∴ AE=AH，BE=BF， CG=CF，DG=DH. ∴ AE+BE+CG+DG = AH+BF+CF+DH， 即 AB+CD=DA+BC. A C E D F O B G H 转化思想 随堂练习 练习1 已知：⊙O的半径是30 cm，点P与圆心的距离是60 cm，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，求∠APB的大小与PA的长. . P B A O 解：如图，连接OP，OA. ∵ PA、PB是⊙O的切线， ∴ PA⊥OA，∠OPA=∠OPB， 又∵ OA=30 cm， OP=60 cm， ∴ 在Rt△OAP中，∠OAP=90°， OP=2OA ， ∴ ∠OPA=30°， ∠APB=60°， PA= (cm). . P B A O 练习2 如图， PA、PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，直线 OP交⊙O于Q，D两点，交AB于点C. (1) 写出图中所有的垂直关系； (2) 写出图中所有的全等三角形. . P B A O Q C D 解：(1) OA⊥PA， OB⊥PB， AB⊥OP； △OPA≌△OPB， △AOC≌△BOC ， △APC≌△BPC . 练习3 已知：PA、PB是⊙O的切线，A，B是切点，∠APB=60°，点C是⊙O上异于A，B的任意一点，求∠ACB的大小. 解：①如图(1) ，连接 OA、 OB. 在四边形PAOB中，PA、PB分别切⊙O于点A、B，则∠OAP=∠OBP=90°， 由四边形的内角和定理知 ∠APB+∠AOB=180°， 又 ∵∠APB=60°，∴ ∠AOB=120°， 又 ∵∠ACB= ∠AOB ，∴ ∠ACB=60°. . P B A O (1) C . P B A O (2) 解：②如图(2) ，连接 OA、 OB， 作圆周角∠ADB， 由①知：∠AOB=120°， ∴ ∠ADB= ∠AOB=60°， ∴ ∠ACB=180°–∠ADB=120°. D C 分类讨论 综上所述，∠ACB的度数为60°或120°. 归纳小结 切线长： 切线长定理 切线长定理： 切线上一点到切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长. 过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角. 绿卡图书—走向成功的通行证 $$